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湘教版（2024）数学八年级上册课时训练3.1.2积的算术平方根与最简二次根式
一、选择题
1．（2020八上·永年期末）若 ，则m、n满足的条件是（　　）．
A． B． ，
C． ， D． ，
2．（2024九上·衡阳期中）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．6
3．（2021·南县）将 化为最简二次根式，其结果是（　　）
A． B． C． D．
4．将化简，正确的结果是（　　）
A．3 B．3 C．6 D．
5．（2021八上·宝山月考）下列四个算式，其中一定成立的是（　　）
① ＝a2+1；② ＝a；③ ＝ （ab＞0）；④
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①
6．（2023八上·桂平期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022八上·奉贤期中）在式子，，，中，最简二次根式的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024八上·兰州新期末）若式子是最简二次根式，则x的值可能为（　　）
A．0 B． C．2 D．4
9．已知是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．2
10．（2024八上·上海市月考）在下列式子中等号能成立的式子共有（　　）
①；②；③；④；⑤．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2024八上·上海市月考）当，时，在下列各式的计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2021八上·牡丹期中）下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2020八上·中宁期中）下列平方根中， 已经化简的是（　　）
A． B． C． D．
14．（2019八上·浦东期中）下列化简错误的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2024八上·郫都期末）化简：　 　 ．
16．（2021八上·杨浦期中）化简： （a＜0）＝　 　．
17．（2020八上·南华月考） = 　 　； = 　 　 .
18．（2020八上·密山期末）在① ；② ；③ ；④ 中，最简二次根式有　 　个．
19．（2019八上·浦东期中）化简 　 　.
三、解答题
20．把下列二次根式化成最简二次根式．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1） （2） （3） （4） （5）．
22．化简题．（1）（2）
23．化简：
24．如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ＝ ＝ ，
故答案为：D.
【分析】原二次根式可变形为，据此化简.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=3×
=6．
故选：C．
【分析】首先把8分成22×2，然后根据化简二次根式的步骤，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来，求出将化简，正确的结果是多少即可．
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】由于 ，由性质 可知①符合题意，②不符合题意；
由于a、b及x+1、x-1均可为负，二次根式无意义，由性质 知，③④均不符合题意；
故只有①符合题意
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘法逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. =2，故不符合题意；
B. 是最简二次根式；符合题意
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意
故答案为：B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
7．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】，这两项均不是最简二次根式，则排除，
，均符合二次根式的定义，
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
8．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、当时，，不是最简二次根式，∴A不符合题意；
B、当时，，不是最简二次根式，∴B不符合题意；
C、当时，，是最简二次根式，∴C符合题意；
D、当时，，不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】将各选项分别代入，再利用最简二次根式的定义逐项分析判断即可.
9．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．
【解答】∵==2，
∴当n=6时，=6，
∴原式=2=12，
∴n的最小值为6．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．
10．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：①，不成立，故不符合题意；
②，不成立，故不符合题意；
③，不成立，故不符合题意；
④与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
⑤是最简二次根式，不能化简，不成立，故不符合题意；
∴成立的个数为0，
故选：A．
【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减分别计算，再判断即可．
11．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴，
∴无意义，故A错误；
B．∵，，
∴
∴，故B正确；
C．∵，，
∴
∴，故C错误；
D．∵，，
∴
∴，故D错误．
故选：B．
【分析】由，判断出各项中被开方数有无意义，若有意义分别化简，再判断即可.
12．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、 、 无意义，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘法逐项判断即可。
13．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. 是最简二次根式，故该选项正确；
D. ，故该选项错误.
故答案为：C.
【分析】①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因式或因数的二次根式就是最简二次根式，从而即可一一判断得出答案.
14．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】先将带分数全部转化成假分数，最后再进行化简即可。
15．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为： .
【分析】利用二次根式的性质进化简即可.
16．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次根式的性质可得， ，
∵ ，∴ ，
∴原式 ．
故答案为： ．
【分析】当a＜0时，由二次根式的性质可得，据此化简即可.
17．【答案】4；72
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=4，
=
=
=8×9
=72
故答案为：4；72.
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.
18．【答案】3个
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：最简二次根式有① ；② ；④ ，共3个，
故答案为：3．
【分析】 如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。 根据最简二次根式的定义一一判断即可。
19．【答案】 .
【知识点】二次根式有无意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义知， ，
∴ ，
∴ = .
故答案为： .
【分析】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.
20．【答案】解：（1）==2；
（2）==3；
（3）==；
（4）==．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
21．【答案】解：（1）=3，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
（2）=，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它不是最简二次根式；
（4）==，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；
（5）==，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
22．【答案】解：（1）原式=2x2；
（2）原式=3；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）原式变形后，利用二次根式的性质化简即可得到结果；
（2）原式变形后，利用二次根式的性质化简即可得到结果；
23．【答案】解：==×=12×13=156；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】首先根据=进而求出即可.
24．【答案】解：∵是最简二次根式，
∴a=1，2b﹣5=1，
解得：a=1，b=3，
∴==4，
∴的平方根为±2．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案．
1 / 1湘教版（2024）数学八年级上册课时训练3.1.2积的算术平方根与最简二次根式
一、选择题
1．（2020八上·永年期末）若 ，则m、n满足的条件是（　　）．
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
2．（2024九上·衡阳期中）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
3．（2021·南县）将 化为最简二次根式，其结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ＝ ＝ ，
故答案为：D.
【分析】原二次根式可变形为，据此化简.
4．将化简，正确的结果是（　　）
A．3 B．3 C．6 D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=3×
=6．
故选：C．
【分析】首先把8分成22×2，然后根据化简二次根式的步骤，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来，求出将化简，正确的结果是多少即可．
5．（2021八上·宝山月考）下列四个算式，其中一定成立的是（　　）
① ＝a2+1；② ＝a；③ ＝ （ab＞0）；④
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】由于 ，由性质 可知①符合题意，②不符合题意；
由于a、b及x+1、x-1均可为负，二次根式无意义，由性质 知，③④均不符合题意；
故只有①符合题意
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘法逐项判断即可。
6．（2023八上·桂平期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. =2，故不符合题意；
B. 是最简二次根式；符合题意
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意
故答案为：B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
7．（2022八上·奉贤期中）在式子，，，中，最简二次根式的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】，这两项均不是最简二次根式，则排除，
，均符合二次根式的定义，
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
8．（2024八上·兰州新期末）若式子是最简二次根式，则x的值可能为（　　）
A．0 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、当时，，不是最简二次根式，∴A不符合题意；
B、当时，，不是最简二次根式，∴B不符合题意；
C、当时，，是最简二次根式，∴C符合题意；
D、当时，，不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】将各选项分别代入，再利用最简二次根式的定义逐项分析判断即可.
9．已知是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．2
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．
【解答】∵==2，
∴当n=6时，=6，
∴原式=2=12，
∴n的最小值为6．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．
10．（2024八上·上海市月考）在下列式子中等号能成立的式子共有（　　）
①；②；③；④；⑤．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：①，不成立，故不符合题意；
②，不成立，故不符合题意；
③，不成立，故不符合题意；
④与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
⑤是最简二次根式，不能化简，不成立，故不符合题意；
∴成立的个数为0，
故选：A．
【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减分别计算，再判断即可．
11．（2024八上·上海市月考）当，时，在下列各式的计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴，
∴无意义，故A错误；
B．∵，，
∴
∴，故B正确；
C．∵，，
∴
∴，故C错误；
D．∵，，
∴
∴，故D错误．
故选：B．
【分析】由，判断出各项中被开方数有无意义，若有意义分别化简，再判断即可.
12．（2021八上·牡丹期中）下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、 、 无意义，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘法逐项判断即可。
13．（2020八上·中宁期中）下列平方根中， 已经化简的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. 是最简二次根式，故该选项正确；
D. ，故该选项错误.
故答案为：C.
【分析】①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因式或因数的二次根式就是最简二次根式，从而即可一一判断得出答案.
14．（2019八上·浦东期中）下列化简错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】先将带分数全部转化成假分数，最后再进行化简即可。
二、填空题
15．（2024八上·郫都期末）化简：　 　 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为： .
【分析】利用二次根式的性质进化简即可.
16．（2021八上·杨浦期中）化简： （a＜0）＝　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次根式的性质可得， ，
∵ ，∴ ，
∴原式 ．
故答案为： ．
【分析】当a＜0时，由二次根式的性质可得，据此化简即可.
17．（2020八上·南华月考） = 　 　； = 　 　 .
【答案】4；72
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=4，
=
=
=8×9
=72
故答案为：4；72.
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.
18．（2020八上·密山期末）在① ；② ；③ ；④ 中，最简二次根式有　 　个．
【答案】3个
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：最简二次根式有① ；② ；④ ，共3个，
故答案为：3．
【分析】 如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。 根据最简二次根式的定义一一判断即可。
19．（2019八上·浦东期中）化简 　 　.
【答案】 .
【知识点】二次根式有无意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义知， ，
∴ ，
∴ = .
故答案为： .
【分析】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.
三、解答题
20．把下列二次根式化成最简二次根式．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】解：（1）==2；
（2）==3；
（3）==；
（4）==．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
21．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1） （2） （3） （4） （5）．
【答案】解：（1）=3，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
（2）=，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它不是最简二次根式；
（4）==，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；
（5）==，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
22．化简题．（1）（2）
【答案】解：（1）原式=2x2；
（2）原式=3；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）原式变形后，利用二次根式的性质化简即可得到结果；
（2）原式变形后，利用二次根式的性质化简即可得到结果；
23．化简：
【答案】解：==×=12×13=156；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】首先根据=进而求出即可.
24．如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
【答案】解：∵是最简二次根式，
∴a=1，2b﹣5=1，
解得：a=1，b=3，
∴==4，
∴的平方根为±2．
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案．
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