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广东省惠州市惠城区第二次2025年初中学业水平数学模拟考
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．
1．（2025·惠城模拟）的倒数是（　　）
A． B． C． D．2025
2．（2025·惠城模拟）把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（　　）
A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
3．（2025·惠城模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·惠城模拟）如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·惠城模拟）若，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·惠城模拟）如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点在上，在上，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·惠城模拟）《九章算术》中有一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一倾，价钱一万，问善、恶田各几何．意思是：好田一亩价值300钱，坏田7亩价值500钱，合买好田、坏田100亩，价值10000钱，设好田、坏田各买了亩和亩，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·惠城模拟）电影《哪吒之魔童闹海》累计票房破百亿，排名全国影史票房榜第一位．第二名是《长津湖》，第三名是《战狼2》，第四名是《美人鱼》，若小惠想从这4部电影中随机选取2部，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·惠城模拟）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强由（　　）时，气体体积压缩了
A．加到 B．加到
C．加到 D．加到
10．（2025·惠城模拟）如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分．
11．（2025·惠城模拟）写出一个比
大且比
小的整数　 　.
12．（2025·惠城模拟）如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度　 　米．
13．（2025·惠城模拟）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到点，则点的坐标是　 　．
14．（2025·惠城模拟）不等式组的解集为　 　．
15．（2025·惠城模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·惠城模拟）计算：
17．（2025·惠城模拟）如图，在中，是钝角．
（1）实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小．
18．（2025·惠城模拟）惠州市落实中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时，某校开展阳光体育运动，举行了跳绳比赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小明将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成统计图．
数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如表分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 0.73
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）从方差的角度看，________组的成绩比较稳定．（填甲或乙）
（3）小惠认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小明认为小惠的观点比较片面，请结合表中的信息帮小明说明理由．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题10分，共30分．
19．（2025·惠城模拟）某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元．
（1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？
（2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？
20．（2025·惠城模拟）如图，在中，过点作直线，过点作于点，过点作于点，且平分，．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
21．（2025·惠城模拟）综合与实践：
主题：A4纸的研究
在进行综合与实践活动时，学习小组在研究生活中常用的A4纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．A系列中最大的规格为，面积约为1平方米，对半裁开得到；再对裁得到，…，以此类推得到，裁剪后得到形状是相似的矩形，如图所示．
（1）【初步研究】查阅资料知纸张的规格如表：
规格
长 1189 841 594 420 297
宽 841 594 420 297 210
长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41
请计算、纸的长宽比，并填在上面表中；通过查阅资料，可知系列纸的长宽比为一个固定的无理数．请你猜想这个无理数为________．
设的长为毫米，宽为毫米，证明你的猜想．
（2）【深入研究】
已知矩形是一张纸，点、点分别为边、的中点，请判断的形状，并证明．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分．
22．（2025·惠城模拟）实践与研究：
（1）根据下面列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图像．
… 1 2 3 …
… 4 2 …
… 0 2 3 4 …
… 4 2 …
（2）观察两个函数图象，的图像可以由的图像怎么变换得到？
（3）当动直线与在第一象限内只有一个交点时，交点坐标为，若与在轴右侧的图像无交点，试确定的取值范围．
23．（2025·惠城模拟）综合探究：
（1）如图1，等圆与相交与点与点，连接，证明四边形为菱形．
（2）如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度．
（3）如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴的倒数是。
故答案为：A。
【分析】根据倒数的定义：乘积等于1的两个数互为倒数，然后再对各个选项逐一进行运算验证即可。
2．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据展开图可知这个几何体是一个三棱柱；
故选：D．
【分析】本题主要对几何体的展开图进行考查．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A，和不是同类项，不能合并，原计算错误，故本项不符合题意；
B，，原计算错误，故本项不符合题意；
C，，原计算错误，故本项不符合题意；
D，，计算正确，故本项符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要对合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法进行考查．
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，
∴与的面积之比是，
故选：B．
【分析】本题主要对位似图形的性质" 位似图形的面积之比等于位似比的平方"进行考查．
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴，故A正确；
∴，故B，C错误；
∴
∴，故D错误．
故选：A．
【分析】此题主要对不等式的性质进行考查．
6．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；猪蹄模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】本题主要对平行线的性质，垂直的定义进行考查．
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设好田、坏田各买了亩和亩，
根据题意：，
故选：C
【分析】本题主要对二元一次方程组的应用进行考查，根据题意设好田买了x亩，坏田买了y亩列出二元一次方程组。
8．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设《哪吒之魔童闹海》为A，《长津湖》为B，《战狼2》为C，《美人鱼》为D，将四部电影中随机抽取两部的所以可能，列表如下：
　 A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
∴共有12种可能结果，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的有2种，
∴其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是．
故选：C．
【分析】本题主要对用列表法求概率的应用进行考查，经事件的所有可能列表，对符合条件的事件进行筛选，再除以总数，得到所求概率．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
由图象知，反比例函数图象过点，则，
∴；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
故选：B．
【分析】本题主要对反比例函数的应用进行考查；首先根据待定系数法设出反比例函数解析式为，根据题意接触解析式，在带入各点数据完成判断．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，作于，于，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵平分，平分，
∴，，
∴四边形是正方形，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理、正方形的判定与性质等知识点进行考查。
根据题意先延长交于点，作于，于，进而有，，所以四边形是矩形，因为平分，平分，所以可得，，因此四边形是正方形，因为，所以可证，进而有，同理：，，设，则，，在中根据勾股定理可列出方程解得，最后可得．
11．【答案】2或3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
，
∴比
大且比
小的整数是2或3.
故答案为：2或3.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得1<
<2，3<
<4，据此不难得到比
大且比
小的整数.
12．【答案】
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题主要对特殊的锐角三角函数的知识进行考查．根据题干信息找到各角与边的数据，在根据已知正切值完成求解。
13．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：设点，
∵点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到点
∴，，
解得：，，
则点，
故答案为：
【分析】此题主要对坐标的平移进行考查，根据坐标的平移规律可得，，，解得：，，所以点P．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】本题主要对一元一次不等式组解法进行考查，先分别解两个不等式，再对两个解集取交集完成求解．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
在中，令，得，
即；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴关于直线对称，
∴，
∴；
∵，，
∴由勾股定理得：，
即，
∴点D的横坐标为，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要对二次函数的图象与性质，菱形的性质进行考查；根据抛物线解析式先得出抛物线的对称轴为，进一步得到，根据菱形的性质可得，在中根据勾股定理有，进而得到，最后可得出．
16．【答案】解∶

【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题主要对二次根式化简，特殊三角函数值，绝对值以及负指数幂的运算进行考查，先对各部分进行化简，，再进行求和原式．
17．【答案】（1）解：垂直平分线即为所求：
（2）解：∵为的垂直平分线∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题主要对作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理进行考查．
（1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D．
（2）因为DE为AC垂直平分线，所以有，由三角形内角和定理有，所以有．
（1）解：垂直平分线即为所求：
（2）解：∵为的垂直平分线
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
18．【答案】（1）
（2）乙
（3）解：平均数相等，但甲组的中位数大于乙组的中位数，优秀率高于乙组的优秀率，故甲组成绩比乙组成绩好．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：甲组的分数按从低到高排列为：3，7，7，7，8，9，10，10，中间两个数为7与8，则其中位数为：；乙组中分数7出现的次数最多，则；乙组的优秀率；
故答案为：；
（2）解：两组的平均数均为7.625，但乙组的方差0.73小于甲组的方差4.48，则乙组的成绩比较稳定；
故答案为：乙；
【分析】本题主要对方差，平均数，中位数和众数等知识进行考查．
（1）先对所有数据进行排序，在根据中位数、众数与百分比的意义对问题进行求解，甲的中位数为7.5，乙的众数为7，乙优秀率为25%；
（2）比较两组的方差，在平均数相同时，根据方差越小，数据的波动程度越小；
（3）两组平均数相等，但甲组的中位数与优秀率均高于乙组，所以甲组成绩好．
（1）解：甲组的分数按从低到高排列为：3，7，7，7，8，9，10，10，中间两个数为7与8，则其中位数为：；
乙组中分数7出现的次数最多，则；乙组的优秀率；
故答案为：；
（2）解：两组的平均数均为7.625，但乙组的方差0.73小于甲组的方差4.48，则乙组的成绩比较稳定；
故答案为：乙；
（3）解：平均数相等，但甲组的中位数大于乙组的中位数，优秀率高于乙组的优秀率，故甲组成绩比乙组成绩好．
19．【答案】（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，
根据题意：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元
（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意有：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取33，
即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要对分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，根据题意列出方程，求解得，所以物理器材54元、化学器材48元．
（2）设该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意列出一元一次不等式，解得，故最多购买33套物理实验器材．
（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，
根据题意：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元
（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，
根据题意有：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取33，
即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．
20．【答案】（1）解：∵∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵∴点A，C，B，N四点共圆
∴，
∵
∴
∵平分，
∴
∴
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要对圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线的概念，直角三角形的性质等知识进行考查。（1）根据题干可得，根据平分，可得，所以；
（2）根据题干信息，所以A，C，B，N四点共圆，则有，，因为平分，所以，则．
（1）解：∵
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴点A，C，B，N四点共圆
∴，
∵
∴
∵平分，
∴
∴
∴．
21．【答案】（1）解：，
填表如下：
规格
长 1189 841 594 420 297
宽 841 594 420 297 210
长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 1.41
猜想这个无理数为，证明如下：
据题意，与为相似的矩形，故有 ，化简得：，即或（舍去）
故的长与宽的比值为；
（2）解：为直角三角形，证明如下：∵矩形是一张纸，
∴，，
∵点、点分别为边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
【知识点】无理数的估值；矩形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】本题主要对矩形的性质，相似三角形的性质与判定进行考查．
（1）根据长除以宽补全表格数据，再根据猜想，因为与为相似的矩形，所以有，即可得到，所以的长与宽的比值为；
（2）根据矩形ABCD是矩形，由折叠可得，，又因为点、点分别为边、的中点，所以有，则，进一步得到，所以，故可证明为直角三角形．
（1）解：，
填表如下：
规格
长 1189 841 594 420 297
宽 841 594 420 297 210
长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 1.41
猜想这个无理数为，证明如下：
据题意，与为相似的矩形，故有 ，化简得：，即或（舍去）
故的长与宽的比值为；
（2）解：为直角三角形，证明如下：
∵矩形是一张纸，
∴，，
∵点、点分别为边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
22．【答案】（1）解：描点，连线，如图即为两函数图象
（2）解：将 的图象向右平移1个单位，得到的图象．
（3）解：因为的图象由 的图象向右平移1个单位得到，此时动直线与函数图象的交点也向右平移1个单位得到，
将代入直线，得，
当时，，
∴ 的图象与y轴的交点为，
将代入直线得，
故要使得与在轴右侧的图像无交点，则．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】本题主要对反比例函数图象及性质，函数图象上点的特点进行考查．
（1）根据表格中的x，y值在图中进行描点，再对各点进行连线；
（2）观察两个函数，y值不变，x-1，根据平移左加右减可知，将 的图象向右平移1个单位，得到的图象；
（3）的图象由 的图象向右平移1个单位得，将代入直线，求出，求出 的图象与y轴的交点为，把代入直线，求出，要使得与在轴右侧的图像无交点，则。
（1）解：描点，连线，如图即为两函数图象
（2）解：将 的图象向右平移1个单位，得到的图象．
（3）解：因为的图象由 的图象向右平移1个单位得到，
此时动直线与函数图象的交点也向右平移1个单位得到，
将代入直线，得，
当时，，
∴ 的图象与y轴的交点为，
将代入直线得，
故要使得与在轴右侧的图像无交点，则．
23．【答案】（1）证明：∵与相交与点与点，∴，，
∵等圆与，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：连接、，过点O作，如图，
∵的直径为10，
∴，
∵直径相切于点，若折叠后与点重合，
∴，
则，
∴，，
则的长度；
（3）解：设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，如图所示：
由（1）知与互相垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
由（1）知以点为圆心的圆半径也是5，
∴，
∵，改变与直径相切的切点的位置，
∴，
∴，
∴，
∴，
即折痕的长为．
【知识点】菱形的判定；切线的性质；相交两圆的性质；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】本题主要对翻折的性质、圆的性质、相交圆的性质、菱形的判定、解直角三角形、弧长公式、勾股定理的运用和垂直平分线性质的运用等知识点进行考查；（1）因为与相交与点与点，所以有，，所以四边形为菱形；
（2）连接、，过点O作，因为的直径为10，则，进而得到，则，所以可计算的长度；
（3）设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，因为与互相垂直平分，所以可得和，进一步求得，进而得到，在中有，所以．
（1）证明：∵与相交与点与点，
∴，，
∵等圆与，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：连接、，过点O作，如图，
∵的直径为10，
∴，
∵直径相切于点，若折叠后与点重合，
∴，
则，
∴，，
则的长度；
（3）解：设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，如图所示：
由（1）知与互相垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
由（1）知以点为圆心的圆半径也是5，
∴，
∵，改变与直径相切的切点的位置，
∴，
∴，
∴，
∴，
即折痕的长为．
1 / 1广东省惠州市惠城区第二次2025年初中学业水平数学模拟考
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．
1．（2025·惠城模拟）的倒数是（　　）
A． B． C． D．2025
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴的倒数是。
故答案为：A。
【分析】根据倒数的定义：乘积等于1的两个数互为倒数，然后再对各个选项逐一进行运算验证即可。
2．（2025·惠城模拟）把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（　　）
A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据展开图可知这个几何体是一个三棱柱；
故选：D．
【分析】本题主要对几何体的展开图进行考查．
3．（2025·惠城模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A，和不是同类项，不能合并，原计算错误，故本项不符合题意；
B，，原计算错误，故本项不符合题意；
C，，原计算错误，故本项不符合题意；
D，，计算正确，故本项符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要对合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法进行考查．
4．（2025·惠城模拟）如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，
∴与的面积之比是，
故选：B．
【分析】本题主要对位似图形的性质" 位似图形的面积之比等于位似比的平方"进行考查．
5．（2025·惠城模拟）若，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴，故A正确；
∴，故B，C错误；
∴
∴，故D错误．
故选：A．
【分析】此题主要对不等式的性质进行考查．
6．（2025·惠城模拟）如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点在上，在上，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；猪蹄模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】本题主要对平行线的性质，垂直的定义进行考查．
7．（2025·惠城模拟）《九章算术》中有一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一倾，价钱一万，问善、恶田各几何．意思是：好田一亩价值300钱，坏田7亩价值500钱，合买好田、坏田100亩，价值10000钱，设好田、坏田各买了亩和亩，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设好田、坏田各买了亩和亩，
根据题意：，
故选：C
【分析】本题主要对二元一次方程组的应用进行考查，根据题意设好田买了x亩，坏田买了y亩列出二元一次方程组。
8．（2025·惠城模拟）电影《哪吒之魔童闹海》累计票房破百亿，排名全国影史票房榜第一位．第二名是《长津湖》，第三名是《战狼2》，第四名是《美人鱼》，若小惠想从这4部电影中随机选取2部，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设《哪吒之魔童闹海》为A，《长津湖》为B，《战狼2》为C，《美人鱼》为D，将四部电影中随机抽取两部的所以可能，列表如下：
　 A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
∴共有12种可能结果，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的有2种，
∴其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是．
故选：C．
【分析】本题主要对用列表法求概率的应用进行考查，经事件的所有可能列表，对符合条件的事件进行筛选，再除以总数，得到所求概率．
9．（2025·惠城模拟）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强由（　　）时，气体体积压缩了
A．加到 B．加到
C．加到 D．加到
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
由图象知，反比例函数图象过点，则，
∴；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到时，体积由减少到，
则体积压缩了；
故选：B．
【分析】本题主要对反比例函数的应用进行考查；首先根据待定系数法设出反比例函数解析式为，根据题意接触解析式，在带入各点数据完成判断．
10．（2025·惠城模拟）如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，作于，于，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵平分，平分，
∴，，
∴四边形是正方形，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理、正方形的判定与性质等知识点进行考查。
根据题意先延长交于点，作于，于，进而有，，所以四边形是矩形，因为平分，平分，所以可得，，因此四边形是正方形，因为，所以可证，进而有，同理：，，设，则，，在中根据勾股定理可列出方程解得，最后可得．
二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分．
11．（2025·惠城模拟）写出一个比
大且比
小的整数　 　.
【答案】2或3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
，
∴比
大且比
小的整数是2或3.
故答案为：2或3.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得1<
<2，3<
<4，据此不难得到比
大且比
小的整数.
12．（2025·惠城模拟）如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度　 　米．
【答案】
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题主要对特殊的锐角三角函数的知识进行考查．根据题干信息找到各角与边的数据，在根据已知正切值完成求解。
13．（2025·惠城模拟）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到点，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：设点，
∵点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到点
∴，，
解得：，，
则点，
故答案为：
【分析】此题主要对坐标的平移进行考查，根据坐标的平移规律可得，，，解得：，，所以点P．
14．（2025·惠城模拟）不等式组的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】本题主要对一元一次不等式组解法进行考查，先分别解两个不等式，再对两个解集取交集完成求解．
15．（2025·惠城模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
在中，令，得，
即；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴关于直线对称，
∴，
∴；
∵，，
∴由勾股定理得：，
即，
∴点D的横坐标为，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要对二次函数的图象与性质，菱形的性质进行考查；根据抛物线解析式先得出抛物线的对称轴为，进一步得到，根据菱形的性质可得，在中根据勾股定理有，进而得到，最后可得出．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·惠城模拟）计算：
【答案】解∶

【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题主要对二次根式化简，特殊三角函数值，绝对值以及负指数幂的运算进行考查，先对各部分进行化简，，再进行求和原式．
17．（2025·惠城模拟）如图，在中，是钝角．
（1）实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小．
【答案】（1）解：垂直平分线即为所求：
（2）解：∵为的垂直平分线∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题主要对作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理进行考查．
（1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D．
（2）因为DE为AC垂直平分线，所以有，由三角形内角和定理有，所以有．
（1）解：垂直平分线即为所求：
（2）解：∵为的垂直平分线
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
18．（2025·惠城模拟）惠州市落实中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时，某校开展阳光体育运动，举行了跳绳比赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小明将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成统计图．
数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如表分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 0.73
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）从方差的角度看，________组的成绩比较稳定．（填甲或乙）
（3）小惠认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小明认为小惠的观点比较片面，请结合表中的信息帮小明说明理由．
【答案】（1）
（2）乙
（3）解：平均数相等，但甲组的中位数大于乙组的中位数，优秀率高于乙组的优秀率，故甲组成绩比乙组成绩好．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：甲组的分数按从低到高排列为：3，7，7，7，8，9，10，10，中间两个数为7与8，则其中位数为：；乙组中分数7出现的次数最多，则；乙组的优秀率；
故答案为：；
（2）解：两组的平均数均为7.625，但乙组的方差0.73小于甲组的方差4.48，则乙组的成绩比较稳定；
故答案为：乙；
【分析】本题主要对方差，平均数，中位数和众数等知识进行考查．
（1）先对所有数据进行排序，在根据中位数、众数与百分比的意义对问题进行求解，甲的中位数为7.5，乙的众数为7，乙优秀率为25%；
（2）比较两组的方差，在平均数相同时，根据方差越小，数据的波动程度越小；
（3）两组平均数相等，但甲组的中位数与优秀率均高于乙组，所以甲组成绩好．
（1）解：甲组的分数按从低到高排列为：3，7，7，7，8，9，10，10，中间两个数为7与8，则其中位数为：；
乙组中分数7出现的次数最多，则；乙组的优秀率；
故答案为：；
（2）解：两组的平均数均为7.625，但乙组的方差0.73小于甲组的方差4.48，则乙组的成绩比较稳定；
故答案为：乙；
（3）解：平均数相等，但甲组的中位数大于乙组的中位数，优秀率高于乙组的优秀率，故甲组成绩比乙组成绩好．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题10分，共30分．
19．（2025·惠城模拟）某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元．
（1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？
（2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？
【答案】（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，
根据题意：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元
（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意有：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取33，
即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要对分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，根据题意列出方程，求解得，所以物理器材54元、化学器材48元．
（2）设该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意列出一元一次不等式，解得，故最多购买33套物理实验器材．
（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，
根据题意：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元
（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，
根据题意有：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取33，
即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．
20．（2025·惠城模拟）如图，在中，过点作直线，过点作于点，过点作于点，且平分，．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵∴点A，C，B，N四点共圆
∴，
∵
∴
∵平分，
∴
∴
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要对圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线的概念，直角三角形的性质等知识进行考查。（1）根据题干可得，根据平分，可得，所以；
（2）根据题干信息，所以A，C，B，N四点共圆，则有，，因为平分，所以，则．
（1）解：∵
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴点A，C，B，N四点共圆
∴，
∵
∴
∵平分，
∴
∴
∴．
21．（2025·惠城模拟）综合与实践：
主题：A4纸的研究
在进行综合与实践活动时，学习小组在研究生活中常用的A4纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．A系列中最大的规格为，面积约为1平方米，对半裁开得到；再对裁得到，…，以此类推得到，裁剪后得到形状是相似的矩形，如图所示．
（1）【初步研究】查阅资料知纸张的规格如表：
规格
长 1189 841 594 420 297
宽 841 594 420 297 210
长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41
请计算、纸的长宽比，并填在上面表中；通过查阅资料，可知系列纸的长宽比为一个固定的无理数．请你猜想这个无理数为________．
设的长为毫米，宽为毫米，证明你的猜想．
（2）【深入研究】
已知矩形是一张纸，点、点分别为边、的中点，请判断的形状，并证明．
【答案】（1）解：，
填表如下：
规格
长 1189 841 594 420 297
宽 841 594 420 297 210
长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 1.41
猜想这个无理数为，证明如下：
据题意，与为相似的矩形，故有 ，化简得：，即或（舍去）
故的长与宽的比值为；
（2）解：为直角三角形，证明如下：∵矩形是一张纸，
∴，，
∵点、点分别为边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
【知识点】无理数的估值；矩形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】本题主要对矩形的性质，相似三角形的性质与判定进行考查．
（1）根据长除以宽补全表格数据，再根据猜想，因为与为相似的矩形，所以有，即可得到，所以的长与宽的比值为；
（2）根据矩形ABCD是矩形，由折叠可得，，又因为点、点分别为边、的中点，所以有，则，进一步得到，所以，故可证明为直角三角形．
（1）解：，
填表如下：
规格
长 1189 841 594 420 297
宽 841 594 420 297 210
长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 1.41
猜想这个无理数为，证明如下：
据题意，与为相似的矩形，故有 ，化简得：，即或（舍去）
故的长与宽的比值为；
（2）解：为直角三角形，证明如下：
∵矩形是一张纸，
∴，，
∵点、点分别为边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分．
22．（2025·惠城模拟）实践与研究：
（1）根据下面列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图像．
… 1 2 3 …
… 4 2 …
… 0 2 3 4 …
… 4 2 …
（2）观察两个函数图象，的图像可以由的图像怎么变换得到？
（3）当动直线与在第一象限内只有一个交点时，交点坐标为，若与在轴右侧的图像无交点，试确定的取值范围．
【答案】（1）解：描点，连线，如图即为两函数图象
（2）解：将 的图象向右平移1个单位，得到的图象．
（3）解：因为的图象由 的图象向右平移1个单位得到，此时动直线与函数图象的交点也向右平移1个单位得到，
将代入直线，得，
当时，，
∴ 的图象与y轴的交点为，
将代入直线得，
故要使得与在轴右侧的图像无交点，则．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】本题主要对反比例函数图象及性质，函数图象上点的特点进行考查．
（1）根据表格中的x，y值在图中进行描点，再对各点进行连线；
（2）观察两个函数，y值不变，x-1，根据平移左加右减可知，将 的图象向右平移1个单位，得到的图象；
（3）的图象由 的图象向右平移1个单位得，将代入直线，求出，求出 的图象与y轴的交点为，把代入直线，求出，要使得与在轴右侧的图像无交点，则。
（1）解：描点，连线，如图即为两函数图象
（2）解：将 的图象向右平移1个单位，得到的图象．
（3）解：因为的图象由 的图象向右平移1个单位得到，
此时动直线与函数图象的交点也向右平移1个单位得到，
将代入直线，得，
当时，，
∴ 的图象与y轴的交点为，
将代入直线得，
故要使得与在轴右侧的图像无交点，则．
23．（2025·惠城模拟）综合探究：
（1）如图1，等圆与相交与点与点，连接，证明四边形为菱形．
（2）如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度．
（3）如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度．
【答案】（1）证明：∵与相交与点与点，∴，，
∵等圆与，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：连接、，过点O作，如图，
∵的直径为10，
∴，
∵直径相切于点，若折叠后与点重合，
∴，
则，
∴，，
则的长度；
（3）解：设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，如图所示：
由（1）知与互相垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
由（1）知以点为圆心的圆半径也是5，
∴，
∵，改变与直径相切的切点的位置，
∴，
∴，
∴，
∴，
即折痕的长为．
【知识点】菱形的判定；切线的性质；相交两圆的性质；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】本题主要对翻折的性质、圆的性质、相交圆的性质、菱形的判定、解直角三角形、弧长公式、勾股定理的运用和垂直平分线性质的运用等知识点进行考查；（1）因为与相交与点与点，所以有，，所以四边形为菱形；
（2）连接、，过点O作，因为的直径为10，则，进而得到，则，所以可计算的长度；
（3）设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，因为与互相垂直平分，所以可得和，进一步求得，进而得到，在中有，所以．
（1）证明：∵与相交与点与点，
∴，，
∵等圆与，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：连接、，过点O作，如图，
∵的直径为10，
∴，
∵直径相切于点，若折叠后与点重合，
∴，
则，
∴，，
则的长度；
（3）解：设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，如图所示：
由（1）知与互相垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
由（1）知以点为圆心的圆半径也是5，
∴，
∵，改变与直径相切的切点的位置，
∴，
∴，
∴，
∴，
即折痕的长为．
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