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湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（ ）
A． B．
C． D．
4．在四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．a=5，b=12，c=13 B．
C．∠B=50°，∠C=40° D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
6．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．某青年创业伙伴公司现有10名员工，每人年收入数据如上表，则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ）
年收入/万元 4 6 8 10
人数/人 2 2 5 1
A．8，6 B．6，7 C．8，8 D．8，5
8．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是 元．

13．李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选 同学．
类别 甲 乙 丙 丁
平均分 90 93 98 98
方差 2 2
14．对于一次函数的以下四个理解：①图象经过一、二、三象限；②点在该函数的图象上；③图象与直线平行；④图象与坐标轴围成的三角形面积为2．其中正确的结论是 ．（填写所有正确的代号）
15．如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为12，则BE的长为 ．
三、解答题
17．千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：．
18．计算：．
19．已知一次函数的图像经过点（3，5）与（，）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）点A（2，3）是否在这个函数的图象上，请说明理由．
20．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
21．已知点在第一象限，且满足，点的坐标为，设的面积为．
(1)用含的解析式表示，写出的取值范围，并画出函数的图象；
(2)当点的横坐标为5时，的面积为多少？
(3)的面积能等于25吗？为什么？
22．理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题．
东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料．
(1)设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果）
(2)的取值范围是______________；
(3)设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案．
23．如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．
(1)当点P运动停止时，______，线段的长为______；
(2)①用含t的式子填空：______，______，______；
② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
24．菱形与矩形都是特殊的平行四边形，将他们放在同图形是种有趣的结合，请你从知识关联的角度思考下列问题．
如图，菱形的对角线，相交于点，且，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形的周长为36，，
①求矩形的面积：
②求平行线与间的距离．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接．
(1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：．
(2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长．
(3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
解： A、，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、，不是最简二次根式，故此选项错误；
C、，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、是最简二次根式，故此选项正确．
故选：D．
2．B
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
故选：B ．
3．A
解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c，
则，
∴，
∴，
故选：A．
4．D
A、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由，无法判定是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D
5．D
A、由a=5，b=12，c=13可得：，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、由可得△ABC是直角三角形，故不符合题意；
C、由∠B=50°，∠C=40°可得△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D、由∠A：∠B：∠C=3：4：5可设，所以∠A+∠B≠∠C，所以△ABC不是直角三角形，故符合题意；
故选D．
6．C
解：如图，作于E，于F，连接，交于点O，
由题意知，，，
∴四边形是平行四边形．
∵两张纸条等宽，
∴．
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴四边形的面积为：
故选：C．
7．C
解：出现次数最多的是8，故众数为8；
第5个和第6个数据都为8，故中位数为：；
故选：C．
8．D
解：A、不是一元二次方程，故不符合题意；
B、由可化简为，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、当时，则方程是一元二次方程，故不符合题意；
D、由可变形为，是一元二次方程，故符合题意；
故选D．
9．B
解：设A点坐标为，
把代入，
得，解得，
则A点坐标为，
所以当时，，
∵函数的图象经过点，
∴时，，
∴不等式的解集为．
故选：B．
10．B
解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，
当时，；当时，，
∴，
∴，
延长到，使，连接，
点D为的中点，
是的中位线，
，
当时，长最小，此时长最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
11．
解：要使式子在实数范围内有意义，则，
即．
故答案为：
12．69
解：这20名同学购买课外书的平均花费是元，
故答案为：69.
13．丁
解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好，
又丁的方差小于丙，
所以丁的成绩好且稳定，
故答案为：丁．
14．④
解：①函数的图象经过一、二、四象限，结论错误，不符合题意；
②当时，，即它的图象必经过点，不经过点，结论错误，不符合题意；
③函数中，中，两直线不平行，结论错误，不符合题意；
④当时，，当时，，
∴与坐标轴的交点为和，即该直线和两坐标轴围成的三角形面积为，结论正确，符合题意；
综上可得：正确的有④
故答案为：④．
15．8
解：由题意可得，
，点为的中点，
，
故答案为：8．
16．
解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，
，
，
，
，，
，
，
≌
，
，
，
即，
，
故答案为．
17．，
解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
18．
解：
19．（1）；（2）点A（2，3）在这个函数的图象上，理由见解析．
解：（1）设这个一次函数的解析式为：（k≠0），
∵的图像过点（3，5）与（，），
∴ ，
解得，
所以一次函数解析式为；
（2）点A（2，3）在这个函数的图象上，
理由：当x=2时，，
∴点A（2，3）在这个函数的图象上．
20．(1)的长为
(2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶
（1）解：∵，，，
在中，由勾股定理得：，
答：的长为；
（2）解：地毯长为：，
已知楼梯宽，每平方米地毯35元，
∴地毯的面积为，
∴需要花费（元），
答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶．
21．(1)，图象见解析
(2)的面积为9
(3)的面积不能大于24，理由见解析
（1）解：和P点的坐标分别是、，
，
点P在第一象限，，
，
，
，
；
，
解得：；
又点P在第一象限，
，
即x的范围为：，
，
函数图象如图所示：；
（2），
∴当时，．
即当点P的横坐标为5时，的面积为9；
（3）的面积不能大于24．理由如下：
，，
随x的增大而减小，
又时，，
当．
即的面积不能大于24．
22．(1)；；；
(2)
(3)，从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元．
（1）解：设从东区往南区运吨肥料，分析列表如下（单位：吨）：
东区 西区 合计
南区
北区
合计
∴从东区往北区运吨肥料，从西区往南区运吨肥料，从西区往北区运吨肥料；
故答案为：；；；
（2）解：根据题意得：
，
解得：；
故答案为：；
（3）解：由题意可得：
整理得：
∵，随的增大而增大，，
∴当时，，
∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元．
23．(1)；
(2)①；；；②
(3)
（1）解：∵，
∴点P运动9秒后停止，即，
∴，
故答案为：；；
（2）解：①由题意得，，
∵，
∴，
故答案为：；；；
②∵，
∴当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，
∴此时有，
∴，
解得；
（3）解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且，
∴此时四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得．
24．(1)见解析
(2)①66；②
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）①解：设，，
∴矩形的面积为：，
∵四边形的周长为36，
∴，
∴，
∴，即，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积66；
②解：过点O直线垂直于于点Q，交于点P，如图所示：
∴平行线与间的距离为，
在菱形中，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
由三角形的面积公式得：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
25．(1)证明见解析
(2)6或7.5
(3)点或或或
（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
如图①，当点与点重合时，，，
在中，，
即，
解得，
；
综上，的长为6或；
（3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
如图②，当四边形为平行四边形时，，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
或；
如图③，当四边形为平行四边形时，，
，
，
，
在中，，
；
如图④，当四边形为平行四边形时，，
，
，，
在中，，
．
综上，点坐标为点或或或．

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