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辽宁省朝阳市建平县2024-2025学年八年级下学期期末学业水平质量检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．我县为创建全国文明城市，园林工人要在社区公园铺设一个从上面看（俯视）为正多边形的花坛，为了美观，施工时要求正多边形花坛的每个外角都为，工人设计的正多边形花坛是几边形（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．根据物体的沉浮条件，物体在同一液体中受到的浮力与物体重力的关系决定物体的状态：当时物体上浮；当时物体悬浮或漂浮；时物体下沉．不等式做如下变化时依据不等式的性质该物体一定仍然上浮的是（ ）
A． B．
C． D．
5．学习平行四边形一章时王老师要求某一小组A、B、C、D四名同学每人准备四根小木棒（单位：），把四人准备的小木棒首尾顺次连接，可以拼成一个平行四边形的是（ ）
A．2，3，4，5 B．3，2，3，5 C．3，4，5，3 D．2，3，2，3
6．某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（ ）
A．20 B．40 C．80 D．90
7．如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
8．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．以上都不是
9．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且，若，则（ ）cm．
A． B． C．4 D．6
二、填空题
11．若，则的值为 ．
12．线段与水平方向的夹角为，沿水平方向平移，则线段所扫过的区域面积是 ．
13．已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式 ．
14．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ．
15．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是 ．
三、解答题
16．（1）解分式方程
（2）解不等式组：．
（3）化简求值：，在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
17．已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：．

18．在网格中，点和直线的位置如图所示：
(1)将点向右平移个单位，再向上平移个单位长度得到点，在图1中网格中标出点，并写出线段的长度______．
(2)在（1）的条件下，在直线上确定一点，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出的最小值______；
(3)若点，点的坐标分别为，；点为直线l上的点，是以为斜边的直角三角形，在图2网格中建立直角坐标系，并标出点点，点的坐标是______．
19．如图，一次函数l1：y=2x-2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y=kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．

（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x-2的解集．
20．如图，中，平分交于点D，交于点E，交于点F，且．
(1)证明四边形为平行四边形；
(2)求证：．
21．定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”．
问题：
(1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由．
(2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由．
(3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值．
22．为迎接建平县第三届初中生运动会，某中学对运动员进行集训，计划采购一批运动器材．已知用1200元购买跳绳的数量是用800元购买毽子数量的2倍，且每根跳绳单价比每个毽子单价便宜2元．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)学校计划购买跳绳和毽子共200个，为了满足不同项目需求，要求毽子的数量不少于跳绳数量的3倍．设购买跳绳a个，总采购费用为元．
①求关于的函数关系式；
②如何购买才能使总采购费用最低？最低费用是多少元？
23．实践探究题：
【问题发现】某校数学兴趣小组的三名同学，将两块大小不一但顶角均为的等腰三角形纸片，顶角顶点重合叠放在一起，然后绕着这个顶点转动其中的一个三角形，得到图1，据此得到图2（图中、、三点共线）．小颖发现，图2中存在全等三角形．
（1）请你直接写出小颖发现的图2中的_____；
【类比迁移】小刚发现，图2中的两个全等三角形可以看作是将一个三角形绕点逆时针旋转得到的．随即，小刚在图3中也进行了类似的操作．如图3，在中，，，点，点在边上，．小刚发现线段，，之间存在数量关系：．
（2）请你先进行小刚的操作，再求证：；
【拓展应用】（3）如图4，在中，，，点，点在边上，，，，求的长．
辽宁省朝阳市建平县2024-2025学年八年级下学期期末学业水平质量检测数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B D C D C B A
1．C
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．D
【详解】A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
B、，不是因式分解，此项不符题意；
C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意；
故选：D．
3．C
【详解】正多边形的所有外角之和恒等于，已知每个外角为，
设正多边形的边数为，
根据题意，．
因此，该正多边形是正八边形．
故选：C．
4．B
【详解】∵，
∴选项A：两边加不同数和，无法确定与的大小关系，故无法保证原不等式成立；
选项B：两边同乘以2得，再两边同加上得，故一定成立；
选项C：两边减不同数和，若，可能破坏原不等式，故不成立；
选项D：两边乘2后减不同数，若，可能使左边更小，故不成立．
故选：B．
5．D
【详解】选项A：2，3，4，5．四根长度均不同，无法形成两组相等的对边，排除．
选项B：3，2，3，5．仅有两根3，其余为2和5，无法使对边相等（如对边为3和3，另一组为2和5，不相等），排除．
选项C：3，4，5，3．对边为3和5，4和3，均不相等，排除．
选项D：2，3，2，3．对边为2和2，3和3，满足两组对边相等，符合条件．
故选：D．
6．C
【详解】解：∵与关于点成中心对称，
∴，
∴，
∵点M、N分别是的中点，的长度为，
∴，
∴．
故选：C
7．D
【详解】在中，
∵，，
∴，
当时，的值最小，
∵是的平分线，，
∴．
∴的最小值为6．
故选：D．
8．C
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
当，即时，此时有，故原方程无解，
当时，则，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或，
故选：C．
9．B
【详解】解：∵，，
∴，
由题意可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10．A
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
把等边△沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，
，
，
，
故选：A．
11．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【详解】解：如图，过点作于点C，
则，
∴线段所扫过的区域面积是
故答案为：．
13．
【详解】解：∵当时，分式，
此时分式没有意义，
∴，
解得：，
∵当时，分式，
此时分式的值为，
∴且，
解得：，，
∴，，
∴．
故答案为：．
14．
【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：，
故答案为：．
15．或
【详解】解：由题意，作图如下：
∴当将线段绕点顺时针旋转至时，；
当将线段绕点逆时针旋转至时，；
故答案为：或．
16．（1）无解 （2） （3），当时，原式=
【详解】（1）解：
分式的两边同时乘以得，
解得，
经检验：是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式的解集为；
（3）解：
∵且，
∴且，
当时，原式．
17．见详解
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
18．(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)作图见解析，或
【详解】（1）解：如图，线段即为所作，
根据题意，每个小正方形的边长为个单位长度，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴，
∴，
∴的最小值为的长，则点即为所作，
此时，
∴的最小值为，
故答案为：；
（3）建立平面直角坐标系如图，设，
∵，，
∴，，
，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
即：，
解得：或，
∴点的坐标是或．
故答案为：或．
19．（1）m=2；；（2）2＜x＜3．
【详解】解：（1）∵点C在直线l1：y=2x-2上
∴2=2m-2
解得m=2
∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上
∴
解得：；
（2）图象可得，
两函数图象交于点C（2，2）
不等式组kx+b＜2x-2的解集为
由（1）可知由直线l2的解析式为
当时，
1＜kx+b＜2x-2的解集为．
20．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：四边形是平行四边形，
∵平分，
，
21．(1)是“双一次可分解式”，理由见解析
(2)是“双一次可分解式”，理由见解析
(3)
【详解】（1），
是“双一次可分解式”；
（2），
是“双一次可分解式”；
（3）根据常数项，设另一个因式为，则，
，，
解得：，
则．
22．(1)每根跳绳的费用为6元，每个毽子的费用为8元
(2)①②当采购50根跳绳，150个毽子时，费用最低为1500元．
【详解】（1）解：设跳绳的单价为元/个，则毽子的价格为每个元，由题意，得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴；
答：每根跳绳的费用为6元，每个毽子的费用为8元；
（2）①设购买跳绳a个，总采购费用为元，则：购买毽子的数量为个，由题意，得：
，，
∴，
∴；
②∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，最小，为；
答：当采购50根跳绳，150个毽子时，费用最低为1500元．
23．（1） （2）见解析 （3）
【详解】解：（1）图中，理由：
由题可得：，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵，，
∴将绕着点逆时针旋转，得到，连接，如图，
则，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
；
（3）∵，，
∴将绕着点逆时针旋转，得到，连接，取的中点，连接，如图，则，
则，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
，
．

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