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山东省济南市钢城区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．以下四幅图分别代表“立春”“谷雨”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是 （ ）
A．为了解全国中学生的睡眠时间，应采取普查的方式
B．嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取抽样调查的方式
C．“从一副扑克牌中抽取一张，恰好是红心A”是随机事件
D．“任意画一个三角形，其内角和为是必然事件
3．若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列从左到右的变形是因式分解的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ）

A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系内，把点P（﹣2，4）沿x轴方向向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣2，5） C．（﹣3，4） D．（﹣2，3）
7．下列4个箱子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最小的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则（ ）
A． B． C． D．
9．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
二、填空题
11．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 ．
12．若是方程的解，则 ．
13．若关于x的不等式组的解集为，则m满足的条件是 ．
14．已知，则的值是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为 ．
三、解答题
16．分解因式：
(1)
(2)
17．解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
18．解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上.
19．如图，平移后得到
(1)，，求的度数；
(2)若，，求平移的距离．
20．如图，，将向右平移3个单位长度，然后再向平移1个单位长度，可以得到．

(1)的面积是 ；
(2)画出平移后的， 并写出的坐标；
(3)画出绕点C 顺时针旋转后得到的， 并写出点的坐标．
21．中国的人工智能（）领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普应用．小城同学采用抽样调查的方式对七年级一班同学做了“我最常使用的软件”的问卷调并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表．
七年级学生最常使用的“”软件统计表
软件 使用人数
18
12
豆包 a
腾讯元宝 6
其他软件 4
(1)请写出七年级一班总人数 ，统计表中 ；
(2)已知七年级有1200名同学，试估算最常使用“”的同学有多少名？
(3)小城了解到：使用“”和“”组合生成的 ppt效果很好，堪称“王炸组合现从“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，请用列表或画树状的方法求挑出的恰好是“”和“”的概率．
22．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
23．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ．
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1)
(2)；
24．【活动回顾】本册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】
（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______．
【拓展延伸】
（1）如图3，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点．
①求点，的坐标；
②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______．
25．（一）类比探究
已知是等腰直角三角形， ，，点D为平面内一动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，当点D在斜边上时，线段与线段CE的数量关系是 ；与的位置关系是 ；
（2）如图2，当点D在直角边的左侧时，延长，交于点M，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
（二）学以致用
（3）如图3，已知是等腰直角三角形，，，当点D在斜边 的下方时，连接，，，若，，求四边形的面积．
山东省济南市钢城区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D A A D A D B
1．D
【详解】解：A、该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2．C
【详解】选项A：全国中学生人数众多，普查耗时耗力，应采用抽样调查．故A错误．
选项B：探测器零部件检查需确保每个零件安全，必须全面调查，不能抽样．故B错误．
选项C：一副扑克牌中红心A仅1张，抽取时可能抽到也可能抽不到，属于随机事件．故C正确．
选项D：三角形内角和恒为，不可能发生，属于不可能事件．故D错误．
故选C．
3．A
【详解】解：A、，则：；原说法正确，符合题意；
B、，则：；原说法错误，不符合题意；
C、，则：；原说法错误，不符合题意；
D、，则：；原说法错误，不符合题意；
故选A．
4．D
【详解】解：A、右边为，并非完全积的形式，排除；
B、是整式乘法展开，与因式分解方向相反，排除；
C、分解错误应用平方差公式，正确分解应为，排除；
D、通过完全平方公式分解为，符合因式分解定义．
故选D．
5．A
【详解】解：观察数轴得：，
∴这个不等式组可以是．
故选：A
6．A
【详解】解：将点P（﹣2，4）向右平移1个单位长度，得到点P′（﹣1，4），
故选：A．
7．D
【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性；
第二个袋子摸到红球的可能性；
第三个袋子摸到红球的可能性；
第四个袋子摸到红球的可能性；
∵，
摸到红球可能性最小的是2个红球、8个白球．故选：D．
8．A
【详解】解：，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，，
，
，即，
．
故选：A．
9．D
【详解】解：根据题意，得，
故选D．
10．B
【详解】解：如图，
取的中点，连接，
线段绕点逆时针旋转得到，
，
又是等边三角形，
，
即，
，
是等边三角形的高，
，
，
又旋转到，
，
，
，
根据垂线段最短，当时，最短，即最短，
此时，
，
，
．
线段长度的最小值是2．
故选B．
11．
【详解】解：∵总面积为，
其中阴影部分面积为，
∴飞镖停留在阴影部分的概率是，
故答案为：．
12．1
【详解】解：∵是方程的解，
，
，
故答案为：1．
13．
【详解】解：
解不等式1得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
故答案为：．
14．8
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：8．
15．
【详解】解：在 中，，，
∴，
∴的周长为：，
由题意及旋转的规律可知：
当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上，
横坐标规律为：当n为奇数时，横坐标为：；
当n为偶数时，横坐标为：；
∵9是奇数，
∴点的横坐标为：．
故答案为：．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式．
（2）原式
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：，
①＋②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
方程组的解为；
（2）解：，
①＋②得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
故原方程组的解为．
18．，数轴见解析
【详解】解：由①得：，
由②得：，

∴不等式组的解集为.
19．(1)
(2)7
【详解】（1）解：将平移得到，
，，
，
；
（2）沿方向平移得到，
，
，，
．
平移的距离为7．
20．(1)5
(2)
(3)，图见解析
【详解】（1）解：的面积是，
故答案为：5；
（2）如图，即为所求；

由图得，；
（3）如图，即为所求．

由图得，．
21．(1)50人，10
(2)432人
(3)
【详解】（1）解：七年级一班总人数为人，
；
故答案为：50人，10；
（2）解：（人）．
估计最常使用“”的同学约有432人．
（3）解：将“”、“”、“豆包”和“腾讯元宝”这四款软件分别记为，
列表如下：
A B C D
A （） （） （）
B （） （） （）
C （） （） （）
D （） （） （）
共有12种等可能的结果，其中挑出的恰好是“”和“”的结果有：，，共2种，
挑出的恰好是“”和“”的概率为．
22．(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元
(2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴当取得最大值时，取得最小值，
∴时，（盏），
即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少，
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少．
23．(1)
(2)
【详解】（1）原式
（2）原式
24．（1）；（2），，；（3）①，；②
【详解】解：（1）∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是，
故答案为：；
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为；
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴方程的解为；
由图象可得，当时，，
∴不等式的解是，
故答案为：，，；
（3）①联立方程组，
解得，
∴，
当时，由得，
∴；
②由的图象可知，当时，，
当时，，
∴关于x的不等式组的解集为，
故答案为：．
25．（1）；．
（2）成立，证明见解析
（3）2
【详解】解：（1）解：∵，，
∴，
∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；．
（2）成立，理由如下：
根据题意，，，，
，
，
在和中，
，，，
．
，，
，
，
，
即．
（3）如图，把逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形．
，，，
∴，
．
，，
，
，
点在线段上．
，
，
．

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