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陕西省咸阳市三原县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．下列博物馆图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，两点被池塘隔开，过点，分别作直线，相交于点，点，分别是线段，的中点，现测得，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数a，b满足，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点，，恰好在一条直线上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．若是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
6．如图所示，在边长为4的等边中，为边上的中线，以为一边在左侧作等边，交于点，则的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．5
7．若，则代数式的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．如图，在中，于点，于点，若的周长为，且，，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．与的公因式是 ．
10．一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ．
11．如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
12．当的值为 时，解关于的分式方程会产生增根．
13．如图，和是一副直角三角板，其中，，延长，交于点，延长至，使，那么的度数是 ．
三、解答题
14．解分式方程：．
15．分解因式：．
16．如图所示，有一个三角形的运动跑道，点和点是两个设置了休息站的特殊位置，现市政府想新规划一条线路，使得点到点的距离与点到点的距离相等且点在跑道上，请你用尺规作图法找出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出将向上平移个单位长度后得到的，点、、的对应点分别为点、、；
(2)画出将绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出点的坐标，点、、的对应点分别为点、、．
18．解不等式： ，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
19．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点，，垂足为点．
(1)求证：；
(2)已知，，．求的面积．
20．如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点作于点，若，，求的长．
21．为庆祝我国“春节中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍．
(1)求该店两次购进这款窗花各多少个？
(2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？
22．【问题背景】
在中，（），于点，是线段上的动点（不与点，，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．
【初步探究】
（1）如图，如果点在线段上，点在线段上，求证：；
【深入探究】
（2）如图，如果点在线段上，在射线上取点满足，连接，，，请你判断与是否互相垂直，并说明理由．
参考答案
1．A
解：选项的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
2．D
解：点，分别是线段，的中点，
是的中位线，
．
故选：．
3．D
当，时，满足，此时，故A错误，不符合题意；
当，时，满足，此时，，故B，C错误，不符合题意；
∵，
∴，即，故D正确，符合题意．
故选D．
4．A
解：∵将绕着点顺时针旋转得到，，
∴，
∴，
∵点，，恰好在一条直线上，，
∴，
即的长为．
故选：A．
5．D
解：若是一个完全平方式，
∴，
∴，
解得：或，
故选：D．
6．B
解：是等边三角形，且边长为4，
，，
为边上的中线，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
是直角三角形，
在中，，，
，
．
故选：B．
7．D
解：∵，
∵，
∴，
故选：D
8．B
解：连接，
四边形是平行四边形，
，，，
的周长为，
，
，
于点，于点，且，，
，
，
，
，
解得：，
，
故选：B．
9．
解：，
与的公因式是，
故答案为：．
10．9
解：设这个多边形为边形，
故答案为：9
11．
解：把代入，得：
，
解得：，
∴，
当时，则，
故答案为：．
12．
解：原方程去分母得，
该方程有增根，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
13．
解：过点作，垂足为点，连接，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
．
，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
14．
解：，
方程两边同时乘，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
解得：，
检验：把代入，
分式方程的解为．
15．
解：
．
16．见解析
解：如图，点即为所求．
17．(1)见解析
(2)见解析，、、
（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
∴由图可得，、、．
18．，数轴见解析
解：由得：，
解得：，
由得：，
解得：，
在数轴上表示不等式组的解集如下：
不等式组的解集为：．
19．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵是的平分线，，，
∴，，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)的长为
（1）证明：，
，
又，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为．
21．(1)该店第一次购进这款窗花个，第二次购进这款窗花个
(2)每个窗花的售价至少为元．
（1）解：设该店第一次购进这款窗花个，则第二次购进这款窗花个，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：该店第一次购进这款窗花个，第二次购进这款窗花个；
（2）解：设每个窗花的售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每个窗花的售价至少为元．
22．（1）见解析；（2），理由见解析
（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，延长至点，使，连接、，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
，
，
．

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