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广东省江门市江海区2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷
1．（2025八下·江海期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，所以A符合题意；
B、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，所以B不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所以C不符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所iD不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的特征：①被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母。分别进行识别，即可得出答案。
2．（2025八下·江海期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13 C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：A：42+52=41≠62=36，A选项不符合题意；
B：52+122=169=132=169，B选项符合题意；
C：62+82=100≠112121，C选项不符合题意；
D：52+122=169≠232=529，D选项不符合题意。
故答案为：B.
【分析】计算四个选项的数是否满足勾股定理。
3．（2025八下·江海期末）下列计算正确的是（　　）
A． 3 B． C． D．（ ）2＝2
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，选项A错误；
与 不是同类二次根式，不能合并，选项B错误；
，选项C错误；
（ ）2＝2，选项D正确；
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质，可对A，C，D作出判断；同类二次根式才能合并，可对B作出判断.
4．（2025八下·江海期末）将直线y＝﹣2x+4平移得到直线y＝﹣2x，则移动方法为（　　）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位
【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线y=-2x+4与y=-2x，k都为-2，y=-2x+4的常数项是4，y=-2x的常数项是0，相当于在y=-2x+4的基础上，常数项4变为0，根据”上加下减常数项”，是向下平移了4个单位。
故答案为：D.
【分析】对于一次函数y=ka+b(k，b为常数，k≠0），图象平移时k不变，遵循”上加下减常数项，左加右减自变量”的规律。
5．（2025八下·江海期末）如图，AD∥BC，BD与AC相交于点E，设△ABE的面积为S1，△CDE的面积为S2，则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．2S1＝S2
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD∥BC
∴△ADC，△ADB为同底等高的三角形
∴S△ADC=S△ADB ∴S△ADC-S△ADE= S△ABE =S△ADB-S△ADE=S△CDE
即S1=S2
故答案为：A.
【分析】利用同底等高三角形面积相等来推导S1，S2的关系
6．（2025八下·江海期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝20，BC＝8，则△AOD的周长（　　）
A．28 B．24 C．18 D．14
【答案】C
【知识点】多边形的对角线；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：AC、BD是 ABCD的对角线，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵OA+OB=(AC+BD)×20=10，
∵BC=8，
∴AD=8，
∴△AOD的周长=OA+OB+AD=10+8=18.
故答案为：C
【分析】通过平行四边形对角线性质推导△AOD三边关系即可。
7．（2025八下·江海期末）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 180 185 180 185
方差 8.1 7.4 3.6 3.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为乙丁的平均数大于甲丙，说明乙丁的成绩比甲丙好；
且丁的方差比乙小，说明丁的成绩比乙稳定；
因为需要选择成绩好且发挥稳定的运动员，所以应该选择丁；
故答案为D.
【分析】 成绩好且发挥稳定的运动员即为平均数大且方差小的运动员。
8．（2025八下·江海期末）下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
9．（2025八下·江海期末）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：由题知AB=1，OA=2
在Rt△OAB中：OB===
∴OP=
∴P点表示的数为-
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求得OB的长度，再结合圆的性质可确定点P所表达的数。
10．（2025八下·江海期末）如图①，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动到点D．图②是点P运动时，△PAD的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AD于点E
由图象可知，点P从点A到点B运动的路程是3
∴AB=3.
∵当点P与点B重合时，△ADP的面积是
∴AD=7.
∵BC//AD，∠A=90°，CE⊥AD，
∴四边形ABCE是矩形.
∴CE=AB=3，BC=AE.
设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x
在Rt△DCE中，由勾股定理，得(7-x)2 +32=(8-x)2
解得x=3.a=3+3=6.
故答案为：D.
【分析】通过图像分析出AB的长度，结合△ADP的面积可求得AD的长度，求出四边形ABCE为矩形后可以在Rt△DCE中求出BC的长，从而求出a的值。
11．（2025八下·江海期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≤2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
12．（2025八下·江海期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣1，3），则k＝　 　 ．
【答案】﹣3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把A（-1，3）代入y=kx得3=-k
∴k=-3
故答案为：3.
【分析】将A点代入正比例函数y=kx（k≠0）即可。
13．（2025八下·江海期末）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1≤y2时，x的取值范围是 　 　 ．
【答案】x≤1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由图像可知， 当y1≤y2时，x的取值范围是x≤1
故答案为：x≤1.
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合即可。
14．（2025八下·江海期末）用一根长20cm的铁丝围一个矩形ABCD，设AB的长为xcm，BC的长为ycm，则y关于x的函数解析式为 　 　 （不写自变量的取值范围）．
【答案】y＝﹣x+10
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：x+y=20÷2=10
∴y=-x+10；
故答案为：y=-x+10
【分析】根据矩形周长公式可得x+y=10，变形可得答案。
15．（2025八下·江海期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为 　 　cm．
【答案】a
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，2中，连接AC.
在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
∵AC=a，
∴AB=BC=a，
在图1中，∠B=60°，BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=a
故答案为：a.
【分析】利用正方形的性质确定边长和角度，利用正方形对角线的性质确定边长得到AB=BC=a，利用角度和边长的关系确定△ABC是等边三角形后利用等边三角形的性质可以确定对角线AC的长度。
16．（2025八下·江海期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；同类二次根式；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）二次根式的化简与同类二次根式的合并。
（2）完全平方公式(a-b)2＝a2-2ab+b2在二次根式运算中的应用。
17．（2025八下·江海期末）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，且DE＝BF，求证：∠AED＝∠CFB．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形对边平行且相等，以及“两直线平行，内错角相等”，推出∠ADE＝∠CBF，用SAS证得ADE△CBF后，根据全等三角形对应角相等，得出∠AED＝∠CFB，完成证明。
18．（2025八下·江海期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．
（1）请求出BD的长度；
（2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】（1）解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
∴BD＝3，
答：BD的长度为3．
（2）解：该车符合安全标准，理由如下：
在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴该车符合安全标准．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)由勾股定理求出BD2=45，即可解答。
(2)由勾股定理求出BD2=45，再证BC2+CD2=BD2，然后由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，
∠BCD=90°，即可得出结论。
19．（2025八下·江海期末）如图，直线l经过点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）解：设直线解析式为y=kx+b，
把点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）代入，
得， ，
解得：k=2，b=4，
所以，y=2x+4，
x=0时，y=4，
y=0时，x=﹣2，
则直线与x轴交点为（﹣2，0），与y轴交点为（0，4）
（2）解：△AOB的面积 2×6 2×2=8．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线l的解析式，解一元一次方程求出直线与坐标轴的交点坐标；（2）结合图形、根据三角形的面积公式计算即可．
20．（2025八下·江海期末）支付宝、微信、现金、其他移动支付（每人只选一项），形成如下调查报告：
课题主题 “移动支付方便你我他”﹣移动支付在人们生活中的作用
活动目标 了解移动支付的使用情况和发展前景，增强社会责任意识，科技创新意识
调查方式 抽样调查
数据的收集、整理与描述 手机支付是中国移动面向用户提供的一项综合性移动支付服务，可使用支付账户完成生活消费、缴话费、网上购物、水电燃气账单支付等远程消费．
移动支付的调查问卷 您好！这是一份关于移动支付方式的问卷调查，请选择一项您最常使用的方式（只选一项），在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！ 移动支付方式 A．支付宝支付 ____ B．微信支付 ____ C．现金支付 ____ D．其他移动支 ____
调查结果 …
任务二：解决问题
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ▲ ；并补全条形统计图；
（2）根据条形统计图可得，该社区中20～40岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为100、90、20、15，这四个数据的中位数是 　 　 ；
（3）该社区中40～60岁的居民约6000人，估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数．
【答案】（1）解：这次调查的样本容量是400；
（2）55
（3）解：60002400（人），
答：估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数约2400人．
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；条形统计图；中位数
【解析】【分析】（1）由图标分析可知样品容量为：100+60+90+50+20+15+5=400；
（2）结合图标利用中位数的定义解答即可；
（3）结合样本估计整体，计算即可。
21．（2025八下·江海期末）在解决问题“已知，求（a﹣2）2的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3．
请你观察小明的解答过程后，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求2a2+4a﹣1的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
∴2a2+4a﹣1
＝2（a2+2a+1）﹣3
＝2（a+1）2﹣3
＝2×2﹣3
＝4﹣3
＝1．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）二次根式的分母有理化，通过分子分母同乘进行化简。
（2）二次根式的分母有理化，通过分子分母同乘进行化简后代入2a2+4a﹣1运算即可。
22．（2025八下·江海期末）综合与实践
某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属A和C制作出了合金M，利用金属B和C制作出了合金N．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属C的质量百分比有关．当合金中所含金属C的质量百分比为x%时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金M的硬度y1（单位：HRC）和合金N的硬度y2（单位：HRC），部分数据如表：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度y1/HRC 55 60 65 ▲ 75 80 85 90 95
合金N的硬度y2/HRC 62 68 72 74 75 73 71 66 59
根据数据可以发现，y1与x之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画y2与x之间的关系．
（1）补全表格；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）第一实验小组准备了70g金属C，全部用于制作100g合金M和100g合金N，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①两种合金中金属C的质量均为35g，则合金N与合金M的硬度差约为多少HRC？（结果保留整数）；
②假设合金N的硬度会受温度影响，温度每升高1℃，硬度下降0.2HRC．如果合金M的硬度为70HRC，问：当合金N的温度升高多少℃时，两种合金的硬度会相同？
【答案】（1）70
（2）解：函数图象如图所示；
（3）解：①由图象可得，35%，
即当x＝35时，y1≈67.5HRC，y2≈73.2HRC，
∴y2﹣y1≈6HRC；
②由题可知合金N的温度提高10℃时，则合金N的硬度会下降0.2×10＝2HRC．
又∵合金M的硬度为70HRC，
∴合金M中金属C质量为100×40%＝40g．
∴合金N中金属C质量为＝70﹣40＝30g，此时合金N所含金属C的质量百分比30%，
∴由表格可知当x＝30时，y2＝72HRC，下降2HRC，则为70HRC，
∴合金N的温度应升高10℃．
答：当合金N的温度升高10℃时，两种合金的硬度会相同．
【知识点】一次函数的图象；列一次函数关系式；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据提示条件得x每增加10合金M的硬度y1增加5可得x为40时，y1为70；
（2）先描点，再连线，画出函数图象即可；
(3)①根据函数图象求解即可；
②根据题意得当合金N的温度提高10℃时，则合金N的硬度会下降2HRC，由表格可知当x=30时，y2=72HRC，下降2HRC，由此可得出答案。
23．（2025八下·江海期末）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1，将边长为8cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC．打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH，折痕GH与折痕AC交于点Q．打开铺平，连接PQ、QD、PD．
（1）【探究提炼】
如图1，点P是BC上任意一点，线段QD和线段PQ存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接PH，当PH恰好垂直于AC时，求线段CQ的长度；
（3）【类比迁移】
如图3，某广场上有一块边长为40m的菱形草坪ABCD，其中∠BCD＝60°．现打算在草坪中修建步道AC和MN﹣ND﹣DM，使得点M在BC上，点N在AC上，且MN＝ND．
①求∠NMD的度数；
②请问步道MN﹣ND﹣DM所围成的△MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：QP＝QD，理由：
由折叠可知：QP＝QD；
连接QD、QB，
由折叠可知QB＝QD＝QP，∠QBC＝∠QDC＝∠QPB，∠AQB＝∠AQD，
设∠QBC＝x°，则∠AQB＝∠AQD＝45°+x°，∠BQP＝180°﹣2x°，
∴∠DQP＝360°﹣∠AQB﹣∠AQD﹣∠BQP＝360°﹣2（45°+x°）﹣（180°﹣2x°）＝90°，
∴DQ⊥QP；
（2）解：由折叠可知：∠PHQ＝∠DHQ，∠PQH＝∠DQH，QP＝QD；
在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝AB＝8，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACBBCD＝45°，
∵PH⊥AC，
∴∠PHC＝∠HPC＝45°，
∴∠QHD∠PHD（180°﹣∠PHC）＝67.5°，如图，连接QD，
∵HI＝PI，PH⊥AC，即QC是PH垂直平分线，
∴QP＝QH，
∴QH＝QD，
∴∠QHD＝∠QDH＝67.5°，
∴∠CQD＝180°﹣∠QDC﹣∠QCD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠CQD＝∠QDC，
∴CQ＝CD＝8cm；
（3）解：①如图；过点N作NE⊥BC，垂足为E，过点N作NF⊥CD，垂足为F，
∵∠BCD＝60°，
∴∠ENF＝360°﹣∠NFC﹣∠NEC﹣∠BCD＝120°，
∵在菱形ABCD中，AC是∠BCD的角平分线，∠BCD＝60°，
∴NE＝NF，
∵NM＝ND，
∴Rt△NEM≌Rt△NFD（HL），
∴∠ENM＝∠FND，
∴∠ENM+∠MNF＝∠MNF+∠FND，
∴∠DNM＝∠ENF＝120°，
∵DN＝MN，
∴∠NMD＝∠NDM（180°﹣∠DNM）＝30°；
②△MND的面积存在最小值为100m2
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解析】解：（3）②过点N作NK⊥DM于点K，设DM＝a，
则MKDMa，NKMN，
∵MN2＝NK2+MK2，即（2NK）2＝NK2+（）2，
解得：NKa，
则S△NDKMD NK，
∴当a最小时，△MND面积最小，
∴当DM⊥BC时，△MND面积最小，
如图，
∵DM⊥BC，∠BCD＝60°，
∴∠CDM＝30°，
∴MCCD20（m），
∴DM，
则S△NDK100（m2），
∴△MND的面积存在最小值为100m2．
【分析】(1)根据折叠的性质可知GH垂直平分PD，再结合垂直平分线性质求解，即可解题；
(2)结合折叠的性质△QHP≌△QHD，理由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到
∠QHD=∠QHP=∠QDH=∠QPH，结合正方形性质得到∠QDH=67.5°，再利用三角形内角和定理推
出∠DQC=∠QDH，最后根据等腰三角形性质求解，即可解题.
(3)①过点N作NR⊥BC于点R，过点N作NS⊥DC于点S，利用四边形内角和得到∠RNS，结合菱形性质
证明Rt△NRM≌Rt△NSD，结合全等的性质进行等量代换，即可解题；
1 / 1广东省江门市江海区2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷
1．（2025八下·江海期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·江海期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13 C．6，8，11 D．5，12，23
3．（2025八下·江海期末）下列计算正确的是（　　）
A． 3 B． C． D．（ ）2＝2
4．（2025八下·江海期末）将直线y＝﹣2x+4平移得到直线y＝﹣2x，则移动方法为（　　）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位
5．（2025八下·江海期末）如图，AD∥BC，BD与AC相交于点E，设△ABE的面积为S1，△CDE的面积为S2，则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．2S1＝S2
6．（2025八下·江海期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝20，BC＝8，则△AOD的周长（　　）
A．28 B．24 C．18 D．14
7．（2025八下·江海期末）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 180 185 180 185
方差 8.1 7.4 3.6 3.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2025八下·江海期末）下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
9．（2025八下·江海期末）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·江海期末）如图①，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动到点D．图②是点P运动时，△PAD的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
11．（2025八下·江海期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·江海期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣1，3），则k＝　 　 ．
13．（2025八下·江海期末）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1≤y2时，x的取值范围是 　 　 ．
14．（2025八下·江海期末）用一根长20cm的铁丝围一个矩形ABCD，设AB的长为xcm，BC的长为ycm，则y关于x的函数解析式为 　 　 （不写自变量的取值范围）．
15．（2025八下·江海期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为 　 　cm．
16．（2025八下·江海期末）计算：
（1）；
（2）．
17．（2025八下·江海期末）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，且DE＝BF，求证：∠AED＝∠CFB．
18．（2025八下·江海期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．
（1）请求出BD的长度；
（2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准．
19．（2025八下·江海期末）如图，直线l经过点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求△AOB的面积．
20．（2025八下·江海期末）支付宝、微信、现金、其他移动支付（每人只选一项），形成如下调查报告：
课题主题 “移动支付方便你我他”﹣移动支付在人们生活中的作用
活动目标 了解移动支付的使用情况和发展前景，增强社会责任意识，科技创新意识
调查方式 抽样调查
数据的收集、整理与描述 手机支付是中国移动面向用户提供的一项综合性移动支付服务，可使用支付账户完成生活消费、缴话费、网上购物、水电燃气账单支付等远程消费．
移动支付的调查问卷 您好！这是一份关于移动支付方式的问卷调查，请选择一项您最常使用的方式（只选一项），在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！ 移动支付方式 A．支付宝支付 ____ B．微信支付 ____ C．现金支付 ____ D．其他移动支 ____
调查结果 …
任务二：解决问题
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ▲ ；并补全条形统计图；
（2）根据条形统计图可得，该社区中20～40岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为100、90、20、15，这四个数据的中位数是 　 　 ；
（3）该社区中40～60岁的居民约6000人，估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数．
21．（2025八下·江海期末）在解决问题“已知，求（a﹣2）2的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3．
请你观察小明的解答过程后，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求2a2+4a﹣1的值．
22．（2025八下·江海期末）综合与实践
某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属A和C制作出了合金M，利用金属B和C制作出了合金N．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属C的质量百分比有关．当合金中所含金属C的质量百分比为x%时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金M的硬度y1（单位：HRC）和合金N的硬度y2（单位：HRC），部分数据如表：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度y1/HRC 55 60 65 ▲ 75 80 85 90 95
合金N的硬度y2/HRC 62 68 72 74 75 73 71 66 59
根据数据可以发现，y1与x之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画y2与x之间的关系．
（1）补全表格；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）第一实验小组准备了70g金属C，全部用于制作100g合金M和100g合金N，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①两种合金中金属C的质量均为35g，则合金N与合金M的硬度差约为多少HRC？（结果保留整数）；
②假设合金N的硬度会受温度影响，温度每升高1℃，硬度下降0.2HRC．如果合金M的硬度为70HRC，问：当合金N的温度升高多少℃时，两种合金的硬度会相同？
23．（2025八下·江海期末）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1，将边长为8cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC．打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH，折痕GH与折痕AC交于点Q．打开铺平，连接PQ、QD、PD．
（1）【探究提炼】
如图1，点P是BC上任意一点，线段QD和线段PQ存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接PH，当PH恰好垂直于AC时，求线段CQ的长度；
（3）【类比迁移】
如图3，某广场上有一块边长为40m的菱形草坪ABCD，其中∠BCD＝60°．现打算在草坪中修建步道AC和MN﹣ND﹣DM，使得点M在BC上，点N在AC上，且MN＝ND．
①求∠NMD的度数；
②请问步道MN﹣ND﹣DM所围成的△MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，所以A符合题意；
B、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，所以B不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所以C不符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所iD不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的特征：①被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母。分别进行识别，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：A：42+52=41≠62=36，A选项不符合题意；
B：52+122=169=132=169，B选项符合题意；
C：62+82=100≠112121，C选项不符合题意；
D：52+122=169≠232=529，D选项不符合题意。
故答案为：B.
【分析】计算四个选项的数是否满足勾股定理。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，选项A错误；
与 不是同类二次根式，不能合并，选项B错误；
，选项C错误；
（ ）2＝2，选项D正确；
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质，可对A，C，D作出判断；同类二次根式才能合并，可对B作出判断.
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线y=-2x+4与y=-2x，k都为-2，y=-2x+4的常数项是4，y=-2x的常数项是0，相当于在y=-2x+4的基础上，常数项4变为0，根据”上加下减常数项”，是向下平移了4个单位。
故答案为：D.
【分析】对于一次函数y=ka+b(k，b为常数，k≠0），图象平移时k不变，遵循”上加下减常数项，左加右减自变量”的规律。
5．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD∥BC
∴△ADC，△ADB为同底等高的三角形
∴S△ADC=S△ADB ∴S△ADC-S△ADE= S△ABE =S△ADB-S△ADE=S△CDE
即S1=S2
故答案为：A.
【分析】利用同底等高三角形面积相等来推导S1，S2的关系
6．【答案】C
【知识点】多边形的对角线；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：AC、BD是 ABCD的对角线，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵OA+OB=(AC+BD)×20=10，
∵BC=8，
∴AD=8，
∴△AOD的周长=OA+OB+AD=10+8=18.
故答案为：C
【分析】通过平行四边形对角线性质推导△AOD三边关系即可。
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为乙丁的平均数大于甲丙，说明乙丁的成绩比甲丙好；
且丁的方差比乙小，说明丁的成绩比乙稳定；
因为需要选择成绩好且发挥稳定的运动员，所以应该选择丁；
故答案为D.
【分析】 成绩好且发挥稳定的运动员即为平均数大且方差小的运动员。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
9．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：由题知AB=1，OA=2
在Rt△OAB中：OB===
∴OP=
∴P点表示的数为-
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求得OB的长度，再结合圆的性质可确定点P所表达的数。
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AD于点E
由图象可知，点P从点A到点B运动的路程是3
∴AB=3.
∵当点P与点B重合时，△ADP的面积是
∴AD=7.
∵BC//AD，∠A=90°，CE⊥AD，
∴四边形ABCE是矩形.
∴CE=AB=3，BC=AE.
设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x
在Rt△DCE中，由勾股定理，得(7-x)2 +32=(8-x)2
解得x=3.a=3+3=6.
故答案为：D.
【分析】通过图像分析出AB的长度，结合△ADP的面积可求得AD的长度，求出四边形ABCE为矩形后可以在Rt△DCE中求出BC的长，从而求出a的值。
11．【答案】x≤2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
12．【答案】﹣3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把A（-1，3）代入y=kx得3=-k
∴k=-3
故答案为：3.
【分析】将A点代入正比例函数y=kx（k≠0）即可。
13．【答案】x≤1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由图像可知， 当y1≤y2时，x的取值范围是x≤1
故答案为：x≤1.
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合即可。
14．【答案】y＝﹣x+10
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：x+y=20÷2=10
∴y=-x+10；
故答案为：y=-x+10
【分析】根据矩形周长公式可得x+y=10，变形可得答案。
15．【答案】a
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，2中，连接AC.
在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
∵AC=a，
∴AB=BC=a，
在图1中，∠B=60°，BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=a
故答案为：a.
【分析】利用正方形的性质确定边长和角度，利用正方形对角线的性质确定边长得到AB=BC=a，利用角度和边长的关系确定△ABC是等边三角形后利用等边三角形的性质可以确定对角线AC的长度。
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；同类二次根式；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）二次根式的化简与同类二次根式的合并。
（2）完全平方公式(a-b)2＝a2-2ab+b2在二次根式运算中的应用。
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形对边平行且相等，以及“两直线平行，内错角相等”，推出∠ADE＝∠CBF，用SAS证得ADE△CBF后，根据全等三角形对应角相等，得出∠AED＝∠CFB，完成证明。
18．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
∴BD＝3，
答：BD的长度为3．
（2）解：该车符合安全标准，理由如下：
在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴该车符合安全标准．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)由勾股定理求出BD2=45，即可解答。
(2)由勾股定理求出BD2=45，再证BC2+CD2=BD2，然后由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，
∠BCD=90°，即可得出结论。
19．【答案】（1）解：设直线解析式为y=kx+b，
把点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）代入，
得， ，
解得：k=2，b=4，
所以，y=2x+4，
x=0时，y=4，
y=0时，x=﹣2，
则直线与x轴交点为（﹣2，0），与y轴交点为（0，4）
（2）解：△AOB的面积 2×6 2×2=8．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线l的解析式，解一元一次方程求出直线与坐标轴的交点坐标；（2）结合图形、根据三角形的面积公式计算即可．
20．【答案】（1）解：这次调查的样本容量是400；
（2）55
（3）解：60002400（人），
答：估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数约2400人．
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；条形统计图；中位数
【解析】【分析】（1）由图标分析可知样品容量为：100+60+90+50+20+15+5=400；
（2）结合图标利用中位数的定义解答即可；
（3）结合样本估计整体，计算即可。
21．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
∴2a2+4a﹣1
＝2（a2+2a+1）﹣3
＝2（a+1）2﹣3
＝2×2﹣3
＝4﹣3
＝1．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）二次根式的分母有理化，通过分子分母同乘进行化简。
（2）二次根式的分母有理化，通过分子分母同乘进行化简后代入2a2+4a﹣1运算即可。
22．【答案】（1）70
（2）解：函数图象如图所示；
（3）解：①由图象可得，35%，
即当x＝35时，y1≈67.5HRC，y2≈73.2HRC，
∴y2﹣y1≈6HRC；
②由题可知合金N的温度提高10℃时，则合金N的硬度会下降0.2×10＝2HRC．
又∵合金M的硬度为70HRC，
∴合金M中金属C质量为100×40%＝40g．
∴合金N中金属C质量为＝70﹣40＝30g，此时合金N所含金属C的质量百分比30%，
∴由表格可知当x＝30时，y2＝72HRC，下降2HRC，则为70HRC，
∴合金N的温度应升高10℃．
答：当合金N的温度升高10℃时，两种合金的硬度会相同．
【知识点】一次函数的图象；列一次函数关系式；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据提示条件得x每增加10合金M的硬度y1增加5可得x为40时，y1为70；
（2）先描点，再连线，画出函数图象即可；
(3)①根据函数图象求解即可；
②根据题意得当合金N的温度提高10℃时，则合金N的硬度会下降2HRC，由表格可知当x=30时，y2=72HRC，下降2HRC，由此可得出答案。
23．【答案】（1）解：QP＝QD，理由：
由折叠可知：QP＝QD；
连接QD、QB，
由折叠可知QB＝QD＝QP，∠QBC＝∠QDC＝∠QPB，∠AQB＝∠AQD，
设∠QBC＝x°，则∠AQB＝∠AQD＝45°+x°，∠BQP＝180°﹣2x°，
∴∠DQP＝360°﹣∠AQB﹣∠AQD﹣∠BQP＝360°﹣2（45°+x°）﹣（180°﹣2x°）＝90°，
∴DQ⊥QP；
（2）解：由折叠可知：∠PHQ＝∠DHQ，∠PQH＝∠DQH，QP＝QD；
在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝AB＝8，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACBBCD＝45°，
∵PH⊥AC，
∴∠PHC＝∠HPC＝45°，
∴∠QHD∠PHD（180°﹣∠PHC）＝67.5°，如图，连接QD，
∵HI＝PI，PH⊥AC，即QC是PH垂直平分线，
∴QP＝QH，
∴QH＝QD，
∴∠QHD＝∠QDH＝67.5°，
∴∠CQD＝180°﹣∠QDC﹣∠QCD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠CQD＝∠QDC，
∴CQ＝CD＝8cm；
（3）解：①如图；过点N作NE⊥BC，垂足为E，过点N作NF⊥CD，垂足为F，
∵∠BCD＝60°，
∴∠ENF＝360°﹣∠NFC﹣∠NEC﹣∠BCD＝120°，
∵在菱形ABCD中，AC是∠BCD的角平分线，∠BCD＝60°，
∴NE＝NF，
∵NM＝ND，
∴Rt△NEM≌Rt△NFD（HL），
∴∠ENM＝∠FND，
∴∠ENM+∠MNF＝∠MNF+∠FND，
∴∠DNM＝∠ENF＝120°，
∵DN＝MN，
∴∠NMD＝∠NDM（180°﹣∠DNM）＝30°；
②△MND的面积存在最小值为100m2
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解析】解：（3）②过点N作NK⊥DM于点K，设DM＝a，
则MKDMa，NKMN，
∵MN2＝NK2+MK2，即（2NK）2＝NK2+（）2，
解得：NKa，
则S△NDKMD NK，
∴当a最小时，△MND面积最小，
∴当DM⊥BC时，△MND面积最小，
如图，
∵DM⊥BC，∠BCD＝60°，
∴∠CDM＝30°，
∴MCCD20（m），
∴DM，
则S△NDK100（m2），
∴△MND的面积存在最小值为100m2．
【分析】(1)根据折叠的性质可知GH垂直平分PD，再结合垂直平分线性质求解，即可解题；
(2)结合折叠的性质△QHP≌△QHD，理由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到
∠QHD=∠QHP=∠QDH=∠QPH，结合正方形性质得到∠QDH=67.5°，再利用三角形内角和定理推
出∠DQC=∠QDH，最后根据等腰三角形性质求解，即可解题.
(3)①过点N作NR⊥BC于点R，过点N作NS⊥DC于点S，利用四边形内角和得到∠RNS，结合菱形性质
证明Rt△NRM≌Rt△NSD，结合全等的性质进行等量代换，即可解题；
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