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专题01 二次函数的图像与性质 压轴题专项训练
类型一、二次函数的基本性质
二次函数开口方向： 完全由系数 a 决定. a > 0 开口向上（U型，有最低点） a < 0 开口向下（∩型，有最高点） 开口大小： 由 |a| 决定. |a| 越大，开口越窄（抛物线越“瘦”）. |a| 越小，开口越宽（抛物线越“胖”）. 顶点坐标： 抛物线的最高点或最低点.公式：(, ) 解题关键： 直接代入公式计算是最快最准确的方法.务必记熟公式，注意符号（特别是 的负号）. 对称轴： 一条垂直于x轴的直线，抛物线关于这条直线对称.公式：x = 解题关键： 对称轴是一条直线，答案必须写成 x = ... 的形式.顶点横坐标即对称轴方程. 与y轴交点： 令 x = 0，得 y = c.坐标：(0, c) 解题关键： 常数项 c 直接决定了抛物线与y轴的交点位置.
例1．二次函数 的图象的对称轴是轴，点在二次函数 的图象上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数 的图象的对称轴是轴，可得，又因为点在二次函数 的图象上，可得，配方可得：，根据二次函数的性质可得的最小值是．
【详解】解：二次函数 的图象的对称轴是轴，
，
，
点在二次函数 的图象上，
，
，
的最小值是．
故选：A．
变式1-1．抛物线中，与的部分对应值如表：
… 1 3 4 5 7 …
… 4 5 …
下列结论中，不正确的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小 D．的最大值为
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴是直线，进而根据表格数据可得顶点坐标为，再由对称轴处的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：∵当时和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴顶点坐标为，
∵，
∴该抛物线有最大值，即抛物线开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
∴四个选项中，只有A选项说法错误，符合题意；
故选：A．
变式1-2．已知二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：
… 1 5 7 …
… 6 10 6 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴为直线
C．当时随的增大而减小
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据对称性可得对称轴为直线，则可推出在对称轴右边随增大而减小，即图象的开口向下，据此可得离对称轴越远函数值越小，，则，则可推出，据此可得答案．
【详解】解：∵当和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，故B说法错误，不符合题意，
∵，
∴在对称轴右边随增大而减小，故C说法错误，不符合题意，
∴图象的开口向下，故A说法错误，不符合题意；
∵函数开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越小，，
∴，
∴，
∴，
∴，故D说法正确，符合题意；
故选：D．
变式1-3．抛物线经过点．
（1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ．
（2）若对于，都有，则的取值范围是 ．
【答案】 1
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由题意可知抛物线过点，，利用抛物线的对称性即可求解；
（2）先求出抛物线的对称轴是直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
若，则抛物线过点，，
该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：1；
（2）抛物线经过点，，，，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
①当时，此时抛物线开口向上，
当时，随着的增大而增大，
对于，，都有，
，
，不合题意，舍去；
②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，
关于对称轴的对称点为，
对于，，都有，
，
解得，
综上，当时，都有．
故答案为：．
变式1-4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．
（1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵在抛物线上，
∴，
∵在抛物线上，
∴，
令，则，
∴或，
∴当时，结合函数的图象可得或，
当时，结合函数的图象可得，
当时，结合函数的图象可得或，
∵，
∴，
综上所述，的取值范围是或．
类型二、二次函数图像与各项系数符号
二次函数图像与各项系数符号关系如下 a: 决定开口方向和大小. c: 决定抛物线与 y轴交点 (0, c) 的位置. c > 0 交点在y轴正半轴 c < 0 交点在y轴负半轴 c = 0 抛物线过原点 (0,0) b: 与 a 共同决定对称轴位置 x = . 对称轴在y轴左侧： a, b 同号 (ab > 0). 对称轴在y轴右侧： a, b 异号 (ab < 0). 对称轴是y轴： b = 0. 特殊点代入法 (关键！): x = 1 时，y = a(1) + b(1) + c = a + b + c x = -1 时，y = a(-1) + b(-1) + c = a - b + c x = 2 时，y = 4a + 2b + c 观察图像上这些特殊点 (1, a+b+c), (-1, a-b+c), (2, 4a+2b+c) 是在x轴上方 (y>0) 还是下方 (y<0)，即可判断对应代数式的符号.
例2．二次函数（，，是常数，）的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：
①；②当时，；③；④；⑤．
其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据开口方向、与y轴交点在y轴正半轴得到，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性，抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，则当时，，据此可判断②③④；再根据抛物线与x轴有两个交点，运用根的判别式可判定⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，
∴当时，不一定成立，故②错误；
当时，，故③正确；
∵，
∴，故④正确；
∵抛物线与x轴的有两个交点，
∴方程有两个不等的实数根，
∴，即，故⑤正确．
综上，正确的有①③④⑤，共4个．
故选：D．
变式2-1．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，根据抛物线开口方向判断a的符号，根据对称轴及与y轴交点坐标判断b和c的符号，据此可判断①的正误；根据对称轴是直线判断②的正误；根据函数在的函数值判断④的正误；根据抛物线与x轴交点的个数判断③的正误解答即可．
【详解】解：∵开口向下，
∴，
∵对称轴位于y轴右侧，
∴a，b异号，即，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故③正确；
∵当时，函数值为负值，
∴，故④正确；
故选：B．
变式2-2．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围．
【详解】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
时，，
，
，
，
，
∵，
，故②正确；
③设方程的两根为和，
∴，
，
∴，故③错误．
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
⑤点，在抛物线上，
当时，，解得，
∵，
∴，则⑤正确；
故选：C．
变式2-3．如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由抛物线开口方向以及与轴的交点可知，，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④．
【详解】解：根据图象可知，，
，
，故①正确；
根据，可得，故②正确；
当时，，对称轴为直线，
当时，，即，故③错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，即，故④错误．
综上所述，其中正确的有2个．
故选：C．
变式2-4．如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵二次函数的图象过，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于两点，，且．
∴对称轴，即，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
，
∴，故③错误；
④如图，
关于的一元二次方程 的两个根，即函数与的交点的横坐标，
∵，
∴若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；故④正确；
⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，，
∴
，
∴，，
∴，，
∴可化为，
即，
∵，
∴，
解得：或，
∴关于的不等式 的解集为或不是故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故选：B
变式2-6．如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意，，，可判断错误；观察对称轴即可判断正确；根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点是可判断④错误；抛物线 图象与直线只有一个交点，方程有两个相等的实数根，故⑤正确．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线交轴于负半轴，
∴，
∵对称轴在轴右边，
∴，
∴，
∴，故错误，
∵顶点坐标为，
∴，
∴，故②正确；
∵，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点是，故错误，
由题意：图象与直线交于，两点，
∴当时，即不等式的解集为，故④正确，
∵抛物线 图象与直线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确，
故选C．
【点睛】此题考查了二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
类型三、一次函数与二次函数图像判断
给出一次函数y = kx + b和二次函数y = ax2 + bx + c的解析式（或系数符号），判断对应的图像是否正确，可按以下步骤验证： 步骤 1：验证 “开口与倾斜” 的符号一致性 先看二次函数的开口方向：若图像中抛物线开口向上，则a > 0；开口向下，则a < 0. 再看一次函数的倾斜方向：若直线从左到右上升，则k > 0；下降，则k < 0. 排除明显矛盾项：例如解析式中a > 0但图像中抛物线开口向下，或k > 0但直线下降，直接排除. 步骤 2：验证 “y 轴交点” 的位置合理性 二次函数与y轴交点为(0, c)：观察图像中抛物线与y轴交点的位置（正半轴 / 负半轴 / 原点），判断是否与c的符号一致. 一次函数与y轴交点为(0, b)：观察直线与y轴交点的位置，判断是否与b的符号一致. 例：若解析式中c > 0且b < 0，则图像中抛物线与y轴交点应在正半轴，直线与y轴交点应在负半轴，否则矛盾. 步骤 3：验证二次函数的 “对称轴位置” 根据对称轴公式x =，结合a的符号（已由开口方向确定），判断对称轴在y轴左侧 / 右侧 / 重合，再与图像中抛物线的对称轴位置对比： 若a > 0（开口向上），且对称轴在y轴右侧（x > 0），则需满足b < 0（因- > 0 -b > 0 b < 0）.若图像中抛物线的对称轴明显在左侧，但根据a, b符号推导应在右侧，则排除. 步骤 4：验证 “特殊点与交点” 的匹配性 特殊点验证：例如x=0时，二次函数值为c、一次函数值为b，图像中两函数在y轴的交点纵坐标是否与c, b一致.交点验证：一次函数与二次函数的交点满足方程ax2 + bx + c = kx + b（即ax2 + (b - k)x + c = 0）.观察图像中两函数的交点个数（0 个 / 1 个 / 2 个），是否与方程判别式Δ = (b - k)2 - 4ac的符号一致（Δ> 0对应 2 个交点，Δ = 0对应 1 个，Δ < 0对应 0 个）.
例3．已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系、二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点的判定方法是解题的关键．先根据一次函数图象确定、的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴交点情况，从而判断二次函数图象．
【详解】解：从一次函数的图象来看，
图象从左到右上升，
；
图象与轴交点在正半轴，即当时，，
．
对于二次函数：
，
二次函数图象开口向上，排除、选项；
对称轴为，
，，
，即对称轴在轴右侧；
当时，，即二次函数与轴交点在负半轴．
综上，符合条件的是选项．
故选： ．
变式3-1．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键．
根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答．
【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意；
B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意；
C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意；
D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
变式3-2．一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断．
对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择．
【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误；
从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误；
从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误；
从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确．
故选：D．
类型四、反比例函数与二次函数图像综合判断
给出反比例函数y = 和二次函数y = ax2 + bx + c的解析式（或系数符号），判断对应图像是否正确，按以下步骤验证： 步骤 1：通过双曲线位置锁定k的符号，排除明显矛盾 观察图像中双曲线的位置：若在第一、三象限，则k > 0；若在第二、四象限，则k < 0. 若解析式中k的符号与图像位置矛盾（例如解析式k > 0但图像中双曲线在二、四象限），直接排除该选项. 步骤 2：验证抛物线的核心特征与系数符号的一致性 开口方向与a的符号：抛物线开口向上→a > 0；开口向下→a < 0.若与解析式中a的符号矛盾，排除. 与y轴交点与c的符号：抛物线与y轴交点在正半轴→c > 0；负半轴→c < 0；原点→c = 0.若与解析式中c的符号矛盾，排除. 对称轴位置与a、b的符号关系：根据抛物线对称轴在y轴左侧（x < 0）或右侧（x > 0），结合a的符号（已由开口确定），判断b的符号是否合理（例如a > 0且对称轴在右侧→b < 0）.若图像中对称轴位置与推导的b符号矛盾，排除. 步骤 3：通过 “特殊点关联” 或 “交点逻辑” 进一步验证 特殊点验证： 若二次函数过原点（c = 0），则图像中抛物线必过(0,0)，而反比例函数永远不过原点，可观察是否符合； 取x = 1等特殊值，计算两函数的函数值y反 = k，y二 = a + b + c），判断图像中对应点的纵坐标符号是否匹配（例如k > 0时，反比例函数在x=1处的y值应为正）. 交点逻辑验证： 两函数的交点满足方程ax2 + bx + c =（整理为ax3 + bx2 + cx - k = 0），观察图像中交点的个数和位置是否合理：若k > 0（双曲线在一、三象限）且a > 0（抛物线开口向上），则在第一象限可能有交点，第三象限是否有交点需结合抛物线在第三象限的趋势.
例4．二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键．
根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解．
【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限，
，
，
二次函数与轴的交点在轴负半轴，
，
二次函数图象开口向上，
对称轴为直线，
对称轴在轴左边，
观察各选项，只有选项符合．
当时，反比例函数图象位于第二、四象限，
，
，
二次函数与轴的交点在轴正半轴，
，
二次函数图象开口向下，
对称轴为直线，
对称轴在轴左边，
观察各选项，没有选项符合．
故选：A ．
变式4-1．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限，
∴，
∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴，
∴，，
∴一次函数经过一、二、四象限，
故选：D．
变式4-2．如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解．
【详解】 直线的函数图象经过二、三、四象限，
，．
∴，
∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意，
故选：A．
变式4-3．二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查抛物线、反比例函数的图象性质，利用数形结合思想求解是解题的关键．
可先由二次函数的图象开口与对称得到字母系数的正负，得到的正负，再与反比例函数的图象所在象限得到的正负相比较是否一致，即可求解．
【详解】解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意；
B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意；
C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第二、四象限，则，故此选项不符合题意；
D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项符合题意；
故选：D．
类型五、二次函数图像的平移
二次函数图像的平移解题思路与核心知识： 平移本质：顶点移动。 平移不改变抛物线的形状（即 a 不变）。 顶点式 y = a(x - h) + k 的妙用： 顶点坐标为 (h, k)。 对称轴为 x = h。 平移规律 (基于顶点移动)： 左右平移： h 控制。左加右减 于 x。 向左平移 m 个单位 新顶点横坐标 h - m 新函数：y = a[x - (h - m)] + k = a(x - h + m) + k 向右平移 m 个单位 新顶点横坐标 h + m 新函数：y = a[x - (h + m)] + k = a(x - h - m) + k 上下平移： k 控制。上加下减。 向上平移 n 个单位 新顶点纵坐标 k + n 新函数：y = a(x - h) + (k + n) 向下平移 n 个单位 新顶点纵坐标 k - n 新函数：y = a(x - h) + (k - n) 解题关键： 先找到顶点式或求出顶点坐标。 平移时紧紧抓住顶点的变化。对于标准式 y = ax + bx + c，可以先配方法或直接用顶点公式求出顶点坐标 (h, k)，再应用平移规律。
例5．要得到抛物线，可以将抛物线（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移法则，掌握并灵活运用抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．
根据抛物线的平移规律解答即可．
【详解】解：抛物线为向右平移2个单位长度得到，再向上平移3个单位长度可得．
故选C．
变式5-1．如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答．
【详解】解：将代入抛物线，
得或，即，
故抛物线向右每次平移距离为4，
设，，，，，的横坐标分别为，，，，，，
，同时在抛物线和直线上，
即，的横坐标为的根，
，
，
，
直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和．
故选C．
变式5-2．已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（ ）
A．或 B．或 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移及最值问题．首先确定平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质得到最小值的位置，进而求解n的值即可．
【详解】解：原二次函数顶点为，设解析式为，
代入点得，即，
向右平移个单位后，解析式为，
代入点得方程，
解得，
∴平移后函数为，对称轴为直线，顶点坐标为，
解方程，得或，
∵当时，函数的最小值为，
∴必须包含或，且不跨越对称轴（否则最小值在顶点处为），
∴或，
解得或，
故选：A．
变式5-3．如图，将抛物线沿向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且平移后的抛物线的对称轴与原抛物线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，求反比例函数解析式，根据题意可设将抛物线向下平移t个单位长度，向左平移t个长度可得到新抛物线，则新抛物线解析式为，利用待定系数法可求出平移后的抛物线解析式为，进而可求出点A的坐标，再利用待定系数法求出对应的反比例函数解析式即可．
【详解】解：∵将抛物线沿向下平移得到新抛物线，
∴可设将抛物线向下平移t个单位长度，向左平移t个长度可得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过原点，
∴，
解得或（舍去），
∴平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴，
设经过点A的反比例函数解析式为，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数解析式为，
故答案为：．
变式5-4．已知二次函数（h为常数）的图象经过点．
(1)求此二次函数的表达式．
(2)将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值．
(3)已知点，在二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可；
（3）根据题意点关于对称轴对称，则，由，得出，即，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值即可．
【详解】（1）解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点
∴，解得，
∴此二次函数的表达式为；
（2）解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，得到，即，
∵图象恰好经过原点，
∴，解得或，
∵，
∴n的值为2；
（3）解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵当时，，
当时，，
的取值范围是．
【点睛】题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象的平移变换、二次函数的性质等知识点，掌握平移的规律以及二次函数的对称性是解题的关键．
类型六、二次函数的最值
二次函数最值解题思路与核心知识： 二次函数在其顶点处取得最大值或最小值。 若 a > 0 (开口向上)，则顶点是最低点，函数有最小值 ymin = 。 若 a < 0 (开口向下)，则顶点是最高点，函数有最大值 ymax = 。 求法： 先求顶点坐标 (h, k)，最值即为 k。 给定区间 [m, n] 上的最值： 核心： 判断顶点 (h, k) 是否在区间 [m, n] 内。 步骤： 求出顶点横坐标 h = -b/(2a) 和纵坐标 k。 计算区间端点处的函数值 f(m), f(n)。 画示意图！ 根据开口方向和顶点位置分类讨论： 情况1：顶点在区间内 (m ≤ h ≤ n) 若 a > 0，最小值是 k，最大值是 f(m) 和 f(n) 中的较大者。 若 a < 0，最大值是 k，最小值是 f(m) 和 f(n) 中的较小者。 情况2：顶点在区间左侧 (h < m) 若 a > 0，函数在 [m, n] 上单调递增。最小值 f(m)，最大值 f(n)。 若 a < 0，函数在 [m, n] 上单调递减。最大值 f(m)，最小值 f(n)。 情况3：顶点在区间右侧 (h > n) 若 a > 0，函数在 [m, n] 上单调递减。最小值 f(n)，最大值 f(m)。 若 a < 0，函数在 [m, n] 上单调递增。最大值 f(n)，最小值 f(m)。
例6．如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过点、，
∴，解得：，
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大，
∵，
∴当时，，当时，，
∵当时的最大值与最小值的差为6，，
∴，且，
解得：或（舍去）；
故选：A．
变式6-1．若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当时，可求出两个函数的最小值，然后即可求出答案．
【详解】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
当时，函数值最小，，
二次函数，
抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小，
，
当时，函数值最小，，
，
故答案为：．
变式6-2．设二次函数．
(1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标；
(2)判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）根据函数的对称轴为直线，得出，将代入得，，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）根据函数最大值5，得出，解方程即可；
（3）先求出抛物线的解析式为：，得出抛物线的对称轴为直线，根据当时，都有，利用图象法解决问题即可．
【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线，
∴，
∴抛物线的解析式为，
将代入得，，
∴顶点坐标为；
（2）解：存在；
∵函数最大值5，
∴，
即，
解得：，
（3）解：将点坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，当时，都有，
∴根据函数图象可知：此时或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求出二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
变式6-3．已知某抛物线的解析式为，为实数．
(1)若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当时，的最大值为4，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为或
【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）把解析式化为顶点式得到对称轴和开口方向，从而得到离对称轴越远，函数值越大，进而可确定当时，，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴此抛物线的顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，且当时，的最大值为4，
∴当时，，
∴，
整理得：，
∴或，
故的值为或．
变式6-4．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求b的值．
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．若，求h的最大值．
【答案】(1)
(2)时，h取最大值．
【分析】本题考查了二次函数的性质．
（1）根据题意得到，计算即可；
（2）求出，，可得，得到，将代入得到，根据二次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：抛物线的顶点横坐标为，
的顶点横坐标为1，
，解得；
（2）解：点在抛物线上，
．
点在抛物线上，
，
，
．
将代入，
得．
，
∴当，即时，h取最大值．
类型七、二次函数与坐标轴的交点
二次函数与x轴交点： 交点个数由判别式 Δ = b - 4ac 决定： Δ > 0 两个交点 Δ = 0 一个交点（顶点在x轴上） Δ < 0 无交点 交点横坐标是方程 ax + bx + c = 0 的实根（求根公式）。
例7．二次函数的图象与轴交点的坐标是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
令，解方程求出x的值，即可得得答案．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴二次函数的图象与轴交点的坐标是的图象与轴交点的坐标是，，
故选：A．
变式7-1．二次函数（）图象的一部分如图所示，该函数图象的顶点坐标是，与轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与性质，由图象可知抛物线开口向上，即，再由顶点坐标得到抛物线对称轴为，从而确定抛物线与轴的一个交点坐标为，进而由得到，数形结合，逐项验证即可得到答案．熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示，抛物线开口向上，则，故A选项正确，不符合题意；
二次函数（）图象的顶点坐标是，
抛物线对称轴为，
抛物线与轴的一个交点的横坐标是3，
抛物线与轴的一个交点的横坐标是，即抛物线与轴的一个交点坐标为，
将代入得到，故B选项正确，不符合题意；
，，，
，
，故C选项错误，符合题意；
，对称轴为，抛物线与轴的一个交点坐标为，
当时，，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
变式7-2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于 D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可.
【详解】解：由题意可得：方程的两根异号，
∴，
解得，
∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意；
∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当时，，
∴最小值为，故C不符合题意；
当时，，
∵，
∴此时，故D符合题意；
故选：D
变式7-3．已知二次函数．
(1)直接写出对称轴和顶点坐标；
(2)求出抛物线与轴的交点坐标；
(3)当时，求的取值范围．
【答案】(1)直线，顶点坐标为：
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、与x轴交点及函数值范围，解题关键是运用二次函数的性质，结合方程求解与分析函数在区间内的最值．
（1）根据二次函数对称轴公式和顶点纵坐标公式，将，，代入计算，得出对称轴和顶点坐标．
（2）令，得到一元二次方程，化简后因式分解求解，得到方程的根，即抛物线与轴交点的横坐标，从而确定交点坐标．
（3）先由二次函数的值判断开口方向，结合对称轴确定最小值；再计算区间端点和（不在区间内）的函数值，进而确定的取值范围．
【详解】（1）解：在二次函数中，，，，
将，代入对称轴公式，得
，
将，，代入得 ，
∴对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）解：令，则 ，
或，
解得， ，
∴抛物线与轴的交点坐标为，．
（3）解：由（1）知二次函数的对称轴为，，抛物线开口向上，
∴函数在对称轴处取得最小值，
分别计算区间端点和处的函数值：
当时，，
当时，，
∵不在这个区间内，
∴当时，的取值范围为．
变式7-4．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A和点B，点A在点B的左边．
(1)若，求点A和点B的坐标，并求此时函数的最小值；
(2)当时，函数有最小值，求常数m的值．
【答案】(1)，函数的最小值为，
(2)或
【分析】此题考查了二次函数的性质和图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）把函数解析式化为顶点式即可得到函数的最小值，解方程即可得到点A和点B的坐标；
（2）根据对称轴的位置分三种情况进行讨论解答即可．
【详解】（1）解：当时，
∵，
∴当时，函数的最小值为，
当时，，
解答，
∵点A在点B的左边．
∴
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，则当时，取得最小值为，
即，
解答，（不合题意，舍去）
当时，则当时，取得最小值为，
即，
解答，（不合题意，舍去）
当时，则当时，取得最小值为，
即，方程无解，
综上可知，或
类型八、二次函数的增减性
例8．已知抛物线，当时，y的值随x值的增大而减小，则该抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点坐标以及增减性是解题关键．根据二次函数解析式和增减性可知，抛物线开口向上，，再化为顶点式，得到顶点坐标，即可得到答案．
【详解】解：抛物线，当时，y的值随x值的增大而减小，
抛物线开口向上，，
，
，
顶点坐标为，
，，
该抛物线的顶点在第四象限，
故选：D
变式8-1．下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．通过分析二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及特定点代入，逐一验证各结论的正确性．
【详解】解：二次函数形状由二次项系数决定，原函数为，其二次项系数为，与的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确；
对于，当时，即，该函数的图象一定经过点，结论②正确；
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，结论③错误；
的顶点坐标为，对于二次函数，当时，，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确；
综上，正确结论为①②④，共3个，
故选：C．
变式8-2．已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上
(1)用含n的代数式表示m．
(2)当时，y随x的增大而减小，求n的值范围
(3)若，求n的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式，解题的关键是理清题中多个参数，逐步根据关系列不等式求解．
（1）根据A，C两点的坐标特征以及对称轴的求法，根据对称轴的不同求法列出等式，整理即可；
（2）由题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，又当时，y随x的增大而减小，则，即可求出n的值范围；
（3）利用（1）中结论，分别将点B和点C代入函数表达式，q的范围列出相应不等式，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵都在二次函数的图象上，
∴对称轴为直线，
又对称轴为直线，
∴；
（2）∵（）中，，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，解得：，此时对称轴在y轴右侧，
令，则，
令，则，
解得：，则，解得：；
令，则，
∵，，
∴ ，
整理得：，
令，再令，
解得：或，
如图，二次函数开口向上，与横轴交于和，
若，则或，
综上：n的取值范围是或，
故答案为：，或．
变式8-3．已知抛物线经过，两点．
(1)若，求当随的增大而增大时，自变量的取值范围；
(2)若直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值；
(3)在（2）的条件下，点在直线上，点在抛物线上．若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
（1）利用待定系数法求得函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可；
（2）将代入，得到，根据根的判别式，可求出；
（3）先把代入解析式，求得直线为，抛物线为，再根据题意求得，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，即抛物线的开口向下，
此时，在对称轴左侧，随的增大而增大，
即；
（2）解：将代入，
得，
，
，
整理，得，
直线与抛物线有且只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
，
整理，得，
，
．
的值为；
（3）解：当时，直线为，抛物线为，
，
，
点在直线上，点在抛物线上，
，
，
，
配方，得，
是的二次函数，且二次项系数小于0，
当时，有最大值，最大值为．
类型九、二次函数的对称型
例9．抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
把二次函数化简成顶点式，得到抛物线的对称轴为直线，根据在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，由此判断，，的大小．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴，
故选：A．
变式9-1．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案．
【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，，
解得：或，
即；
当时，，即，
∴抛物线对称轴为直线，
由二次函数对称性，关于对称轴对称，即，
，
，
当最小时，周长的最小，
根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点M的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．
变式9-2．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点为线段上的动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)5
【详解】解：（1）∵抛物线交x轴于两点，
∴设抛物线的解析式为．
将代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，过点O作关于直线的对称点，连接．
，
．
，
．
∵点关于直线对称，
垂直平分，
∴四边形是正方形，
∴点的坐标为．
，
的最小值为．
变式9-3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（且）过点．
(1)求该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）；
(2)在该抛物线上存在两点，，当时，总有，求的取值范围．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线；
(2)且．
【分析】（1）解法一：先根据抛物线一定过原点得出与是对称点，从而推出该抛物线的对称轴；解法二：将点代入求出抛物线解析式后，根据抛物线对称轴为即可得解；
（2）分情况讨论：当时：ⅰ．若；ⅱ．若；②当时：ⅰ．若；ⅱ．若；ⅲ．若．
【详解】（1）解：解法一：由题知抛物线为（且），
该抛物线过点，
抛物线过点，
与是对称点，
该抛物线的对称轴为直线；
解法二：抛物线为（且）过点，
将点代入中得，
，
，
，
，
抛物线的解析式为，
该抛物线的对称轴为直线．
（2）解：将点代入抛物线（且），
中，得，
，，
抛物线的解析式为，
①当时，（抛物线对称轴在轴左侧），
ⅰ．若，即，抛物线的大致图象如解图①，
则，，
；
ⅱ．若，即，则，抛物线的大致图象如解图②，
，
点、均在对称轴的右侧，且，即，
又在对称轴右侧，随的增大而减小，
；
②当时，（抛物线对称轴在轴右侧），
ⅰ．若，即，则，抛物线的大致图象如解图③，
点，均在对称轴的右侧，且，即，
又在对称轴右侧，随的增大而减小，
；
ⅱ．若，即，则，抛物线的大致图象如解图④，
点，均在对称轴的右侧，随的增大而减小，
和的大小关系不确定，
和的大小关系不确定，不符合题意；
ⅲ．若，即，抛物线的大致图象如解图⑤，
此时，不符合题意．
综上，的取值范围是且．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质，解题关键是利用数形结合的思想解题．
变式9-4．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解；
（2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为．根据抛物线的开口方向分两种情况讨论：①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．再分别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解．
【详解】（1）解：当时，抛物线．
∴．
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为．
对于，，；
①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
∵，，
∴，．
设点关于对称轴的对称点为，
则，．
∴．
∴．
（Ⅰ）当时，有．
∵，
∴，
∴，不符合题意．
（Ⅱ）当时，有．
∵，，
∴．
∴，符合题意；
（Ⅲ）当时，令，则．
∴，不符合题意．
②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
∵，，
∴．
设点关于对称轴的对称点为，
则，．
∴．
（Ⅰ）当时，有，．
令，则，即．
∴，不符合题意．
（Ⅱ）当时，有，则．
若，有，则，符合题意；
若，
设点关于对称轴的对称点为，
则，．
∴．
∴，
∴．
∴，符合题意．
（Ⅲ）当时，有．
∴，不符合题意．
综上所述，的取值范围是或．
变式9-5．抛物线经过点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点和点坐标代入后解方程组求出、，从而得到抛物线解析式；
（2）抛物线与轴的另一个交点为,利用配方法求出抛物线的对称轴为直线，进而求出点的坐标，连接交直线于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小，接着求出直线的解析式，进而求解．
【详解】（1）解：把分别代入得
，
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解：设抛物线与轴的另一个交点为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
解得，
∴．
连接交直线于点，如下图
∵，
∴，
∴此时最小，
设直线的解析式为，
把分别代入得
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式的求法，二次函数的性质和最短路线问题．在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
1．抛物线（a为常数且），过点，且，下列结论：①；②；③；④若关于x的方程有实数根，则．其中正确的结论有（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．②④
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
根据及过点，且，结合二次函数的性质与判别式条件，逐一分析各结论的正确性．
【详解】解：①∵抛物线（a为常数且），过点，
∴抛物线可表示为，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，结论①错误；
②将代入，得
∵，
∴，
∵，
∴，结论②正确；
③∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴，结论③错误；
④∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∵，结论④正确．
综上，正确结论为②④，
故选：D．
2．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数得性质是解题的关键．
【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意；
、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意；
、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意；
、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意；
故选：．
3．抛物线图象上有三点，，．其中，，，以下说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．若，、、三点在对称轴的同一侧
C．当，存在
D．当，总有
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象性质，涉及对称轴、开口方向及函数值比较．掌握二次函数图象性质是解题的关键．
根据对称轴公式求得对称轴判断A错误；根据二次函数单调性判断B错误，C正确，D错误．
【详解】A．抛物线为，故对称轴为，故A错误；
B．抛物线开口向下（），对称轴为．左侧（）函数递增，右侧（）函数递减．若，可能存在三点分布在对称轴两侧的情况．例如，在左侧，、在右侧，此时最大，最小，与条件一致，故三点未必在同一侧，故B错误；
C． 当时，存在．例如：，取，，，计算得，，，满足，故C正确；
D． 当时，并非总有．例如：，取，，，计算得，，，此时，不符合题意，故D错误．
综上，正确答案为C．
4．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有 ．

【答案】②⑤/⑤②
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，根据对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，可判断①；由顶点坐标可判断②③；由抛物线与x轴交点坐标个数可判断④；由抛物线与x轴交点的横坐标可判断⑤．
【详解】解：∵二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，
∴，，，
∴故①不正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，且开口向下，二次函数的最大值为，
故②正确；
由图象可知时，，即，
故③不正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
故④不正确；
∵对称轴为直线，，
∴，
由图象可知，时，，
故⑤正确．
故答案为：②⑤．
5．已知抛物线（是常数，且）图象开口向上，过点，两点，且下列四个结论：
；②；若点在该抛物线上，则；
若关于的方程有两个相等实数根，则．其中正确的是 ．
【答案】
【分析】本题考查抛物线图象与系数关系，抛物线的性质，抛物线与x轴的交点问题，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线图象性质和图象与系数关系是解题的关键．
根据抛物线开口向上得出，根据抛物线过点，两点，且，得出抛物线的对称轴在和之间，即，从而得出，再由，即可判定①；根据抛物线与轴有两个交点，则，可判定②；根据抛物线的对称轴在和之间，且开口向上，所以当点在该抛物线上，则，可判定；根据关于的方程有两个相等实数根，则，抛物线过点，则，所以，则，从而得到，再根据抛物线（是常数，且）图象开口向上，过点，两点，则抛物线对称轴为直线，又根据抛物线对称轴公式知：抛物线的对为直线，所以有，从而得到，由于，则，由于则，从而求得，可判定④．
【详解】解：抛物线是常数，且图象开口向上，过点，两点，且，
抛物线的对称轴在和之间，
，，
，
，
，故正确；
抛物线是常数，且图象开口向上，过点，两点，
抛物线与轴有两个交点，
，故错误；
抛物线的对称轴在和之间，且开口向上，
当点在该抛物线上，则，故正确；
关于的方程有两个相等实数根，
，
∵抛物线过点，
∴，
∴，
，
，
，
，
∵抛物线（是常数，且）图象开口向上，过点，两点，
∴点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线，
又根据抛物线对称轴公式知：抛物线的对为直线
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，故正确，
故答案为：．
6．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是 （用“<”连接）．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数的性质判断的大小关系．
【详解】解：．
又二次函数的图象开口向下，
当时，y随x的增大而减小，
．
故答案为：．
7．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键．
【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D，
在等腰直角三角形中，，则，
∵A、B两点的横坐标分别为1和，
∴，，
∵点A、B在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
整理，
解得：或（舍去），
∴b的值为2，
故答案为：2．
8．已知将抛物线向左平移2个单位长度后得到的新抛物线与y轴交于点，则原抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】先根据抛物线平移规律得到新抛物线表达式，再将点代入求出的值，进而得到原抛物线表达式，最后根据抛物线顶点式求出顶点坐标．本题主要考查了抛物线的平移规律、函数图像上点的坐标特征以及二次函数顶点式的应用，熟练掌握抛物线平移规律和顶点式的转化是解题的关键．
【详解】新抛物线表达式为．
将代入，得，
解得，
原抛物线表达式为，
原抛物线的顶点坐标为．
9．我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）：
①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ）
②函数一定不是“对偶函数”；（ ）
③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ）
(2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
(3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围．
【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×）
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”， “对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果；
（2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果；
（3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可．
【详解】（1）解：，且，，
，，
，，
①函数（k是非零常数）的图象上，，
满足，，故①正确；
②由题意可得，，
则点与点且是一对“对偶点”，
函数的图像如下图：
函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确；
函数的图象上如下图，
由题意可得，，
则点与点且是一对“对偶点”，
图中不存在“对偶点”，故③错误；
故答案为：①（√）；②（√）；③（×）
（2）由题意可得，，点与点且是一对
“对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”．
从而有，两式相减可得，同理可得．
两个一次函数为，，由于，都是常数，且，
两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示
求得其面积之和；
（3）由题意可得，且时，有，
以上两式相减可得，
从而将，
代入①整理可得，
此关于的一元二次方程必有实数根，
由于时，（不符合题意）．
从而必有，解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
10．二次函数（a为常数，）．
(1)若该二次函数图象关于直线对称，求a的值；
(2)若该二次函数图象上点，满足，求a的范围；
(3)若该二次函数图象上两个不同的点，满足，求的取值范围
【答案】(1)；
(2)；
(3) ．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握对称轴公式以及函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴为直线即可求出；
（2）将点，代入二次函数解析式，表示出，根据，即可求解；
（3）将点，代入二次函数解析式，结合，表示出求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得：；
（2）解：∵点，在二次函数图象上，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：点，在二次函数图象上，
∴，，
∵，
∴，
代入得 ，
∴
，
∵，，
∴．
11．已知二次函数．
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点．
(2)当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
【答案】(1)见解析
(2)当时，这两个交点都在原点的左侧
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据题意只需要证明即可；
（2）设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为，则，根据根与系数的关系得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）证明：令，则．
，
此抛物线与x轴必有两个不同的交点．
（2）解：设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为，
∴和为关于x的方程，的两个不相等的实数根，且，
，解得，
当时，这两个交点都在原点的左侧．
12．已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）．
①若，且，比较与的大小；
②当时，若是一个与无关的定值，求与的值．
【答案】(1)对称轴是直线
(2) ； ，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解；
（2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小；
②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值．
【详解】（1）解：由题意得，将点代入得，
，即，
所以，
故所求抛物线的对称轴是直线．
（2）解：①由（1）可知，抛物线的解析式为．
又，
故．
因为抛物线过原点，且点A与原点不重合，所以．
于是，
故．
②由题意知，，．
∵，
∴．
因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，．
故，即．
于是．
依题意知，是与无关的定值．
则，解得．
经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意．
所以，．
13．函数满足，则称函数是的“融合函数”．例如，一次函数和二次函数，则的“融合函数”为．
(1)若反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”过点，求的值；
(2)若为二次函数，且，在时取得最值，函数为一次函数，且的“融合函数”为．
（i）用含的式子表示和；
（ii）当时，求函数的最小值；（用含的式子表示）
【答案】(1)6
(2)（i）；；（ii）
【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，正确理解题意，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）先写出“融合函数”，再将代入即可求解；
（2）（i）先得到，根据一次函数的定义求出，再根据二次函数的性质求解；
（ii）由（i）得，则对称轴为直线，分三种情况讨论：①若；②若；③若，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得的“融合函数”为，
将点函数解析式中，
可得，解得；
（2）解：（i），
为一次函数，
，即．
在处取得最值，
，即，
．
（ii）由（i）得，
对称轴为直线．
①若，
则当时，
；
②若，
则当时，
；
③若，
则当时，
．
综上：．中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 二次函数的图像与性质 压轴题专项训练
类型一、二次函数的基本性质
二次函数的开口方向： 完全由系数 a 决定. a > 0 开口向上（U型，有最低点） a < 0 开口向下（∩型，有最高点） 开口大小： 由 |a| 决定. |a| 越大，开口越窄（抛物线越“瘦”）. |a| 越小，开口越宽（抛物线越“胖”）. 顶点坐标： 抛物线的最高点或最低点.公式：(, ) 解题关键： 直接代入公式计算是最快最准确的方法.务必记熟公式，注意符号（特别是 的负号）. 对称轴： 一条垂直于x轴的直线，抛物线关于这条直线对称.公式：x = 解题关键： 对称轴是一条直线，答案必须写成 x = ... 的形式.顶点横坐标即对称轴方程. 与y轴交点： 令 x = 0，得 y = c.坐标：(0, c) 解题关键： 常数项 c 直接决定了抛物线与y轴的交点位置.
例1．二次函数 的图象的对称轴是轴，点在二次函数 的图象上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．抛物线中，与的部分对应值如表：
… 1 3 4 5 7 …
… 4 5 …
下列结论中，不正确的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小 D．的最大值为
变式1-2．已知二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：
… 1 5 7 …
… 6 10 6 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴为直线
C．当时随的增大而减小
D．
变式1-3．抛物线经过点．
（1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ．
（2）若对于，都有，则的取值范围是 ．
变式1-4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围．
类型二、二次函数图像与各项系数符号
二次函数图像与各项系数符号关系如下 a: 决定开口方向和大小. c: 决定抛物线与 y轴交点 (0, c) 的位置. c > 0 交点在y轴正半轴 c < 0 交点在y轴负半轴 c = 0 抛物线过原点 (0,0) b: 与 a 共同决定对称轴位置 x = . 对称轴在y轴左侧： a, b 同号 (ab > 0). 对称轴在y轴右侧： a, b 异号 (ab < 0). 对称轴是y轴： b = 0. 特殊点代入法 (关键！): x = 1 时，y = a(1) + b(1) + c = a + b + c x = -1 时，y = a(-1) + b(-1) + c = a - b + c x = 2 时，y = 4a + 2b + c 观察图像上这些特殊点 (1, a+b+c), (-1, a-b+c), (2, 4a+2b+c) 是在x轴上方 (y>0) 还是下方 (y<0)，即可判断对应代数式的符号.
例2．二次函数（，，是常数，）的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：
①；②当时，；③；④；⑤．
其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2-1．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2-2．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2-3．如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式2-4．如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式2-6．如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型三、一次函数与二次函数图像判断
给出一次函数y = kx + b和二次函数y = ax2 + bx + c的解析式（或系数符号），判断对应的图像是否正确，可按以下步骤验证： 步骤 1：验证 “开口与倾斜” 的符号一致性 先看二次函数的开口方向：若图像中抛物线开口向上，则a > 0；开口向下，则a < 0. 再看一次函数的倾斜方向：若直线从左到右上升，则k > 0；下降，则k < 0. 排除明显矛盾项：例如解析式中a > 0但图像中抛物线开口向下，或k > 0但直线下降，直接排除. 步骤 2：验证 “y 轴交点” 的位置合理性 二次函数与y轴交点为(0, c)：观察图像中抛物线与y轴交点的位置（正半轴 / 负半轴 / 原点），判断是否与c的符号一致. 一次函数与y轴交点为(0, b)：观察直线与y轴交点的位置，判断是否与b的符号一致. 例：若解析式中c > 0且b < 0，则图像中抛物线与y轴交点应在正半轴，直线与y轴交点应在负半轴，否则矛盾. 步骤 3：验证二次函数的 “对称轴位置” 根据对称轴公式x =，结合a的符号（已由开口方向确定），判断对称轴在y轴左侧 / 右侧 / 重合，再与图像中抛物线的对称轴位置对比： 若a > 0（开口向上），且对称轴在y轴右侧（x > 0），则需满足b < 0（因- > 0 -b > 0 b < 0）.若图像中抛物线的对称轴明显在左侧，但根据a, b符号推导应在右侧，则排除. 步骤 4：验证 “特殊点与交点” 的匹配性 特殊点验证：例如x=0时，二次函数值为c、一次函数值为b，图像中两函数在y轴的交点纵坐标是否与c, b一致.交点验证：一次函数与二次函数的交点满足方程ax2 + bx + c = kx + b（即ax2 + (b - k)x + c = 0）.观察图像中两函数的交点个数（0 个 / 1 个 / 2 个），是否与方程判别式Δ = (b - k)2 - 4ac的符号一致（Δ> 0对应 2 个交点，Δ = 0对应 1 个，Δ < 0对应 0 个）.
例3．已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
变式3-1．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
变式3-2．一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
类型四、反比例函数与二次函数图像综合判断
给出反比例函数y = 和二次函数y = ax2 + bx + c的解析式（或系数符号），判断对应图像是否正确，按以下步骤验证： 步骤 1：通过双曲线位置锁定k的符号，排除明显矛盾 观察图像中双曲线的位置：若在第一、三象限，则k > 0；若在第二、四象限，则k < 0. 若解析式中k的符号与图像位置矛盾（例如解析式k > 0但图像中双曲线在二、四象限），直接排除该选项. 步骤 2：验证抛物线的核心特征与系数符号的一致性 开口方向与a的符号：抛物线开口向上→a > 0；开口向下→a < 0.若与解析式中a的符号矛盾，排除. 与y轴交点与c的符号：抛物线与y轴交点在正半轴→c > 0；负半轴→c < 0；原点→c = 0.若与解析式中c的符号矛盾，排除. 对称轴位置与a、b的符号关系：根据抛物线对称轴在y轴左侧（x < 0）或右侧（x > 0），结合a的符号（已由开口确定），判断b的符号是否合理（例如a > 0且对称轴在右侧→b < 0）.若图像中对称轴位置与推导的b符号矛盾，排除. 步骤 3：通过 “特殊点关联” 或 “交点逻辑” 进一步验证 特殊点验证： 若二次函数过原点（c = 0），则图像中抛物线必过(0,0)，而反比例函数永远不过原点，可观察是否符合； 取x = 1等特殊值，计算两函数的函数值y反 = k，y二 = a + b + c），判断图像中对应点的纵坐标符号是否匹配（例如k > 0时，反比例函数在x=1处的y值应为正）. 交点逻辑验证： 两函数的交点满足方程ax2 + bx + c =（整理为ax3 + bx2 + cx - k = 0），观察图像中交点的个数和位置是否合理：若k > 0（双曲线在一、三象限）且a > 0（抛物线开口向上），则在第一象限可能有交点，第三象限是否有交点需结合抛物线在第三象限的趋势.
例4．二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
变式4-1．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
变式4-2．如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
变式4-3．二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
类型五、二次函数图像的平移
二次函数图像的平移解题思路与核心知识： 平移本质：顶点移动。 平移不改变抛物线的形状（即 a 不变）。 顶点式 y = a(x - h) + k 的妙用： 顶点坐标为 (h, k)。 对称轴为 x = h。 平移规律 (基于顶点移动)： 左右平移： h 控制。左加右减 于 x。 向左平移 m 个单位 新顶点横坐标 h - m 新函数：y = a[x - (h - m)] + k = a(x - h + m) + k 向右平移 m 个单位 新顶点横坐标 h + m 新函数：y = a[x - (h + m)] + k = a(x - h - m) + k 上下平移： k 控制。上加下减。 向上平移 n 个单位 新顶点纵坐标 k + n 新函数：y = a(x - h) + (k + n) 向下平移 n 个单位 新顶点纵坐标 k - n 新函数：y = a(x - h) + (k - n) 解题关键： 先找到顶点式或求出顶点坐标。 平移时紧紧抓住顶点的变化。对于标准式 y = ax + bx + c，可以先配方法或直接用顶点公式求出顶点坐标 (h, k)，再应用平移规律。
例5．要得到抛物线，可以将抛物线（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
变式5-1．如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
变式5-2．已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（ ）
A．或 B．或 C．1 D．
变式5-3．如图，将抛物线沿向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且平移后的抛物线的对称轴与原抛物线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为 ．
变式5-4．已知二次函数（h为常数）的图象经过点．
(1)求此二次函数的表达式．
(2)将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值．
(3)已知点，在二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
类型六、二次函数的最值
二次函数最值解题思路与核心知识： 二次函数在其顶点处取得最大值或最小值。 若 a > 0 (开口向上)，则顶点是最低点，函数有最小值 ymin = 。 若 a < 0 (开口向下)，则顶点是最高点，函数有最大值 ymax = 。 求法： 先求顶点坐标 (h, k)，最值即为 k。 给定区间 [m, n] 上的最值： 核心： 判断顶点 (h, k) 是否在区间 [m, n] 内。 步骤： 求出顶点横坐标 h = -b/(2a) 和纵坐标 k。 计算区间端点处的函数值 f(m), f(n)。 画示意图！ 根据开口方向和顶点位置分类讨论： 情况1：顶点在区间内 (m ≤ h ≤ n) 若 a > 0，最小值是 k，最大值是 f(m) 和 f(n) 中的较大者。 若 a < 0，最大值是 k，最小值是 f(m) 和 f(n) 中的较小者。 情况2：顶点在区间左侧 (h < m) 若 a > 0，函数在 [m, n] 上单调递增。最小值 f(m)，最大值 f(n)。 若 a < 0，函数在 [m, n] 上单调递减。最大值 f(m)，最小值 f(n)。 情况3：顶点在区间右侧 (h > n) 若 a > 0，函数在 [m, n] 上单调递减。最小值 f(n)，最大值 f(m)。 若 a < 0，函数在 [m, n] 上单调递增。最大值 f(n)，最小值 f(m)。
例6．如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
变式6-1．若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ．
变式6-2．设二次函数．
(1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标；
(2)判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围．
变式6-3．已知某抛物线的解析式为，为实数．
(1)若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当时，的最大值为4，求的值．
变式6-4．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求b的值．
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．若，求h的最大值．
类型七、二次函数与坐标轴的交点
二次函数与x轴交点： 交点个数由判别式 Δ = b - 4ac 决定： Δ > 0 两个交点 Δ = 0 一个交点（顶点在x轴上） Δ < 0 无交点 交点横坐标是方程 ax + bx + c = 0 的实根（求根公式）。
例7．二次函数的图象与轴交点的坐标是（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式7-1．二次函数（）图象的一部分如图所示，该函数图象的顶点坐标是，与轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．当时，
变式7-2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于 D．当时，
变式7-3．已知二次函数．
(1)直接写出对称轴和顶点坐标；
(2)求出抛物线与轴的交点坐标；
(3)当时，求的取值范围．
变式7-4．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A和点B，点A在点B的左边．
(1)若，求点A和点B的坐标，并求此时函数的最小值；
(2)当时，函数有最小值，求常数m的值．
类型八、二次函数的增减性
例8．已知抛物线，当时，y的值随x值的增大而减小，则该抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式8-1．下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式8-2．已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上
(1)用含n的代数式表示m．
(2)当时，y随x的增大而减小，求n的值范围
(3)若，求n的取值范围．
变式8-3．已知抛物线经过，两点．
(1)若，求当随的增大而增大时，自变量的取值范围；
(2)若直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值；
(3)在（2）的条件下，点在直线上，点在抛物线上．若，求的最大值．
类型九、二次函数的对称型
例9．抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式9-1．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ．
变式9-2．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点为线段上的动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求的最小值．
变式9-3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（且）过点．
(1)求该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）；
(2)在该抛物线上存在两点，，当时，总有，求的取值范围．
变式9-4．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围．
变式9-5．抛物线经过点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标．
1．抛物线（a为常数且），过点，且，下列结论：①；②；③；④若关于x的方程有实数根，则．其中正确的结论有（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．②④
2．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线图象上有三点，，．其中，，，以下说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．若，、、三点在对称轴的同一侧
C．当，存在
D．当，总有
4．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有 ．

5．已知抛物线（是常数，且）图象开口向上，过点，两点，且下列四个结论：
；②；若点在该抛物线上，则；
若关于的方程有两个相等实数根，则．其中正确的是 ．
6．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是 （用“<”连接）．
7．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ．
8．已知将抛物线向左平移2个单位长度后得到的新抛物线与y轴交于点，则原抛物线的顶点坐标为 ．
9．我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）：
①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ）
②函数一定不是“对偶函数”；（ ）
③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ）
(2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
(3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围．
10．二次函数（a为常数，）．
(1)若该二次函数图象关于直线对称，求a的值；
(2)若该二次函数图象上点，满足，求a的范围；
(3)若该二次函数图象上两个不同的点，满足，求的取值范围
11．已知二次函数．
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点．
(2)当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
12．已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）．
①若，且，比较与的大小；
②当时，若是一个与无关的定值，求与的值．
13．函数满足，则称函数是的“融合函数”．例如，一次函数和二次函数，则的“融合函数”为．
(1)若反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”过点，求的值；
(2)若为二次函数，且，在时取得最值，函数为一次函数，且的“融合函数”为．
（i）用含的式子表示和；
（ii）当时，求函数的最小值；（用含的式子表示）

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