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2024-2025 学年天津市武清区英华中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 为虚数单位，若 (1 + 3 ) = 2 ，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
2.在△ 中， ， 是角 ， 的对边， = 2， = 6， = 45°，则角 的值为( )
A. 60° B. 150° C. 30°或 150° D. 60°或 120°
3.设 ， ∈ ，向量 = ( , 1)， = (1, )， = (2, 4)，且 ⊥ ， // ，则 + =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为 45°，腰和上底的长均为 1 的等腰梯形，那么原四边形的面积是
( )
A. 2 + 2 B. 1 + 2 C. 2+ 22 D.
1+ 2
2
5.若球的表面积扩大到原来的 9 倍，那么该球的体积扩大到原来的( )倍．
A. 9 B. 27 C. 81 D. 729
6.已知甲船位于灯塔 的北偏东 70°方向，且与 相距 3 的 处.乙船位于灯塔 的北偏西 50°方向上的 处.
若两船相距 19 ，则乙船与灯塔 之间的距离(单位： )为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 3
7 3.若某圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆面，其内接正四棱柱的高为 3 ，则此正四棱柱的体积是( )
A. 9 68 B.
9 3
8 C.
8 3
27 D.
8 6
27
8.四边形 是边长为 1 的正方形，延长 至 ，使得 = ，若点 为线段 上的动点，则
的最小值为( )
A. 38 B. 1 C.
7
8 D. 2
9.在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，下列四个命题中正确的个数为( )
①若 + = ，则△ 是等腰三角形；
②若 = ，则△ 是等腰三角形；
③若 2 + 2 2 > 0，则△ 一定是锐角三角形；
④在△ 中， = 60°， = 6，若△ 有一个解，则 的取值范围是 = 2 2或 0 < < 6．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
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10 2+ . 是虚数单位，复数1 的虚部为______．
11.已知四棱锥 底面是边长为 1 的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积
3
为 6 ，则它的表面积为______．
12.已知| | = 3，| | = 1，| | = 2，若 + 与 + 2 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是______．
13.如图，在正方体 1 1 1 1中， 是棱 上的点，且 =
1
3 ，
1
是棱 1上的点，且 = 3 1.延长 ， 1 ， ，三条直线交于 ，平面
1 将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为 1和 2( 1 < 2)，则
1
2
的值为______．
14.在△ 中， = 2， = 3 且|3 + 2(1 ) |的最小值为 3，则∠ = ______，若点 、 分
别为线段 与线段 上的动点，且线段 交中线 于 ，△ 的面积为△ 面积的一半，则
的取值范围是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 59 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 10 分)
若复数 = ( 2 + 6) + ( 2 2) ( ∈ , 是虚数单位)．
(1)若 是纯虚数，求 的值；
(2)若 在复平面内对应的点在第二象限，求 的取值范围．
16.(本小题 12 分)
△ = 2 3 = 3 = 已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ， ，且满足 + ．
(1)求角 的值；
(2)求 sin(2 + 6 )的值．
17.(本小题 12 分)
△ 2如图，在 中， = 5 ，点 为 中点，点 为 上的三等分点，且靠近点 ，设
= ， = ．
(1)用 , 表示 及 ；
(2)若∠ = 60°， = 2，且 ⊥ ，
①求 的长；
②求 在 方向上的投影向量(结果用 表示)．
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18.(本小题 12 分)
如图，已知正三棱柱 1 1 1的体积为 4 6，点 、 分别为棱 与 1的中点．
(1)若△ 边长为 2，求三棱柱 1 1 1的高；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)若球 与三棱柱 1 1 1的各棱均相切，求球 的表面积．
19.(本小题 13 分)
已知△ 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，其中 = 1．
(1)当cos2 = sin2 + cos2 ，
①求角 ；
②若△ 为锐角三角形，求△ 周长的取值范围；
(2)若 + = + ，求△ 内切圆面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.32
11.3
12.( 32 , 2) ∪ (2, + ∞)
13.1341
14.2 [ 2 , 113 3 6 ]
2
15.解：(1) ∵ 是纯虚数，∴ + 6 = 0
2
，解得， = 3，
2 ≠ 0
∴ 的值为 3；
2
(2) ∵ 在复平面内对应的点在第二象限，∴ + 6 < 0，
2 2 > 0
解得， 3 < < 1，
∴ 的取值范围是( 3, 1)．
16. (1) = 解： 因为 + ，

由正弦定理可得 = + ，
整理得 2 + 2 2 = ，
由余弦定理可得 2 + 2 2 = 2 ，
1
可得 = 2，
在△ 中， ∈ (0, )，
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所以 = 3；
(2) 由正弦定理知 = ，而 = 2 3， = 3，
3 2 3
即 = 3 ，解得 =
3
4，
2
又 < ，所以 < 7，可得 = 4 ，
3 7 3 7
所以 2 = 2 = 2 × 4 × 4 = 8 ，
且 2 = 2 2 1 = 2 × ( 7 )24 1 =
1
8，
sin(2 + ) = 2 + 2 = 3 7 × 3 + 1 × 1 = 3 21 1所以 6 6 6 8 2 8 2 16 ．
17.解：(1)已知在△ 中， = 25 ，点 为 中点，点 为 上的三等分点，且靠近点 ，且 = ，
= ．
因为 = 2 5
，
所以 = = 1 1 = 1 13 2 3 2 ；
= + = + 2 = + 2 ( ) = 3 + 2 = 3 + 2 5 5 5 5 5 5 ．
(2)①因为 ⊥ ，
2
所以 = ( + 3 1 15 5 ) ( 3 2 ) = 0，
2 2 3 2
所以 15 10 = 0，
由| | = 2，可得| | = 3，
即 = 3．
3 2
②
( + )
在 方向上的投影向量为 2 =
5 5
| | |

|2
(3 +2 5 5|
|2) (3 5 2 3
1
2+
2
5 9)= = = 3 2 9 5 ．| |
18.解：(1)设△ 的高为 ，
△ =
1
2 × 3 × 2 = 3，

= 1 1 1 4 6 = = 4 2；△ 3
(2) =
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1
= 3 △
1 1 1
= 3 2 △ 2 1
1
= 12 1 1 1
1
= 12 × 4 6
= 6；3
(3)设正三棱柱 1 1 1的底面边长为 ，高为 ，上底面中心为 1，下底面中心为 ，连接 1 ，
则球 的球心 在 的中点上，球 切棱 1于 ，切棱 于 ，
由题意 3 2 1 1 1 = 4 = 4 6，①
3
因为 = = = 32 ， = ，3 3 6
= 又 2，
2 2
所以 = 2 + 2 = ，4 + 12
2 2
所以 3
3 =
+ ，解得 = ，②4 12
联立①②可得 = = 2 2，
所以球 的半径为 = 33 =
2 6，
3
所以球 的表面积为 = 4 2 = 4 × ( 2 6 )2 = 323 3 ．
19.解：(1)①因为cos2 = sin2 + cos2 ，
所以 1 sin2 = sin2 + 1 sin2 ，
由正弦定理可得 2 + 2 2 = ，
2 2 2
由余弦定理可得 = + 12 = 2，
在△ 中，0 < < ，
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所以 = 3；

②由正弦定理可得 =
1
= = 3，
2
2 2
可得 = 3 ， = 3 =
2
3 sin( +

3 )，
周长 = + + ，
= + + 1
2
= 1 + [ + sin( + )]
3 3
2 1 3
= 1 + ( + 2 + 2 )3
2 3 3
= 1 + (2 +3 2
)
= 1 + 2 ( + 6 )，
因为△ 为锐角三角形，
0 < < 2
所以
0 < 2
，
3 < 2

解得6 < < 2，
< + 2 3所以3 6 < 3，所以 2 < sin( +

6 ) ≤ 1，
所以周长范围是(1 + 3, 3]；
(2)因为 = 1，则 + = ( + )，
由正弦定理得 + = ( + ) = + ，
而 = sin( + ) = + ，
化简得 ( + ) = 0，
因为 、 、 ∈ (0, )，所以 ≠ 0， ≠ 0，则 = 0，

所以 = 2，
2 + 2 = 2 = 1，
设内切圆半径为 ，
则 = 12 ( + ) =
1
2 ( + 1)，
又 + = ( + )2 = 2 + 2 + 2 ≤ 2( 2 + 2) = 2，
=
当且仅当 2 + 2 = 1，
> 0, > 0
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即当 = = 22 时等号成立，
所以 0 < ≤ 2 12 ，
△ 的内切圆面积 = 2 ≤ ( 2 1 )2 = (3 2 2) 2 4 ，
即△ (3 2 2) 的内切圆面积的最大值是 4 ．
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