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第四章 图形的相似单元练习卷
时间 100分钟 分数 120分
一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1.下列四组线段中，是成比例线段的是 ( )
A.5cm ,6cm,7cm,8cm B.3cm,6cm,2cm ,5cm
C.2cm ,4cm,6cm,8cm D.12cm,8cm ,15cm,10cm
2.已知 则 的值为 ( )
A.4 B.2 C. D.
3.如图是某商店售卖的花架简图,其中AD∥BE∥CF,BC=50 cm,DE=24 cm,EF=40 cm,则 AB 的长为 ( )
C.50cm D.30cm
4.已知如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是 ( )
A.∠α=100° D. x=7
5.如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》，画中的脸部被包在矩形ABCD内，E是AB 的黄金分割点,BE>AE,若AB=2a,则BE的长为 ( )
6.如图,在Rt△ABC 纸片中,∠C=90°,AC=5,BC=7,将该纸片沿虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
7.如图所示是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是 ( )
A.1 B. C. D.5
8.如图,在△ABC中,D 为边BC上的一点, .若△ABC 的周长为6,则△ABD 的周长为 ( )
D.3
9.如图，有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水.将一根长为18cm的吸管按如图所示的方式放置，若吸管有2cm 露出容器外，则吸管在水中部分的长度为 ( )
A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm
10.如图,在正方形ABCD中,△ADE 是等边三角形,AE,DE 的延长线分别交BC 于点F，G，连接AC，CE，AC与DG相交于点H，则下列结论不正确的是 ( )
A. AF=2BF B.△AEH∽△CGE C.△ACE∽△CGE D. CE =DE·EH
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.如果两个相似三角形对应的角平分线之比为2：3，那么它们对应的中线之比为 .
12.如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,要使△ABD 与△BCD 相似,还需添加一个条件可以为 (只需填一个条件即可).
13.如图，△ABC和△DEC是以点C 为位似中心的位似图形，若点点C(-1,0),S△ABC:S△DEC=1:4,则点D的坐标为 .
14.边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 .
15.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 EFGH 拼成的一个大正方形ABCD，点P，Q分别在AE,CG上,满足PF∥AB∥HQ,若EH=2PE,则的值为 ，的值为 .
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)已知△ABC 的三边长a,b,c 满足
(1)求的值；
(2)若△ABC的周长为27,求a,b,c 的值.
17.(8分)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1， 和 的顶点都在方格纸的格点上，判断 和 是否相似，并说明理由.
18.(9分)如图,AC,BD 交于点 E,B C = C D ,且BD平分
(1)求证:
(2)若BC=6,AE=2,CE=3,求AB的长.
19.(9分)如图,在四边形ABCD 中,AC平分E为AB 的中点,连接CE,DE,且DE 交AC 于点 F.
(1)求证:△ADC∽△ACB;
(2)若AD=2,AB=3,求的值.
20.(9分)如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，请利用格点按要求完成下列作图(要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹)：
(1)在图①中以点 C 为位似中心，相似比为1：2，在格点上将 放大得到
(2)在图②中以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC相似；
(3)在图③中在线段 AB上画一个点 P，使
21.(10分)某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度AB.如图，塔前有一棵高4m 的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C 和塔顶A 恰好在一条直线上，测得BD=57m，点D，E之间有一个花园长度无法测量；然后在E处放置一平面镜，沿BE后退到点G处，恰好在平面镜中看到树顶C 的像，测得EG=2.4m，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6m .已知AB⊥BG,CD⊥BG,FG⊥BG,点B,D,E,G在同一水平线上,请求出凌霄塔的高度 AB(平面镜的厚度忽略不计).
22.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,动点D从点A开始，以2.5cm/s的速度沿AB边运动，同时动点E从点C 开始，以2cm/s的速度沿CA边运动，设运动的时间为 t s.
(1)如图①,连接DE,当t 取何值时△ADE 与△ABC相似
(2)如图②,连接BE,CD,当t取何值时BE⊥CD
23.(12分)综合与实践
某校数学活动小组在一次活动中对一个数学问题作了如下探究：
【问题发现】
(1)如图①,在等边△ABC 中,P 为边BC 上的一点,且. 连接AP,以 AP 为边作等边△APQ,连接CQ,则CQ 的长为 ;
【问题提出】
(2)如图②,在等腰△ABC中,AB =BC ，P为边 BC 上的任意一点，以AP为腰作等腰△APQ,使. ,连接CQ,求证:
【问题解决】
(3)如图③,在正方形ACBD 中,P 为边BC上的一点,以AP 为边作正方形APEF,Q为正方形APEF 的对角线AE,PF 的交点,连接CQ.若正方形APEF 的边长为12,( 求正方形ACBD的边长.
图形的相似单元练习卷答案
D 2. B 3. D 4. D 5. B 6. D 7. C 8. B 9. D 10. C
11.2:3 12.∠A=∠DBC(答案不唯一) 13.(1,-3) 14.15
【解析】设PE=1,则EF = EH =2PE = 2 ,则BF=AE=AP+PE=AP+1,∴BE=BF+EF=AP+3.∵PF∥AB,∴易证 解得HQ,PH∥QF,∴四边形 PFQH 为平行四边形,∴FQ=PE+EH=1+2=3.设 PQ,BE交于点M.∵PH∥FG,
16.解:令 则a=2k,b=3k,c=4k, (2)根据题意可知a+b+c=27,∴2k+3k+4k=27,解得k=3,∴a=2k=6,b=3k=9,c=4k=12
17.解:△ABC和△DE相似.理由如下:根据勾股定理,得 ∴△ABC∽△DEF
18.解:(1)证明:∵BC=CD,∴∠CBD=∠D.又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD =∠CBD =∠D.又∵∠AEB =∠CED,∴△AEB∽△CED (2)∵△AEB∽△CED, 又∵CD=BC=6,AE=2,CE= ,∴AB6=
19.解:(1)证明:∵AC 平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.又
(2)由(1)知△ADC∽△ACB,∴∠ACB=∠ADC=90°.又∵E 为AB的中点, ∠EAC=∠DAC.又∵∠AFD =∠CFE,∴△ADF∽
20.解:(1)如图①所示的△A B C 即为所求作 (2)如图②所示的 即为所求作 (3)如图③所示的点 P 即为所求作
解:∵ 又 解得 DE=6 m,∴BE=BD+DE=57+6=63(m).∵ AB ⊥ BG, ∴ ∠ABE = 90°= ∠CDE.又 即 解得AB=42m,∴凌霄塔的高度 AB=42m
22.解：根据题意，得 10(cm),AD=2.5tcm,CE=2tcm,且0≤t≤4,∴AE=AC-CE=(8-2t) cm. (1)∵∠A=∠A,∴分如下2种情况讨论：①当 即 时，△ABC,此时解t=2;②当即 时，△ADE∽△ACB,此时解得 综上所述，当t=2或 时△ADE与△ABC 相似 (2)过点D作DF⊥AC于点F,设BE,CD 交于点G,则 又 即 AC-AF = (8 - 2t)cm.当BE⊥CD 时,∠GBC + 而 ∠DCF.又∵∠BCE=∠CFD=90°,∴△BCE∽△CFD, 解得 当 时BE⊥CD
23.解: 【解析】∵△ABC 与△APQ 都是等边三角形,∴ AB = AC,AP =AQ,∠BAC = ∠PAQ = 60°,∴∠BAP +∠PAC =∠PAC +∠CAQ, 即∠BAP =∠CAQ,∴△ABP≌△ACQ(SAS),∴CQ= BP =
(2)证明: 又∵∠APQ=∠ABC,∴ ∠BAC = ∠PAQ, 即∠BAP + ∠PAC = ,
(3)连接AB.∵四边形ACBD 和四边形APEF 都是正方形，∴易得 即∠BAP+∠PAC=∠PAC + ∠CAQ, ∴∠BAP = ∠CAQ, ∴△ABP∽8.设CP = x,则AC = BC = BP + CP = 8 + x .∵在 Rt△APC中, x ,解得 .又∵x>0,∴正方形ACBD 的边长为

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