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2024-2025 学年浙江省丽水市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 3 < < 1}， = { | 1 ≤ < 4}，则 ∪ =( )
A. { | 1 ≤ < 1} B. { | > 3} C. { | 3 < < 4} D. { | < 4}
2.下列函数中，定义域为(0, + ∞)的函数是( )
A. ( ) = B. ( ) = C. ( ) = 2 D. ( ) =
3.已知复数 1 = 2 + ， 2 = 1 + 2 ，则复数 1 + 2在复平面内对应点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.设 ， ， 均为直线，其中 ， 在平面 内，则“ ⊥ ”是“ ⊥ 且 ⊥ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5 + .已知cos sin = 2，则 =( )
A. 3 B. 13 C.
1
3 D. 3
6.已知某圆台的两底面半径分别为 1 和 4，侧面积为 15 2 ，则该圆台的体积等于( )
A. 7 B. 21 C. 63 D. 21 7
7 1 1.甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是3，5，则恰有一人成功破译的概率为( )
A. 1 B. 215 15 C.
4 2
15 D. 5
8.已知不等式 2 + + < 0 的解集为{ |3 < < 4}，则 2 + + 1 > 0 的解集为( )
A. ( 1 , 13 4 ) B. ( ∞,
1 1 1 1
3 ) ∪ ( 4 , + ∞) C. ( 4 , 3 ) D. ( ∞,
1 ) ∪ ( 14 3 , + ∞)
9.已知 > 1，且log 8 × log 2 = 1 log 4，则 =( )
A. 2 8 B. 1或 2或 8 C. 8 D. 64
10.如图 ， 两点在河的同侧，且 、 两点均不可到达.现需测 、 两点间的距离，测量者在河对岸选定两
点 、 ，测得 = 200 ，同时在 、 两点分别测得∠ = ∠ = 60°，∠ = 45°，∠ = 45°，
则 、 两点间的距离为( )
A. 100 2 B. 200
C. 100 10 D. 400
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11 .已知 ∈ { , , 3 , }，现将函数 ( ) = cos4 sin44 2 4 的图象向右平移 个单位后得到函数 ( )的图象，若
存在 > 0，使得函数 = 与 ( )图象的对称中心完全相同，则满足题意的 的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12.已知函数 ( ) = 2 | |，若关于 的不等式 ( ) ≥ 2 2 的解集中有且仅有 2 个整数，则实数
的取值范围为( )
A. [ 2, 1) B. ( 2, 1) C. [ 2,0) D. ( 2,0)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.下列命题为真命题的是( )
A.若 > ， > ，则 + > + B.若 > ， > ，则 >
C.若 > ，则 2 > 2 D.若 < < 0， < 0 ，则 <
14.已知平面向量 ， 均为单位向量，且|2 | = | 3 |，则( )
A. = 12
B. | + 2 | = 7
C. cos , + 2 = 714
D. + 2 在 上的投影向量为 12 ( )
15.如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点， 为正
方形 1 1内一个动点(包括边界)，且 1 //平面 1 ，则下列说法正确的
有( )
A.动点 轨迹的长度为 2
B. 1 与 1 不可能垂直
C.直线 4与平面 1 所成角正弦值的最小值为9
D. 25当三棱锥 1 1 的体积最大时，其外接球的表面积为 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。
16.事件 、 互斥，若 ( ) = 0.2， ( ∪ ) = 0.6，则 ( ) = ______．
17.已知定义在 上的函数 ( )的值域是[1,2]，则函数 = ( + 3) + 1 的值域是______．
18.已知函数 ( ) = sin( + )(| | < ) 1的图象过点( 6 , 1)，若 ( )在[ 2, ]内有 4 个零点，则 的取值范
围为______．
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19.若实数 ， 满足 2 2 + 2 = 1 ，则5 2 2的最大值为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 84 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题 14 分)
电力公司从某小区抽取 100 户居民用户进行 12 月用电量调查，发现他们的月用电量都在 50～650
之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求 的值及这 100 户的用电量的平均数；
(2)电力公司拟对用电量超过 ( )的家庭的电器进行检测，若 恰好为第 71 百分位数，求 ．
21.(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，△ 是正三角形，侧面 ⊥底面 ， 是
的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
22.(本小题 14 分)
已知数列{ }是公比为 3 的等比数列， 1， 2， 3 12 成等差数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) = 若 3 1 3 ，设数列{ }的前 项和为 ，求证：3 ≤ < 4．
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23.(本小题 14 分)
2
已知椭圆 的方程为 2 2 + = 1( > 1)，椭圆 的左、右焦点分别为 1、 2，过 2的直线 与椭圆 交于 、
两点( 、 均不在 轴上)．
(1) 2若椭圆 的离心率为 2 ，求 的值；
(2)若 = 2，左顶点为 ，求△ 的面积的最大值．
24.(本小题 14 分)
人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视
频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相
似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，定义 ， 之间的余弦距离为 1
cos( , )，其中 cos( , ) = 1 × 2 + 1 × 2 ．
2+ 2 2 2 2 2 2 21 1 2+ 2 1+ 1 2+ 2
(1)若 (2, 1)， (1, 2)，求 ， 之间的余弦距离；
(2) 已知 0 < < < 2， ( , )， ( , )， ( , )
1
，若 cos( , ) = 2，cos( , ) =
1
3，
①求 ， 之间的余弦距离；
②求 的值．
25.(本小题 14 分)
+1
已知函数 ( ) = 1 ( ∈ )为奇函数．
(1)求 的值；
(2)设函数 ( ) = + ，
①证明： = ( )有且只有一个零点；
2+1
②记函数 = ( )的零点为 0，证明： (2 0) > 2 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.0.4
17.[2,3]
18.[ 5 83 , 3 )
19. 24
20.解：(1)根据题意可得(0.0012 + 0.0018 + 0.003 + + 0.0012 + 0.0006) × 100 = 1，解得 = 0.0022；
这 100 户的用电量的平均数为 100 × 0.12 + 200 × 0.18 + 300 × 0.3 + 400 × 0.22 + 500 × 0.12 + 600 ×
0.06 = 322；
(2) ∵前几组的频率依次为 0.12，0.18，0.3，0.22，
0.71 0.12 0.18 0.3
根据题意可得第 71 百分位数 为 350 + 0.0022 = 400，
故 = 400．
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21.(1)证明：连结 交 于点 ，连 ，
∵底面 是正方形， ∩ = ，
∴ 是 的中点，
∵ 是 的中点，
∴ // ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2)取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ， ，
∵△ 是等边三角形，
∴ ⊥ ，
∵侧面 ⊥底面 ，侧面 ∩底面 = ，
∴ ⊥底面 ，
∵ ， 底面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴ ， ， 两两垂直，则分别以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，
不妨设 = 2，
则由已知得 (1,0,0)， ( 12 , 0,
3
2 )， ( 1,2,0)，
在平面 中， = ( 32 , 0,
3
2 )，
= ( 12 , 2,
3 ，
2 )
设 = ( 1, 1, 1)为平面 的一个法向量，
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3 3
= 0 2 1 +则 2
1 = 0 1 = 3 1
， = 0 12 1 + 2 1
3
2 1 = 0
1 = 1
令 1 = 1，则 = (1,1, 3)为平面 的一个法向量．
又∵平面 的一个法向量 = (0,0,1)
设二面角 平面角为 ，
= | | |0+0+ 3| 15则 | | | | = ，5 1 = 5
∴二面角 的余弦值为 15．
5
22.(1)数列{ }是公比为 3 的等比数列， 1， 2， 3 12 成等差数列，
可得 2 2 = 1 + 3 12，
所以 2 1 × 3 = 1 + 1 × 32 12，即 6 1 = 10 1 12，
解得 1 = 3，
所以 1 = 3 × 3 = 3 ；
(2) = 3 = 3

证明： 3

= 3 ，
= 1 + 2 + 3 + + 可得 3 32 33 3 ，
1 = 1 + 2 3则3 32 33 + 34 + +

3 +1，
1 1
2 1 1 1 1 1 (1 )
两式相减，可得 3 33 = 3+ ( 32 + 33 + 34 + + 3 ) 3 +1 = 1 1
3 +1，
3
= 3 2 +3所以 4 4 3 ，
= 3 2 +3 ( 3 2 +1 ) = 因为 +1 4 4 3 4 4 3 1 3 > 0，
所以数列{ }
1
是递增数列，则 ≥ 1 = 3，
2 +3 3 2 +3 3
又因为 4 3 > 0，可得 = 4 4 3 < 4，
1 3
综上可得：3 ≤ < 4．
23.(1)因为椭圆 的离心率为 2，
2
2 2 1 2
因此 2 = 2 =
2
2 = ( ，2 )
解得 = 2．
(2) = 2 时， 2 = 2 1 = 3，故 = 3，因此 1( 3, 0)， 2( 3, 0)，
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、 均不在 轴上，故直线 的斜率不为 0，
设直线 的方程为 = + 3， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
联立 = + 3与 4 +
2 = 1 得( 2 + 4) 2 + 2 3 1 = 0，
因 = 12 2 + 4( 2 + 4) = 16 2 + 16 > 0，
由韦达定理， 1 + =
2 3 1
2 2
，
+4 1
2 = 2+4，
因此| 1 2| = ( 21 + 2) 4 1 2，
2
代入 + = 2 3 1 2 ， =
1
，原式得 2 3 2 4 4 +1，
2+4 1 2 2+4 ( 2+4 ) + 2+4 = 2+4
2
又| 2| = 2 + 3，故△ 的面积 =
1
2 | 2| | 1 2| = 2(2 + 3)
+1，
2+4
2(4 + 2 3) +1 4+2 3 4+2 3 2 3
而 2+4
=
2+1+ 3
≤ = 1 +
2 2+1 3 3 ，
2+1 2+1
当且仅当 2 + 1 =
3 2
2 ，即 = 2 时等号成立， +1
因此△ 的面积的最大值为 1 + 2 3．3
24.(1)因为 ( 1, 1)， ( , )

2 2 之间的余弦距离为 1 cos( , )，cos( , ) = 1 × 2 + 1 ×
2+ 2 2+ 2 2 21 1 2 2 1+ 1
2 ，
22+
2
2
若 (2, 1)， (1, 2)，
则 1 cos( , ) = 1 ( 2 × 1 + 1 × 2 ) = 15 5 5 5 5，
∴ ， 1之间余弦距离为5；
(2)①由题意得 cos( , ) = + = cos( ) = 12，
∵ 0 < < < 2，∴ 2 < < 0，∴ sin( ) =
3
2 ，
∵ cos( , ) = = cos( + ) = 13，
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∴ cos( + ) = 13，∵ 0 < + < ，∴ sin( + ) =
2 2
3 ，
cos( , ) = sin2 cos2 = 2 = cos[( + ) ( )] = [ 1 × 1 3 2 2 1 62 3 + ( 2 ) × 3 ] = 6 + 3 ，
∴ 1 6 5 6， 之间的余弦距离为 1 cos( , ) = 1 ( 6 + 3 ) = 6 3 ；
1
②由①可得 cos( ) = 2，cos( + ) =
1
3，
+ = 1
∴ 2 ，
= 13
= 1
∴ 12，
= 512
∴ = cos cos = 5．
25.(1)由题意得， ( ) = +1 + +1 +1 1 = 1 = ( ) = 1 = 1 ，
所以 + = + 1，
即 ( 1) = 1 恒成立，
所以 = 1．
(2)①证明：当 ∈ (0, 2 )时，函数 = 与函数 = 均在(0, 2 )上单调递增，
所以 = ( ) = + 在(0, 2 )上单调递增，
又 ( 1 1 ) = 1 + sin < 0， (1) = 0 + 1 = 1 > 0，
所以 = ( ) = + 1存在唯一零点 0 ∈ ( , 1)，
当 ∈ [ 2 , ]时， = > 0， = ≥ 0，
所以 ( ) = + > 0，
当 ∈ ( , + ∞)时， = > > 1， = ≥ 1，
所以 ( ) = + > 0，
所以当 ∈ [ 2 , + ∞)时， = ( )无零点，
1
综上， = ( )有且只有一个零点，且该零点 0 ∈ ( , 1)；
1
②证明：由①可知 0 ∈ ( , 1)，
且 ( 0) = 0 + 0 = 0，
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故 0 = 0，2 0 = 2 0，
1
2
+1
0+1 2 2
所以 (2 ) = ( 2 ) = = 0 1+ 00 0 2 = = 1 +
2
，
0 1 12 1 1
2 1 2
0 00
令 ( ) = 1 + 21 2 = 1+ 2(1
2) 1，
2 4
则 ′( ) = 2 × (1 2)2 = (1 2)2．
当 ∈ ( 1 , 1)时， ′( ) > 0，
所以 ( ) 1在( , 1)上单调递增，
2
所以 ( 0) > (
1 ) = 1 + 2 = +1 ，1 (1 )2
2 1
2
即 (2 0) >
+1
2 1，得证．
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