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2024-2025 学年甘肃省张掖中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点 ( 2,1)， (1,4)， (0, 3)，则 + =( )
A. (5, 1) B. ( 3,3) C. (1,7) D. ( 1,7)
2. 70° 40° 110° 50°的值为( )
A. 3 1 1 32 B. 2 C. 2 D. 2
3.已知复数 满足(1 ) = 2，则 =( )
A. 1 B. 1+ C. 1 D. 1 +
4 3.已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 = 3， = 5， = 4，则 =( )
A. 5 B. 54 3 C.
2 5 D. 4 59 9
5.已知一组数据 12，17，15， ，20 的平均数为 16，则这组数据的第 65 百分位数为( )
A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5
6.在△ 中，内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，若 2 = + ，则 =( )
A. 2 3 B.
5
6 C. 6 D. 3
7.已知 = 35， ∈ (
3
2 , 2 ) tan

，则 2 =( )
A. 2 B. 2 C. 12 D.
1
2
8.已知是 1, 2平面内两个不共线向量， = 1 2, = 2 1 2, = 3 1 2 2，若 ， ， 三点共
线，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列结论正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 + + 3 = 3，则△ 是钝角三角形
C.若 = ，则△ 为等腰三角形
D. 若 = = ，则△ 是等边三角形
10.已知向量 = (1,3), = (2, ), ( + ) ⊥ ，则( )
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A. = (2, 3) B.向量 、 3 的夹角为 4
C. | + 1 2 | = 5 D. 在 上的投影向量是( 1,2)
11.下列说法正确的是( )
A.若 = 1 + 3 ，则| | = 10
B.若 = 2 + 4 ，则复数 在复平面内对应的点在第四象限
C.若复数( 2 5 + 6) + ( 2 3 ) 是纯虚数，则实数 的值为 2
D.若 2 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的根，则 = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.与平面向量 = (5, 12)同向共线的单位向量的坐标为______．
13.有一组样本数据 5， 1， 2，…， 5，已知它的平均数为 5，方差为 20，则新数据 1， 2，…， 5的方差
为______．
14 sin
2 + 2
.已知 = 2，则sin2 +2 2 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = + (7 ) , 2 = 5 + ( 2 + 6 13) ，( ∈ )．
(1)若 2的实部与 1的模相等，求 的值；
(2)若复数 1 + 2在复平面上的对应点在第四象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
4 5
已知 、 均为锐角， = 5 , cos( + ) = 13．
(1)求 ，sin( + )的值；
(2)求 sin(2 + )的值．
17.(本小题 15 分)
某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了 200 名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分
数据按[40,50)，[50,60)， ，[90,100]依次分为第一至第六组(所有评分 满足 40 ≤ ≤ 100).统计各组频数
并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的 值；
(2)求业主评分平均数的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
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(3)从评分低于 70 分的业主中用分层随机抽样的方法抽取 14 人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组
被抽到的业主人数分别是多少？
18.(本小题 17 分)
3
已知平面向量 与 的夹角为 4，且| | = 1，| | = 2．
(1)求向量 3 + 2 的模；
(2)若( + 2 ) ⊥ ( )，求实数 的值；
(3)设 为实数，求| |的最小值．
19.(本小题 17 分)
若函数 ( )满足：存在实数 ( ≠ 0)， ，使得对于定义域内的任意实数 ，均有 ( ) = ( + ) + (
)成立，则称函数 ( )为“可平衡”函数；有序数对( , )称为函数 ( )的“平衡”数对．
(1)若 = 3，当 满足什么条件时， ( ) = 为“可平衡”函数，并说明理由；
(2) 是否存在( , )为函数 ( ) = cos2 (0 < < 4 )的“平衡”数对，若存在，求 的值；若不存在，请说明
理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 513 ,
12
13 )
13.24
14.43
15.解：(1)由题意，5 = 2 + (7 )2，化简为 2 7 + 12 = 0，解得 = 3 或 4；
(2)复数 1 + 2 = 5 + + ( 2 + 5 6) ，在复平面上的对应点(5 + , 2 + 5 6)在第四象限，
所以 5 + > 0 且 2 + 5 6 < 0，解得 5 < < 1，
故 的取值范围为( 5,1)．
16.(1) 3因为 为锐角，所以 = 1 sin2 = 5，
由 + ∈ (0, )，可得 sin( + ) = 1 cos2( + ) = 1213；
(2)因为 = 35，sin( + ) =
12
13，
所以 sin(2 + ) = sin[( + ) + ] = sin( + ) + cos( + ) = 12 3 513 × 5 + 13 ×
4
5 =
56
65．
17.解：(1)根据题意可知，(0.005 + 0.01 × 2 + 0.02 + 0.025 + ) × 10 = 1，解得 = 0.030；

(2)根据题意可知， = 45 × 0.05 + 55 × 0.1 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.1 = 74，
故业主评分平均数的估计值为 74；
(3)评分低于 70 分的三组频率之比为 1：2：4，
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1 2 4
故第一组抽到的人数为 14 × 1+2+4 = 2，第二组抽到的人数为 14 × 7 = 4，第三组抽到的人数为 14 × 7 = 8，
即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是 2，4，8．
18.(1)因为平面向量 与 3 的夹角为 ，且| | = 1，|4 | = 2，
所以 = 1 × 2 × ( 22 ) = 1．
2 2
所以|3 + 2 |2 = 9 + 12 + 4 = 9 12 + 8 = 5，
所以|3 + 2 | = 5；
(2)因为( + 2 ) ⊥ ( )，
2
所以( + 2 ) ( ) = 2 + (2 1) 2 = 0，
所以 (2 1) 4 = 0，解得 = 3；
2
(3)因为| |2 = 2 2 + 2 = 1 + 2 + 2 2 = 2( + 12 )
2 + 12，
所以当 = 1 22时，| |取得最小值为 2 ．
19.解：(1) = 2 ± 6 ( ∈ )，理由如下：
因为 ( ) = 为“可平衡”函数，
由题意可得 3 ( ) = ( + ) + ( )对于定义域内的任意实数 成立，
即 3 = sin( + ) + sin( )对于定义域内的任意实数 成立，
所以 3 = + + = 2 ，
即( 3 2 ) = 0 对于定义域内的任意实数 成立，
则 3 2 = 0 3， = 2 ，

解得 = 2 ± 6 ( ∈ )，
综上，当 = 3， = 2 ± 6 ( ∈ )时，函数 ( ) = 为“可平衡”函数．
(2)存在， = 2，理由如下：
假设存在实数 ( ≠ 0)， ，使得 ( ) = cos2 对于定义域内的任意实数 ，
均有 ( ) = ( + ) + ( )成立，
则 2 = cos2( + ) + cos2( )对于定义域内的任意实数 成立，
1+ 2 = 1+cos[2( + )] + 1+cos[2( )]即 2 2 2 ，
即 (1 + 2 ) = 2 + cos(2 + 2 ) + cos(2 2 ) = 2 + 2 2 2 ，
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即( 2 2 ) 2 + 2 = 0 对于定义域内的任意实数 成立，
因为 0 < < 4，所以 0 < 2 <

2，0 < 2 < 1，
2 2 = 0
所以 2 = 0 ，即 = 2， 2 = 1，解得 = ( ∈ )，
综上，当 = 2， = ( ∈ )时，函数 ( ) = cos2 为“可平衡”函数．
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