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2024-2025 学年辽宁省朝阳实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为整数集， = { ∈ | 2 > 4}，则 =( )
A. {0,1} B. { 1,0,1,2} C. {0,1,2} D. { 2, 1,0,1,2}

2.若 = + ，则 =( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 4
3.已知 , 为单位向量，若( + 2 ) ⊥ (3 )，则 cos , =( )
A. 3 B. 3 15 5 C. 5 D.
1
5
4.随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京、北京、西安、厦门、杭州这
5 个城市中选 2 个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为( )
A. 15 B.
3
10 C.
2 2
5 D. 3
5 .已知函数 ( )为定义在[1 , 4]上的偶函数，在[0,4]上单调递减，并且 ( 5 ) < (2)，则实数 的
取值范围是( )
A. [ 3,1] B. ( ∞, 3) ∪ (1, + ∞)
C. [ 3,1) ∪ (3,5] D. [ 5, 3) ∪ (1,3]
6 2 = 2 ( 2 , 1.已知抛物线 ： ，过点 3 2 )的直线 与 相交于 ， 两点，且 为弦 的中点，则直线 的方程
为( )
A. 6 + 6 7 = 0 B. 6 6 1 = 0
C. 2 6 5 = 0 D. 12 6 5 = 0
7.若存在 ， ∈ ，使得直线 = + 与 = ， = 2 + 的图象均相切，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. ( ∞,1] C. [ 1, + ∞) D. [1, + ∞)
2 2
8 .已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，且椭圆上存在点 ，使得| 1| = 7| 2|，
则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. (0, 34 ) B. (0,
3 3 3
4 ] C. [ 4 , 1) D. ( 4 , 1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 ：( )2 + 21 = 1 与圆 2：( 2)2 + ( )2 = 9 内切，则 的值可以为( )
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A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
10.已知函数 ( ) = ( + )2 1，则( )
A.函数 ( )的最小正周期为
B. ( ) 函数 的图象关于直线 = 4对称
C.函数 ( ) 的图象关于点( 6 , 0)对称
D.函数 ( ) 3 1在区间[ 6 , 12 ]上的值域为[ 2 , 2 ]
11.在正方体 1 1 1 1中， 1 = 2，点 在线段 1上运动，点 在
线段 1上运动，则下列说法中正确的有( )
A.当 为 1中点时，三棱锥 1的外接球半径为 2
B.线段 长度的最小值为 2
C.三棱锥 1 的体积为定值
D.平面 截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 5 3.已知锐角 ， 满足 = 5 , = 5，则 cos( ) = ．
13.在等差数列{ }中， 1 = 20
3
，其前 项和为 +1 ， +1 = 2，则 20 =______．
2
14 ( ) = , 0 ≤ ≤ 1 3
2
1+1.已知函数 , > 1 ，若存在实数 1， 2( 2 > 1 ≥ 0)满足 ( 1) = ( 2)，则 2 的最大值为2
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
△ 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ，且 = 4 ．
(1)求△ 的外接圆的半径；
(2)若 + = 2，且 = 2 3，求 边上的高．
16.(本小题 15 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中， = 2， 1 = 4，点 为 的中点．
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(1)求证： 1 //平面 1 ；
(2)求直线 与平面 1 所成的角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知某种机器的电源电压 (单位： )服从正态分布 (220, 202).其电压通常有 3 种状态：①不超过 200 ；②
在 200 240 之间；③超过 240 .在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为 0.4，
0.5，0.6．
(1)求该机器生产的零件为合格品的概率；
(2)为了检测零件是否合格，在一批零件中任意抽取 4 件，记这 4 件中合格品有 个，求 的分布列、数学期
望和方差．
附：若 ( , 2)，则 ( < < + ) = 0.68， ( 2 < < + 2 ) = 0.95
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)过点 ( 3 2, 4), (6,4 3)．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过 的右焦点的直线 与 交于 ， 两点，且以 为直径的圆过坐标原点 ，求直线 的方程．
19.(本小题 17 分)
3
设函数 ( ) = + +1 4 ( ∈ ( 1, + ∞))，其中 是自然对数的底数， ≈ 2.71828 ．
(1)若 = 1，求 ( )的最小值；
(2)若 ∈ (0,4 )，证明： ( ) > 0 恒成立．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 55
13. 37
3 114. 32
15. 1解：(1)在△ 中，2 = =

4 ，解得 = 2 ，
△ = 1 由正弦定理得： 的外接圆的半为径 2 = 1．
(2)由(1) 2 知， = 2 3 = 3，
2
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 3 = ( + )
2 ，
则 = 22 ( 3)2 = 1，
令 边上的高为 ，
1 = = 1 1则2 4 ，即 = 2 = 2，
1所以 边上的高为2．
16.解：(1)证明：在正三棱柱 1 1 1中，连接 1与 1 交于点 ，连接 ，
由四边形 1 1是矩形，得点 是 1的中点，又点 是 的中点，
则 // 1 ，又 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ．
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(2)取 1 1的中点 ，连接 ，在等边△ 中，点 为 的中点，则 ⊥ ，
以点 为原点，直线 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0), ( 3, 0,0), 1(0, 1,4), (0, 1,0), (0,1,0), 1( 3, 0,4), = ( 3, 0,0), 1 = (0, 1,4)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = 3 = 0
则 ，则 ，
⊥ 1 1 = + 4 = 0
令 = 1，得 = (0,4,1)，
而 = ( 3, 1,0)，

则|cos | = | | = 4 = 2 17，
| | | | 2 17 17
所以直线 与平面 2 171 所成角的正弦值为 ．17
17.(1)记电压“不超过 200 ”、“在 200 240 之间”、“超过 240 ”分别为事件 ， ， ，
“该机器生产的零件为合格品”为事件 ，
因为 (220, 202)，
所以 ( ) = ( ≤ 200) = 1 ( < < + ) = 1 0.682 2 = 0.16，
所以 ( ) = (200 < < 240) = ( < < + ) = 0.68，
所以 ( ) = ( ≥ 240) = 1 ( < < + )2 =
1 0.68
2 = 0.16，
所以 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = (1 0.4) × 0.16 + (1 0.5) × 0.68 + (1 0.6) ×
0.16 = 0.5，
所以该机器生产的零件为合格品的概率为 0.5；
(2)由题意可知， ～ (4,0.5)，
则 ( = 0) = 0 × 0 50 × (1 0.5)4 = 1 ( = 1) = 1 × 0 51 × (1 0.5)3 = 14 ． 16， 4 ． 4，
( = 2) = 24 × 0．52 × (1 0.5)2 =
3
8， ( = 3) =
3 × 0．534 × (1 0.5)1 =
1
4，
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( = 4) = 44 × 0
1
．54 × (1 0.5)0 = 16，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
1 1 3 1 1
16 4 8 4 16
所以 的数学期望为 ( ) = 4 × 0.5 = 2，
的方差为 ( ) = 4 × 0.5 × (1 0.5) = 1．
18 16 = 1
18. 2 2解：(1)由题可得： 36 48 ，
2 2 = 1
2
解得： = 92 ， = 16
2 2
所以双曲线 ： 9 16 = 1；
(2)由题， 2 = 2 + 2 = 25，所以双曲线 的右焦点为(5,0)，
当直线 的斜率不存在时， ： = 5，
(5, 16此时 3 ), (5,
16
3 )，
所以 = (5, 16 ), 3
= (5, 163 )，
又 = 25 2569 ≠ 0，
所以以 为直径的圆不经过坐标原点，
即直线 的敘率存在，
设 ： = + 5， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 5
联立方程组 2
2 ，化简得(16 2 9) 2 + 160 + 256 = 0，
9 16 = 1
16 2 9 ≠ 0 3
由题有： = (160 )2 4 × (16 2 9) × 256 > 0，即 ≠± 4，
160 256
所以 1 + 2 = 16 2 9 , 1 2 = 16 2 9，
因为以 为直径的圆经过坐标原点，
所以 ⊥ ，即 = 0，
又 = ( 1, 1), = ( 2, 2)，
所以 = 1 2 + 1 2 = ( 1 + 5)( 2 + 5) + 1 2
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= ( 2 + 1) 1 2 + 5 ( 1 + 2) + 25
= ( 2 + 1) × 256 160 16 2 9+ 5 × 16 2 9 + 25 = 0，
31
解得： =± 12 ，
31
所以 ： =± 12 + 5，
12 31
即 =± 31 ( 5)．
19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = + 1 3 +1 4，
所以 ′( ) = 1( +1)2，( > 1)，
令 ( ) = ′( ) = 1( +1)2，( > 1)，
′( ) = + 2( +1)3 > 0，( > 1)，
所以 ′( )单调递增，又 ′(0) = 0，
所以当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) 5 = (0) = 4．
(2)证明：设 ( ) = ( ) = ( 1 3 1 3 +1 4 ) + = 4( +1) + ，
若 ∈ ( 1, 1 ] 1 3 3 ，则4( +1) > 0，
所以 ( ) ≥ (0) = > 1，
若 ∈ ( 1 , + ∞) 1 3 1 3 3 ，则4( +1) > 4( +1) 4 ，
所以 ( ) ≥ (4 ) = + 4 +1 3 ，
设 ( ) = + 4 +1 3 ，
则 ′( ) = 4 ( +1)2，
令 ( ) = ′( ) = 4 ( +1)2，
′( ) = + 8 ( +1)3 > 0，
所以 ′( )单调递增，又 ′(1) = 0，
所以 ∈ ( 13 , 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
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∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) = (1) = 0，
所以 ∈ ( 1, + ∞)， ( ) > 0，即 ( ) > 0．
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