资源简介

2024-2025 学年黑龙江省实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若曲线 = 2 在 = 1 处的切线的斜率为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
2 1 1.已知数列{ }满足 +1 = 1 ，且 1 = 3，则 2025 =( )
A. 1 33 B. 2 C. 2 D. 2
3.研究表明某地的山高 ( )与该山的年平均气温 (℃)具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方

程 = 0.2 + 6，则下列说法错误的是( )
A.年平均气温为 5℃时该山高估计为 5
B.该山高为 8 处的年平均气温估计为 10℃
C.该地的山高 与该山的年平均气温 的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关
D.该地的山高 与该山的年平均气温 成负相关关系
4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做
出了重要贡献.“十二平均律”是将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，
每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第一个单音频率的 2
倍.如图，在钢琴的部分键盘中， 1， 2，…， 13这十三个键构成的一个纯八度音程，若其中的 1(根音)，
5(三音)， 8(五音)三个单音构成了一个原位大三和弦，则该和弦中五音与根音的频率的比值为( )
12 12 3
A. 25 B. 2 C. 27 D. 22
5 1 25.已知 > 0， > 0，且 9 是3 和3 的等比中项，则 + 的最小值是( )
A. 365 B. 36 C. 9 D. 49
6 1.已知函数 ( ) = 2 + + 在(1, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. [0,3] B. [3, + ∞) C. ( 1, + ∞) D. [ 1, + ∞)
第 1页，共 8页
7.已知 ， 分别是等差数列{ } { }
3 +1
与 的前 项和，且 = 2 1 ( = 1,2, )

，则 5 =( ) 5
A. 8 B. 16 C. 283 9 17 D.
4
3
8.函数 ( ) = ( 3)( )，若 ( ) ≥ 0 恒成立，则 ( + 1)的取值范围是( )
A. ( ∞,3] B. (0,3 ] C. [3, + ∞) D. ( ∞, }
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 35 > 0， 36 < 0，则下列结论正确的是( )
A.数列{ }是递增数列 B. 18 > 0
C.当 取得最大值时， = 18 D. | 18| > | 19|
10.下列结论正确的是( )
A.当研究两个变量之间的关联程度时，若相关系数的绝对值| |越接近于 0，则两个变量的线性相关程度越
强
B.在评估模型拟合效果时，决定系数 2越接近 0，表示模型对数据的拟合效果越差

C.通过样本数据得到的回归直线 = + 一定经过点( , )
D.设关于分类变量 与 的独立性检验的原假设为 0： 与 无关，根据分类变量 与 的成对样本数据，计
算得到 2 = 3.541，依据 = 0.05 的独立性检验( 0.05 = 3.841)，没有充分证据推断 0不成立，即认为 与
无关．
11.已知正项等比数列{ }的公比为 ，函数 ( ) =
1 3 13 2 (9 + )
2
+2 + 9 2 +1 ( ∈ )，则( )
A.当 = 3 时， ( )无极值
B.当 = 4 时， ( )的极小值点为 +2
C.当{ }是递增数列时， ( )在( +2, + ∞)上单调递增
D.当{ }是递减数列时， ( )在( +2, 9 )上单调递减
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从正态分布 ( , 2)，若 ( < 2) = ( > 8) = 0.13，则 (2 ≤ < 5) = ______．
13.等比数列{ }的前 项和为 ，且 1 + 3 = 6， 2 + 4 = 12，则 8 = ______．
14.已知函数 ( ) = 3 + 3( 2 2) + 3 在 = 1 处取得极大值，则实数 的取值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某工厂在改进生产技术后，针对新旧两种技术所生产的电子元件实施质量检测，现从每种技术生产的产品
第 2页，共 8页
中各随机抽取容量为 50 的样本进行电压测试.已知标准电压为 3.5 ，误差绝对值不超过 0.1 的电子元件为
优品，超过 0.1 的电子元件为良品．
(1)已知旧技术生产的 50 个样本电子元件的电压测量值 近似服从正态分布 ( , 2)， 的近似值为样本均值
3.5， 的近似值为样本标准差 0.04.假设该工厂前期运用旧技术已生产电子元件 60000 个，试估算旧技术生
产的电子元件电压测量值高于 3.58 的有多少个？
(2) 4从新技术生产的 50 个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为5 .请补全以下 2 × 2 列联表，依据小
概率值 = 0.050 的独立性检验，能否认为电子元件的优良情况与新旧技术有关？
优品良品合计
旧技术
新技术
合计 25
附：若随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( < ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 < ≤ + 2 ) ≈
2
0.9545. 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.100 0.050 0.025 0.005
2.706 3.841 5.024 7.879
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }的首项 1 = 5，且满足 +1 = 3 2( ∈ ).
(1)求数列{ }的通项公式和前 项和 ；
(2) 1 3记 = log3( 1)，求数列{ }的前 项和 ，并证明 < +2 4
．
17.(本小题 15 分)
( ) = 1已知函数 22 (1 + ) + ( ∈ )．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)当 < 0 时 ( ) ≤ ln( ) 恒成立，求实数 的最小值．
18.(本小题 17 分)
华为 70 的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐.某手机店今年
2～6 月份 70 手机的销量如下表所示：
第 3页，共 8页
月份 2 3 4 5 6
手机销量 (部) 42 53 66 109

用最小二乘法得到手机销量 (单位：部)关于月份 的回归直线方程为 = 16.1 + 5.6，且销量 的方差 2 =
542．
(1)求 ；
(2)求相关系数 (精确到 0.01)，并据此判断手机销量 与月份 的相关性强弱(若 > 0.9，则可判断 与 线性
相关较强)；

(3)求 = 4 时的残差 3；已知( 21) + ( 2 2)2 + ( 2 24 4) + ( 5 5) = 101.9，求决定系数 2(精
确到 0.01)．
(
附：相关系数 = =1
)( ) 2，决定系数 2 = 1 =1
( )

2 , 271 ≈ 16.46．
=1 ( )2

=1 ( )2
=1 ( )
19.(本小题 17 分)
在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿( , 1643 1727)在《流数
法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设 是函数 = ( )的一个零点，任意选
取 0作为 的初始近似值，曲线 = ( )在点( 0, ( 0))处的切线为 1，设 1与 轴交点的横坐标为 1，并称 1
为 的 1 次近似值；曲线 = ( )在点( 1, ( 1))处的切线为 2，设 2与 轴交点的横坐标为 2，称 2为 的 2
次近似值.一般地，曲线 = ( )在点( , ( ))( ∈ )处的切线为 +1，记 +1与 轴交点的横坐标为 +1，
并称 +1为 的 + 1 次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取 为方程 ( ) = 0 的近似解.现
在用这种方法求函数 ( ) = 2 2 的大于零的零点 的近似值，取 0 = 2．
(1)求 1和 2；
(2)求 和 的关系( ∈ 1 )；
(3)证明： 2 < =1 < 2 + 1( ∈ )．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.37
13.306
14. 2
15.(1)由题意，旧技术生产的电子元件的电压测量值 ～ (3.5, 0.042)，
所以 ( > 3.58) = ( > + 2 ) = 1 ( +2 ≤ ≤ +2 )2 =
1 0.9545
2 = 0.02275，
所以旧技术生产的 60000 个电子元件中电压测量值高于 3.58 的估计有：60000 × 0.02275 = 1365 个．
(2) 4因为从新技术生产的 50 个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为5．
4
所以新技术生产的 50 个样本元件中优品数为：50 × 5 = 40，良品数为：50 40 = 10，
则旧技术生产的元件良品数为：25 10 = 15，优品数为：50 15 = 35，完成 2 × 2 列联表如下：
优品 良品 合计
旧技术 35 15 50
新技术 40 10 50
合计 75 25 100
零假设为 0：认为电子元件的优良情况与新旧技术无关，
2 = 100×(35×10 40×15)
2
所以 50×50×75×25 ≈ 1.333 < 3.841，
第 5页，共 8页
所以依据小概率值 = 0.050 的独立性检验，零假设为 0成立，
即认为电子元件的优良情况与新旧技术无关联．
16.(1)数列{ }的首项 1 = 5，且满足 +1 = 3 2( ∈ )，整理得 +1 1 = 3( 1)，故数列{ 1}
是以 4 为首项 3 为公比的等比数列；
所以 1 = 4 × 3 1，故 1 = 4 × 3 + 1；
3 1
所以 0 = 4 × (3 + 31 + . . . + 3 1) + = 4 × 2 + = 2 × 3
2 + ．
(2)由(1)得： = log3( 1) = log34 + 1，
1 1 1 1 1

=
+2 2
( ) = +2 [ 34+( 1)][ 34+( +1)]
，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = 2 ( + ) = ( + 1 2 +1 +2 2 34 34+1 +1
) < ( +
+2 2 34 34+1
)，
1 1 1
由于 4+ 4+1 < 3 +
1
3+1 = 1 +
1 3
3 3 3 3 2
= 2，
3
所以 < 4．
17.(1) ′( ) = (1 + ) + 1 = ( 1)( 1) ， > 0，
当 0 < < 1 1 1时，由 ′( ) > 0，得 0 < < 1 或 > ；由 ′( ) < 0，得 1 < < ，
1 1
函数 ( )在(0,1), ( , + ∞)上单调递增，在(1, )上单调递减；
当 = 1 时， ′( ) ≥ 0 恒成立，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > 1 1时，由 ′( ) > 0，得 0 < < 或 > 1；由 ′( ) < 0
1
，得 < < 1，
1
函数 ( )在(0, ), (1, + ∞)
1
上单调递增，在( , 1)上单调递减，
当 ≤ 0 时，由 ′( ) > 0，得 0 < < 1；由 ′( ) < 0，得 > 1，
函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减；
所以当 ≤ 0 时，函数 ( )的递增区间为(0,1)，递减区间为(1, + ∞)；
当 0 < < 1 ( ) 1 1时，函数 的递增区间为(0,1), ( , + ∞)，递减区间为(1, )；
当 = 1 时，函数 ( )的递增区间为(0, + ∞)；
当 > 1 时，函数 ( )的递增区间为(0, 1 ), (1, + ∞)
1
，递减区间为( , 1)．
(2)由(1)知当 < 0 时，函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，

则 ( ) = (1) = 1 2，
第 6页，共 8页
ln( ) ≥ 1 依题意， 2，即 ≥ ln( ) 1 +

2恒成立，
令函数 ( ) = ln( ) 1 + 2 ( < 0)
1 1 +2
，求导得 ′( ) = + 2 = 2 ，
当 < 2 时， ′( ) > 0，当 2 < < 0 时， ′( ) < 0，函数 ( )在( ∞, 2)上递增，在( 2,0)上递
减，
即 ( ) = ( 2) = 2 2，因此 ≥ 2 2，
所以 最小值为 2 2．
18. 解：(1) = 15 (2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 4 =
1
， 5 (42 + 53 + 66 + + 109) =
270+
5 ，

将(4, 270+ 5 )代入 = 16.1 + 5.6
270+
，得 5 = 16.1 × 4 + 5.6，解得 = 80．

(2)由 = 4，得5 =1 (
2 2 2
) = ( 2) + ( 1) + 02 + 12 + 22 = 10，
由 2 1 5
2 5 2
= 5 =1 ( ) = 542，得 =1 ( ) = 2710，
5 ( )( 5
= =1
) 5 =1 ( )( ) =1 ( )
2
= = 16.1 × 10 = 16.1所以
5 5
2 ≈ 0.98 > 0.9，
=1 ( )2
5 2 ( ) 5 2 2710 271
=1 ( ) =1 =1 ( )
所以手机销量 与月份 的线性相关较强．

(3) 3 = 3 3 = 66 (16.1 × 4 + 5.6) = 4，
所以5 =1 ( )
2 = 101.9 + ( 4)2 = 117.9，
52 =1 ( )
2
所以 = 1 5 = 1
117.9 ≈ 0.96．
=1 ( )2 2710
19.(1)函数 ( ) = 2 2，则 ′( ) = 2 ， ′(2) = 4， (2) = 4 2 = 2，
所以直线 1的方程为 2 = 4( 2)，
令 = 0 3，得 1 = 2，
( 32 ) =
1 3
4， ′( 2 ) = 3，
1 3
所以直线 2的方程为 4 = 3( 2 )，
令 = 0，得 2 =
17
12．
(2)由题意得， ： ( 2 1 2) = 2 1( 1)，
2
令 = 0 +2，得 = 1 2 ． 1
第 7页，共 8页
2
(3) (2) = 1+2 = 1 2证明：由 知， 2 1 2
( 1 + )， 1
2 = 1 4所以 2 4 ( 1 + 2 + 4)， 1
由几何意义易知： 2 < ≤ 2，
所以 2 < =1 ，
2 > 2 2 = 1 ( 2 + 4 + 4) < 1 ( 2 + 4 + 4) = 1由 得， 2 4 1 2 4 1 2 4 ( 1 + 6)， 1
即 2 <
1 2
4 ( 1 + 6)，所以
2
2 <
1
4 (
2
1 2) < < (
1
4 )
( 20 2) =
2
4 ，
2 1
所以 < 2 + 4 < 2 + 2 ，
1
2(1
1 )
所以 =1 < 2 +
2
1 = 2 + 1
1
2 < 2 + 1，1 2
即 2 < =1 < 2 + 1( ∈ )．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑