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2024-2025学年山东省济宁市育才中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
4.记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.底面半径为的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为、高为的圆锥，所得圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，，是的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. D. 若，则的最小值为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 若在区间恰有两个零点，则的取值范围为
C. 若，且，则
D. 若在区间恰有两个极值点，则的取值范围为
11.已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是( )
A. 若为的外心，，，则
B. 若为的垂心，，则
C. 若，则与的面积之比为：
D. 若，的面积为，则的面积为
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为______．
13.如图，在直三棱柱中，是的三等分点靠近点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______．
四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为______．
15.本小题分
已知向量．
若，求实数；
若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
16.本小题分
如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为．
求该半球的体积；
若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积．
17.本小题分
已知，函数．
求函数的解析式；
若，且，求的值；
在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，求周长的取值范围．
18.本小题分
如图，在梯形中，已知，，，点、分别在直线和上，且，连接交于点．
设，用和表示，并求实数的值；
求的取值范围．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，
若，
求；
若，设点为的费马点，求；
若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
参考答案
1.
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10.
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13.：
14.
15.解：已知向量．
，
，
，
解得；
由知，，
向量与所成角为锐角，
，
解得，
又当时，，
可得实数的范围为．
16.解：连接，交点为，
设球的半径为，由题意可知，则，
所以四棱锥的体积为，解得，
所以该半球的体积为；
由题意知，
所以所得几何体的表面积为：
．
17.由，，
所以
，
即；
因为，
即，
化简得，
因为，所以，
所以，
则
；
因为，即，
即，
又，则，
所以，所以，
由正弦定理有，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，
解得，所以，
则
所以，则，
所以的周长的取值范围为．
18.以为坐标原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，
可得，，，则，
根据平面向量的加法法则，可得，
设，可得，解得，所以；
若，
则根据、、三点共线，可知存在实数，使，
所以，解得．
因为，，
可得，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为．
19.解：由正弦定理得，即，
所以，又，
所以；
由，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
；
因为，
所以，
所以，即，
所以或，
当时，，为直角三角形，
当，
则，
得，在三角形中不可能成立，
所以为的直角三角形，
因为点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或舍去，
故实数的最小值为．
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