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2024-2025学年云南省保山市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
2.已知复数为纯虚数其中为虚数单位，则实数( )
A. B. C. D.
3.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的小圆锥的高是圆台的一半，若小圆锥的母线长为，则圆台的母线长为( )
A. B. C. D.
4.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是( )
梯形的直观图可能不是梯形
相等的线段在直观图中仍然相等
不相等的线段在直观图中一定不相等
线段的中点仍是线段的中点
A. B. C. D.
5.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
6.在一个棱长为的正三棱柱实心模具中，切削出一个球，则球的最大半径为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数，满足，对任意，，且当时，都有成立，设，，，则下列不等关系式成立的是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数至少有一个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是平面内的一组基底，则下列命题正确的是( )
A. 若向量，则的相反向量为
B. 若向量与共线，则
C. 若，则
D. 若是平面内的任意向量，则存在唯一实数对，，使
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，下列命题正确的是( )
A. 若的三边长分别为，，，则为钝角三角形
B. 在锐角三角形中，不等式恒成立
C. 在中，若，，，则此三角形有两解
D. 已知角，当角增大时边长不变，的面积先增大后减小
11.如图，数学史上有一个著名的问题“哥尼斯堡七桥问题”普鲁士的哥尼斯堡城市中有一条河和两个小岛，有七座桥连接其中一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥？数学家欧拉将此问题转化为了一个几何问题“一笔画问题”，证明了“七桥问题”无解，并开创了数学的一个新的分支几何拓扑学下列图形能用不重复线条一笔画出的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与平行，则 ______．
13.如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，若正方形的边长为，则原图形中边的长 ______．
14.在中，，，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在复平面上，点、对应的复数分别为，．
求向量对应的复数；
将向量绕原点逆时针旋转得到向量，求点对应的复数；
在的条件下，求的面积．
16.本小题分
在中，，为边上的一点，且，．
若，求边的长；
若，求的面积．
17.本小题分
近年来，为丰富市民的娱乐生活，各地都建设了不少摩天轮供市民游玩，保山市青华海湿地公园旁就屹立着一座名为“保山之星”的摩天轮如图，若该摩天轮的转盘直径为，摩天轮支柱塔基高为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．
已知在时刻单位：时点距离地面的高度其中，，，求函数的解析式及时点距离地面的高度；
当点距离地面及以上时，可以看到青华海湿地公园的全貌，求摩天轮转一圈中，游客有多长时间可以看到公园的全貌精确到小数点后一位数字．
18.本小题分
如图，我们把平面内两坐标轴与的夹角为的坐标系称为“斜角坐标系”设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的“斜角坐标”．
若向量的斜角坐标为，求；
已知向量、的斜角坐标分别为和，证明：；
已知函数，且，，若方程在时有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
19.本小题分
向量是近代数学中重要的概念之一，是沟通几何和代数的桥梁，人们经常用向量帮助解决和证明几何问题如图，在中，
已知点是边上的中点，用向量法证明：中线的长度满足：；
记角，，的对边分别为，，，设为平面的一个单位向量，若与的夹角为，现构造等式，试用向量方法证明：．
上述结论被称为“射影定理”，常用于解三角形的运算和证明在中，若，求的最大值．
参考答案
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14.
15.依题意，对应的复数为．
先将化为三角形式：
复数的模，辐角为．
对于，，则，其中，．
根据复数三角形式的乘法运算，复数绕原点逆时针旋转即弧度后得到的复数为．
根据诱导公式，，则旋转后的复数．
把，代入，可得．
依题意可知，，，所以：
；
；
．
所以：
，
则为锐角，所以．
根据三角形面积公式得：
．
16.在中，，为边上的一点，且，
又，
则，，，，
又，
结合正弦定理可得：，
即；
已知，
则，
即，
即，
又，
则，，，
即，
则的面积为．
17.依题意，，，，则，
由于点的起始位置在最低点处，则可取，
摩天轮做匀速转动，则点旋转所得的角为，
因此，
于是，
所以时点距离地面的高度为；
由知，令，
即，整理得，
三角不等式的解为：，，
令，取即一个周期内，
，
时长为：，
所以转动一圈过程中，有时间可以看到公园全貌．
18.：，，，
又，，
，
；
证明：易知，，，，
又，，
，
原命题得证；
，，
，
又，，即，
令，，，即，
记，
由对勾函数性质知在上单调递减，在上单调递增，
又，，
由方程有两个不同的实数解，结合图象知，，
解得：，实数的取值范围为．
19.证明：如图，点为的中点，
，
，
又，
两式平方得，，
，
两式相加得，，
，
即，
；
证明：如图，与的夹角为，
，
同理，
．
由已知，，
得，
，
，
即，得证；
，，
即，
，，
又，，为钝角，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最大值为．
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