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2024-2025学年福建省漳州一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A. B.
C. D.
3.若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D.
5.下列说法错误的是( )
A. 若随机变量服从正态分布，且，则
B. 若事件，相互独立，，则
C. 对具有线性相关关系的变量，，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
D. 对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强
6.已知命题：曲线向右平移个单位长度得到曲线；命题：“，”的否定为“，”，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
7.在平行六面体中，，，，则直线，所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数为，则( )
A. 一定是偶函数
B. 一定有极值
C. 一定存在递增区间
D. 对任意确定的，恒存在，使得
10.在斜三角形中，角，，的对边分别为，，若，则( )
A. 为锐角三角形 B.
C. 若，则 D.
11.若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点与，不重合，，则下列结论中正确的是( )
A. 线段长度的取值范围是
B. 存在点使得平面
C. 存在点使得
D. 存在点使得与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则 ______．
13.若函数的导函数为偶函数，且的图象与直线相切，则可以是______写出一个满足条件的函数解析式即可
14.一个书包中有标号为“，，，，，，，，”的张卡片一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束，记书包中卡片全部被拿走的概率为，则 ______； ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查人购买情况，得到如下列联表：
新能源汽车款 新能源汽车款 总计
男性
女性
总计
求，；
根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立若从购买者中随机抽取人，设被抽取的人中购买了款车的人数为，求的数学期望．
附：，．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数即下四分位数与第百分位数即上四分位数四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图所示已知，两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图所示．
求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数；
据统计，两个班级中高于分的共人，其中班人，班人，从中抽取人作学习经验分享，设这人中来自班的人数为，求的分布列．
在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于分，求该生来自班和班的概率分别是多少？
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且点是线段上的一点已知．
求角的大小；
若，求的值；
若为的角平分线，且，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
若，求在的值域；
证明：存在唯一的极值点，且；
若恒成立，证明：，其中为的极值点．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14. ；
15.解：由题意可知，，；
零假设：选购该新能源汽车的款式与性别无关联，
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即可以认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于；
随机抽取人，购买款车的概率为，
则，
所以．
16.证明：因为底面，底面，因此，
又因为，，，平面，
因此平面，因此为平面的一个法向量，
如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，，，
因为为棱的中点，则得，
因，，由，可得，
又平面，因此平面；
，，
设平面的法向量为，
则，故可取，
又平面的法向量，，
因，
因此平面与平面所成角的正弦值为．
17.由图可知，班的上四分位数与班的中位数均为．
易知随机变量的可能取值为，，，，
，
，，
随机变量的分布列：
设事件“该同学来自班”，事件“同学的分数高于分”，
易知：，，，
所以
，
故，
所以来自班和班的概率分别为和．
18.由正弦定理及得，，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以．
因为点是线段上的一点，且，
所以，
在等腰中，，
因为，，所以，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，
所以，即，
所以．
因为是的一条角平分线，，
所以，
因为，且，
所以，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以
，
当且仅当，且，即，时取等号，经检验，符合题意，
故的最小值为．
19.当时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，因此在的值域为，；
证明：当时，由可知为函数的唯一极值点且为极小值点，
满足；
下面讨论的情形：
，
当时，，因此，
因此在单调递增，无极值点．
当时，，
设，恒成立，因此在单调递增，
令得因此，
则有，因此，
又设，易知在单调递增，
，
令，设，，
当时，，单调递减，因此，因此，
而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的，
使得，因此，
当时，，因此，当时，，因此，
故是函数唯一的极值点且为极小值点．
综上所述，存在唯一的极小值点，且；
证明：由可知在单调递减，在单调递增，
因此的最小值为，
又因为，因此，因此，
从而有，若恒成立，则，
令，则，要证，由知，，
因此只需证，因此证，因此．
设在单调递减，
因此，
令，则，令，
因为，仅当，时，“”成立，
因此在上单调递增，
因此当时，，递增，，因此，
因此，
因此，因此在单调递增，因此，
因此，
因此成立．
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