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2024-2025学年福建省漳州市华安一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某物体沿直线运动，位移单位：与时间单位：的关系为，则该物体在时的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
2.已知，，，若，，三点共线，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一单位的产品，成本增加元，若总收入与年产量的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A. B. C. D.
5.如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数的定义域为，满足为的导函数，设，，，则( )
A. B. C. D.
7.函数与函数公切线的斜率为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知函数，在其图象上任取两个不同的点、，总能使得，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题( )
A. 是函数的极值
B. 函数有最小值无最大值
C. 在区间上单调递增
D. 在处切线的斜率小于零
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面
B. 若空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角
D. 点关于平面对称的点的坐标是
11.已知函数，则( )
A. 只有个极小值点
B. 曲线在点处的切线斜率为
C. 当有个零点时，的取值范围为
D. 当只有个零点时，的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则______．
13.若函数在处有极值，则______．
14.已知，恒成立，则正数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在及处取得极值．
求，的值；
求函数在处的切线方程．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，交于点，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求的极值点；
讨论的单调性；
若函数在上恒小于，求的取值范围．
18.本小题分
图是边长为的正方形，将沿折起得到如图所示的三棱锥，且．
证明：平面平面；
棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点即具有相同横坐标的点的位置关系来描述定义如下：
设在区间上连续，如果对上任意两点，恒有，则称在区间上的图形是凹的图，区间为凹的区间；
设在区间上连续，如果对上任意两点，恒有，则称在区间上的图形是凸的图，区间为凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么
如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；
如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；
其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数根据以上内容，完成如下问题：
试判断函数，图象是凹的还是凸的，用定理证明；
已知函数，求的凹的区间和凸的区间；
若时，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.由题意可得，
由在及处取得极值，可得的两根为，，
所以，解得，
此时，
所以在区间，上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以及是极值点，符合题意．
所以，．
由得，，
，，则切线方程为，
化简得，函数在处的切线方程为．
16.解：证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，又平面，
所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面；
由知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，，，
因为，
所以，即，则，
由平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
因此直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：当时，，定义域为．
，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
在时取得极大值，无极小值．
所以的极大值点是，无极小值点．
，则，，
当时，，
，，函数单调递增，
，函数单调递减．
当时，恒成立，函数单调递减．
综上：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
函数在上恒小于，等价于．
由知，当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意；
当时，若，即，函数在上单调递减，
故，成立，故符合题意；
若，即，函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，解得，故；
若，即，函数在上单调递增，
故，解得，故无解．
综上所述：．
18.解：证明：取的中点，连接，，
在正方形中，，并且，
在中，，所以，
因为，，平面，
所以平面，而平面，
所以平面平面；
存在点，当时，满足题意，理由如下：
因为，，两两垂直，
所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为平面，
所以平面的法向量为，
假设存在满足题意的点，且，则，
，，
设平面的法向量为，
则有，即，
不妨设，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
两边平方并整理得，
解得或舍，
经检验，满足题意，
因此，存在点，只需即可．
19.的图象是凸的．
因为，，
又，所以，所以图象是凸的；
因为函数，所以的定义域为，
，，
令，则，令，则，
故的凸的区间为，的凹的区间为；
由题意可知，，
恒成立等价于恒成立，
令，，，，
则，，
时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，
又，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
则，
若恒成立，则，解得，即的取值范围为．
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