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2024-2025学年北京市清华大学附中学院路学校高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的周期，振幅分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.已知向量，，且，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.四边形为正方形，为边的中点，且，则等于( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
6.若角顶点在原点，始边在的正半轴上，终边上一点的坐标为，则角为角．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象眼
7.下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则下列结论错误的是( )
A. 的图象可由的图像向左平移个单位长度得到
B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为
D. 在区间上单调递减
9.设，是平面内一组基向量，且，，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，若在区间上单调，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知扇形的半径是，圆心角是的扇形所对的弧长是______．
12.已知是第二象限角，则 ______．
13.已知，，则 ______．
14.函数的值域为______．
15.如图所示，在中，，点在边上，点在线段上，若，则 ______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解决下列问题：
已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，求点的坐标；
已知，，三点共线，求的值．
17.本小题分
已知，若，求的值．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为．
求这个函数的解析式，并写出它的单调区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．
19.本小题分
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动圈规定：盛水筒对应的点从水中浮现即时的位置时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为单位：，且此时点距离水面的高度为单位：在水面下则为负数
求与时间之间的关系．
求点第一次到达最高点需要的时间为多少？在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，，点在边上，点在线段上，
因为点在边上，所以可设，
所以，
利用，，三点共线，
所以，解得，
所以，．
16.设，因四边形为平行四边形，则，
，，，
则；
因，，三点共线，则，
又，，则．
17.解：已知，化简得，
由．
18.解：由图得，，
，
，
，，则，
，
由，解得，
故的递增区间是，
由，解得，
故的递减区间是．
当时，，
当，即时，取得最大值为，
当，即时，取得最大值为，
在区间上的最大值是，最小值是．
19.解：设点离水面的高度为，盛水筒从点运动到点时所经过的时间为，
依题意得，，
由，得，所以，
所以，
则点离水面的高度为．
令，得，
得，即，解得，
所以点第一次到达最高点需要的时间为；
令，得，
解得，得，
所以在转动的一个周期内，点在水中的时间是．
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