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高二暑假作业1：空间向量与立体几何
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·江苏省连云港市·月考试卷)给出下列命题：
①零向量的方向是任意的;
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同;
③若空间向量，满足，则
④空间中任意两个单位向量必相等.
其中正确命题的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2.(2025·安徽省六安市·期中考试)空间向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.(2025·江苏省扬州市·月考试卷)已知，，，若P，A，B，C四点共面，则( )
A. 3 B. C. 7 D.
4.(2025·湖北省荆州市·期中考试)如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为( )
A. B. C. D.
5.(2025·江西省宜春市·期中考试)已知，，，O为坐标原点，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. B. C. D.
6.(2025·河北省秦皇岛市·模拟题)如图所示，在正方体中，E是棱的中点，点F在棱上，且，若平面，则
A. B. C. D.
7.(2025·河南省·期中考试)在正四棱柱中，，，点O，分别为正方形ABCD与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线CM与平面夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.(2025·福建省·单元测试)如图是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2024·安徽省六安市·期末考试)下面四个结论正确的是( )
A. 空间向量，，若，则
B. 若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D. 任意向量，，满足
10.(2025·河南省·期中考试)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则在上的投影向量的坐标为
11.(2025·广西壮族自治区·期末考试)在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内含表面，且满足，记动点P的轨迹为，则
A. 的面积为
B. 平面与所在平面平行
C. 当时，存在点P，使得
D. 当时，三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·四川省眉山市·模拟题)已知点关于坐标平面Oxy的对称点为，点关于坐标平面Oyz的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 .
13.(2025·福建省·单元测试)如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点P为线段上一点，则最小值为 .
14.(2025·江苏省扬州市·期中考试)如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·江西省景德镇市·期末考试)本小题13分
已知
求向量的坐标；
设向量，求；
若，求k的值.
16.(2025·江苏省扬州市·月考试卷)本小题15分
如图，在三棱柱中，，，，点D满足
用表示；
若三棱锥的所有棱长均为2，求及
17.(2025·安徽省·联考题)本小题15分
如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，E为PD的中点．
求证：平面PAB；
当平面平面ABCD时，求直线BE与平面PCD所成角的正弦值．
18.(2025·广西壮族自治区·期末考试)本小题17分
如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，
证明：平面平面
若平面PBC与平面ABCD的夹角为，求点C到平面PAB的距离.
19.(2025·湖北省·模拟题)本小题17分
如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，
求证：平面AEG；
求二面角的余弦值；
在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由.
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的概念及性质，属于基础题．
①，零向量有方向，是任意的；
②，向量相等，方向相同，大小相等即可；
③，若，则、的方向没定；
④，空间中任意两个单位向量的模相等．方向没定，向量不一定相等.
【解答】
解：对于①，零向量方向是任意的，故正确；
对于②，若两个空间向量相等，则它们方向相同，模长相等即可，故错；
对于③，若空间向量，满足，则、的方向没定，故错；
对于④，空间中任意两个单位向量的模相等．方向没定，向量不一定相等，故错，
故选：
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查投影向量，属于基础题.
利用投影向量的定义即可求解.
【解答】
解：由题意，得，
则向量在上的投影向量为
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
由共面向量定理得 ，从而，由此能求出的值．
【解答】
解： ， ， ，
P，A，B，C四点共面，
存在实数x，y满足 ，
，，解得
故选：
4.【答案】A
【解析】解：，，
即
，
故选
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量运算的坐标表示，考查空间向量共线定理的应用，二次函数的最值，属于中档题.
依题意，可知存在实数使得，则有，进而可得，，则有，根据二次函数的性质可求出取得最小值时的值，进而可求Q点的坐标.
【解答】
解：由点Q在直线OP上可得：存在实数使得，则有，
所以，，
则 ，
根据二次函数的性质可得：当时，取得最小值，此时Q点的坐标为 ，
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查线面平行的向量表示，属于中档题.
先求平面 的法向量，根据线面平行可得 ，运算求解即可.
【解答】
解：如图所示，以 A为原点， 所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则 ，可得 ，
设 是平面 的法向量，则 ，
令 ，则 ，即 ，
由 ，且 ，可得 ，
又因为 ，则 ，
由 平面 ，可得 ，解得 .
故选：
7.【答案】D
【解析】解：以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
已知，，
则，，，，，
因为点O，分别为正方形ABCD与正方形的中心，所以，，
又因为E为的中点，根据中点坐标公式可得，
设平面的法向量为，，，
所以，即
令，则，
设，，则；所以，
点M到平面的距离；
因为，当时，d取得最大值，此时，
此时，
设直线CM与平面夹角为，
则
故选
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正方体的结构特征、线面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
在原正方体中建立空间直角坐标系，由空间向量求解．
【解答】
解：如图是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，
它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，
点E为线段BC上的动点，
由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形，8个面为边长为的等边三角形，
在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系，原正方体棱长为2，
则，，，设，，
，，
则直线DE与直线AF所成角的余弦值为：
，
而，故，
故选：
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算和向量的共面的充要条件，向量的基底，向量的数量积，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
利用向量的线性运算和向量的共面的充要条件，向量的基底，向量的数量积判断A、B、C、D的结论．
【解答】
解：对于A：空间向量，，若，则，故A正确；
对于B：若对空间中任意一点O，有，由于，则P、A、B、C四点共面，故B正确；
对于C：已知是空间的一组基底，若，则两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故C正确；
对于D：任意向量，，满足，由于是一个数值，也是一个数值，则说明ee9a0e3979b0bf614a8347fb8593125e存在倍数关系，由于，，是任意向量，不一定存在倍数关系，故D错误．
故本题选
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当时，，显然不共线，因此l与平面不垂直，A错误；
对于B，由，得，则，即，B正确；
对于C，当时，，则，C正确；
对于D，当时，，，
因此在上的投影向量为，D正确.
故选：
11.【答案】ACD
【解析】解：因为，所以P在确定的平面内，
又，取的中点F，连接，
则四边形ACFE为动点P的轨迹，
因为长方体中，，，
所以，，
进而可求得等腰梯形ACFE的高为，
所以梯形的面积为，故A正确；
连接，因为且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，又，平面，
所以平面平面，又平面平面，
所以平面与所在平面不平行，故B错误；
以D为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
当，则，
所以，
假设，则，
即，解得，
所以当时，存在点P，使得，故C正确；
当时，点P在EF上，则点P到平面ABC的距离为定值，
又三角形ABC的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间直角坐标系中对称的性质、空间两点间距离公式，属于基础题．
依次写出，，，利用空间两点间距离公式求出答案．
【解答】
解：点关于坐标平面Oxy的对称点为，
点关于坐标平面Oyz的对称点为，点关于z轴的对称点为，
由题意得，，，
故
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了长方体的结构特征，考查了直线与平面所成的角，考查了空间向量的数量积，属于拔高题.
因为平面，所以，，根据，求出，，，又可化为，所以只需求出的最小值即可，即可得解.
【解析】
解：如图：

因为平面，所以，，
设，则，，，，
因为，所以，
所以，即，解得，
所以，，，
所以，
当时，取最小值，最小值为，
所以的最小值为，即的最小值为
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量在解立体几何问题中的应用，考查计算能力和推理能力，属于拔高题.
根据题意建立空间直角坐标系，设，求出平面BFE的法向量，然后利用棱锥的体积公式和异面直线角的公式即可得.
【解答】
解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
所以，，
设平面BFE的法向量为，
则，
令，则，，
所以平面BFE的一个法向量为，
因为，
所以点P到平面BFE的距离，
因为，，
所以，
因为
所以，
所以或舍，
设直线CP与所成的角为，则
所以
，
所以的最大值为，此时最小，所以
即直线CP与所成角的正切值的最小值为
故答案为
15.【答案】解：由，
得，
由得，而，因此，
所以；
由知，，
由，得
，所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：因为，
所以，
所以
因为三棱锥的所有棱长均为
所以，<，，，，
，
所以
，
【解析】本题考查空间向量的线性运算、模和数量积，属于一般题.
利用空间向量的线性运算即可求解;
利用空间向量的模长公式和数量积即可求解.
17.【答案】解：证明：取PA的中点F，连接EF，BF，
为PD的中点，且，
又，，且，
四边形BCEF是平行四边形，，
平面PAB，平面PAB，
平面PAB；
取AD的中点为O，连接OC，
，，
又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
平面ABCD，
，，，，
，OD，OC两两垂直，
以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由是边长为4的等边三角形，得，
，，，，，
，，，
设平面PCD的法向量为，
则，
令，得，，
故平面PCD的一个法向量为，
，
直线BE与平面PCD所成角的正弦值为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：证明：因为平面平面ABCD，且相交于AD，，平面ABCD，
所以平面PAD，
因为平面PAB，
所以平面平面PAD；
取AD的中点O，连接PO，
因为，所以，
因为平面平面ABCD，且相交于AD，平面PAD，
所以平面ABCD，
以O为坐标原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，平面PBC的法向量为，
因为，，
所以，令，得，
平面ABCD的一个法向量为，
因为平面PBC与平面ABCD的夹角为，
所以 ，所以，
设平面PAB的法向量为，
因为，，
所以，
令，得，
因为，
所以点C到平面PAB的距离
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：证明：连接 FG，在中， F， G分别为 SD， SB的中点，
所以，
又因为平面 AEG，平面 AEG，
所以平面
解：因为平面 ABCD， AB，平面 ABCD，
所以，，又，所以，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面 SCD的法向量为，
则 ，即
令，得，，
所以平面 SCD的一个法向量为，
又平面 ESD的一个法向量为，
所以，
由图形可知，二面角的余弦值为
存在，理由如下：
假设存在点 H，设，
则，
由知，平面 SCD的一个法向量为，
则 ，
即，所以，则，
故存在满足题意的点 H，此时
【解析】本题考查线面平行判定，考查空间角的向量求法，属较难题.
利用三角形中位线证明，即可根据线面平行的判定定理证明结论；
建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面 SCD的一个法向量，即可根据向量的夹角公式求得答案;
假设存在点 H，设，表示出的坐标，根据 BH与平面 SCD所成角的大小为，利用向量的夹角公式计算，可得答案.
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