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高二暑假作业4：导数
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·河南省·期中考试)下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.(2025·湖北省孝感市·月考试卷)若直线是曲线的一条切线，则实数a的值为
A. B. 3 C. D. 2
3.(2025·上海市·期末考试)已知函数在处取得极大值，则m的值为( )
A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或
4.(2025·辽宁省鞍山市·期中考试)已知函数满足，则的单调递增区间为
A. ， B. ，
C. D.
5.(2025·陕西省·期中考试)已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
6.(2025·江苏省南京市·期末考试)已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.(2025·安徽省淮北市·期中考试)已知，，，则a，b，c的大小为( )
A. B. C. D.
8.(2025·陕西省西安市·期末考试)已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·江苏省南通市·月考试卷)已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则
A. 有3个极值点 B. 是的极大值点
C. 是的极大值点 D. 在上单调递增
10.(2025·河南省·单元测试)已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“N点”，下列函数中，具有“ N点”的是( )
A. B. C. D.
11.(2025·浙江省温州市·期中考试)已知函数，则下列结论正确的是
A. 若，则有极大值，无极小值
B. 若，则有四个单调区间
C. 若，且有两个零点，，则成立
D. 若，则对任意，，都有成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·湖南省·月考试卷)函数的单调递减区间是 .
13.(2025·北京市市辖区·期中考试)如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为 cm时，这个纸盒的容积最大，且最大容积是
14.(2025·湖北省·期末考试)已知函数，若函数图象上存在两个不同的点与函数图象上两点关于y轴对称，则b的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·安徽省·模拟题)本小题13分
已知函数，
当时，求函数在点处的切线方程；
试判断函数的单调性.
16.(2025·北京市·模拟题)本小题15分
已知函数在及处取得极值．
求a，b的值；
若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
17.(2025·湖北省武汉市·月考试卷)本小题15分
已知为自然对数的底数
Ⅰ求函数的最大值；
Ⅱ设，若对任意总存在使得，求实数a的取值范围．
18.(2025·江苏·联考题)本小题17分
已知函数
当时，求函数在上的最大值和最小值;
讨论函数的单调性;
若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数b的取值范围.
19.(2025·湖北省·联考题)本小题17分
意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么 这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程。通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，它们之间具有类似于三角函数的性质。已知
证明：①倍元关系：②平方关系：
对任意，恒有成立，求实数a的取值范围;
证明：
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查基本初等函数的求导公式，简单复合函数的导数，属于基础题.
由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项.
【解答】
解：，，
，
故选：
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，已知切线方程求参，属于基础题.
设出切点为，根据导数的几何意义得到，求得，，代入直线l方程即可得结果.
【解答】
解：设直线l与曲线C的切点为，由于直线斜率为，
又，所以，得，所以，
则切点为，代入直线l方程，可得，
所以
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
函数，，根据函数在处取得极大值，可得，解得m，并且验证即可得出．
【解答】
解：函数，，
函数在处取得极大值，
，解得或3，
时，，可得是函数的极小值点，舍去；
时，，可得是函数的极大值点．
则
故答案选：
4.【答案】B
【解析】解：因为，所以 ，
令，则，移项可得①，
令，则，
因为，所以②，
将②代入①可得：，解得，
将代入②可得，
把，，代入，可得，
，，
令，解得或，所以的单调递增区间为，
故选：
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查不等式求解，涉及导数研究函数的单调性，函数的图象的应用，属于基础题.
根据函数的单调性和的正负关系即可求解.
【解答】
解：由图象单调性可得，当x 时，，
当x ，时，，等价于 或 ，
的解集为 ，
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用导数由函数的单调性求参，利用导数求函数的最值，属于中档题.
由求导公式和法则求出，由条件和导数与函数单调性的关系，分离常数在上恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最大值，即可得a的取值范围．
【解答】
解：由题意知在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，解得，
即a的取值范围是
故选：
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数值比较大小的问题，通过构造函数，利用导数求函数的单调性解决问题，属于中档题.
根据题意构造函数，然后求导数得到函数的增减区间，从而比较a，b，c的大小.
【解答】
解：由题可知：，
构造函数，
，
令，即，解得：，
令，即，解得：，
即函数的增区间为，减区间为，所以，
又，
由函数单调性可得，即，即.
故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用导数解函数不等式问题，属于较难题.
【解答】
解：已知函数，则有且只有一个负整数解.
令，则，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，当时，取得最小值
设，则恒过点
在同一坐标系中分别作出和的简图，显然，
依题意得且，解得
故选
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查导函数图象与原函数图象的关系.
根据图象判断出的符号，由此确定原函数单调性，进而得正确答案.
【解答】
解：根据函数的图象可知，
在区间，，单调递增；
在区间，，单调递减.
所以有3个极值点， 和是的极大值点，
是的极小值点，在上单调递增，
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查导数的运算，导数的新定义问题，属于中档题．
根据“N点”的定义，转化为判断方程是否有解，逐项分析即可判断.
【解答】
解：对于A，，，
令，此方程有解，故A正确；
对于B，，，
令，此方程有解，故B正确；
对于C，，，
令，由图象知，有一个根，故C正确；
对于D，，，
令，得，此方程无解，故D错误.
故选
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，若，则，其定义域为，
则
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以得极大值为，无极小值，故A正确；
对于B，若，则，定义域为，
，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
故有三个单调区间，故B错误；
对于C，若，则，
已知有两个零点，，
若，则在定义域内单调递增，不可能有两个零点，所以
不妨设，即，，
两式相减得，即
两式相加得
要证，即证，
即证，即证明，
即证，
即证
设，即证，
即证，即证
设，
则
设，则，
所以，即，
所以在上单调递增，所以，
所以成立，故C正确；
对于D，若，则，，
，
记的导数为，
则
设，
则，且对称轴，
所以，
所以是上的凹函数，
根据凹函数的性质可得对任意，，都有成立，故D正确.
故选
12.【答案】，
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.
对求导，利用导数与函数单调性的关系求出单调减区间.
【解答】解：由于分母，故的定义域为，
对求导，得：
，
函数的单调递减区间需满足，
即，
所以或
所以函数单调递减区间有，
故答案为，
13.【答案】2 ； 144
【解析】【分析】
本题考查导数在实际生活中的应用，属于中档题.
设剪下的四个小正方形的边长为x cm，利用长方体的体积公式得到体积V关于x的函数，再应用导数研究其单调性并求出最值作答.
【解答】
解：设剪下的四个小正方形的边长为x cm，
则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒的底面矩形长为，宽为，
则长方体纸盒的底面积为，而长方体纸盒的高为x cm，
于是长方体纸盒的体积，，
求导得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
所以当时，
故答案为：2；
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.
求出关于y轴对称的图象对应的解析式，问题转化为与的图象在时有两个交点，通过引入新函数，确定新函数的单调性与极值从而得出参数范围．
【解答】
解：在中用替换得，
所以的图象关于y轴对称的图象的函数解析式是，
由题意知，即在上有两个不等实根，
方程化为，
令，则，
，得，
当时，， 单调递减，
当时，， 单调递增，
所以，
时，，时，，
实际上时，，所以
故答案为：
15.【答案】解：当时，，
则，所以，，
故当时，函数在点处的切线方程为，即
函数的定义域为，，
当时，，
所以的减区间为，无增区间；
当时，令，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述，当时，在 上单调递减，无增区间；
当时， 在 上单调递减，在上单调递增 .

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：由题意得，
由函数在及处取得极值，
得，
解得，此时，，
则由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点，
故；
由可知，在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，
所以
解得，所以实数c的取值范围是
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：Ⅰ的导数为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故；
Ⅱ对任意总存在
使得等价于
由Ⅰ可知
问题转化为在恒成立．
参变量分离得：，
令，
，由时，，得，
即在上单增．
故
综上：，
即a的取值范围为
【解析】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，属于中档题．
Ⅰ求得的导数，判断函数的单调性，得到函数的最大值；
Ⅱ由题意可得由Ⅰ可得问题转化为在恒成立．运用参数分离得：，求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求a的范围．
18.【答案】解：当时，，则，
令，解得 ，
当时，，当时，，
又因为，
所以，
又 ，
所以 ，
所以在上的最大值是，最小值是
，
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增 ，
当时，在恒成立，
所以在单调递减.
，依题意：，解得，
所以，
又 对恒成立，
即对恒成立，
法一则在上恒成立，
令，则，
当时，；当时， ，
所以 ， 所以；
法二由，得在上恒成立，
设，则，
当时，，显然不满足条件；
当时，时，，当时，，
所以，
所以，解得，
综上可得，实数b的取值范围为
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，与最值，不等式恒成立.
当时，然后求导利用导数求函数的极值，然后与区间端点的函数值进行比较，从而可求出函数的最大值和最小值；
求函数的导数，通过讨论参数的取值，判断导函数的正负，从而得到函数的单调性；
利用函数在处取得极值，建立方程求的a，然后把不等式转化为最值恒成立，然后利用导数求最值．
19.【答案】解：①，
②
令，，
则
因为，当且仅当时等号成立，
所以
当时，，在上单调递增，
所以，即恒成立.
当时，令，即，设，
则，即，解得因为，舍去，
所以，
当时，，单调递减;
当时，，单调递增，
则，不满足恒成立.
综上，实数 a的取值范围是
由知：当时，，，令，则，
令，，，单调递增，
所以，即恒成立，
所以，则，
令，，，单调递增，
所以，即恒成立，
令，，
所以

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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