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高二暑假作业3：数列
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·山东省·单元测试)若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为
A. B.
C. D.
2.(2025·全国·历年真题)记为等差数列的前n项和，若，，则
A. B. C. D.
3.(2025·河南省开封市·模拟题)已知等差数列的首项为，若从第11项起比1大，则其公差d的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.(2025·四川省眉山市·期中考试)已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则
A. B. C. D.
5.(2025·河南省·联考题)将数列和中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列若有相同元素，按重复方式计入排列，则数列的前50项和为( )
A. 2160 B. 2240 C. 2236 D. 2490
6.(2025·河南省濮阳市·模拟题)我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同如图已知数列的通项公式为，现将该数列的前16项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为( )
4 3 8
9 5 1
2 7 6
三阶幻方
A. 60 B. 72 C. 76 D. 80
7.(2025·江苏省无锡市·期中考试)已知等比数列的公比，前n项和为，则对于，下列结论一定正确的是
A. B.
C. D.
8.(2025·山西省太原市·模拟题)数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则( )
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·全国·历年真题)记为等比数列的前n项和，q为的公比，且，若，，则
A. B. C. D.
10.(2025·湖南省·期末考试)记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则
A. B. C. 的最大值为 D.
11.(2025·湖北省·期末考试)已知数列的前n项和为，为数列的前n项积，满足，给出下列四个结论，正确的是
A. B. 为等比数列
C. D. 数列的最大项的值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·历年真题)若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
13.(2025·湖南省常德市·期中考试)已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为 .
14.(2025·河北省石家庄市·期末考试)已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·山东省·单元测试)本小题13分
已知数列的前n项和为，且
求的最小值；
求数列的前20项和．
(2025·吉林省长春市·期末考试)本小题15分
已知等差数列的前n项和为，且，
求数列的通项公式;
若，令，求数列的前n项和
17.(2025·辽宁省鞍山市·期中考试)本小题15分
记为数列的前n项和，已知，是等差数列，，，
求，的通项公式;
设，求
18.(2025·云南省临沧市·期中考试)本小题17分
已知等差数列为递增数列，且，都在的图象上.
求数列的通项公式和前n项和
设，求数列的前n项和，且，求取值范围.
19.(2025·北京市·模拟题)本小题17分
无穷整数数列满足，对任意的，记为数列中小于k的项的个数，称数列是数列的“联盟数列”.
若数列有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9，写出数列的“联盟数列”的前七项;
若数列的“联盟数列”为，数列的“联盟数列”为，
ⅰ证明：
ⅱ记，，证明：
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式，属于基础题.
通过观察前几项的规律即可求解.
【解答】
解：由，，，，
可得的一个通项公式为
故选：
2.【答案】B
【解析】解：由已知条件可知，和，
可列出以下方程组：，
解得：，
根据等差数列前n项和的公式，
可得
故选
3.【答案】C
【解析】解：依题意可知， ，因为 ，
所以 ，即其公差d的取值范围是
故选：
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的前n项和，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
由题意，设，，则，用，分别表示出，，代入即可得到的值．
【解答】
解：依题意，数列、是等差数列，且，
设，，则，所以
故选：
5.【答案】C
【解析】解：因为，，，，，
由题知：中第50个数为，
第41个数为，
因为，，
所以数列的前50项中，数列中有46个，中有4个，
所以数列的前50项和为
故选：
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是等差数列的前n项和，等差数列的实际应用，属于基础题.
根据条件求得等差数列的前n项和，再求每一行数字之和即可.
【解答】
解：由题，因为，则数列为等差数列，且，
故数列的前16项和为，
所以四阶幻方中每一行的数字之和为
故选
7.【答案】D
【解析】解：当时，
B，C不符合，舍去；
当时，
A选项：等比数列的前n项和，
则，，
则
，
所以
，A选项错误；
D选项：
，
，
所以，D选项正确.
8.【答案】B
【解析】解：已知二阶等差数列前几项为5，8，13，20，根据定义，
数列是从第二项起每一项与前一项之差组成的数列，
那么，其中，，则，
，，，则，
，，，则，
因为是等差数列，其公差，
所以
故选：
9.【答案】AD
【解析】解：已知所以
将带入得：
化简得：
因为，解得舍去负根，故A正确；
选项B：；错误；
选项C：；C错误；
选项D：
因此，正确，故选
10.【答案】BD
【解析】解：依题意，，，则，若，则，
必有与矛盾，
因此，，，则，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，则，的最大值不为，C错误；
对于D，，D正确.
故选：
11.【答案】ACD
【解析】解：因为，所以，即，故A正确；
因为为数列的前n项积，故，
所以，
故，又，
故是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，易知不为等比数列，故B不正确；
，故C正确；
令，
解不等式组，得，
当时，，
当时，，
所以数列的最大项的值为，故D正确.
故选：
12.【答案】2
【解析】解：设等比数列的首项为，公比为
当时，不满足条件，
当时，，
，即，
故，解得，又因是正项等比数列，可得公比
13.【答案】19
【解析】解：设等差数列的前n项和为，项数为，
则，
，
两式相除得，解得，
则项数为
故答案为：19
14.【答案】
【解析】解：当时，，
因为，
当时，，
两式相减可得，即，当时不适合此式，
所以，所以，
当时，，
当时，，
若对任意恒成立，
所以，即实数t的取值范围为
故答案为：
15.【答案】解：数列的前n项和为，且，
，
又
当或时，取得最小值，且最小值为；
当时，，
所以，
当时，满足上式，
所以，
由，解得，于是数列前9项为负，第10项为0，第11项到20项为正，
所以数列的前20项和为：
【解析】本题主要考查了数列前n项和的最值取得条件的应用，考查了数列的通项公式，属于中档题．
根据题意得到即可；
当时，，得到进而得到数列前9项为负，第10项为0，第11项到20项为正即可.
16.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为d，
解得
，，
，①
，②
①-②，得，

【解析】本题考查等差数列通项公式，错位相减法求前n项和，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
利用等差数列前n项和构造方程，求解通项公式．
利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．
17.【答案】解：由题，当时，，
当时，，
a1也符合上式，
所以，
设等差数列的公差为d，
因为，
所以
，
解得，
所以有；
由题，
即，①
所以，②
①-②得
，
所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：由题意得，
即是方程的两个根，
即是方程的两个根，
又数列为递增数列，解得，
所以等差数列的公差，
所以，
所以，
；
解：由得
，
当n为奇数时，
，
当n为偶数时，
，
所以
由 ，即，
得，
令，
当n为奇数时，，且，
当n为偶数时，，且，
又，，所以，
故取值范围为
【解析】本题考查了数列的函数特性，考查了等差关系的确定，考查等差数列的通项公式和前n项和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中等题．
由已知列式求出，，再由等差数列的通项公式求得公差，进一步求得首项，代入通项公式和前n项和得答案；
把等差数列的通项公式代入，然后分n为奇数和偶数利用裂项相消法求取值范围.
19.【答案】解：因为数列有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9，
设数列的“联盟数列”为，
则，，，，，，；
ⅰ证明：表示数列中小于i的项的个数，表示数列中小于的项的个数，
显然，因此，
设的联盟数列中的任意一项，
则由“联盟数列”的定义可知，，
这表明在数列中，，，
又因为，则，
所以；
ⅱ在数列中，有个0，个1，个2，，个，剩下的项为，
所以
，
当时，，
令，，则，
那么，则，
所以，
当时，，
此时由可知，的“联盟数列”是，交换和的位置，重复上述讨论即可.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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