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高二暑假作业5：计数原理、随机变量及其分布、成对数据的统计分析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·河北省·期末考试)中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.(2025·江苏省盐城市·期中考试)已知随机变量X的分布规律为，则
A. B. C. D.
3.(2025·福建省·联考题)下列等式中不成立的是( )
A. B.
C. D.
4.(2025·广东省·单元测试)根据下表中的数据可以得到线性回归方程，则实数m，n应满足
x 3 m 5 6
y 3 4 n
A. B. C. D.
5.(2025·湖北省黄冈市·月考试卷)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则
A. B. C. D.
6.(2025·福建省·单元测试)长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
A. B. C. D.
7.(2025·安徽省·月考试卷)数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 60种 B. 78种 C. 84种 D. 144种
8.(2025·广东省·期末考试)已知随机变量的分布列如下：
P
其中若，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·山东省·单元测试)从4名男生和4名女生中选出4人组成一支队伍去参加一项辩论赛，下列说法正确的是
A. 如果参赛队中男生女生各两名，那么一共有36种选法
B. 如果男生甲和女生乙必须入选，那么一共有30种选法
C. 如果至少有一名女生入选，那么一共有140种选法
D. 如果4人中必须既有男生又有女生，那么一共有68种选法
10.(2025·安徽省芜湖市·期中考试)已知二项展开式，则( )
A. B.
C. D.
11.(2025·湖北省·单元测试)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复N次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是
A. ，
B. 数列是等比数列
C. 的数学期望N
D. 数列的通项公式为N
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·上海市市辖区·模拟题)若随机变量，，则 .
13.(2025·河南省·月考试卷)一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第i次命中目标”，，，，则 .
14.(2025·安徽省合肥市·模拟题)如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·河南省·月考试卷)本小题13分
从1、3、5、7、9这五个数字中任取两个数字，从0、2、4、6这四个数字中任取两个数字．
共可组成多少个没有重复数字的四位数？
共可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
16.(2025·全国·历年真题)本小题15分
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值;
根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：
k
17.(2025·云南省·模拟题)本小题15分
盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球.
求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;
记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望
18.(2025·江苏省南京市·模拟题)本小题17分
13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有，此外还有五张字母牌，正面标有，将这十三张牌随机排成一行.
求五张字母牌互不相邻的概率;
求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率;
对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率结果用含k的式子表示
19.(2025·安徽省合肥市·模拟题)本小题17分
当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用.例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注.假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于现在，假设离散型随机变量X的分布列为，，，2，，则称为X的信息熵，用来刻画随机变量X蕴含的信息量的大小.
若X的分布列为，，求的最大值;
证明：
若，且n为定值，设，证明：
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题.
每人都有3种选法，结合分步乘法计数原理即可求解.
【解答】
解：由题可知，每名同学都有3种选法，
故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.
故选：A
2.【答案】A
【解析】解：因为随机变量X的分布规律为，
所以，
解得，
所以
故选
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题是一道关于排列的题目，熟练掌握排列数的计算公式是解答此题的关键，属于中档题.
根据排列数的计算公式即可得到答案.
【解答】
解：A中左边，正确;
B中左边
!，不正确;
C中左边
成立，
正确;
D中左边
成立，正确;
故选
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了利用回归方程必过样本中心点这一特征求线性回归直线方程，同时考查学生的计算能力，属于基础题．
分别求出x，y的平均数，代入回归直线方程，从而得解．
【解答】
解：由题意得：
，
，
根据回归直线恒过样本中心点，
故，
化简可得：，故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查n次独立重复实验及其概率计算，属于基础题．
满足题意的移动情况有三种，根据n次独立重复实验的概率计算求解即可.
【解答】
解：依题意，该质点移动5次后位于X的位置，若，
则有①向右移动5次，②向右移动4次，向左移动1次，③向右移动3次，向左移动2次，三种情况，
则
故选
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用全概率公式求随机事件的概率问题，属于基础题．
根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答即可．
【解答】
解：令“玩手机时间超过1h的学生”，“玩手机时间不超过1h的学生”，“任意调查一人，此人近视”，
则，且，互斥，，，，，
依题意，，解得，
所以所求近视的概率为
故选
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用．
根据题意，分2步进行分析：第一步将四门选修课程分为3组，第二步将分好的三组安排在三年内选修，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2步进行分析：
第一步将四门选修课程分为3组，
若分为2、1、1的三组，有种分组方法；
若分为2、2、0的三组，有种分组方法；
若分为3、1、0的三组，有种分组方法，
则一共有种分组方法；
第二步将分好的三组安排在三年内选修，有种情况，
则每位同学的不同选修方式有种.
故选
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
，，则，则，推得，即可得出结论.
【解答】
解：根据题意可得，
，则，
则，
由，，
则，
即，
即，
即，
则
故选
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查组合和组合数公式，属基础题.
根据题意，直接计算判断A，B，间接计算判断C，D，即可得出答案.
【解答】
解：对于A，男生女生各选两名，共有种，故A正确;
对于B，除甲乙，在剩下的3名男生和3名女生中共选2名，
共有种，故B错误;
对于C，用全部选法减去全是男生的选法即可，共有种，故C错误;
对于D，用全部选法减去全是男生和全是女生的选法即可，
共有种，故D正确.
故选：
10.【答案】ACD
【解析】解：对A，令得，A对；
对C，令得，B错；
对C，由二项展开式的通项公式可得第2项为 ，
，
，C对；
对D，令得，
令得，
，D对.
故选：
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式，等比数列的判断，以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，属于难题.
利用已知条件求出，，推出，，可判断A，推出，，得到，推出，说明数列是首项为，公比为的等比数列，可判断B，求解的通项公式可判断D，求出的分布列及期望，可判断
【解答】
解：由题意可知：，，则
，故A错误；
由题意可知：当时，，①
，②
①②可得，
所以，
又因为，，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；
所以，即，③
由②知，当时，有，
又，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
由③，有，，故D错误；
的概率分布列：
0 1 2
P
则，，故C正确.
故选
12.【答案】
【解析】解：因为随机变量，
所以正态分布图象关于对称，那么
又因为，在连续型随机变量中，
所以
由正态分布图象关于对称可知
，
设，则，
所以，移项可得，即，解得
因为，，
所以故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全概率公式，属于基础题.
利用全概率公式计算即可.
【解答】
解：由题意，，，
由全概率公式得：
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：因为每行都要放置两枚棋子，第一行从4个格子中选2个放棋子，
则第一行的放法有种，
同理，第二行从4个格子中选2个放棋子，也有种放法，
第三行同样有种放法，第四行还是有种放法，
根据分步乘法计数原理，可得“每行都放置两枚棋子”的总放法数种；
不妨设第一行的两枚棋子放在第1第2列，
①若第二行的两枚棋子也放在第1第2列，
则第3和第4行的棋子只有1种放法，
②若第二行的两枚棋子只有一枚和第一行的棋子同一列，则有4种放法，
对于第三行，其中的一枚棋子必然要放在没有棋子的那一列，
剩下的一枚棋子有2种放法，第四行的棋子只有1种放法，
则一共有种放法，
③若第二行的两枚棋子和第一行的两枚棋子都不同列，则有1种放法，
对于第三列，两枚棋子有种放法，
第四行的棋子只有1种放法，则一共有种放法，
故第一行的两枚棋子放在第1第2列时，共有种放法，
因为第一行的棋子有种放法，
所以每行每列都有两枚棋子共有种放法，
所以若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为
故答案为：
15.【答案】解：由题意，将组成的四位数分含有0和不含0两种情况进行求解，当四位数中不含0时，组成四位数个数为，当四位数中含有0时，组成四位数个数为，所以一共可组成个没有重复数字的四位数；
当四位数不含0时，如果是偶数，则组成偶数个数为中不含0时个数的一半，即有360种；当四位偶数含0时，且0在个位时，组成四位偶数个数为：，当四位偶数含0，而且2或4或6在个位，组成四位偶数个数为：，所以一共组成的没有重复的四位偶数个数为所以一共可以组成个没有重复的四位偶数.
【解析】本题考查排列组合的综合运用，分析和运用能力，分类讨论思想，属于中档题.
由题意，将组成的四位数分含有0和不含0两种情况进行求解，当四位数中不含0时，可组成个，当四位数中含有0时，可组成，两者相加即可求解；
当四位偶数中不含0时，有360个，当四位偶数含0时，且0在个位时，有个，当四位偶数含0，而且2或4或6在个位时，有，三者相加即可求解.
16.【答案】解：由题可知，超声波检查结果不正常者有200人，这200人中患该疾病的有180人，
则
零假设为超声波检查结果与是否患该疾病无关，
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
确定3个不同数字的小球，有种方法，
每种小球各取1个，有种取法，
则；
的所有可能取值为1，2，
当时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，
，
当时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，
，
当时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，
X的分布列如下：
X 1 2 3
P
所以
【解析】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望应用问题，属于中档题.
先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果;
先确定X的所有可能取值为1，2，3，然后计算出不同取值的概率，注意X的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和数学期望
18.【答案】解：13张牌全排列，共有种排法.
五张字母牌互不相邻，先排八张数字牌，共有种排法.
将8张数字牌排好，形成个间隔.
从这9个间隔中选5个放置字母牌，共有种排法.
则五张字母牌互不相邻的排法有种.
所以五张字母牌互不相邻的概率为；
当标有8的卡牌在左端第一个时，剩下12张牌可以随意排列，共有种排法.
当标有8的卡牌在左端第二个时，先从5个字母牌里选一个排在左端第一位，再将剩下11张牌全排列，共有种排法.
当标有8的卡牌在左端第三个时，先从5个字母牌里选两个排在标有8的卡牌的左侧，再将剩下10张牌全排列，共有种排法.
当标有8的卡牌在左端第四个时，先从5个字母牌里选三个排在标有8的卡牌左侧，再将剩下9张牌全排列，共有种排法.
当标有8的卡牌在左端第五个时，先从5个字母牌里选四个排在标有8的卡牌左侧，再将剩下8张牌全排列，共有种排法.
当标有8的卡牌在左端第六个时，将5个字母牌排在标有8的卡牌左侧，再将剩下7张牌全排列，共有种排法.
所以在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为
；
标号比k小的数字牌有张，比k大的数字牌有张，
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：由题意知，，其中，
令，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以在时取得最大值，且最大值为；
证明：要证，即证，
因为
，
设，则，
令，，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以
等号仅在，即时成立
，所以；
证明：由题意知，
由易知，
所以关于直线对称，所以，即得
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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