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苏教版高一暑假作业1：集合与常用逻辑用语、不等式、复数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·山东省济南市·月考试卷)设集合，则，则等于( )
A. B. C. D.
2.(2024·浙江省·单元测试)设，若复数是纯虚数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.(2025·湖北省宜昌市·其他类型)已知集合，则集合的所有非空子集的个数为 ．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.(2024·河北省承德市·月考试卷)已知，，则的取值范围是 ．
A. B. C. D.
5.(2025·江苏省·同步练习)已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
6.(2025·山东省菏泽市·其他类型)若，，，且，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.(2025·黑龙江省·月考试卷)若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.(2025·辽宁省·其他类型)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远已知为非零实数，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·广东省潮州市·月考试卷)已知集合，，，则可能是( )
A. B. C. D.
10.(2024·福建省·单元测试)下列说法中正确的是( )
A. “，都是偶数”是“是偶数”的充要条件
B. “两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件
C. “”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
11.(2025·江苏省南通市·其他类型)已知复数，，均不为，则下列说法正确的是( )
A. 若复数满足，且，则
B. 若复数满足，则
C. 若，则
D. 若复数，满足，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·广东省·期中考试)不等式的解集为 ．
13.(2025·湖北省襄阳市·月考试卷)若，，，则的最小值为 ．
14.(2025·河北省邢台市·月考试卷)某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，参加化学竞赛的有人，其中同时只参加数学、物理两科的有人，同时只参加物理、化学两科的有人，同时只参加数学、化学两科的有人，而参加数学、物理、化学三科的有人，则全班共有 人
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2024·广东省·单元测试)本小题分
已知集合，．
若，，求；
集合，能否相等？若能，求出，的值；若不能，请说明理由．
16.(2025·河北省·期中考试)本小题分
已知复数，，其中为虚数单位．
若是纯虚数，求实数的值
若，设，试求的值．
17.(2025·吉林省·期中考试)本小题分
已知集合，．
求集合；
若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.(2025·山东省·月考)本小题分
已知不等式．
若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围；
若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
19.(2024·广东省·期末考试)本小题分
如图所示，设矩形的周长为，把它沿翻折，翻折后交于点，设．
用表示，并求出的取值范围
求面积的最大值及此时的值．
答案与解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交集运算，属于基础题．
根据交集运算即可求出结果．
【解答】
解：根据交集运算可知，故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】
解：复数是纯虚数为虚数单位，
，
，解得，
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是集合的子集个数，属于容易题．
根据题意化简集合，即可得出答案．
【解答】解：，
集合的非空子集的个数是．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
根据题意，求出的取值范围，进而由不等式的性质可得答案．
【解答】解：已知，，
得，所以．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
由已知求得，，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用共轭复数的概念得答案．
【解答】
解：由题意，复数，，
则，
的共轭复数为．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．
【解答】
选项A，，因为，大小无法确定，所以中不等式不一定成立选项B，当时，才能成立，故B中不等式不一定成立选项C，当时，不等式不成立，故C中不等式不一定成立选项D，因为所以，故D中不等式一定成立故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由基本不等式求最值，属于基础题．
变形利用基本不等式即可得出．
【解答】
解：，，
，
当且仅当，即时取等号．
的最小值是．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，是较易题．
根据不等式的性质，结合作差法即可求解．
【解答】
解：对于，当 时， ，故A错误；
对于， ，由于 ，所以 ，故B正确；
对于，若 则 ，此时 ，故C错误；
对于，取 ，则 ，不满足 ，故D错误．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的列举法的定义，并集及其运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．
含个元素时可得出或或，然后根据集合元素的互异性求出，或或，然后即可求出，从而得出正确的选项．
【解答】
解：若含个元素，则或或，
时，不满足集合元素的互异性，，或时满足题意，
时，；时，；时，．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法、三角形全等性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
A.若“，都是偶数”“是偶数”，反之不成立，即可判断出正误；
B.“两个三角形全等”“两个三角形的面积相等”，反之不成立，即可判断出正误；
C.关于的方程有两个实数解，可得：，，解得范围，即可判断出正误；
D.“”“”，反之不成立，即可判断出正误．
【解答】
解：若“，都是偶数”“是偶数”，
反之不成立，例如，可以都是奇数，
因此“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，不正确；
B.“两个三角形全等”“两个三角形的面积相等”，反之不成立，
因此“两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件，正确；
C.关于的方程有两个实数解，可得：，且，解得，且，
“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件，正确；
D.“”“”，反之不成立，
因此“”是“”的必要不充分条件，错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，共轭复数以及复数的运算，属于中档题．
根据复数的概念、共轭复数的概念及运算规则逐项运算即可．
【解答】
解：对于选项，令，，，则，
因为，且，所以则，故，故A正确
对于选项，令，则由，得，所以，故B正确
对于选项，令，，此时，，故C错误
对于选项，令，，
则，所以，
故，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分式不等式和一元二次不等式的求解，属于基础题．
将不等式转化成，再根据一元二次不等式的解法即可得答案．
【解答】
解：不等式可转化成，
解得．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的求最值问题，是中档题．
两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件．
【解答】
解：，，，
，
当且仅当，
即，
即，或，时取“”；
上式的最小值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用图求集合之间的关系，设参加数学、物理、化学三科竞赛的人分别组成集合，，，各集合中元素的个数如图所示，接下来将各个部分的人数相加即可求解．
【解答】
解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的人分别组成集合，，，
各集合中元素的个数如图所示，
则全班人数为．
故答案为．
15.【答案】解：当，时，．
因为或．
所以或．
因为，若，则可变成，
若，则解得
若，则可变成，不可能，
所以，．
【解析】本题考查集合的基本运算以及集合相等求参数，属于基础题．
当，时，结合集合补集，交集的定义即可求解；
根据集合中的范围对分类讨论即可求解．
16.【答案】解：由题意可得：，且，；
若，则，
，
，，
．
【解析】本题主要考查了复数的概念、复数的四则运算以及复数相等的充要条件，属于基础题．
由纯虚数的定义可得方程组，解出可得；
，由复数的四则运算化简可得，根据复数相等的充要条件可求和，从而得到答案．
17.【答案】解：由，得故集合
由，得，．
当时，，由得，
故集合．
是成立的充分不必要条件，
，
则，即
解得，
又当时，，不合题意，
所以实数的取值范围为．

【解析】本题考查充分必要条件与集合的关系，属于基础题．
利用一元二次不等式的解法化简求解集合即可．
根据是成立的充分不必要条件，由求解．
18.【答案】解：当时，不等式为，解得，显然不符合题意；
当时，由已知，得，即
解得．
综上，实数的取值范围为
原不等式可化为，
设，
由题意，当，恒成立，
所以，即
解得，
所以实数的取值范围为

【解析】本题考查一元二次不等式的知识，属于较难题解答本题的关键是得出不等式解集为的条件，以及如何将问题进行转化，另外在解答时要细心，减少出错．
根据一元二次不等式的解集为全体实数的条件可得，，从而解出的范围即可．
化简整理为关于的一次函数再分析．构造函数利用解不等式组．
19.【答案】解：矩形的周长为，
，，
，得， ，
在中，，
所以，从而得，
，
在中，由勾股定理得，
．
在中， ，
， ，当且仅当，即时，等号成立
，
当时，的面积取最大值．

【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于中档题．
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