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苏教版高一暑假作业2：函数及其基本性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·山东省·单元测试)下列选项中是同一个函数的为 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.(2025·河北省·假期作业)已知函数，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.(2025·河北省保定市·月考试卷)函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.(2025·湖南省·单元测试)已知函数满足，，则( )
A. B. C. D.
5.(2025·浙江省绍兴市·模拟题)已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.(2024·湖北省鄂州市·月考试卷)已知函数是奇函数，是偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
7.(2024·湖北省武汉市·月考试卷)若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.(2025·浙江省杭州市·期末考试)若函数的定义域为，值域为，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2024·福建省·月考试卷)已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则下列说法正确的有( )
A. 这个函数有两个单调递增区间 B. 这个函数有三个单调递减区间
C. 这个函数在其定义域内有最大值 D. 这个函数在其定义域内有最小值
10.(2024·湖南省·月考试卷)定义在上的奇函数满足，且当时，，则( )
A. 满足 B. 在上单调递减
C. 的图象关于直线对称 D. 的图像关于点对称
11.(2025·浙江省·期末考试)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆的圆心在原点，若函数的图像将圆的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆的一个“太极函数”，则( )
A. 对于圆，其“太极函数”有个
B. 函数是圆的一个“太极函数”
C. 函数不是圆的“太极函数”
D. 函数是圆的一个“太极函数”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·安徽省阜阳市·期末考试)函数的定义域是 ．
13.(2024·广东省佛山市·其他类型)已知在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为 ．
14.(2024·福建省·单元测试)设是定义在上的函数，满足，且对任意的，，都有，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·山东省济南市·其他类型)本小题分
已知函数，且．
求的值；
判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
16.(2025·福建省·期中考试)本小题分
已知是定义在上的偶函数，当时，．
求函数在上的解析式；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
17.(2024·福建省泉州市·期中考试)本小题分
已知函数．
画出函数的图象；
当时，求实数的取值范围．
18.(2024·重庆市市辖区·月考试卷)本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，
求的解析式
当函数的自变量且时，函数值的取值区间恰为时，求实数的取值范围．
19.(2025·浙江省绍兴市·其他类型)本小题分
设，已知函数，．
Ⅰ若是奇函数，求的值；
Ⅱ当时，证明：；
Ⅲ设，，若实数满足，证明：．
答案与解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题．
判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，由于值域由定义域和对应法则确定，所以对选项中各组函数的定义域和对应法则进行比较即可得解
【解答】
解：对于选项，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数；
对于选项，，定义域、值域和对应关系均相同，是同一个函数；
对于选项，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数；
对于选项，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求与分段函数有关的复合函数值问题，属于基础题．
利用分段函数，，解得即可．
【解答】
解：函数
，解得．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图象的识别，属于基础题．
【解答】
解：由于的定义域为，排除，；
当时，，排除．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的函数值、等差数列的求和，属于较难题．
赋值得到 ，利用累加法得到 ，令 得到 ，赋值得到 ，从而求出答案．
【解答】
解： 中，令 得，
，
故 ，
故 ，
其中 ，
，
，
，
，
上面个式子相加得，
，
令 得 ，
中，令 得 ，
故 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域，属于基础题．
根据题意的定义域，再由分母根式内部的代数式大于求解．
【解答】
解：根据题意，，且得
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性相关知识，属于中档题．
根据函数的奇偶性可得出关于、的方程组，由此可解得函数的解析式．
【解答】
解：因为是奇函数，是偶函数，所以，．
所以，即
因此，．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的单调性，二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．
化简的解析式，利用二次函数的性质得出的单调性，从而得出单调区间端点与区间的关系，从而得出的范围．
【解答】
解：．
若，在上单调递减，不符合题意；
若，则在上单调递减，在上单调递增，
若在上不是单调函数，则，即；
若，则在上单调递减，在上单调递增，
若在上不是单调函数，则，即．
综上，的取值范围是．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考了函数的定义域与值域，函数的单调性，属于基础题．
由函数的单调性和定义域得到值域为，又值域为，进而得到关于，的方程组，求解即可．
【解答】
解：，，则函数为常数，且在单调递增，
又函数的定义域为，
函数的值域为，
．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性、奇偶性和最值，以及函数图象的应用，属于基础题．
根据偶函数的性质画出函数的完整图象，由函数图象可以直接得出单调区间以及最值．
【解答】
解：根据偶函数的对称性画出函数的完整图象：
由图象可知，这个函数有三个单调增区间，三个单调减区间，
这个函数在其定义域内有最大值，最小值不是；
故选BC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了函数周期性判定及其应用，也考查了函数单调性的判定及其应用，还考查了函数的对称性判定及其应用，属于基础题．
根据题意，结合函数的奇偶性，周期性，对称性，单调性依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数满足，则，是周期为的周期函数，A正确；
对于，当，，，又由为奇函数，则，而，，故在上不具有单调性，B错误；
对于，是周期为的周期函数，则有，变形可得，的图象关于直线对称，C正确；
对于，奇函数是周期为的周期函数，则，变形可得，的图象关于点对称，D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的实际应用，考查了函数的奇偶性的判断．
根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得到答案．
【解答】
解：对于选项A：圆，其“太极函数”不止一个，故选项A错误，
对于选项B：由于函数，当时，；当时，，
故为奇函数，
所以根据对称性可知函数为圆的一个“太极函数”，故选项B正确，
对于选项C：函数的定义域为，，也是奇函数，
故函数是圆的“太极函数”，故选项C错误，
对于选项D：函数的定义域为，
，也是奇函数，
故函数是圆的“太极函数”，故选项D正确，
故选BD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
根据函数令即可得到定义域．
【解答】
解：函数，
要使其有意义，即，得，
解得：．
函数的定义域是．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．
先设，则，代入并进行化简，再利用进行求解即可．
【解答】
解：设，则，
，
是奇函数，
，
即当时，的解析式为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数的解析式的求法，和函数值的求法，赋值是解题的关键，属于中档题．
赋值法求抽象函数解析式，利用，求出，再利用，求与有关的等式，化简即可．
【解答】
解：，
令，得，
．
令，，
，
故答案为：．
15.【答案】解：因为，
所以，
所以；
在上单调递减，证明如下：
设，
则
，
又，，
所以
所以，
所以在区间上单调递减．
【解析】本题主要考查了求解函数解析式，还考查了函数单调性定义在单调性判断中的应用，属于基础题．
由直接代入即可求解；
先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断．
16.【答案】解：由题意知是定义在上的偶函数，当时，，
故当时，，
故函数在上的解析式为；
作出函数的图象如图：
结合图象可得，若函数在区间上单调递增，
需满足，即，
故实数的取值范围为．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：函数的图象如图所示：
由题可得，或，
解得或，
所以实数的取值范围为．
【解析】根据一次函数和二次函数的图象与性质，分段画的图象，即可；
分段解不等式，即可．
本题考查分段函数的图象与性质，考查作图能力和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：因为为上的奇函数，，
又当时，，所以当时，，
所以，
所以．
由题，当，在上单调递减，
，即，是方程的两个不等正根，
令，则，故方程有两个不相等的正根，
故，解得
同理，当，在上单调递减，
，即，是方程的两个不等正根，
令，则，故方程有两个不相等的正根，
故，解得；
满足条件的实数的取值范围是．
【解析】本题主要考查函数的奇偶性，是中档题．
利用函数奇偶性可得函数解析式；
分类讨论，将问题转化为一元二次方程有两个不相等的正根，求解即可．
19.【答案】解：由题意，对任意，都有，
即，即，
可得．
证明：因为，，
，
所以．
证明：设，则，
当时，；
当时，，
所以，
，
因为，
所以，
即，
当时，，，
所以；
当时，由知，
，等号不能同时成立．
综上可知，．
【解析】本题主要考查函数的奇偶性，考查不等式的应用，属于中档题．
由，可求得的值；
作差化简，利用题中条件即可证明；
利用换元法求出的最大值和最小值，根据，得出，分和两种情况进行分类讨论，即可证明．
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