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苏教版高一暑假作业3：指数函数与对数函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·浙江省温州市·期中考试)的值为( )
A. B. C. D.
2.(2025·浙江省·单元测试)已知，则等于 ( )
A. B. C. D.
3.(2024·北京市市辖区·月考试卷)已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.(2025·广东省湛江市·其他类型)已知函数其中且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
5.(2025·湖南省·模拟题)若关于的方程有解，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
6.(2025·湖北省·单元测试)已知函数在上是增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.(2025·贵州省贵阳市·月考试卷)某教学软件在刚发布时有名教师用户，发布天后有名教师用户如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过名至少经过的天数为 参考数据：
A. B. C. D.
8.(2025·广东省广州市·模拟题)已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·山东省德州市·期末考试)下列计算正确的有( )
A.
B.
C. 若，，则
D. 若，则
10.(2024·江苏省苏州市·其他类型)若函数，则下述正确的是( )
A. 在单调递增 B. 的值域为
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
11.(2024·广东省东莞市·其他类型)已知函数，的零点分别为，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·山东省东营市·其他类型)写出一个同时满足下列两个条件的函数 ．
对，，有；
当时，恒成立．
13.(2025·浙江省温州市·其他类型)函数的值域为 ．
14.(2024·江苏省盐城市·期末考试)已知函数，该函数在上的所有零点之和为 ；使得不等式成立的实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·广东省·期中考试)本小题分
．
已知，，计算的值．
16.(2025·河南省郑州市·其他类型)本小题分
已知函数
判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
若为奇函数，求满足的的取值范围．
17.(2025·湖北省黄冈市·月考试卷)本小题分
已知函数．
解关于的不等式；求函数，的最小值．
18.(2025·山东省·单元测试)本小题分
已知函数且的图象过点．
求的值及的定义域；
求在上的最大值；
若，比较与的大小．
19.(2024·辽宁省本溪市·期末考试)本小题分
有一种候鸟每年都按一定的路线迁徒，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差参考数据：，，．
当，候鸟每分钟的耗氧量为个单位时，候鸟的飞行速度是多少？
当，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
若雄鸟的飞行速度为，同类雌鸟的飞行速度为，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
答案与解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的求值，属于基础题．
将自变量代入相应的解析式求值即可．
【解答】
解：已知
则，
所以．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
【解答】
解：，，
，
又，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数与指数幂的运算、对数与对数运算，属于基础题．
先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数函数式中求出，最后即可求出相应的函数值．
【解答】
解：函数的图象恒过定点，
将，代入得：，
，
，
则
．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数方程，基本不等式的应用．
利用指对互化公式得出关于的等式，利用基本不等式得出的最小值．
【解答】
解：，
，
当且仅当，即时取等号．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，属于简单题．
若函数在上是增函数，则在恒成立，结合二次函数的单调性，得的不等式求解即可．
【解答】
解：若函数在上是增函数，
则函数在上为增函数，
且上，恒成立，
所以，，
解得．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用指数函数模型解决实际问题，属于基础题．
根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果．
【解答】
解：由题设，可得
所以，则，
故，
所以教师用户超过名至少经过天．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的图象，函数零点、方程的根的个数和二次方程根的分布，属于中档题．
利用分段函数的图象，结合指、对数函数的图象作出函数的图象，利用函数零点、方程的根的个数，结合图象把问题转化为关于的方程在有两个不同的实数根，再利用二次方程根的分布，计算得结论．
解：作函数的图象如下：
由图象知：要关于的方程有个不同的实数根，
设，则关于的方程在有两个不同的实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围为
9.【答案】
【解析】解：，选项错误；
，选项正确；
若，，则，选项正确；
若，则，所以，选项正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数的性质，函数的单调性、对称性以及值域问题，属于中档题．
根据指数函数的单调性即可判定；通过举反例可以判定，根据，可以判定选项D．
【解答】
解：因为是上的增函数，是上的减函数，
所以在上单调递增，故 A正确；
B.若，即时，则，故B错误；
C.对于函数，因为，，，
故的图象不关于直线对称，故C错误；
D.因为，所以的图象关于点对称，故D正确；
故选AD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的零点问题，考查函数的对称性、指数函数和对数函数的性质，属于一般题．
利用对称性求出，，进而可得，结合的图象与直线的交点为即可解答．
【解答】
解：因为函数的图象关于直线对称，
与的图象关于直线对称，
设与图象的交点为，与图象的交点为，
则与也关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即．
因为的图象与直线的交点为，则，
所以，等号取不到．
，，
令，，
所以在上单调递增，
所以，
则．
故选BC．
12.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查了对数的运算性质和对数函数的单调性，属于基础题．
由满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质进行判断即可得答案．
【解答】
解：因为由满足的两个条件可以联想到对数函数，
当时，
对，，，满足条件；
当时，，满足条件．
故答案为：答案不唯一．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复合函数的性质，运用换元法求解．
设，得，转化为，根据单调性求解．
【解答】
解：设，
，
函数，
，
根据单调性可知：，
即函数的值域为．
故答案为．
14.【答案】

【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性及利用性质解不等式和转化思想，属于中档题．
先设，则，根据关于对称，且只有两个零点，则零点之和为；根据的单调性和对称性化简，然后解出不等式即可
【解答】
解：设函数，则为偶函数，
则有：在上单调递减；在上单调递增；
，，故，
可得在上有一个零点；在上有一个零点，
且两个零点关于原点对称，
故有两个零点，而且关于对称，则两个零点之和为：，
不等式等价为：，
即有：，
解得：，
故答案为：；．
15.【答案】解：原式
由得，而，
所以．

【解析】本题考查指数幂的化简求值，对数式的化简求值，属于基础题．
根据给定条件，利用指数运算法则计算作答
利用指数式与对数式互化求出，代入并结合对数运算法则求解作答．
16.【答案】解：函数为上的增函数，
证明如下：任取、且，
则，
所以，
即，
所以函数为上的增函数．
若函数为奇函数，则，
即，
则，
因为函数为上的增函数，
由得，解得．
因此，满足的的取值范围是．
【解析】本题考查了函数的性质，函数单调性的证明与应用，属于较难题．
根据单调性的定义进行判断，可知函数的单调性；
根据函数的奇偶性求出，再由函数的单调性列不等式求解即可．
17.【答案】解：不等式可化为：
，即，
解得或，
所以不等式的解集为，；
，
当时，，
令，
若时，则在上单调递减，则的最小值为，；
若时，
当，即时，在上单调递增，则的最小值为，即，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为 ，即，
综上：当时，，
当时，，
当时，．
【解析】本题考查不等式的求解，函数的最值，属于中档题．
由题意得，然后解不等式组即可；
，利用换元法，构造函数，利用二次函数的单调性即可求得结果．
18.【答案】解：由已知，，
解得，
所以定义域为；
，
因为，，
则，
所以，
故最大值为；
因为，设，
所以，，
又，，
所以，
因为，则，，
因为，所以，，即，
所以，
因为，，
所以，，
因为在上是增函数，又在时是减函数，
所以在上是减函数，
所以．
【解析】本题主要考查函数的最值，对数函数的运算与性质，函数值的大小比较，属于中档题．
由求得，由对数函数的定义得定义域；
函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；
指数式改写为对数式，然后比较，的大小，并由已知得出，的范围，在此范围内由的单调性得大小关系．
19.【答案】解：若，候鸟每分钟的耗氧量为个单位时，
即，，
可得，
故此时候鸟的飞行速度为；
由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是，
将和代入题目所给的公式，
可得，
即，解得：，
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为个单位；
设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，
由题意得：，
两式相减可得，
解得：，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的倍．
【解析】本题考查对数函数模型的应用，涉及对数运算．
将，，将其代入解析式，求出的值即可；
和代入题目所给的公式，求出的值即可；
设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，得到关于，的方程组，解出即可．
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