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苏教版高一暑假作业4：三角函数（1）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·广东省·月考试卷)圆的一条弧的长度等于圆内接正六边形的边长，则这条弧所对的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
2.(2024·浙江省杭州市·期中考试)若点是角终边上一点，始边为轴的非负半轴，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.(2025·湖南省·单元测试)已知，则的值为( )
A. B. C. D.
4.(2024·山西省·其他类型)( )
A. B. C. D.
5.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)已知角终边上一点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.(2024·湖南省·单元测试)函数的图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
7.(2024·山东省·月考试卷)若，则( )
A. B. C. D.
8.(2024·辽宁省大连市·月考试卷)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆的一部分和以为直径的圆的一部分，若是的中点，，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为 参考数据：
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·江苏省·同步练习)在中，下列等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
10.(2024·河北省·单元测试)已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若的最小正周期是，则
B. 当时，的对称中心的坐标为
C. 当时，
D. 若在区间上单调递增，则
11.(2025·湖北省黄冈市·月考试卷)已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A.
B. 函数的单调增区间为
C. 函数的图象关于中心对称
D. 函数的图象可由图象向右平移个单位长度得到
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024·北京市市辖区·模拟题)已知函数其中为实数，若对恒成立，则满足条件的值为 写出满足条件的一个值即可
13.(2025·河南省·同步练习)如图，边长为的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点为正六边形的一个顶点，当点第一次落在桌面上时，点走过的路程为 ．
14.某地一天中时至时的温度变化曲线近似满足函数其中，时至时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天时至时温差的最大值是 ；图中曲线对应的函数解析式是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·山东省东营市·月考试卷)本小题分
如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为．
求的值；
求的值．
16.(2024·江西省·联考题)本小题分
已知向量，，函数．
若，求函数的减区间；
若，方程有唯一解，求的取值范围．
17.(2025·山东省·单元测试)本小题分
已知函数．
求的值；
求的最小正周期和对称轴方程；
求在上的值域．
18.(2025·安徽省滁州市·其他类型)本小题分
已知函数的图象如图所示．
求函数的解析式；
首先将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的，然后将所得函数图象向右平移个单位，最后再向上平移个单位得到函数的图象，求函数在内的值域．
19.(2025·山东省济南市·其他类型)本小题分
如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，顶点为坐标原点，终边与单位圆圆心在原点，半径为交于点过点作单位圆的切线，分别交轴、轴于点与
若的面积为，求的值；
求的最小值．
答案与解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查弧长公式，属于基础题．
设圆的半径为，得内接正六边形的边长为，由弧长公式可得答案．
【解答】
解：设圆的半径为，则易得该圆的内接正六边形边长为，
这条弧所对的圆心角为．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
利用诱导公式和正弦函数的定义即可求解．
【解答】
解：由题意，得，
则，
因此点在第二象限，，
又因三角函数的定义得，
则，解得．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意利用诱导公式化简即可得解．
【解答】
解：，
，
，
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角关系、诱导公式以及二倍角公式的应用，属于基础题．
将所求平方，运用同角三角关系、诱导公式以及二倍角公式化简，再开方，即可得到答案．
【解答】解：因为，所以，
，
故．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了任意角的三角函数，诱导公式，属于一般题．
利用任意角的三角函数得，，再利用诱导公式和同角三角函数的基本关系得，代入从而得结论．
【解答】
解：因为点为角终边上一点，
所以，，
又因为，
所以．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，函数图象的识别，属于中档题．
利用偶函数定义得为偶函数，排除与，再利用指数函数和正弦函数性质得当时，，排除，从而得结论．
【解答】
解：因为函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，因此排除，
又因为当时，，所以，
而，因此，所以排除，
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
方法一：先解得，利用同角三角函数的基本关系将所求式子化为，可得结果；
方法二：由条件得，两边平方，即可求出结果．
【解答】
解：方法一：，
，
，
．
方法二：，
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查弧长公式及扇形面积公式，属于基础题．
设扇形所在的圆的圆心为，根据为等边三角形可求内弧的弧长，从而可求弓形的面积，故可求阴影部分的面积．
【解答】
解：设的外接圆的半径为，圆心为，如图：
因为，所以是等边三角形，，
因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，
所以弓形的面积为，
以为直径的半圆的面积为，
所以该月牙泉的面积为：
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式的应用，属于基础题．
利用诱导公式以及三角形的内角和定理逐项判断可得结果．
【解答】
解：在中，，
对于，，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确．
故选CD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是正切函数的图像与性质，是中档题．
依据周期公式，可直接解；中解析式确定后根据正切函数性质即可求得对称中心坐标，判断；中解析式是确定的，用诱导公式把两个值变为内的两个角的正切值，根据正切函数性质即可比出大小；中先直接求出的递增区间，根据题意，列出不等式组即可求出范围．
【解答】
解：函数的最小正周期为，
又因为中给出了最小正周期为的条件，
故 ，解得，A正确；
当时，函数解析式为
令，
故对称中心为，B错误；
当时，函数解析式为
，
又，故，
所以，C错误；
中，
令，
解得：，
函数递增区间为，
在上单调递增，
则有，
，解得，故D正确．
故选AD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的图象和性质，考查数形结合思想，转化思想，属于基础题．
根据三角函数的图象及性质对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：，
由图象得：，
故，故，故A正确；
令，，得：，，
故函数的单调递增区间是，故B错误；
，故C正确；
的图象可由图象向左平移个单位长度得到，故D错误；
故选：．
12.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查了三角形函数的性质的应用，考查了转化思想，属于中档题．
根据，可得时，取得最大值或最小值，即写出答案；
【解答】
解：由题意，对恒成立，可得时，取得最大值或最小值．
若时，取得最大值，即，可得，
若时，取得最小值，即可得，
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了弧长公式的应用，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
可以分为三步，每步走，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到的距离为半径，利用弧长公式分别求解，最后求和即可．
【解答】
解：可以分为三步，每步走，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到的距离为半径，
第一步：，，
第二步：，，
第三步：，，
所以当点第一次落在桌面上时，点走过的路程为
．
故答案为：．
14.【答案】，
【解析】【分析】
本题主要考查由函数的部分图象确定其解析式的基本方法．
由图象的最高点与最低点，易于求出这段时间的最大温差；
、可由图象直接得出，由周期求得，然后通过特殊点求，则问题解决．
【解答】
解：由图示，这段时间的最大温差是，
图中从时到时的图象是函数的半个周期，
，解得，
由图示，，，
这时，，
将代入上式，可得，
其中，可取，
综上，所求的解析式为，．
故答案为：；，．
15.【答案】解：由题知，，
因为，
所以，
又为第二象限角，
所以，
即．
．
【解析】本题考查了任意角的三角函数 、同角三角函数基本关系式，属于基础题．
由任意角的三角函数得出，再由同角三角函数基本关系式可得，的值．
直接代入数值计算得解．
16.【答案】解：．
令，，则，，
，或，
故函数的减区间为和．
，，，
方程有唯一解，
，对应的的值域为，
或．
故的取值范围为．
【解析】结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为．
令，，解得，，再结合的限定，即可得到函数的减区间；
由，可知，由于方程有唯一解，结合正弦型函数的图象可推出，再求得与之对应的函数的值域，从而得的取值范围．
本题考查平面向量数量积的运算、三角函数与三角恒等变换的综合，熟练掌握二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由
，
的最小正周期
令，解得
故的对称轴方程为
，，
．
由正弦函数性质知，
，在上的值域为．

【解析】本题考查两角和与差的余弦函数公式、二倍角公式、正弦函数图像性质、辅助角公式以及三角函数的定义域和值域，属于一般题．
利用两角和与差的余弦函数公式、二倍角公式以及辅助角公式化简得到，然后将带入求解即可
根据题结论，利用求解最小正周期，利用求解对称轴即可
根据题给范围求出，然后根据正弦函数性质求解值域即可．
18.【答案】解：由图象得，，
由，
可得，
，
，
．
，
当时，，，
．
【解析】本题考查了函数的图象变换以及由的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想和逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
由图象可求的值，利用三角函数的周期公式可求的值，再代入点计算出的值即可得解；
由题意根据函数的图象变换可求的解析式，进而根据正弦函数的图象与性质即可得解．
19.【答案】解：由题意得，，，
因为角为锐角，则，，
由的面积为，得，
即，
所以，
又，故，
即，解得
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
【解析】本题考查了利用同角三角函数基本关系化简和由基本不等式求最值，是中档题．
由题意得，，，由的面积为，得，可得，由正余弦齐次式的计算可得的值
易得，由乘“”法，利用基本不等式可得其最小值．
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