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苏教版高一暑假作业5：三角函数（2）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·北京市·期中考试)( )
A. B. C. D.
2.(2025·江苏省苏州市·其他类型)结果为( )
A. B. C. D.
3.(2025·江苏省连云港市·模拟题)化简所得的结果是( )
A. B. C. D.
4.(2025·江苏省连云港市·模拟题)已知，且，则 ．
A. B. C. D.
5.(2025·浙江省·单元测试)已知，，则( )
A. B. C. D.
6.(2025·全国·期中考试)若，，且，，则的值是
A. B. C. 或 D. 或
7.(2025·山东省烟台市·月考试卷)已知，且，，则的值为
A. B. C. D.
8.(2024·江西省吉安市·月考试卷)已知函数，若函数的图象与直线在上有个不同的交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·江苏省南京市·其他类型)下列化简结果正确的是( )
A. B.
C. D.
10.(2025·广西壮族自治区·单元测试)关于函数，下列命题正确的是( )
A. 由可得是的整数倍
B. 的表达式可改写成
C. 的图像关于点对称
D. 的图像关于直线对称
11.(2024·浙江省·其他类型)定义：为集合相对常数的“余弦方差”若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为 ．
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·上海市市辖区·期中考试)如果是方程两根，则 ．
13.(2025·江苏省南通市·月考试卷)已知，则 ．
14.(2024·广东省·假期作业)如图所示，圆与正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，，．若，则 ；若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·内蒙古自治区·期中考试)本小题分
已知，，，，求．
16.(2025·上海市·期中考试)本小题分
已知，，，．
求的值；
求 的 值，并确定的大小．
17.(2024·浙江省杭州市·其他类型)本小题分
已知函数
Ⅰ求的值
Ⅱ若，且，再从下面中选取一个作为条件，求的值．
函数的一个对称中心为函数图象过点两条相邻对称轴间的距离为．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分
18.(2025·湖北省黄冈市·月考试卷)本小题分
设函数
Ⅰ求函数的最大值及取得最大值时的取值集合；
Ⅱ若，且，求．
19.(2024·江西省九江市·其他类型)本小题分
已知向量，，其中，，且函数周期为．
若，且，求的值；
方程在上有且仅有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
答案与解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
熟练运用公式和特殊角的值即可求解．
【解答】
解：
，
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角和的正切公式，属于基础题目．
根据 利用两角和的正切公式化简，从而可得出答案．
【解答】
解：因为
，
所以 ，
所以 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，属于中档题．
根据切化弦整理得，再根据化简整理即可求解．
【解答】
解：
．
故本题选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的化简求值，考查三角恒等变换，考查学生的运算能力属于中等题．
根据同角三角函数的平方关系，求出，再求出，由三角恒等变换化简后代入求解即可．
【解答】
解：，，即，
由可知，，即
，，．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角和差的正切公式，属于基础题．
利用两角和差的正切公式计算得出结论．
【解答】
解：因为，，
所以，，
所以．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查给值求角问题，要注意角度的取值范围．
利用复合角可得，再利用两角和与差的正弦求值，最后得到的值
【解答】
解：
符号相同，
又
由可得，
又，，
，
，
由，得，
，
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式．
化简已知式子为，，再求出， ，利用，即可求出结果．
【解答】
解：因为，
所以，即，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
，
所以
．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三角函数的图象和性质、二倍角公式、辅助角公式，是中档题．
利用二倍角公式、辅助角公式进行化简，利用数形结合法，并由正弦函数的图像及性质进行求解即可．
【解答】
解：
，
由得，得，
当时，，，
由，得或，是整数，
则右侧第一个根为，第二个根为，第三个为，第四个根为，
若与在上有个不同的交点，
则，得，得，
即的取值范围是，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角恒等变换的综合应用，属于中档题．
利用三角恒等变换对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于选项A，，故选项A正确；
对于选项B，，故选项B正确；
对于选项C，，故选项C错误；
对于选项D，，故选项D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查辅助角公式、诱导公式，正弦函数的图象和性质应用，属于中等题．
由条件先对降幂，辅助角公式化简为，再利用诱导公式，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：
，
对于函数，
由可得 ，
是的整数，即是的整数倍，故A不正确．
函数
，故B正确．
对于函数，
令，可得，故C不正确．
令，求得函数，是函数的最值，故D正确，
故选BD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角恒等变换的综合应用，考查正弦型函数的值域，属于中档题．
根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得．
【解答】
解：依题意
，
因为，所以，所以，
所以．
故选ABC．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
由题意，得，，原式“弦”化“切”，代入计算即可．
【解答】
解：是方程两根，
，，
．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：由
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
设，由条件利用任意角的三角函数的定义求得，，由图形将表示出来，再由两角差的正切公式及三角恒等变换从而求得所给式子的值．
【解答】
解：点的坐标为，设，
，，
即，，则
，，，则，

．
故答案为 ．
15.【答案】解：，，
，
，，
，
．
【解析】本题考查同角三角函数之间的关系及两角和与差的三角函数．
根据题意利用同角三角函数之间的关系可得及的值，进而利用两角和与差的三角函数即可求得结果．
16.【答案】解：，由，解得，，
又，，
，
；
由可知，，，
，
，，
，解得．

【解析】本题考查两角和与差公式，二倍角的正切公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
由题意解得，由求出，再利用两角差的余弦公式求解的值即可；
由，求出，再求出，利用两角差的正切公式计算的值，并得到的大小即可．
17.【答案】解：Ⅰ
，
；
Ⅱ选，则，因为，则．
选，因为，则，
故，．
选，故，则．
综上，不论选，均可得
因为，所以，
因为，所以，故，
．
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦型函数的性质、由一个三角函数值求其它三角函数值，属于中档题．
Ⅰ利用倍角公式及辅助角公式将三角函数式化为最简形式，再代值求解即可；
Ⅱ若选，由对称中心结合的范围可求得若选，由图象过的点结合的范围可得；若选，由对称轴间距离可得周期，可得均可得解析式，代入可得，由同角三角函数关系结合的范围可得，再由两角和差公式求解即可．
18.【答案】解：Ⅰ
，
当时，即，
函数取得最大值，
综上：函数最大值为，取得最大值时的取值集合为．
Ⅱ因为，所以，
又，所以，
所以，所以，
所以
．
【解析】本题考查求正弦型函数的值域或最值、两角和与差的正弦公式、由一个三角函数值求其他三角函数值、两角和与差的余弦公式、降幂公式、辅助角公式，属于中档题．
Ⅰ由题意结合两角和与差的余弦公式、降幂公式、辅助角公式，化简函数的解析式可得，利用正弦型函数性质即可求出函数最大值及取得最大值时的集合．
Ⅱ由题意求出的值，由此求出的取值范围，利用同角三角函数基本关系求出的值，进而根据两角差的正弦公式即可求得的值．
19.【答案】解：
，
因为，，
所以，
所以，
又因为，
所以，，
所以．
方程在上有且仅有两个不同的实数解等价于函数与在有且仅有两个不同的交点，
而，在上为增函数，在为减函数，
当时，，当时，，
所以．
即实数的取值范围是．
【解析】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，两角和差正余弦公式的应用，同角三角函数基本关系，属于中档题．
首先化简所给的函数解析式，然后利用周期性确定的值，最后结合两角和的正弦公式可得的值；
将原问题转化为函数有个交点的问题，然后结合三角函数的性质即可求得实数的取值范围．
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