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第32讲 图形的对称、平移、旋转
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
平移定义 1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．(1)平移前后，对应线段__平行且相等__、对应角相等；(2)各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；(3)平移前后的图形全等．
平移要点
平移性质
作图步骤 (1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离；(2)找出原图形的关键点；(3)按平移方向和平移距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 平移
【典例1】（2025·浙江模拟）如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由B可得，进而得到，即将沿x轴正方向平移1个单位得到，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答．
【详解】解：∵B
∴
∵
∴
∴将沿x轴正方向平移1个单位得到
∴点C是将A向右平移1个单位得到的
∴点C是的坐标是，即．
故选A．
【点睛】本题主要考查了图形的平移、根据平移方式确定坐标等知识点，根据题意得到将沿x轴正方向平移1个单位得到是解答本题的关键．
【典例2】（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，代入
∴，∴
∴直线的解析式为
∵，
A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意，
B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意，
C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，，
∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意，
D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形内部，不符合题意，
故选：A．
【典例3】如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】坐标与图形变化﹣平移．.
【专题】数形结合；几何直观．
【答案】B
【分析】根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
【解答】解：∵线段CD由线段AB平移得到，
且A（1，0），C（﹣2，1），B（4，m），D（a，n），
∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图象的变化，熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同是解题的关键．
考点二 对称
【典例1】（ 2025·北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、B中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A、B不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不轴对称图形，故C不符合题意；
D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形和轴对称图形的定义．
【典例2】（ 2025·黑龙江龙东）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B． C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
C．图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形，熟知一个图形绕着某固定点旋转180°后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
【典例3】（ 2025·黑龙江龙东）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为 　3或9　 ．
【分析】根据题意画出示意图，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，由勾股定理求出进而得到由点C关于直线EF的对称点P，得到，∠EGC＝∠EGP＝90°，求出∠CEH＝∠CAD＝60°，进而得到∠PEC＝120°，再求出∠CPE＝∠PCE（180°﹣∠PEC）＝30°，证明△CEF是等腰三角形，在Rt△CEH中，解直角三角形求出CH，进而求解；当点P在AC下方时，先求出\∠CEP＝60°，CH，结合对称的性质易证△CEP是等边三角形，易求EH＝PHPE解直角三角形求出HF，由CF＝CH﹣HF即可求解．
【解答】解：如图所示，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，
∵在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝12，，∵
点E是边CD的中点，
∴，
∵点C关于直线EF的对称点P，
∴，∠EGC＝∠EGP＝90°，
∵PH⊥AC，
∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∠ACD＝30°，∠ACD+∠CEH＝∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CEH＝∠CAD＝60°，
∴∠PEC＝120°，∵PE＝CE，
∴，
∵∠PEG＝∠FEH，∠EGP＝∠EHF＝90°，
∴∠CPE＝∠EFC＝30°，
∴△CEF是等腰三角形，，
在Rt△CEH中，，
∠HCE＝30°，CH＝CE cos∠HCE＝3，
∴CF＝2CH＝9；
如图，当点P在AC下方时，
∵PE⊥AC，
∴∠CHE＝90°，
∵∠ACD＝30°，
∴∠CEP＝60°，CH＝CE cos∠ACD＝3，
由对称的性质得PE＝CE，
∴△CEP是等边三角形，
∴∠P＝60°，CE＝PC＝PE＝3，
∴∠HEF＝30°，，，
∴CF＝CH﹣HF＝3；
综上，CF的长为3或9．
故答案为：3或9．
【点评】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
考点三 旋转
中考考点 新课标要求
旋转定义 1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素：旋转中心、旋转方向和__旋转角度__3．(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等．
旋转要点
旋转性质
作图步骤 (1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；(2)找出原图形的关键点；(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
【典例1】（2025·安徽）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　）
A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是
C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是
【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
又∵∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，
过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1，延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形，
∴∠GDA＝∠ADE+∠EDG＝90°＝∠EDG+∠HDF．
∴∠ADE＝∠HDF，
∴△DHF≌△DAE（SAS），
∴∠DHF＝∠DAE＝90°，
∴FH⊥DG，即点F在FH上运动，
∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形，
∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1，BI＝4﹣1＝3，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，
∴，，
∴，
∴BE最大时，EC﹣ED最大，
当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小，此时，ED＝1，，故A错误，符合题意；
，故B正确，不符合题意；
作点D关于AB的对称点M，连接MC，则ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°，过M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，当C、E、M三点共线时，EC+ED最小，
∵MN⊥CB，∠ABN＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AMNB是矩形，
∴BN＝AM＝1，CN＝3+1＝4，AB＝MN＝4，
∴EC+ED的最小值，故C正确，不符合题意；
当E与A重合时，，
当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如图，
∴CQ＝IB＝4﹣1＝3，QI＝BC＝3，
∵△DHF≌△DAE，
∴FH＝AE＝4，
∴QF＝FH+HI﹣QI＝4+1﹣3＝2，
∴，
综上，FC最大值为.故D项正确，不符合题意；
故选：A．
【典例2】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．.
【专题】计算题；作图题；空间观念；运算能力．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）．
【分析】（1）按平移变换的性质分别确定A，B，C平移后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
（2）按旋转变换的性质分别确定A，B，C绕点C顺时针旋转90度后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
（3）将△ABC扫过的面积用规则图形的面积和差表示，求出即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3），
∵AC，
∴，
∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积．
【点评】本题考查网格作图﹣平移、旋转，以及网格中图形面积的计算，解题涉及平移的性质，旋转的性质，勾股定理，扇形面积公式，掌握平移、旋转的性质和网格中图形面积的计算方法是解题的关键．
【典例3】（ 2025·黑龙江龙东）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，设∠BAC＝α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F．探究如下：
（1）若α＝60°时，
如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
（2）若α＝120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
【分析】（1）①由AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，得到△ABC是等边三角形，从而得到∠ABC＝∠BCA＝∠ACB＝60°，进而推出∠BAE＝∠CAD，因此可证明△ABE≌△ACD（SAS），得到BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，求得∠EBF＝60°，因此BE＝2BF，由CD＝BD+BC＝BF+DF+BC即可得到结论BF＝DF+BC；
②由AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，得到△ABC是等边三角形，从而∠ABC＝∠BCA＝60°，进而推出∠BAE＝∠CAD，因此可证明△ABE≌△ACD（SAS），得到BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°，求得∠BEF＝∠ABE﹣∠ABC＝60°，因此BE＝2BF，由CD＝BD﹣BC＝BF+DF﹣BC，即可得到结论BF＝DF﹣BC；
（2）同（1）思路即可求解．
【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠ACB＝60°，
∵∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，
∴∠BAC+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，
∴在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，
∴∠EBF＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵EF⊥BC，
∴在Rt△BEF 中，，
∵CD＝BD+BC＝BF+DF+BC，CD＝BE＝2BF，
∴2BF＝BF+DF+BC，
∴BF＝DF+BC；
②解：BF＝DF﹣BC，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BCA＝120°，
∵4∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，
∴在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°，
∴∠EBF＝∠ABE﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，
∵EF⊥BC，
∴在Rt△BEF中，，
∵CD＝BD﹣BC＝BF+DF﹣BC，CD＝BE＝2BF，
∴2BF＝BF+DF﹣BC，
∴BF＝DF﹣BC；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝120°，
∴，
∵∠BAC＝∠EAD＝α＝120°，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠DAC＝∠EAB，
∴在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝30°
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝30°+30°＝60°，
∵EF⊥BC，
∴在Rt△BEF 中，
，
∵CD＝BC﹣BD＝DF﹣BF+BC，CD＝BE＝2BF，
∴2BF＝DF+BC﹣BF，
∴3BF＝DF+BC．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键．
专项训练·深度理解
专项训练十：
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（　　）
A．B．C．D．
【考点】利用平移设计图案．.
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据平移的定义逐个判断即可．
【解答】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置，
观察图形可知，选项B中图形是由图形a通过平移得到，
A，C，D均不能由图形a通过平移得到，
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质的应用，熟练掌握平移的性质是解题关键．
2. “致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是（　　）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．.
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：由图可知，A、B、D不是轴对称图形；
C是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键．
3. （ 2025·福建）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4. （2025·湖南）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
5. （2025·湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【解答】解：由题意A，C关于原点对称，
∵A（﹣1，2），
∴C（1，﹣2）．
故选：C．
6. 在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】坐标与图形变化﹣平移．.
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】根据点的平移规律可得先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B（m+1，2+3），再根据点B的横坐标和纵坐标相等即可求出答案．
【解答】解：∵把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．
∴点B（m+1，2+3），
∵点B的横坐标和纵坐标相等，
∴m+1＝5，
∴m＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
7. 如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　）
A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．.
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据轴对称的性质求出A1，B1，C1的坐标，根据平移的性质即可求出A2的坐标．
【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）关于x轴对称的点的坐标为A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），
又∵B2（2，1），
∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点A2坐标为（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
8. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（　　）
A．96 B．96 C．192 D．160
【考点】平移的性质；勾股定理．.
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据正切的定义求出BC，证明四边形ACC′A′为平行四边形，根据平移的性质求出AA′＝12，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8，
则BC＝AB tan∠CAB＝8，
由平移的性质可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，
∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为0，
∴AA′＝12，
∴S四边形ACC′A′＝12×896，
故选：B．
【点评】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，得出四边形ACC′A′为平行四边形是解题的关键．
9. 如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则的值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【考点】旋转的性质；解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质．.
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，由勾股定理可求此时GF的长，当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，由勾股定理可求此时GF的长，即可求解．
【解答】解：在等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB，
∴AC＝BC＝1，
在△BCG中，CG﹣BC＜BG＜CG+BC，
即2＜BG＜4，
如图，当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，
∴DG＝DC+CG＝5，GF＝1，
∴DFm，
当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，
∴DG＝CG﹣DC＝1，FG＝1，
∴DFn，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理等知识，确定BG最长和最短时的位置是解题的关键．
10. 一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②当DA1达到最大值时，A1到直线AD的距离达到最大；
③DA1的最小值为22；
④DA1达到最小值时，MN＝5．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质．.
【答案】C
【分析】由折叠可得 A1E＝AE＝BE＝2，可得点A1到点E的距离恒为2，即可判断①；
连接DE，由勾股定理得到在Rt△ADE 中，，由 DA1+A1E≥DE，即可 判断③；
DA1 达到最小值时，点A1 在线段DE上，证得△A1DN∽△ADE，得到 ，从而求得 ，通过MN＝AD﹣DN﹣AM 即可判断④；
在△A1DE 中，A1D 随着∠DEA1 的增大而增大，而当∠NEA最大时，∠DEA1 有最大值， 有最大值，此时点N与点D重合．过点A1作A1G⊥AD于点G，作A1P⊥AB于点P，可得四边 形 AGA1P 是矩形，因此 A1G＝AP＝AE+EP 当 A1D 取得最大值时，∠A1EP 有最小值，在Rt△A1EP 中，EP＝A1E cos∠A1EP 有最大值，A1G＝AP＝AE+EP 有最大值，即可判断②．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD的边长为4dm，AE＝BE，
∴，
由折叠的性质可知，A1E＝AE＝2，
∴当点N在线段MD上运动时，点A在以E为圆心的圆弧上运动．
故①正确；
连接DE，
∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，AE＝2，
∴在Rt△ADE中，，
∵DA1+A1E≥DE，
∴，
∴DA1的最小值为，
故③正确；
如图，
DA1达到最小值时，点A在线段DE上，
由折叠可得∠NA1E＝∠A＝90°，
∴∠DA1N＝90°，
∴∠DA1N＝∠A，
∵∠A1DN＝∠ADE，
∴△A1DN∽△ADE，
，
∴，
∴，
∴，
故④错误．
在△A1DE中，，A1E＝AE＝2，
∴A1D随着∠DEA1的增大而增大，
∵∠DEA1＝∠NEA1﹣∠NED＝∠NEA﹣∠NED＝∠NEA﹣（∠AED﹣∠NEA）＝2∠NEA﹣∠AED，
∴当∠NEA最大时，∠DEA1有最大值，A1G有最大值，此时，点N与点D重合，
过点A1作A1G⊥AD于点G，作A1P⊥AB于点P，
∵∠A＝90°，
∴四边形AGA1P是矩形，
∴A1G＝AP＝AE+EP，
当A1D取得最大值时，∠AEN＝∠A1EN也是最大值，
∵∠A1EP＝180°﹣∠AEN﹣∠A1EN＝180°﹣2∠AEN
∴∠A1EP有最小值，
∴在Rt△A1EP中，EP＝A1E cos∠A1EP有最大值，
即A1G＝AP＝AE+EP有最大值，
∴点A1到AD的距离最大．
故②正确．
综上所述，正确的共有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了翻折变换、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，综合运用相关知识是解题的关键．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点B（a，b），则a+b＝　0　．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．.
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】0．
【分析】利用点平移的坐标规律，列出关于a、b的方程，求出a、b，代入计算即可．
【解答】解：∵将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点B（a，b），
∴﹣1+1＝a，2﹣2＝b，
∴a＝0，b＝0，
∴a+b＝0+0＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 　9　．
【考点】翻折变换（折叠问题）．.
【专题】展开与折叠；推理能力．
【答案】9．
【分析】根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B'E＝BE＝2CE＝6即可求解．
【解答】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，∠CB'E＝30°，CE＝3，
∴B'E＝BE＝2CE＝6，
∴BC＝CE+BE＝3+6＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键．
13. 一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即AB∥OD时，∠1的大小为 　75　°．
【考点】旋转的性质；平行线的性质．.
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】75．
【分析】根据旋转的性质可知：旋转后的三角形AOB和原来的△AOB一样，再根据平行线的性质，可以得到∠B＝∠BOD＝45°，然后根据三角板的特点，可知∠D＝30°，最后根据三角形外角的性质，即可求得∠1的度数．
【解答】解：由已知可得，
∠B＝45°，
∵AB∥OD，
∠B＝∠BOD＝45°，
由图可得，∠D＝30°，
∴∠1＝∠BOD+∠D＝45°+30°＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查旋转的性质、平行线的性质、三角形外角的性质、三角板的特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是 　（1，﹣3）　．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．.
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】（1，﹣3）．
【分析】由A点的平移判断出B点的平移最后得出坐标即可．
【解答】解：由题意知，点A从（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2个单位，再向左平移1个单位（或者先向左平移1个单位，再向下平移2个单位），
即B点（2，﹣1），平移后的对应点为B'（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】本题主要考查平移的知识，根据A点的平移情况得出B点的对应点是解题的关键．
15. 在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cos∠ABC＝　或　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.
【专题】多边形与平行四边形．
【答案】或．
【分析】分别考虑C'在AB之间时和C′在BA的延长线上时两种情况，根据题意假设出每条线段的长度，根据翻折的性质可知各个角之间的关系，即可求解．
【解答】解：当C′在AB之间时，如图，
根据AC'：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，
由翻折的性质知：∠FCD＝∠FC'D'，
∵CD沿直线l翻折至AB所在直线，
∴∠BC′F+∠FC′D′＝∠FCD+∠FBA，
∴∠BC′F＝∠FBA，
∴，
过F作AB的垂线交于E，
∴，
∴，
当C′在BA的延长线上时，如图，
根据AC′：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，
同理知：，
过点F作AB的垂线交于E，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为 　4　．
【考点】旋转的性质；平行线的性质；三角形的面积．.
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】4．
【分析】设A1C交AB于D，由A1B1∥AC，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，可得CD＝AD，而∠ACB＝90°，即可得BD＝CD＝AD，故S△BDE＝S△ADES△ABE，因S△ABE＝3S△ACE，即有，，设CE＝2x，则DE＝3x，CD＝5x＝BD＝AD，求出BE4x，BC2x，证明△BCE∽△ABC，即可得，从而AB＝4．
【解答】解：设A1C交AB于D，如图：
∵A1B1∥AC，
∴∠A1＝∠A1CA，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴∠A1＝∠BAC，
∴∠A1CA＝∠BAC，
∴CD＝AD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠BAC＝90°＝∠A1CA+∠BCD，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴BD＝CD＝AD，
∴S△BDE＝S△ADES△ABE，
∵S△ABE＝3S△ACE，
∴S△BDE＝S△ADES△ACE，
∴，
∴，
设CE＝2x，则DE＝3x，CD＝5x＝BD＝AD，
∴BE4x，
∴BC2x，
∵∠BCE＝∠CBA，∠BEC＝90°＝∠BCA，
∴△BCE∽△ABC，
∴，
∵AC＝8，
∴，
∴AB＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查旋转的性质，涉及相似三角形的判定与性质，平行线性质及应用，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'（2，3），点B、C的对应点分别是B'、C'．
（1）点A、A'之间的距离是 　4　；
（2）请在图中画出△A'B'C'．
【考点】作图﹣平移变换；坐标与图形变化﹣平移．.
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）4．
（2）作图见解析．
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可得到结论；
（2）根据平移的性质作出图形即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），A'（2，3），
∴点A、A'之间的距离是2﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质．
18. （6分）（ 2025·黑龙江龙东）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣4）．
（1）将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）利用勾股定理求出OC1的长，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点C1的坐标为（4，1）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，点C2的坐标为（﹣1，4）．
（3）由勾股定理得，OC1，
∴点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长为．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、作图﹣旋转变换、弧长的计算，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
19. （6分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．
【考点】作图﹣轴对称变换；切线的判定与性质．.
【专题】作图题；网格型；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】（1）根据轴对称的性质结合网格作出图形即可；
（2）根据切线的性质结合网格作出图形即可．
【解答】解：（1）如图①所示，直线GH与直线EF即为所求；
（2）如图②所示，直线AB即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，切线的判定与性质，熟记轴对称变换的性质以及切线的判定与性质是解题的关键．
20. （8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
【考点】作图﹣平移变换；旋转的性质；扇形面积的计算；作图﹣轴对称变换．.
【专题】平面直角坐标系；与圆有关的计算；应用意识．
【答案】（1）图形见解答；
（2）图形见解答；
（3）．
【分析】（1）根据平移的性质得出对应点的位置，画出平移后的图形即可；
（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
（3）根据题意画出旋转后的图形，先求得：OA2，OB2，OC23，再利用线段A2C2在旋转过程中扫过的面积＝SS扇形DOE，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，如图，连接OC3交于D，连接OC2交于E，
∵A2（﹣2，﹣1），B2（﹣1，﹣2），C2（﹣3，﹣3），
∴OA2，OB2，OC23，
∴OA2＝OB2＝OD＝OE，
由旋转得：OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝∠DOE＝90°，
∴△OA2C2≌△OA3C3（SSS），
∴，
∴线段A2C2在旋转过程中扫过的面积＝SS扇形DOE．
【点评】本题考查简单作图、扇形面积的计算、平移变换、轴对称变换、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. （8分）（1）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC．点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点．连接FG，FH．易证：（不需证明）；
（2）当等边△ADE绕着点A旋转到如图②，图③所示的位置时，判断线段FH和FG的数量关系，写出你的猜想并对图②或图③的结论加以证明．
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．.
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】FHFG．
【分析】由三角形中位线定理可得EC＝2FG，通过证明△AHF∽△ACE，可得，即可求解．
【解答】解：如图2，连接AH，AF，EC，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，
∴∠EAF＝∠HAC＝30°，AF⊥DE，AH⊥BC，EC＝2FG，
∴，，∠HAF＝∠CAE，
∴，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
∴，
∴FHFG，
如图3，连接AH，AF，EC，
同理可证：FHFG．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22. （8分）（ 2025·北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F．
（1）如图1，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC；
（2）如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据α＝45°，得出∠BAC＝∠ABC＝45°，根据旋转可得AE＝AD＝AC，∠EAB＝90°﹣∠BAC＝45°，进而证明四边形ABFE是平行四边形，得出BF＝AE，BF＝AC；即可得证；
（2）在DB上取一点G，使得AG＝AB，证明△DAG≌△EAB（SAS），得出DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣∠AGC＝180°﹣α，进而根据三角形内角和定理得出∠FBE＝180°﹣2α，根据平行线的性质得出∠BFE＝∠ABF＝α，进而得出∠BEF＝α，根据等角对等边可得BE＝BF，则DG＝BF，根据三线合一可得GC＝BC，进而根据DF＝BD﹣BF＝BD﹣DG＝BG＝2BC，即可得证．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2×45°＝90°得到线段AE，点D与点C重合，
∴AE＝AD＝AC，∠EAB＝90°﹣∠BAC＝45°，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴BC∥AE，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF＝AE，
∴BF＝AC；
（2）DF＝2BC，证明：
如图，在DB上取一点G，使得AG＝AB，
∴∠AGB＝∠ABG＝α，
∴∠BAG＝180°﹣2α，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE，
∴DA＝EA，
∴∠DAE＝∠GAB＝180°﹣2α，
∴∠DAG＝∠EAB，
∴△DAG≌△EAB（SAS），
∴DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣∠AGC＝180°﹣α，
又∵∠ABC＝α，
∵∠FBE＝∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，
∵EF∥AB，
∴∠BFE＝∠ABF＝α，
∴∠BEF＝180°﹣∠FBE﹣∠BFE＝α，
∴BE＝BF，
∴DG＝BF，
∵AG＝AB，AC⊥BC，
∴GC＝BC，
∴DF＝BD﹣BF＝BD﹣DG＝BG＝2BC．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23. （10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF．
（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF；
（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系：　BF⊥CD　；
②求证：CD＝2BF．
【考点】几何变换综合题．.
【专题】证明题；几何直观．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）BF⊥CD；（3）证明过程详见解析．
【分析】（1）证明△ABE≌△CBD（SAS）得出∠FAB＝∠BCD，再根据直角三角形斜边上得中线等于斜边的一半得出，再利用等角转化即可求证；
（2）①这一问主要是猜想，还需要利用第二问的思路去证明，先证△AGB≌△BDC得到∠ABG＝∠BCD＝∠BAN，再利用8字型得到∠ABC＝∠ANC＝90°，即可得证；②利用倍长中线证△AGF≌△EBF（SAS），再证△AGB≌△BDC（SAS），即可得证．
【解答】（1）证明：在△ABE和△CBD中，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD．
∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，
∴AE＝2BF，
∴CD＝2BF，
∵，
∴∠FAB＝∠FBA．
∴∠FBA＝∠BCD，
∵∠FBA+∠FBC＝90°，
∴∠FBC+∠BCD＝90°．
∴BF⊥CD；
（2）①BF⊥CD；
理由如下：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．延长BE到M，使BE＝BM，连接AM并延长交CD于点N．
证△AGB≌△BDC（具体证法过程跟②一样）．
∴∠ABG＝∠BCD，
∵F是AE中点，B是EM中点，
∴BF是△ABM中位线，
∴BF∥AN，
∴∠ABG＝∠BAN＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠ANC＝90°，
∴AN⊥CD，
∵BF∥AN，
∴BF⊥CD．
故答案为：BF⊥CD；
②证明：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．
∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB，
∴△AGF≌△EBF（SAS），
∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE．
∴AG∥BE．
∴∠GAB+∠ABE＝180°，
∵∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠ABE+∠DBC＝180°，
∴∠GAB＝∠DBC．
∵BE＝BD，
∴AG＝BD．
在△AGB和△BDC中，
∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，AB＝CB，
∴△AGB≌△BDC（SAS），
∴CD＝BG．
∵BG＝2BF，
∴CD＝2BF，
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
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第32讲 图形的对称、平移、旋转
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
平移定义 1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．(1)平移前后，对应线段__平行且相等__、对应角相等；(2)各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；(3)平移前后的图形全等．
平移要点
平移性质
作图步骤 (1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离；(2)找出原图形的关键点；(3)按平移方向和平移距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 平移
【典例1】（2025·浙江模拟）如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【典例2】（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
考点二 对称
【典例1】（ 2025·北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
【典例2】（ 2025·黑龙江龙东）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B． C．D．
【典例3】（ 2025·黑龙江龙东）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为 　 　 ．
考点三 旋转
中考考点 新课标要求
旋转定义 1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素：旋转中心、旋转方向和__旋转角度__3．(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等．
旋转要点
旋转性质
作图步骤 (1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；(2)找出原图形的关键点；(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
【典例1】（2025·安徽）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　）
A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是
C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是
【典例2】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
【典例3】（ 2025·黑龙江龙东）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，设∠BAC＝α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F．探究如下：
（1）若α＝60°时，
如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
（2）若α＝120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
专项训练·深度理解
专项训练十：
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（　　）
A．B．C．D．
2. “致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是（　　）
A．B．C．D．
3. （ 2025·福建）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
4. （2025·湖南）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
5. （2025·湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
6. 在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7. 如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　）
A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
8. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（　　）
A．96 B．96 C．192 D．160
9. 如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则的值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
10. 一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②当DA1达到最大值时，A1到直线AD的距离达到最大；
③DA1的最小值为22；
④DA1达到最小值时，MN＝5．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点B（a，b），则a+b＝　　．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为　．
13. 一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即AB∥OD时，∠1的大小为 　　°．
14. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是 　　．
15. 在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cos∠ABC＝　．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'（2，3），点B、C的对应点分别是B'、C'．
（1）点A、A'之间的距离是 　　；
（2）请在图中画出△A'B'C'．
18. （6分）（ 2025·黑龙江龙东）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣4）．
（1）将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
19. （6分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的⊙O．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．
20. （8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
21. （8分）（1）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC．点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点．连接FG，FH．易证：（不需证明）；
（2）当等边△ADE绕着点A旋转到如图②，图③所示的位置时，判断线段FH和FG的数量关系，写出你的猜想并对图②或图③的结论加以证明．
22. （8分）（ 2025·北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F．
（1）如图1，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC；
（2）如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明．
23. （10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF．
（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF；
（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系： ；
②求证：CD＝2BF．
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