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初中数学九年级(下)
第三章 圆回顾与思考
知识框架
圆
与圆有关的性质
与圆有关的概念
与圆有关的位置关系
与圆有关的概念
·
r
O
圜，一中同长也---《墨经》
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
确定圆的要素是：圆心、半径.
与圆有关的概念
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
能够重合的两个圆叫做等圆.
一是圆心，确定其位置；二是半径，确定其大小．
同心圆
与圆有关的概念
·
C
O
A
B
直径AB：经过圆心的弦叫做直径
弦AC
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
优弧ABC，记作
大于半圆的弧叫做优弧

劣弧AC，记作AC
小于半圆的弧叫劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
直径是弦，但弦不一定是直径
半圆是弧，但弧不一定是半圆；
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
与圆有关的概念
它们都对着同一条弧
⌒
⌒
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角
与圆有关的性质
圆的基本性质
圆的对称性
弧、弦、圆心角之间的关系
垂径定理及其推论
圆周角定理及其推论
在同圆或等圆中
知二推三
与圆有关的性质
●O
圆的对称性1：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线
.
O
A
B
180°
圆的对称性2：
圆是中心对称图形，对称中心是圆心
与圆有关的性质
·
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合．（圆具有旋转不变性）
与圆有关的性质
·
O
A
B
C
D
A
B
O
A′
B′
O
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
与圆有关的性质
条件
CD为直径
CD⊥AB
结论　
AE=BE


∠AOD=∠BOD
·
O
A
C
E
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理及其推论：知二推三
B
D
与圆有关的性质
4
5
3
C
OC为半径
OC⊥AB
OC平分AB
勾股定理
线段长
运用垂径定理及其推论解决一些问题，最常见的辅助线是连接半径，及过圆心作弦的垂线，利用勾股定理解决问题。
口诀“连半径，作垂直”
30o
40o
B
与圆有关的性质
如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为( )
A．70° B．55° C．45° D．35°
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
半径相等 等腰三角形
见直径，连周角，得90°
与圆有关的性质
如图，AB是⊙O 的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（　　 ）。
∠BCD=110°
推论2：直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：圆内接四边形的对角互补．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系
点和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
切线
切线的性质、 切线的判定
三角形的内切圆
切线长定理
三角形的外接圆
圆内接正多边形
与圆有关的位置关系
dd=r
d>r
点到圆心的距离与半径之间的数量关系可以判定点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
可以转化为点到圆
心的距离与半径之
间的数量关系
点在圆外
点在圆内
点在圆上
用点到圆心的距离为d和圆的半径r
的大小关系刻画点的位置特征。
形
数
r
P
d
r
d
P
P
r
d
与圆有关的位置关系
已知☉O的半径为3,点A在☉O外,OA的取值范围是　　　　;
点B在☉O上,OB=　 ;点C(不与点O重合)在☉O内,则OC的取值范围是　　　　 .
3
0OA>3
与圆有关的位置关系
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
锐角三角形：内部
直角三角形：斜边中点
钝角三角形：外部
外心：三角形三条边的垂直平分线的交点.
●O
A
B
C
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
考点突破
1.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
考点突破
2. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于(　　)
A．20° B．40° C．80° D．100°
C
考点突破
3.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(　　)
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
B
不共线的三点确定一个圆
外心：三角形三条边的垂直平分线的交点.
考点突破
B′

60o

将军饮马
作定点的对称点，以动点所在直线为对称轴。
与圆有关的性质
与圆有关的概念
与圆有关的位置关系
谢 谢

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