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初中数学九年级(下)
第三章 圆 回顾与思考第二课时
1
能正确说出直线与圆的位置关系、切线的概念、正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
2
3
学习目标
会计算圆的弧长，扇形的面积，正确求出不规则阴影部分面积。
经历分类与整理的过程，正确应用切线的性质和判定解决问题。
1．如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，PA切⊙O于A，若∠ADC＝48°，则∠PAB＝（　　）
A．42° B．48° C．46° D．50°
2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（　　）
A．30° B．36° C．38° D．45°
3．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝12，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　）
A．18﹣12π B．36﹣6π C．36﹣12π D．18﹣6π
前置测试
评价要求：课前限时5分钟，独立完成，自主评价！
评价标准：每题10分，满分50分。
4．如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（　　）
A． B．10π C． D．12π
5．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝59°，则∠ACE的度数为（　　）
A．59° B．41° C．31° D．29°
前置测试
答案：ABCCC
思维导图
思维导图
典型例题（2022济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．求证：CA＝CD.
证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，
∵OA=OC，∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴CA＝CD.
切线问题
知切线→连半径→得垂直
变式训练（2023济南）已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
求证：∠DAB＝2∠ABC.
证明：连接OC，
∵EC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠DAB＝∠AOC，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∴∠DAB＝2∠ABC；
切线问题
知切线→连半径→得垂直
典型例题 如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点，且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8.求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，
∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6.
∵PB＝4，∴PO＝10.
在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，
PO2＝102＝100，
∴PC2＋OC2＝PO2，
∴△POC是直角三角形，且∠OCP＝90°
即OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
切线问题
找切点→连半径→证垂直
变式训练 如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：PD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接PO，则∠AOP＝2∠ACP＝120°.
∵OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝30°.
∵PA＝PD，
∴∠OAP＝∠D＝30°，
∴∠OPD＝180°－∠OAP－∠OPA－∠D＝90°，
即OP⊥PD.
又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切．
切线问题
找切点→连半径→证垂直
典型例题 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B.
求证：CD与⊙O相切．
证明：如图，过点O作OH⊥CD于H，∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠AEB＝90°，即OA⊥DA.
∵DO平分∠ADC，OH⊥DC，OA⊥DA，∴OH＝OA.
又∵OH⊥DC，
∴DC是⊙O的切线，即CD与⊙O相切．
切线问题
作垂直→得切点→证半径
变式训练 如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD，求证：AB为⊙O的切线．
证明：如图，作OE⊥AB于E.
∵⊙O与BC相切于点C，
∴AC⊥BC，
∵∠AOD＝∠BAD，AD⊥BD，
∴∠OAD＝∠ABD，易知∠OAD＝∠OBC，
∴∠ABD＝∠OBC，
∴OE＝OC，
∴点E在⊙O上，∴AB为⊙O的切线．
切线问题
作垂直→得切点→证半径
思维导图
图形 面积公式
S＝
(n为扇形圆心角度数，r为半径)
S＝
(a为底边，h为高)
S＝ab
(a，b分别为两邻边长度)
面积问题
方法一　直接公式法
小试牛刀 如图，从一块直径为4 dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为________dm2.
2π
面积问题
方法一　直接公式法
方法解读 阴影部分面积可以利用规则图形面积的和差求解. 方法示例
计算方法 S阴影＝S△ABC－S扇形CAD S阴影＝S扇形AOB－S△AOB
面积问题
方法二　和差法
基本图形 第一步：连半径、构扇形 第二步：找和差，求解
S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC
S阴影＝S△ODC－S扇形DOE
S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD
面积问题
方法二　和差法
小试牛刀 如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝ ，过 的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为(　　)　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A. π－1 B. －1 C. π－ D. －
B
面积问题
方法二　和差法
基本图形 第一步：转化 第二步：直接或构造和差计算
CD∥AB 直接等面积转化法 S阴影＝S扇形COD
AE＝BE 平移转化法 S阴影＝S正方形BCFE
点D为中点 对称转化法 S阴影＝S扇形ACB－S△ADC
∠AOE＝∠BOE 旋转转化法 S阴影＝S扇形BOE
面积问题
方法三　转化法
小试牛刀 如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，若∠BAC＝35°，AB＝6，则阴影部分的面积为(　　)
A. B. π C. D. 2π
C
面积问题
方法三　转化法
课堂小结
评价要求：限时8分钟，独立完成，自主评价！
评价标准：第1题和第2题每题20分，第3题10分，满分50分。
1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
求证：AC是∠DAB的角平分线；
当堂检测
2.已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP.求证：PC是⊙O的切线．
3.若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为______．
1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
求证：AC是∠DAB的角平分线；
证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
当堂检测
知切线→连半径→得垂直
2.已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP.求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵AC∥OP，∴∠OAC＝∠POB，∠POC＝∠OCA，
∴∠POB＝∠POC，
∵OC＝OB，OP＝OP，
∴△POC≌△POB，∴∠OBP＝∠OCP＝90°，
即OC⊥PC.又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．
当堂检测
找切点→连半径→证垂直
3.若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为______．
4
当堂检测
课堂总评
目标 是否达成 对应的知识短板
1 能正确说出直线与圆的位置关系、切线的概念、正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
2 正确应用切线的性质和判定解决问题。
3 会计算圆的弧长，扇形的面积，正确求出不规则阴影部分面积。
骐骥圆梦
圆规为什么可以画圆？因为脚在走，心不变。坚定信念和坚持选择比什么都重要。

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