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2025--2026年 高三数学一轮复习人教版A版选择性必修第一册期末综合基础练习试卷1
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
2．在空间直角坐标系中，已知点，向量，则线段AB的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若抛物线的准线为直线，且交圆于两点，为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知椭圆的左、右焦点为，，且过右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，的周长为20，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，点N为正方形的中心，E为中点，M是线段的中点，则（ ）
A．且直线是相交直线
B．且直线是相交直线
C．且直线是异面直线
D．且直线是异面直线
7．已知点是焦点为的抛物线上的一个点，过点作直线的垂线，垂足为点，直线与轴的交点为，若是的平分线，则的面积为( ).
A． B． C． D．
8．若双曲线的离心率为2，则双曲线上任意一点Q到两焦点，的距离之差的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知椭圆，两个焦点分别为，则（ ）
A．a的取值范围为
B．椭圆C与双曲线有相同的焦点，则该双曲线的虚轴的长为2
C．若，则C的焦距为6
D．若，则C的离心率为
10．下列选项正确的是（ ）
A．若直线与平行，则与的距离为
B．过点且和直线平行的直线方程是
C．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
D．直线的倾斜角的取值范围是
11．已知圆，，则（ ）
A．当时，的面积是
B．实数的取值范围是
C．点在内
D．当的周长最大时，圆心坐标是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．写出一个同时满足下列条件①②③的圆的标准方程:________________________________.
①圆心在轴上；②与轴相切；③与圆相交.
13．已知长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动,则线段的中点的轨迹方程为________________.
14．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．长方体中，，，M为中点.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
16．已知双曲线的焦距为，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积．
17．如图，在矩形中，,,为的中点，在边上，且，将沿翻折至的位置，得到五棱锥,为的中点.
（1） 求证：平面.
（2） 若平面 平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18．一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值．
19．如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，为的中点，且.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题，，
故，
故，故，
故两圆相交.
故选A
2．【答案】C
【详解】先根据已知条件求解出点坐标，然后根据中点坐标公式求解出的中点坐标.
【详解】因为，所以，
所以的中点为，即，
故选C.
3．【答案】B
【详解】抛物线的准线为直线，与圆联立得，
不妨设，则,
故故，
故选B
4．【答案】A
【详解】当时，，则；
若，则，解得或.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A
5．【答案】B
【详解】因为的周长为20，所以，
由椭圆定义可知：，即，
又因为，所以椭圆C的离心率为.
故选B.
6．【答案】B
【详解】设正方体的棱长为2，以D为原点，分别以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为M是线段ED的中点，可得，
所以，
所以,
连接，易知平面平面，
所以且直线是相交直线.
故选B.
7．【答案】B
【详解】因为，即，因此，易知直线是的准线，则，
如图，又，，所以，
得，四边形为正方形，故的面积为.
故选B.

8．【答案】B
【详解】由双曲线的离心率为2，可得，
解得，所以，
又由双曲线的定义，可得双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为.
故选B.
9．【答案】BCD
【详解】对于A：由题意可知，可得，故A错误；
对于B：由，则，虚轴长为2，故B 正确；
对于C：若，则C的焦距为，故C正确；
若，则C的离心率为，故D正确．
故选BCD.
10．【答案】AD
【详解】对于A，因为直线与平行，
所以，解得，此时直线为，即，
由平行线间距离公式得与的距离为，故A正确，
对于B，将点代入中，
发现，故该点不在直线上，
即过点且和直线平行的直线方程
不可能是，故B错误，
对于C，当时，直线可化为，
直线为，此时两直线也互相垂直，
所以“”不是“直线与直线互相垂直”
的必要不充分条件，故C错误，
对于D，直线的斜率为，则，
当时，的取值范围是，当时，的取值范围为，
故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确.
故选AD
11．【答案】AB
【详解】对于A，由，则，整理可得，
所以此时方程表示以为圆心，以为半径的圆，其面积为，故A正确；
对于B，由，则，
可得，解得，故B正确；
对于C，由圆，则圆心，半径，
点到圆心的距离为，
当时，，此时点在圆外，故C错误；
对于D，当圆的周长最大时，半径取最大，即，，此时圆心，故D错误.
故选AB.
12．【答案】（答案不唯一）
【详解】由条件①，设所求圆的标准方程为.又该圆与轴相切，所以.圆的标准方程为，其圆心为，半径为2.因为两圆相交，所以（提示:两圆相交的条件是两圆圆心之间的距离小于两圆半径的和，且大于两圆半径的差的绝对值），即，解得.取，此时所求圆的标准方程为（答案不唯一）.
13．【答案】
【详解】设，，由可知，，即.设线段中点的坐标为，则即，即， 线段的中点的轨迹方程为.
14．【答案】2或
【详解】
设C的半焦距为，D为线段的中点，连接.
∵，∴，
∴是线段的垂直平分线，∴，，
由双曲线的定义知，，
∵，∴，
∴.
∵，，
在中，，
在中，，
∴，
化简得，解得或.
15．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）连接，如图，
，，
因此，又，
则，可得；
又平面，而平面，
可得，又，平面，
故平面，又平面，
故.
（2）以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系.
则，
可得，，
显然，即可得，
又，平面，
所以平面，
即平面的一个法向量为，又，
设与平面所成的角为，
故所求线面角的正弦值为.
16．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离，
由消去得，解得，，
则，所以的面积.
17．【答案】
（1） 如图，取的中点，连接,，
由题知，,，所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，所以.
因为 平面， 平面,所以平面.
在中，,分别为,的中点，所以.
因为 平面， 平面,所以平面.
因为, 平面, 平面，
所以平面平面，又 平面，所以平面.
（2） 取的中点，连接，如图所示，
在中，,，且.
因为平面 平面，且平面 平面，
所以 平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，过点分别作与平行的直线为轴，与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,,,，
所以,，,,.
设平面的法向量为，则即所以
取，得平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为 ，则,，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）.
【详解】（1），，平面，
∴平面，
又平面，
∴平面平面；
取中点为，过作于，连接，
由（1）知平面平面，且两平面的交线为,
∵,是的中点，
∴,
又平面，∴平面，
又平面，∴，
又，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
∴为二面角的平面角，
设,则,
∴；
∵M，N分别为BD，CD的中点，
∴,
又平面，平面，
∴平面,
∵平面,且平面与平面的交线为l，
∴，
∴与所成的角即为直线l与BD所成角的角，
∵与所成的角为，
∴直线l与BD所成角的余弦值为．
19．【答案】（1）见详解；
（2）.
【详解】（1）由是直径可知，则是等腰直角三角形，故，
由圆柱的特征可知平面，又平面，所以，
因为，平面，则平面，
而平面，则，
因为，则，所以，
，.
所以，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，故.
（2）由题意及（1）易知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，所以，，，
由（1）知平面，故平面的一个法向量是，
设是平面的一个法向量，
则有取，可得，
设平面与平面夹角为，
所以，
则平面与平面夹角的余弦值为.
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）

A． B．
C． D．
5．如图，已知正方体的棱长为1，（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以C的上、下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
7．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有两个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线与圆交于点，点中点为，则（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为4
C．为定值
D．存在定点，使得为定值
10．曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（ ）
A．当在第一象限时，
B．当在第四象限时，
C．直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6
D．直线与曲线恰有4个公共点
11．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为 .
13．双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ．
14．已知点为圆上的动点，过圆心作直线垂直于轴交点为，点为关于轴的对称轴，动点满足到点与到的距离始终相等，记动点到轴距离为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在四棱锥中，平面，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
16．抛物线，点为焦点，点、是抛物线上任意不重合的两点.当直线过点且垂直轴时，.
（1）求抛物线及其准线的方程；
（2）若以线段为直径的圆过点，求面积的最小值.
17．如图，在矩形中，,,为的中点，在边上，且，将沿翻折至的位置，得到五棱锥,为的中点.
（1） 求证：平面.
（2） 若平面 平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18．双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为.
（1） 求双曲线的标准方程.
（2） 已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和.
（ⅰ） 设点的横坐标为，求的取值范围；
（ⅱ） 设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上附：双曲线以点为切点的切线方程为
19．如图①所示，在中， ， ，，为中点.过点作，垂足为.现将沿翻折至的位置，如图②所示，连接，，过点作，垂足为，且.
图① 图②
（1） 若平面 平面，求证：；
（2） 求二面角的正弦值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为在四棱锥中，底面是正方形，，，，，
所以
．
故选A．
2．【答案】D
【详解】若双曲线焦点在轴上，则一条渐近线为，
所以；
若双曲线焦点在轴上，则一条渐近线为，
所以；
所以双曲线C的离心率为或.
故选D
3．【答案】C
【详解】连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故选C.
4．【答案】B
【详解】∵点为中点，
∴，
∴.
故选B.
5．【答案】A
【详解】因为，
且，，
所以．
故选．
6．【答案】D
【详解】根据题意，由椭圆的离心率为可得＝，
又×2b×c＝48，即bc＝48，且a2＝b2＋c2，
故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20．
7．【答案】B
【详解】由题易知圆心到直线的距离,因为圆上到直线的距离为1的点有且仅有两个，所以，即,所以，故选.
【快解】
（特殊值法）圆心到直线的距离，当时，圆上有一个点到直线的距离为1，当时，圆上有三个点到直线的距离为1，所以要使圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则.故选.
【一题多解】
设与直线距离为1的平行直线的方程为,由得或4，记,,则圆与，共有两个交点，由于圆心位于直线下方，所以圆只能与相交且与相离，所以,即.故选.
【知识速记】
对于圆和直线，记圆心到直线的距离为，圆的半径为，圆上的点到直线的距离为，当直线与圆相交且不过圆心时，
若，此时圆上有四个点到直线的距离为；
若，此时圆上有三个点到直线的距离为；
若，此时圆上有两个点到直线的距离为；
若，此时圆上有一个点到直线的距离为；
若，此时圆上没有点到直线的距离为.
解决此类问题时，往往采用临界法，即先找和两个边界位置即可得到其他情况.
8．【答案】C
【详解】由题意，所以.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】直线，即，
故直线过定点,且圆的圆心为，半径为2,
，故在圆内，
对于A，当和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，距离，
此时最小，，故A正确；
对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心，
方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误；
对于C，设，则，
当直线斜率不存在时，，联立圆得，，
此时
当直线斜率存在时，设直线，联立圆，
得，即，
，
，,
,
带入得：，
故为定值，故C正确；
对于D，中点为，故,且在上，
所以,故是直角三角形，
当为中点时，为定值，故D正确.
故选ACD
10．【答案】BC
【详解】当时，可化为，为椭圆的两个焦点，则，A错误.
当时，可化为，为双曲线的两个焦点，则，B正确.
当时，可化为，所以点不可能在第三象限.
当时，可化为，所以曲线由三段曲线组成，其图形如图所示，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以直线与曲线无公共点.
将代入，得，
由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为.
将代入，得，由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为，
所以直线+4与曲线的所有交点的横坐标之和为，C正确.
结合双曲线与的渐近线的斜率，
由图可知直线与曲线有2个公共点，
与曲线只有1个公共点，
与曲线没有公共点，
所以直线与曲线恰有3个公共点，D错误.
故选BC
11．【答案】BCD
【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；
当 时，直线与直线垂直，故B正确：
∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确：
当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，
故选BCD.
12．【答案】或
【详解】①当的斜率不存在时显然成立，此时的方程为．
②当的斜率存在时，
设，即，
由点到直线的距离公式得，，解得，
．
故所求的方程为或．
13．【答案】4
【详解】双曲线的标准方程为，可知
由双曲线的对称性，不妨取上焦点与其中一条渐近线，即，
再由点到直线的距离公式可知焦点到其渐近线的距离.
14．【答案】
【详解】如图所示：
，
由抛物线的定义可知，动点的轨迹为开口向左的抛物线，
其焦点坐标为，准线方程为，
所以抛物线方程为．
圆的圆心为，半径为，
连接交圆于点，交抛物线于点，此时最小，
利用两点距离公式得，
所以的最小值为．
故答案为：
15．【答案】（1）证明见详解；
（2）与平面所成的角的正弦值为.
【详解】（1）证明：平面平面，，
又，平面APD，
平面，
又平面，
，是的中点，，
又平面平面，
平面；
（2）结合条件及（1）可分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
平面是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则.
与平面所成的角的正弦值为.
16．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）设，
因为抛物线，所以，
当直线过点且垂直轴时，直线的方程为，
令可得，（或），
， ，
所以抛物线，准线方程为；
（2）
因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线
由可得，则，
设，则，
因为以线段为直径的圆过点，所以，即，
即，，
将代入得 则有，
所以，且，解得或.
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，
所以当时，的面积.
17．【答案】
（1） 如图，取的中点，连接,，
由题知，,，所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，所以.
因为 平面， 平面,所以平面.
在中，,分别为,的中点，所以.
因为 平面， 平面,所以平面.
因为, 平面, 平面，
所以平面平面，又 平面，所以平面.
（2） 取的中点，连接，如图所示，
在中，,，且.
因为平面 平面，且平面 平面，
所以 平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，过点分别作与平行的直线为轴，与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,,,，
所以,，,,.
设平面的法向量为，则即所以
取，得平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为 ，则,，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】
（1） 在直线中，令，得，
则直线与轴交于点，所以.又因为双曲线的离心率，
所以，故.
所以双曲线的标准方程为.
（2） （ⅰ） 经检验，当一条切线斜率不存在时，
若，显然另一条切线斜率存在，设切线方程为，
联立双曲线方程得，
则，
解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意.
若，则此时只有一条切线，显然不合题意，
则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为，
与双曲线方程联立得，
令.
整理得，由于，所以且.
又整理可得.
由题意，有两个不同实根，所以，
且.
整理得，解得.
综上所述，的取值范围是.
（ⅱ） 设,.
则直线和的方程分别为，.
联立得点,.
又点在直线上，代入整理得.①
在直线中，令，则，得点,.
，
故直线方程为.
设直线与直线交点为，联立两直线方程得.
解得.
设直线与直线交点为，
同理可得.
由①式，作差，减的分子有，
作差，减的分母有.
则可得和表达式的分子、分母分别相等.
故，两点重合，所以直线与的交点在定直线上.
19．【答案】
（1） 在题图①中，， ，所以，，
因为为的中点，，所以，.
因为，所以点在题图①中的中点位置，所以，
在题图②中，因为 平面， 平面，
所以平面，
因为 平面，平面 平面，所以.
（2） 在题图②中，因为，，，， 平面，
所以 平面，
又 平面，所以平面 平面，
因为平面 平面，， 平面,所以 平面.
由（1）知，即，又，所以，
过点在平面内作，
以为坐标原点，,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则
令，解得，
所以.
设平面的法向量为，则
令，解得，所以,,，
所以,，所以,，
所以二面角的正弦值为.
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
3．已知直线与圆相交于，两点，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．已知点在直线上运动．当取最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线交于P点，且另一条渐近线垂直平分线段PF，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于,两点，为坐标原点，若直线与的斜率之和为2，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有（ ）
A．平面 B．该石凳的体积为
C．，，，四点共面 D．点到平面的距离为
11．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是(　　)
A．椭圆C的离心率为
B．|PF1|的最大值为6
C．△F1PF2的周长为10
D．存在点P，使得△F1PF2为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝ ．
13．如图，在的二面角中，且，垂足分别为，已知，则线段的长为 ．

14．在平面直角坐标系中，点，动点满足，记点的轨迹为，直线与交于两点，若，则的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
16．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.

（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求点B到平面PAD的距离.
17．如图，在四棱锥中，底面是线段上一点，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
18．如图，在三棱柱中，，，.
（1） 求证：.
（2） 侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
19．在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题．
（1）若，求的长度；
（2）求点到平面距离的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】双曲线化为，
所以该双曲线焦点在轴上，且
所以渐近线的斜率为，
故选C.
2．【答案】B
【详解】椭圆的离心率,化简得,
故选B.
3．【答案】D
【详解】设圆心到直线的距离为，
则由点到直线的距离公式可得，
因为，圆的半径为，所以，解得.
故选D.
4．【答案】D
【详解】设，即，故，
，
当时，向量数量积有最小值，此时．
故选D．
5．【答案】B
【详解】
如图，设双曲线的渐近线分别与直线交于点，
依题意，直线垂直平分，则，
由渐近线的对称性知，，故，
在中，因，则，
故，解得.
故选B.
6．【答案】B
【详解】依题意，设直线方程为，则.
因为，,
所以为的中点，那么.
所以.
又，所以，解得①.
将点代入双曲线方程得：②.
将①代入②得，方程两边同时除以，
得到，解得.
又，所以.
故选B.
7．【答案】D
【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面，
取的中点，连接，
因为四边形为菱形，
所以，
因为平面平面，
所以，
如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线，
过上靠近的三等分点作平面的垂线，
两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接，
因为，，
所以为等边三角形，
所以，
所以，
同理可得，
所以，
所以.
故选D.
8．【答案】C
【详解】由题意知，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由得，，设，，则，.因为直线，斜率之和为2，所以，即，所以直线的斜率为.故选.
【一题多解】 方法一：由题意知，，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，，设，，则，.因为直线，斜率之和为2，所以，即，所以直线的斜率为.故选C.
方法二：设，，因为直线过焦点，根据抛物线焦点弦的性质可知，.直线，斜率之和为2，即，由于，，所以.又因为，所以，进而推出，所以直线的斜率为.故选C.
9．【答案】ABC
【详解】抛物线的焦点，准线，
如图，过点作于A，过点作于，连接，
由抛物线的定义知，则，当且仅当点在上时取等号，
又，所以的最小值为7.
故选ABC
10．【答案】AC
【详解】“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点.
A选项：由图可知平面，故A选项正确；
B选项：，故B选项错误；
C选项：∵，，，四点均是正方体个棱上中点，
∴，且这个六条边长全相等，∴，，，四点共面，故C选择正确；
D选项：如图建立空间直角坐标系，
∵，∴正方体棱长为4，∴，，，，
所以，设平面的一个法向量为，
则，解得，即，，
∴点到平面的距离，故D选项错误.
故选AC
11．【答案】ABD
【详解】由椭圆C：＋＝1，
可得a＝4，b＝2，则c＝＝2，
对于选项A，椭圆C的离心率e＝＝，故A正确；
对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得|PF1|max＝a＋c＝6，故B正确；
对于选项C，△F1PF2的周长为2a＋2c＝12，故C错误；
对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得|PF1|＝|PF2|＝a＝4，|F1F2|＝2c＝4，此时△F1PF2为等边三角形，故D正确．
12．【答案】-1
【详解】因为，所以，故存在实数使得：，
即，
所以，解得，所以.
13．【答案】10
【详解】因为，所以.
可得.
因为，，所以，，.
由于，则. 同理，.
已知二面角为，与的夹角等于二面角的补角，所以.
可得：. 可得.
14．【答案】或
【详解】设，则由，得，
化简整理得，圆心为，半径为.
设圆心到直线的距离为，
因为，所以，，
所以，解得或.
15．【答案】（1）见详解；（2）．
【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.
以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，.
可得，.
所以，
所以
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得.
同理，可求平面PDC的一个法向量.
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：
.
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.
16．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面，
∴PC⊥AD，
又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面，
∴AD⊥平面PCD，
∵平面PAD，
∴平面PCD⊥平面PAD；
（2）如图建立空间直角坐标系，

则 ，
所以，
设平面PAD的一个法向量为，
则，即，
解得，令，得，则，
所以点B到平面PAD的距离为：.
17．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）在上取点，使得，得，因为，
所以，因为，所以，
又因为，，所以，
可得四边形为平行四边形，，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为底面，，以为原点，
所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
可得，
，
设为平面的一个法向量，则
，令，则，所以，
设为平面的一个法向量，则
，令，则，所以，
可得.
可得平面与平面所成角的余弦值为.
18．【答案】
（1）在三棱柱中，取的中点，连接，，如图所示.
在和中，
,
.
由，，得，同理，.
,, 平面, 平面.又 平面,.
（2）存在,点在上靠近的三等分点处.在中，，，则.
在中，，，，同理.
在等腰三角形中，，，.
在中，由余弦定理得，
则.
以为原点，直线，分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）知 平面, 平面, 平面 平面,平面 平面,在平面内过点作 平面，交平面于点，则在上.
平面， 平面,
,
，
则,
则，，，，
则，，,.
设平面的法向量为，
则
令，则，
设，，
则，由直线与平面所成角的正弦值为，
得,，
解得或（舍去）.
故在上靠近的三等分点处.
19．【答案】（1）1；
（2）.
【详解】（1）构建如下图示的空间直角坐标系，则，设且，
则，，又，
则，可得，
所以的长度为1.
（2）若是面的一个法向量，则，
令，则，而，故，
所以点到平面距离，，
所以，且，故.
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（ ）
A．18 B．9 C．4 D．2
2．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
4．对于任意两个正数，记曲线与直线及轴围成的曲边梯形的面积为，并约定，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.若，则围成的曲边梯形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
5．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则|=（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知，则（ ）
A． B．1 C． D．2
7．已知椭圆与椭圆离心率相同，过左顶点与上顶点的直线与椭圆交于两点，若恰为线段的两个三等分点，则的长轴长为（ ）
A．5 B． C． D．
8．已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
10．如图，在棱长为4的正方体中，分别为棱，底面的对角线上的动点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．平面
C．存在实数，使得
D．若直线与平面所成角的正弦值为，则
11．已知直棱柱的所有棱长均为2，，动点M满足（，），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，三棱锥的外接球的体积为
C．若直线DM与直线所成角为定值，则M点轨迹为圆的一部分
D．记点M到直线AC的距离为d，当时，则d的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 .
13．已知双曲线的方程为：，离心率为，过的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且.过点作的角平分线，在角平分线上的投影为点，则的取值范围为 .
14．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
215．如图，在圆锥PO中，AC为底面圆O的一条直径，B，D为底面圆周上不同于A，C的两点，圆锥母线长为．
（1）若AD＝1，平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：AD∥l；
（2）若AD与平面PCD所成角的正切值为，求AD的长．
16．如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有、两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
（1）求出部分椭圆方程和部分双曲线方程；
（2）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；
（3）过的直线与相交于点、、三点，求证：．
17．椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为.
（1）求的方程；
（2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方.
（i）求证：；
（ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值.
18．已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值.
19．已知椭圆的左焦点为，长轴长为.过右焦点的直线交椭圆C于两点，直线分别交直线于点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设线段中点为，当点位于轴异侧时，求到直线的距离的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由抛物线定义得，
又，解得．
故选D
2．【答案】C
【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为；
由圆的方程知：圆心为，半径；
与图象关于轴对称，圆的图象关于轴对称，
两条渐近线截圆所得弦长相等，
不妨取，即，则圆心到直线距离，
弦长为，解得：，
双曲线离心率.
故选C.
3．【答案】A
【详解】因为四边形是一个平行四边形，且，可得，即，
由双曲线，可得，渐近线方程为，即，
可得，且，
因为直线，可得，
又因为，所以即，
代入双曲线方程，可得，整理得，
所以，可得，即，
所以离心率.
故选A.
4．【答案】B
【详解】因为表示的是曲线与直线及轴围成的曲边梯形的面积，，
所以
因为，
所以.
故选B.
5．【答案】A
【详解】依题意，
设，由椭圆定义得，
由于以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，
所以，即，
整理得，得，所以．
故选A
6．【答案】D
【详解】，，
，
设，则，
原方程组可表示为，即，
由①得，由②得，
两式联立得，，
将的值代入中得，，
则.
故选D.
7．【答案】B
【详解】因为椭圆与椭圆离心率相同，
所以，所以，
椭圆的左顶点，上顶点，
又过左顶点与上顶点的直线方程为，
不妨设点在轴上方，过点作轴的垂线，则为的中点，则，
所以，所以，解得（负值已舍去）
所以的长轴长为.
故选B
8．【答案】A
【详解】
如图，
当的最大值为时，，
当时，最小时，最大.
由题得，
所以，则；
故选A.
9．【答案】BD
【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面，
又平面，则，则，
因为是正三角形，为中点，则，则
又，
所以，
则不成立，故A错误；
对于B，因为在正三棱柱中，平面，
又平面，则，
因为是正三角形，为中点，则，，
又平面，
所以平面，故B正确；
对于D，因为在正三棱柱中，
又平面平面，所以平面，故D正确；
对于C，因为在正三棱柱中，，
假设，则，这与矛盾，
所以不成立，故C错误；
故选BD.
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为，
则，
对于A，，
则，
则不成立，故A错误；
对于BD，，
设平面的法向量为，
则，得，令，则，
所以，，
则平面，平面，故BD正确；
对于C，，
则，显然不成立，故C错误；
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】A.由题意得，，A正确；
B.如图，作于点，连接，则，且，
因为平面，平面，所以平面.
因为，所以，故，
因为平面，平面，所以平面.
因为平面，平面，，所以平面平面，
因为平面，所以平面，B正确；
C.以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
若，则，得，与矛盾，
所以不存在实数，使得，C错误；
D.由题意得，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍），D正确.
故选ABD．
11．【答案】ABD
【详解】A选项，，，，
故在矩形内（包括边界），
因为棱柱的棱长均为2，，所以为等边三角形，
故⊥，
又⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以，A正确；
B选项，，时，，故重合，
三棱锥的外接球即三棱锥的外接球，
由于，故的外心在点，
故球心在的中点处，外接球半径，
三棱锥的外接球的体积为，B正确；
C选项，相交于点，相交于点，
连接，则⊥平面，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
故，设，，
，
当时，，此时直线DM与直线所成角为直角，
当时，，
要想直线DM与直线所成角为定值，则为定值，
不妨设，故，则M点轨迹为直线的一部分，不为圆的一部分，C错误；
D选项，记点M到直线AC的距离为d，当时，在线段上，
设，，，
，，
，故，
即，
，，，
则，
则
，
故当时，取得最小值，最小值为，D正确.
故选ABD
12．【答案】相交
【详解】由题意可知，则，
圆的圆心到直线的距离.
所以直线与圆相交.
13．【答案】
【详解】，
，即，
∴两渐近线方程为，
为右支上一点，.
设，，
分别令，可得，，
又，，
即，，
∴双曲线方程为，故，，.
延长交于点，如图，
平分且，，
又，，为的中点，
，
，
易知，，，
，即的取值范围是.
14．【答案】
【详解】因为平面，平面，所以，，
因为，又，所以平面，
又平面，所以，
易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等，
即AD为球O的直径，设，因为，，
所以，，因为，，
所以中，，．
以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，设，，
由题可知，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面与平面的夹角为．
因为
，
令，则，，，
可得，
当且仅当，即时等号成立，
此时即取得最大值．
15．【答案】见详解
【详解】（1）证明：因为AC为直径，则AD⊥CD，AB⊥BC，
且AD＝1，AC＝2，则，且∠CAD＝60°，
又因为∠BAC＝30°，则∠BAD＝90°，即AD⊥AB，
且AB⊥BC，AD，BC 平面ABCD，可知AD∥BC，
且AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
又因为AD 平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，
所以AD∥l．
（2）由题意知，AD⊥CD，
如图，以D点为坐标原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过D与OP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
可知，设AD＝a，
则A（a，0，0），，，
可得，，，
设平面PCD的法向量为，
则，
令z＝1，则，y＝0，
可得，
设AD与平面PCD所成角为，
则，可得，
且，
解得，
即，
整理得16+a2＝19，解得，
即．
16．【答案】（1）椭圆方程为：，双曲线方程为．
（2），直线的方程为：．
（3）见详解
【详解】（1）由题设可得，，，故椭圆方程为：，双曲线方程为．
（2）由图可知，切点在双曲线上．
设，则，则切线的方程为：，因为直线过点，所以，，代入，得，
所以，，直线的方程为：．
（3）由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：，
联立整理得：，，即且，解得：或，即．
联立整理得：，
解得：或，即．
所以，
所以，所以．
17．【答案】（1）
（2）（i）见详解；（ii）.
【详解】（1）由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4，
椭圆的长轴长为，短轴长为，
又与的相似比为，所以，解得，
所以的方程为.
（2）（i）证明：由（1）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，得，
方程的判别式
设，
所以，
故中点的纵坐标为中点的横坐标，
即中点的坐标为.
由，得，
方程的判别式
设，所以，
故中点的纵坐标为中点的横坐标，即中点的坐标为.
所以的中点与的中点重合，所以.
（ii）如图，连接，取的中点，连接，又分别为的中点，所以，所以，，
所以的面积.
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由
得，设，所
以，
所以
同理可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以，则，
所以椭圆的方程为，
由消去，得，
因为椭圆与直线相切，
所以令，解得，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设点、，的中点为，
联立消去，得，
，
由韦达定理得，，
所以，代入，解得，
故线段的中点的坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
令，解得，即，
因为线段和线段互相垂直平分，所以四边形为菱形，
要使四边形为正方形，需满足，
所以
,
即，解得，则的值为.
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题可知解得.
故椭圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，T到直线的距离为1.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为.
联立消y，得.
由及题意，可得.
设，则.
直线的方程为，
令，得，则.
同理，.
因为点M，N位于x轴异侧，所以.
即
，
解得.
线段中点T的横坐标为t，则.
T到直线的距离为.
由，得，故.
综上，T到直线的距离的取值范围为.
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，，且，则（ ）
A．-6 B．5 C．4 D．6
2．圆的圆心到直线的距离为1，则
A． B． C． D．2
3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有两个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的最小值为
B．异面直线与所成角的最大值为
C．对于任意给定的，存在点，使得
D．对于任意给定的，存在点，使得
6．如图，椭圆的左焦点为F，点P在y轴上，线段交椭圆于点Q．若，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．4
8．已知圆，为圆C的动弦，且满足，为弦的中点，两动点在直线上，且，运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知双曲线过点和，则下列说法正确的是（ ）
A．实轴长为2 B．焦距为4
C．渐近线方程为 D．离心率为
10．若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆
C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆
11．已知抛物线的焦点为,过的一条直线交于,两点，过作直线的垂线，垂足为,过且与直线垂直的直线交于点,则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是 .
13．设双曲线的左、右焦点分别为,,过作平行于轴的直线交于,两点.若,,则的离心率为______.
14．已知双曲线的左，右焦点分别为，，是上位于第一象限的一点，，直线与圆交于，两点，若，则的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（17分）已知椭圆的离心率为，下顶点为，右顶点为，.
（1） 求的方程；
（2） 已知动点不在轴上，点在射线上，且满足.
（ⅰ） 设，求的坐标（用,表示）；
（ⅱ） 设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，求的最大值.
16．已知双曲线E的渐近线方程为，且过点．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）点Q为双曲线E上一点，证明点Q到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值；
（3）双曲线E的两个顶点分别为，点M在直线上，直线与双曲线E分别交于（异于）两点，且直线与x轴垂直，求点M的坐标及直线的方程．
17．如图，在三棱柱中，侧面与底面垂直，且，，为侧棱的中点，三棱锥的体积为.
（1） 求三棱柱的高；
（2） 已知点在上，且 ，若平面，求实数 的值；
（3） 若，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线.
（1） 求曲线的方程.
（2） 已知点，，,为曲线的左、右顶点.若直线,与曲线的右支分别交于点,.
（ⅰ） 求实数的取值范围；
（ⅱ） 求的最大值.
19．如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若椭圆上点处的切线方程是，
①过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由可得，解得.
故选D.
2．【答案】A
【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
3．【答案】D
【详解】由题意知,即,则.又，所以，即,得的离心率，故选.
【一题多解】
由题意知,即,则，所以的离心率,故选.
4．【答案】B
【详解】由题易知圆心到直线的距离,因为圆上到直线的距离为1的点有且仅有两个，所以，即,所以，故选.
【一题多解】设与直线距离为1的平行直线的方程为,由得或4，记,,则圆与，共有两个交点，由于圆心位于直线下方，所以圆只能与相交且与相离，所以,即.故选B.
5．【答案】D
【详解】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则，
设，，则，
设异面直线与所成的角为，
则，
因，由于，则时，，
又，，于是，则，
又，结合余弦函数的单调性可知，，故AB错误；
对于C.设，，则，
由上述分析，，，
当时，无解，故C错误；
对于D.，令，得，
即对于任意的M，存在点P使得，故D正确.
故选D.
6．【答案】D
【分析】由可得点的横坐标为，再由可求出得点的纵坐标的绝对值为，然后将点的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率
【详解】解：由题意得，设，
因为，所以，得，
因为，所以，
所以，
因为在椭圆上，
所以，
化简得，，
因为，所以，
，得，
解得或（舍去）
故选：D
7．【答案】D
【详解】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，所以，
在中，由余弦定理可得，
化简得，所以，即，
故选D
8．【答案】A
【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为，为弦的中点，可得，
又由两动点在直线上，且，
设的中点，当在圆上运动时，且恒为锐角，
可得以为圆心，以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相外离，
则，即，解得或，
所以线段PQ中点的横坐标取值范围是.
故选A.
9．【答案】ABC
【详解】因为双曲线过点和，
则，则，
对于A、实轴长为，故A正确；
对于B、焦距为，故B正确；
对于C、渐近线方程为，故C正确；
对于D、离心率为，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】BC
【详解】曲线E的方程为：，显然且，
对于A，因为不论取符合条件的任何实数，曲线E的方程都不符合抛物线方程的特征，因此曲线E不可能为抛物线，A错误；
对于B，当时，曲线E的方程为：，曲线E为圆，B正确；
对于C，当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在y轴上的双曲线，
当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在x轴上的双曲线，
因此当或时，曲线E为双曲线，C正确；
对于D，因为当时，曲线E为圆，因此当时，曲线E不一定为椭圆，D错误.
故选BC
11．【答案】ACD
【详解】由题意可得，直线即为抛物线的准线.由抛物线的定义可得,故正确.
当轴时，,,,,，此时，故错误.
由抛物线的性质可得，当垂直于轴时，最小，此时为抛物线的通径，则有,故正确（另解：设 ,则）.
过点作的垂线，垂足为.由可得，又，,所以.同理可得，故,在中，为边上的高，所以，当为与轴的交点且为抛物线的通径时，取得最小值，最小值为，故，故正确（另解：利用补角思想可知 ，则,所以）.故选.
【一题多解】
在中，，故,故错误.
【二级结论】
抛物线焦点弦的性质
若为过抛物线的焦点的弦，直线的倾斜角为 ，则.
12．【答案】
【详解】设点，依题意可得，
即，
则，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
由，解得，所以，则，
所以.
13．【答案】
【详解】因为与轴平行，所以与轴垂直，结合双曲线的对称性知.又，所以，则,而，所以,所以离心率.
14．【答案】
【详解】
设，，且，，设到直线的距离为，
过作直线的垂线，易知，所，
整理得，，因为，所以，，
由余弦定理，，所以，的离心率为.
15．【答案】
（1） 由题意知解得
故的方程为. …………4分
（2） （ⅰ） 第一步：由的方程写出点的坐标
由（1）知的方程为,则点的坐标为,…………5分
第二步：设出点的坐标，由点在射线上及得到等式
设，则,,因为点在射线上，所以与同向共线，所以（提示：），所以. …………6分
因为点不在轴上，所以直线的斜率存在,所以（提示：点在射线上），所以. …………7分
第三步：联立点与点坐标间的关系式，用,表示点的坐标
联立
解得
故的坐标为. …………9分
（ⅱ） 第一步：由直线与的斜率关系求得点的轨迹方程
由知，,
因为直线的斜率是直线的斜率的3倍,
所以,所以,
所以点的轨迹方程为.…………11分
第二步：由点与点的轨迹方程求的最大值
设,因为是上的动点，所以.因为点的轨迹方程为,所以的最大值可转化为点到点的距离的最大值再加上. …………13分
因为
，
所以当时，取得最大值. …………16分
所以的最大值为（另解：设,则,所以,从而）. …………17分
【一题多解】
(2)(ii)第一步：根据点在射线上得到与的关系
由（1）知，因为点在射线上,所以,使得,…………5分
第二步：根据得到 的值
所以,所以,………7分
第三步：把 的值代入得到，得出点的坐标
所以,
所以. …………9分
【思路导引】
（2）设，点在射线上与同向共线得出点坐标；
的最大值转化为圆上的点到椭圆上的点的距离的最大值 圆心到椭圆上的点的距离的最大值的最大值
【思路导引】
（2）设，点在射线上与同向共线得出点坐标；
的最大值转化为圆上的点到椭圆上的点的距离的最大值 圆心到椭圆上的点的距离的最大值的最大值
【一题多解】
(2)(ii)第一步：根据点在射线上得到与的关系
由（1）知，因为点在射线上,所以,使得,…………5分
第二步：根据得到 的值
所以,所以,………7分
第三步：把 的值代入得到，得出点的坐标
所以,
所以. …………9分
16．【答案】（1）
（2）
（3），直线:
【详解】（1）由渐近线方程为，可设双曲线方程为，
将点代入方程可得，即.
故双曲线方程为.
（2）证明：设Q，
因为点Q在双曲线E上，所以，即，
双曲线E的渐近线方程为，
点Q到两渐近线的距离之积为，
故点Q到两渐近线的距离之积为定值，定值为.
（3）由（1）得，则双曲线E的两个顶点分别为，
不妨设，
由三点共线可得，即
由三点共线可得，即
则，代入双曲线方程得，即，
把，代入方程得，
所以，直线的方程为.
17．【答案】
（1）因为, 平面, 平面，所以平面，
所以，又，所以.
在中，，，
所以，又,
所以，所以.
设三棱柱的高为，则，解得,所以三棱柱的高为.
（2） 设的中点为，连接，，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，又 平面， 平面，所以平面.
因为平面，，, 平面，
所以平面平面，又平面 平面，平面 平面，所以，
因为为的中点，所以为的中点，所以，即.
（3） 过点作垂直的延长线于点，连接.
因为侧面与底面垂直，侧面 底面， 平面,
所以 平面，
因为且，所以，又，, 平面，所以 平面，
又 平面，所以，易知,,两两垂直，以为坐标原点，分别以,,所在直线为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为 平面，所以，
，则，，，，设，
因为，则，所以则,0,，
所以,0,，又，
设平面的法向量为，
所以取，则.
又，
设平面的法向量为，
则取，则，
设平面与平面的夹角为 ，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】
（1） 设，由题意知，
化简得的方程为.
（2） （ⅰ） 因为曲线方程为,所以,.
设直线的方程为，则，
联立得，故，
因为点在双曲线右支上，所以，得，即，解得，
设直线的方程为，则，
联立得，故，
因为点在双曲线右支上，所以，得，即，解得，
综上可知，.
（ⅱ） ，，，
故，
令 ，则，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为.
19．【答案】（1）
（2）①见详解；②存在实数
【详解】（1）解：据题意，，
从而可得，
由椭圆定义知道，的轨迹为以为焦点的椭圆，
所以所求的椭圆的方程为.
（2）解：①设切点坐标为，直线上的点的坐标，
则切线方程分别为，
又两切线均过点，即，
从而点的坐标都适合方程，
而两点之间确定唯一的一条直线，故直线的方程是，
显然对任意实数，点都适合这个方程，故直线恒过定点.
②将直线的方程，代入椭圆方程，得，
即，
不妨设，
同理.
所以
故存在实数，使得.
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第 page number 页，共 number of pages 页2025--2026年 高三数学一轮复习人教版A版选择性必修第一册期末综合提高练习试卷3
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．圆的圆心到直线的距离为1，则
A． B． C． D．2
2．当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有两个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
5．以抛物线的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A，B两点，过B且平行于x轴的直线交C于点P，过A且平行于x轴的直线交l于点Q，且，则△PBF的周长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．6
6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．4
7．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
8．已知圆，为圆C的动弦，且满足，为弦的中点，两动点在直线上，且，运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设计一条美丽的丝带，其造型“”可以看作图中的曲线的一部分.已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标大于；到点的距离与到定直线的距离之积为4.则（ ）
A．
B．点在上
C．在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点在上时，
10．如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若平面，则动点的轨迹是一条线段
C．存在点，使得平面
D．若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧
11．已知抛物线的焦点为,过的一条直线交于,两点，过作直线的垂线，垂足为,过且与直线垂直的直线交于点,则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=　　　　.
13．直线经过椭圆的两个顶点,则该椭圆的离心率为______.
14．设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点.若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（15分）已知和为椭圆上两点.
（1） 求的离心率；
（2） 若过的直线交于另一点，且的面积为9,求的方程.
16．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
17．如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
18．已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
19．在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线.
（1） 求曲线的方程.
（2） 已知点，，,为曲线的左、右顶点.若直线,与曲线的右支分别交于点,.
（ⅰ） 求实数的取值范围；
（ⅱ） 求的最大值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
2．【答案】B
【详解】以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则，，设，则，
，，
故 ，
对于函数 ，有：
，，
故，又，
故．
故选．
3．【答案】B
【详解】由题易知圆心到直线的距离,因为圆上到直线的距离为1的点有且仅有两个，所以，即,所以，故选.
【一题多解】设与直线距离为1的平行直线的方程为,由得或4，记,,则圆与，共有两个交点，由于圆心位于直线下方，所以圆只能与相交且与相离，所以,即.故选B.
4．【答案】B
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
5．【答案】B
【详解】因，则，准线为.
由，如图，设，则，得，则.
得直线AF方程：，
代入，得，
将代入，可得.
则周长，
则.故.
故选B
6．【答案】D
【详解】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，所以，
在中，由余弦定理可得，
化简得，所以，即，
故选D
7．【答案】B
【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选B.
8．【答案】A
【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为，为弦的中点，可得，
又由两动点在直线上，且，
设的中点，当在圆上运动时，且恒为锐角，
可得以为圆心，以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相外离，
则，即，解得或，
所以线段PQ中点的横坐标取值范围是.
故选A.
9．【答案】ABD
【详解】设曲线上任一点，由上的点到点的距离与到定直线的距离之积为4，可得,又过坐标原点，,得.
又,,故正确.
由选项可得，曲线的方程为,即,将点的坐标代入上式，得，成立， 点在上，故正确.
令,
则,
令，则,
在上单调递减,在上单调递增,
又,,,
存在，使得.
在上单调递增,在上单调递减,
在处取得极大值,也是最大值，
（2），在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1，故错误.
点在上,,由可知,,又,,,成立,故正确.故选.
【快解】
,,选项分析同上；选项，可用特值法，取上第一象限的点,,则，,故错误.
【创新考法】
题目以丝带为题设背景，研究其几何性质，既体现了数学的对称美，又将数学与实际问题进行联系，考查学生的思维能力、分析和解决问题的能力.
【一题多解】
对于,因为原点在曲线上,所以,点到直线的距离为,则 ,解得（提示:根据,舍去正值），故正确;
对于,点到的距离为,到直线的距离为，此时,则点在曲线上，故正确;
选项同深度解析.故选.
10．【答案】ABD
【详解】不妨设正方体的棱长为，
对于A选项，，
三棱锥的体积，
点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确；
对于B选项，取、中点，连接、、、，
由且，知是平行四边形，所以，
因为平面，平面，平面，
同理可得平面，
因为，、平面，所以平面平面，
又平面，则平面，而Q在平面上，
且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确；
对于C选项，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，设，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，取，则.
若平面，则，即存在，使得，则，
解得，故不存在点使得平面，故C选项错误；
对于D选项，平面的一个法向量为，，
若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是，
所以，所以，
因为点为正方形内一动点（含边界），
所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】由题意可得，直线即为抛物线的准线.由抛物线的定义可得,故正确.
当轴时，,,,,，此时，故错误.
由抛物线的性质可得，当垂直于轴时，最小，此时为抛物线的通径，则有,故正确（另解：设 ,则）.
过点作的垂线，垂足为.由可得，又，,所以.同理可得，故,在中，为边上的高，所以，当为与轴的交点且为抛物线的通径时，取得最小值，最小值为，故，故正确（另解：利用补角思想可知 ，则,所以）.故选.
【一题多解】
在中，，故,故错误.
【二级结论】
抛物线焦点弦的性质
若为过抛物线的焦点的弦，直线的倾斜角为 ，则.
12．【答案】-3
【详解】依题意得m<0,则双曲线的标准方程可化为y2-=1,此时双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,解得m=-3.
13．【答案】
【详解】因为直线，所以令，得；令，得.由题意可知，，是椭圆的两个顶点，代入椭圆方程可得，，所以椭圆方程为，所以，所以离心率.
14．【答案】
【详解】
因为AB与y轴平行,所以AB与x轴垂直,结合双曲线的对称性知|AF2|=|BF2|=5.又|F1A|=13,所以|F1F2|===12,则c=6,而2a=|AF1|-|AF2|=13-5=8,所以a=4,所以离心率e==.
15．【答案】
（1） 【解】将，的坐标代入椭圆的方程，可得解得则，即,
则的离心率. …………5分
（2） 由（1）可得椭圆的方程为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意，故直线的斜率存在.…………7分
解法一：设直线的方程为,令，,联立消去可得
,
，,…………9分
所以
所以. …………11分
又点到直线的距离,
,
解得或,所以直线的方程为或. …………15分
解法二：设直线的方程为，，
联立消去整理得，,则. …………9分
由点在上，得,即.
由①②知，此时.
所以,代入直线的方程可得. …………11分
由，可得,直线的方程为,设点到直线的距离为,则,解得.
由点到直线的距离公式可得,
将,代入上式，
解得或，当时，；当时，，
所以直线的方程为或. …………15分
解法三:因为,，
所以,所以直线的方程为,即，
. …………8分
设点到直线的距离为,则,解得. …………9分
设,则解得或
所以点的坐标为或. …………11分
当点的坐标为时，直线的斜率为,方程为,即.
当点的坐标为时，直线的斜率为,方程为,即.
综上，直线的方程为或. …………15分
16．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，
，．
由得．
同理．
由得．
因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直线在x轴上的截距为．
【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.
方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
17．【答案】（1）见详解；（2）．
【详解】（1）如图所示，取的中点，连结，
由于为正方体，为中点，故，
从而四点共面，即平面CDE即平面，
据此可得：直线交平面于点，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，
即点为中点.
（2）以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，设，
则：，
从而：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
从而：，
则：，
整理可得：，故（舍去）.
18．【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）见详解.
【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；
因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.
（Ⅱ）设
联立得，
，，.
直线，令得，即；
同理可得.
因为,所以；
，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.
19．【答案】
（1） 设，由题意知，
化简得的方程为.
（2） （ⅰ） 因为曲线方程为,所以,.
设直线的方程为，则，
联立得，故，
因为点在双曲线右支上，所以，得，即，解得，
设直线的方程为，则，
联立得，故，
因为点在双曲线右支上，所以，得，即，解得，
综上可知，.
（ⅱ） ，，，
故，
令 ，则，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为.
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