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广东省江门市新会区尚雅学校2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题B卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八上·新会开学考）下列数中是无理数的是（　　）
A．3.1415926 B． C． D．
2．（2024八上·新会开学考）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，6
3．（2024八上·新会开学考）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·新会开学考）如图所示，两个三角形全等，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·新会开学考）如图，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，则 AC=（　　）
A．2 B．8 C．5 D．3
6．（2024八上·新会开学考）将一副普通的直角三角尺和如图放置，点恰好落在边上，三角尺中，较长的边AEBC，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·新会开学考）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺寸）．意思是，现有一根木料，不知道其长度．用一根绳子去度量，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量，长木还剩余1尺．问木料长多少？设绳子长为x尺，木料长为y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八上·新会开学考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点 为该凸透镜的焦点．若，，则∠的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·新会开学考）若关于的不等式组的解集为，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．1
10．（2024八上·新会开学考）如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点E，过点E作，分别交、于点F、G．则下列结论正确的是（　　）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八上·新会开学考）正十边形的每个内角的度数是：　 　．
12．（2024八上·新会开学考）在直角坐标平面中，已知，，那么　 　．
13．（2024八上·新会开学考）如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　 　．
14．（2024八上·新会开学考）已知中，为边上的高，，，则的度数为　 　．
15．（2024八上·新会开学考）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为　 　．
16．（2024八上·新会开学考）如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则　 　度．
三、解答题（一）（共2小题，每小题4分，共8分）
17．（2024八上·新会开学考）计算：
18．（2024八上·新会开学考）解一元一次不等式组：．
四、解答题（二）（共3小题，第19、20题每题6分，第21题8分）
19．（2024八上·新会开学考）如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：．
20．（2024八上·新会开学考）如图，已知三角形，点E是上一点．
（1）尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕）
（2）在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
21．（2024八上·新会开学考）随着直播电商的兴起，越来越多的商家和主播选择在直播间销售产品．这些商品涵盖了A食品、B图书、C服装、D数码产品、E家居用品等多个领域．为了解不同领域产品的销售情况，随机抽取了某平台若干直播间进行调查（每一直播间只销售同一个领域的产品），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为　 　；统计图中的　 　，　 　；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）E家居用品类所对应扇形的圆心角的大小为　 　；
（4）该平台共有3万个直播间，请你估计该平台销售B“图书”的直播间个数．
五、解答题（三）（共4小题，第22、23题每题10分，第24、25题每题12分）
22．（2024八上·新会开学考）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称 种头盔 种头盔
批发价（元/个） 60 40
零售价（元/个） 80 50
（1）该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个；
（2）该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案．
23．（2024八上·新会开学考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线a上一点．点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动；同时，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动．
（1）当点P在线段上移动时，几秒后？
（2）若以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10，求点P的坐标．
24．（2024八上·新会开学考）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
25．（2024八上·新会开学考）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；
【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、3.1415926是有限小数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是整数不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据无理数的定义：无理数是指无限不循环小数，然后再对各个选项进行逐一分析即可求解。
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：2+4<7，不符合题意；
B：3+3=6，不符合题意；
C：5+2<8，不符合题意；
D：4+5>6，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形的三边关系即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根进行运算即可求解。
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵
又∵和全等，
故答案为：D
【分析】根据全等三角形的性质：等边对等角，然后再结合图形，即可得出，易得，即可求解。
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC=DB，
∴AB+BC=DC+BC，即AB=DC，
∵AD=8，BC=2，
∴AB+BC+DC=8，
∴2AB+2=8，
∴AB=3，
∴AC=AB+BC=5，
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AC=DB，再由线段的和差AB+BC=DC+BC可得AB=DC，然后由线段的构成AD=AB+BC+DC可得关于AB的方程，解方程求出AB的值，于是AC=AB+BC可求解．
6．【答案】D
【知识点】角的运算；直角三角形的性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：，，
∴，
，
∴，
，，
∴，
∴，故D正确．
故答案为：D
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，然后再结合的度数，求出的度数，再根据，得出的度数，最后再根据和的度数，求出的度数，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵绳子长为x尺，用一根绳子去度量，绳子还剩余尺
∴
∵将绳子对折再度量，长木还剩余1尺
∴
故答案为：B
【分析】根据“用一根绳子去度量，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量，长木还剩余1尺”，用绳子的长减去木料的长，然后等于4，5；将绳子对折，即将绳子除以2，然后再减去木料的长，最后等于-1，据此即可求解
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵和是对顶角，
∴，
故选：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形外角性质可得∠5，再根据对顶角相等即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的不等式组的解集为，
，，
解得：，，
，
故选：B．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集建立方程，解方程可得m，n，再代入代数式即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵
∴，故②正确；
∵，，
∴，故④正确，
∴正确的有①②③④，
故答案为：D
【分析】根据，可得，又跟据，易证；根据三角形角平分线定义，可得 ，然后根据三角形角的和差定义，可得， ，进而可得 ；根据平行线的性质，可得， ，然后再结合角平分线的定义，可得 ，根据即可判断④正确。
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正十边形的内角和为：，
正十边形的每个内角的度数为：
，
故答案为：
【分析】根据正多边形的内角和公式结合题意求出其内角和，再除以边数即可求解。
12．【答案】3
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：3
【分析】根据坐标系中两点间的坐标公式，代入数据，即可求解。
13．【答案】18
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可得，∴AD＝CF＝3，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+DF+CF+AD＝△ABC的周长+AD+CF＝12+3+3＝18．
故答案为：18．
【分析】根据平移可得AD=CF=3，再根据四边形ABFD的周长＝△ABC的周长+AD+CF计算即可．
14．【答案】或
【知识点】直角三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况讨论，
①如图1，
∵，，，
∴，
∴；
②如图2，
∵，，，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或
【分析】根据题干信息，分两种情况讨论，然后再根据各自的情况画出图形，根据题干信息分别求出的度数即可。
15．【答案】8
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：为中点，
，
为中点，
，
，
故答案为：8
【分析】根据E、F是AD和CE的中点，分别求出，，代入数据即可求解。
16．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：和的平分线交于点，
，
，
同理，，
，
，
当时，
故答案为：
【分析】根据角平分线的性质可得，，根据三角形外角性质，可得， ，同理，可求出 ，找出规律，得到与的关系即可求解
17．【答案】解：原式

【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为。
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式①②的解集，然后再根据“同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解”，最后再进行求解即可。
19．【答案】证明：∵，
∴，
即，
又，，
∴
∴，
∴
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据AD=BC，易得，又跟据，，易证，根据全等三角形的性质，可得，最后再根据平行线的判定定理，即可得出。
20．【答案】（1）解：如图所示，过点E作交于F，点F即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；作图-平行线；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过点E作交于F，点F即为所求.（2）根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义即可求出答案.
21．【答案】（1）1200；120；20
（2）解：选择“E家居用品类”的直播间个数有：（个），
补全的条形统计图如图所示：
（3）
（4）解：（个），
答：估计全校喜爱B“图书”的直播间有7500个．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的样本容量为：，
，
，
，
故答案为：1200，120，20；
（3）解：E家居用品类所对应扇形的圆心角的大小为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据A的人数与占比可得样本容量，再用总人数乘以B类的占比可得a值，求出C类的占比，再用1减去其他类的占比可得b值.
（2）根据总人数减去其他类的人数可得E类人数，再补全统计图即可.
（3）根据360°乘以E类的占比即可求出答案.
（4）根据30000乘以B类的占比即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得：
，
解得：，
答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个。
（2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得，，
解得：，
又∵m，均为正整数，
∴m可以为72，74，76，
∴该商店第二次有3种批发方案。
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据表格信息和题干中的等量关系，建立方程组：，最后再进行求解即可。
（2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题干信息，建立不等式组：，求出不等式组的解集，然后再根据m的取值特征，确定m的值，从而即可求解
（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得：
，
解得：，
答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个；
（2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得，
，
解得：，
又∵m，均为正整数，
∴m可以为72，74，76，
∴该商店第二次有3种批发方案．
23．【答案】（1）解：设秒后，由题意得：
，
则，，
∴，
解得：，
∴当点P在线段上移动时，秒后；
（2）解：设点P的坐标为，
①当点在轴右侧时：
∵以A，O，Q，P为顶点的四边形为直角梯形，，
∴，此时点P运动时间为：，
∴此时，
∵以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10，
∴，解得：，
∴；
②当点在轴左侧时：
∵以A，O，Q，P为顶点的四边形可分为两个直角三角形，，
∴，，此时点P运动时间为：，
∴，
∴，解得：，
∴．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设ti秒后AP=OQ，根据题意先表示出MP，进而得到和的长，然后再列式解方程即可；
（2）设点P的坐标为，然后再根据P点的位置：当点在轴右侧时和当点在轴左侧时两种情况，分类讨论列式即可得到本题答案
24．【答案】（1）C
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19。
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；
不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴。
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故答案为：C。
【分析】（1）对选项中的各个不等式和不等式组进行求解，然后再根据题干要求，确定即可。
（2）根据题干信息，可得，求出a的解集，然后再根据已知条件：，求出b、c关于a的关系式，然后再将以上关系式代入 ，求出，最后再结合a的取值，即可求出M的最小值。
（3）根据已知条件，解方程组：解方程组，求出m、n关于k的值，然后再根据，，求出，然后再根据K的取值特性，求出k的值；最后再根据P、Q之间的包含关系：，进而求出k的，由此即可得到答案。
（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故选C；
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴．
25．【答案】（1）；
（2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
（3）解：；理由如下：
如图，延长，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
【知识点】平行线的判定与性质；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图1，延长到点，使，
∵是的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
；
故答案为：
【分析】（1）延长AD到点E，DE=AD，根据交叉线的性质，，然后再根据中点的定义，易证，可得结论；
（2）延长AE到点F，使得AE=EF，连接DF．易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，进而可得，最后再根据全等三角形的性质，可得，即可证明结论．
（3）延长AD，使AD=DG，连接BG，然后再根据中点的定义，可得BD=DC，易证，进而求出，，从而得到，又跟据，，可得证明，得出，即可证明结论．
1 / 1广东省江门市新会区尚雅学校2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题B卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八上·新会开学考）下列数中是无理数的是（　　）
A．3.1415926 B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、3.1415926是有限小数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是整数不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据无理数的定义：无理数是指无限不循环小数，然后再对各个选项进行逐一分析即可求解。
2．（2024八上·新会开学考）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，6
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：2+4<7，不符合题意；
B：3+3=6，不符合题意；
C：5+2<8，不符合题意；
D：4+5>6，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形的三边关系即可求出答案.
3．（2024八上·新会开学考）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根进行运算即可求解。
4．（2024八上·新会开学考）如图所示，两个三角形全等，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵
又∵和全等，
故答案为：D
【分析】根据全等三角形的性质：等边对等角，然后再结合图形，即可得出，易得，即可求解。
5．（2024八上·新会开学考）如图，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，则 AC=（　　）
A．2 B．8 C．5 D．3
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC=DB，
∴AB+BC=DC+BC，即AB=DC，
∵AD=8，BC=2，
∴AB+BC+DC=8，
∴2AB+2=8，
∴AB=3，
∴AC=AB+BC=5，
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AC=DB，再由线段的和差AB+BC=DC+BC可得AB=DC，然后由线段的构成AD=AB+BC+DC可得关于AB的方程，解方程求出AB的值，于是AC=AB+BC可求解．
6．（2024八上·新会开学考）将一副普通的直角三角尺和如图放置，点恰好落在边上，三角尺中，较长的边AEBC，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；直角三角形的性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：，，
∴，
，
∴，
，，
∴，
∴，故D正确．
故答案为：D
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，然后再结合的度数，求出的度数，再根据，得出的度数，最后再根据和的度数，求出的度数，即可得出答案。
7．（2024八上·新会开学考）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺寸）．意思是，现有一根木料，不知道其长度．用一根绳子去度量，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量，长木还剩余1尺．问木料长多少？设绳子长为x尺，木料长为y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵绳子长为x尺，用一根绳子去度量，绳子还剩余尺
∴
∵将绳子对折再度量，长木还剩余1尺
∴
故答案为：B
【分析】根据“用一根绳子去度量，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量，长木还剩余1尺”，用绳子的长减去木料的长，然后等于4，5；将绳子对折，即将绳子除以2，然后再减去木料的长，最后等于-1，据此即可求解
8．（2024八上·新会开学考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点 为该凸透镜的焦点．若，，则∠的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵和是对顶角，
∴，
故选：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形外角性质可得∠5，再根据对顶角相等即可求出答案.
9．（2024八上·新会开学考）若关于的不等式组的解集为，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．1
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的不等式组的解集为，
，，
解得：，，
，
故选：B．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集建立方程，解方程可得m，n，再代入代数式即可求出答案.
10．（2024八上·新会开学考）如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点E，过点E作，分别交、于点F、G．则下列结论正确的是（　　）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵
∴，故②正确；
∵，，
∴，故④正确，
∴正确的有①②③④，
故答案为：D
【分析】根据，可得，又跟据，易证；根据三角形角平分线定义，可得 ，然后根据三角形角的和差定义，可得， ，进而可得 ；根据平行线的性质，可得， ，然后再结合角平分线的定义，可得 ，根据即可判断④正确。
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八上·新会开学考）正十边形的每个内角的度数是：　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正十边形的内角和为：，
正十边形的每个内角的度数为：
，
故答案为：
【分析】根据正多边形的内角和公式结合题意求出其内角和，再除以边数即可求解。
12．（2024八上·新会开学考）在直角坐标平面中，已知，，那么　 　．
【答案】3
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：3
【分析】根据坐标系中两点间的坐标公式，代入数据，即可求解。
13．（2024八上·新会开学考）如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　 　．
【答案】18
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可得，∴AD＝CF＝3，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+DF+CF+AD＝△ABC的周长+AD+CF＝12+3+3＝18．
故答案为：18．
【分析】根据平移可得AD=CF=3，再根据四边形ABFD的周长＝△ABC的周长+AD+CF计算即可．
14．（2024八上·新会开学考）已知中，为边上的高，，，则的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】直角三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况讨论，
①如图1，
∵，，，
∴，
∴；
②如图2，
∵，，，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或
【分析】根据题干信息，分两种情况讨论，然后再根据各自的情况画出图形，根据题干信息分别求出的度数即可。
15．（2024八上·新会开学考）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：为中点，
，
为中点，
，
，
故答案为：8
【分析】根据E、F是AD和CE的中点，分别求出，，代入数据即可求解。
16．（2024八上·新会开学考）如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则　 　度．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：和的平分线交于点，
，
，
同理，，
，
，
当时，
故答案为：
【分析】根据角平分线的性质可得，，根据三角形外角性质，可得， ，同理，可求出 ，找出规律，得到与的关系即可求解
三、解答题（一）（共2小题，每小题4分，共8分）
17．（2024八上·新会开学考）计算：
【答案】解：原式

【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
18．（2024八上·新会开学考）解一元一次不等式组：．
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为。
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式①②的解集，然后再根据“同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解”，最后再进行求解即可。
四、解答题（二）（共3小题，第19、20题每题6分，第21题8分）
19．（2024八上·新会开学考）如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
即，
又，，
∴
∴，
∴
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据AD=BC，易得，又跟据，，易证，根据全等三角形的性质，可得，最后再根据平行线的判定定理，即可得出。
20．（2024八上·新会开学考）如图，已知三角形，点E是上一点．
（1）尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕）
（2）在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示，过点E作交于F，点F即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；作图-平行线；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过点E作交于F，点F即为所求.（2）根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义即可求出答案.
21．（2024八上·新会开学考）随着直播电商的兴起，越来越多的商家和主播选择在直播间销售产品．这些商品涵盖了A食品、B图书、C服装、D数码产品、E家居用品等多个领域．为了解不同领域产品的销售情况，随机抽取了某平台若干直播间进行调查（每一直播间只销售同一个领域的产品），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为　 　；统计图中的　 　，　 　；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）E家居用品类所对应扇形的圆心角的大小为　 　；
（4）该平台共有3万个直播间，请你估计该平台销售B“图书”的直播间个数．
【答案】（1）1200；120；20
（2）解：选择“E家居用品类”的直播间个数有：（个），
补全的条形统计图如图所示：
（3）
（4）解：（个），
答：估计全校喜爱B“图书”的直播间有7500个．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的样本容量为：，
，
，
，
故答案为：1200，120，20；
（3）解：E家居用品类所对应扇形的圆心角的大小为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据A的人数与占比可得样本容量，再用总人数乘以B类的占比可得a值，求出C类的占比，再用1减去其他类的占比可得b值.
（2）根据总人数减去其他类的人数可得E类人数，再补全统计图即可.
（3）根据360°乘以E类的占比即可求出答案.
（4）根据30000乘以B类的占比即可求出答案.
五、解答题（三）（共4小题，第22、23题每题10分，第24、25题每题12分）
22．（2024八上·新会开学考）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称 种头盔 种头盔
批发价（元/个） 60 40
零售价（元/个） 80 50
（1）该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个；
（2）该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案．
【答案】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得：
，
解得：，
答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个。
（2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得，，
解得：，
又∵m，均为正整数，
∴m可以为72，74，76，
∴该商店第二次有3种批发方案。
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据表格信息和题干中的等量关系，建立方程组：，最后再进行求解即可。
（2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题干信息，建立不等式组：，求出不等式组的解集，然后再根据m的取值特征，确定m的值，从而即可求解
（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得：
，
解得：，
答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个；
（2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得，
，
解得：，
又∵m，均为正整数，
∴m可以为72，74，76，
∴该商店第二次有3种批发方案．
23．（2024八上·新会开学考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线a上一点．点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线a向左移动；同时，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动．
（1）当点P在线段上移动时，几秒后？
（2）若以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10，求点P的坐标．
【答案】（1）解：设秒后，由题意得：
，
则，，
∴，
解得：，
∴当点P在线段上移动时，秒后；
（2）解：设点P的坐标为，
①当点在轴右侧时：
∵以A，O，Q，P为顶点的四边形为直角梯形，，
∴，此时点P运动时间为：，
∴此时，
∵以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10，
∴，解得：，
∴；
②当点在轴左侧时：
∵以A，O，Q，P为顶点的四边形可分为两个直角三角形，，
∴，，此时点P运动时间为：，
∴，
∴，解得：，
∴．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设ti秒后AP=OQ，根据题意先表示出MP，进而得到和的长，然后再列式解方程即可；
（2）设点P的坐标为，然后再根据P点的位置：当点在轴右侧时和当点在轴左侧时两种情况，分类讨论列式即可得到本题答案
24．（2024八上·新会开学考）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19。
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；
不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴。
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故答案为：C。
【分析】（1）对选项中的各个不等式和不等式组进行求解，然后再根据题干要求，确定即可。
（2）根据题干信息，可得，求出a的解集，然后再根据已知条件：，求出b、c关于a的关系式，然后再将以上关系式代入 ，求出，最后再结合a的取值，即可求出M的最小值。
（3）根据已知条件，解方程组：解方程组，求出m、n关于k的值，然后再根据，，求出，然后再根据K的取值特性，求出k的值；最后再根据P、Q之间的包含关系：，进而求出k的，由此即可得到答案。
（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故选C；
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴．
25．（2024八上·新会开学考）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；
【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
（3）解：；理由如下：
如图，延长，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
【知识点】平行线的判定与性质；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图1，延长到点，使，
∵是的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
；
故答案为：
【分析】（1）延长AD到点E，DE=AD，根据交叉线的性质，，然后再根据中点的定义，易证，可得结论；
（2）延长AE到点F，使得AE=EF，连接DF．易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，进而可得，最后再根据全等三角形的性质，可得，即可证明结论．
（3）延长AD，使AD=DG，连接BG，然后再根据中点的定义，可得BD=DC，易证，进而求出，，从而得到，又跟据，，可得证明，得出，即可证明结论．
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