资源简介

广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）
1．（2024九上·广州开学考）2024的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·广州开学考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·广州开学考）已知一组数据：1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是 （　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2024九上·广州开学考）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点O点为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P所表示的数是（　　）
A．2.2 B． C．1+ D．
5．（2024九上·广州开学考）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
6．（2024九上·广州开学考）一次函数的图象不经过第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
7．（2024九上·广州开学考）如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·广州开学考）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（　　）
A． B． C．5 D．10
9．（2024九上·广州开学考）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．甲每分钟走100米
B．甲比乙提前3分钟到达B地
C．两分钟后乙每分钟走50米
D．当或6时，甲乙两人相距100米
10．（2024九上·广州开学考）已知是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（2024九上·广州开学考）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　。
12．（2024九上·广州开学考）计算： =　 　.
13．（2024九上·广州开学考） 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为　 　．
14．（2024九上·广州开学考）甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，，则这位同学发挥最稳定的是　 　．
15．（2024九上·广州开学考）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是 　 　．
16．（2024九上·广州开学考）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论：
①矩形是正方形； ②；③平分； ④．其中正确的序号为　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024九上·广州开学考）解方程：．
18．（2024九上·广州开学考）如图，点，，，在同一直线上，已知，，．求证：．
19．（2024九上·广州开学考）先化简，再求值：，其中，．
20．（2024九上·广州开学考）如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，求的长．
21．（2024九上·广州开学考）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）本次调查数据的中位数是；
（2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少
（3）若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数．
22．（2024九上·广州开学考）有煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度，右侧是摄氏温度．已知华氏温度与摄氏温度之间满足一次函数关系，小明通过观察温度计，得到如下表所示的数据．
摄氏温度值 0 10 20 30 40
华氏温度值 32 50 68 86 104
（1）请根据表格提供的数据求出一次函数解析式；
（2）根据解析式，求出华氏温度为时对应的摄氏温度（结果保留一位小数）；
（3）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？请说明理由．
23．（2024九上·广州开学考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，直线与关于轴对称．
（1）求点、、的坐标；
（2）若点在的内部（不包含边界），求的取值范围；
（3）为坐标原点，若过点的直线将分成的两部分面积之比为，求该直线的解析式．
24．（2024九上·广州开学考）如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接．
（1）当时，求的周长；
（2）将沿折叠得到，延长交射线于点．
①如图2，当为中点时，求的长；
②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由．
25．（2024九上·广州开学考）已知直线．
（1）当为何值时，直线经过原点？
（2）若直线不经过原点，设直线与轴交于点，与轴交于点，当为何值时，，并求出此时的面积；
（3）定义：在平面直角坐标系中，若某个点到轴、轴的距离之和为2，则称该点为“元元点”，如点，，都是“元元点”．若直线上至少有一个“元元点”，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得2024的倒数为，
故答案为：A
【分析】根据有理数的倒数结合题意即可求出2024的倒数。
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简根式，故不符合题意；
B、被开方数中含有分母，故不符合题意；
C、是最简根式，故符合题意；
D、，不是最简根式，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：由题意，得：，解得，
∴这组数据为1，3，5，5，6，其中数据5出现次数最多，
∴众数为5；
故答案为：B．
【分析】先利用平均数的定义及计算方法求出x的值，再利用众数的定义分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意可得：OB＝＝＝，
故弧与数轴的交点C表示的数为：．
故选：B．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B两点间的距离为32米.
故选：B.
【分析】根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半即可求解.
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k=-3<0，b=4
∴函数图象经过第一，二，四象限
故答案为：C
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长是，
∴
∴，
∵的周长是，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再利用三角形的周长公式可得，最后求出即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设交于点，连接，
由作图可知，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∴AB=BE，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，，
，
．
故选B．
【分析】设交于点，连接，由作图可知，，，根据平行四边形性质可得，则，即，根据等角对等边可得AB=BE，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，则，，，，再根据勾股定理可得AH，即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，甲每分钟走：600÷6=100（米），故A选项正确，不符合题意；
两分钟后乙每分钟走：（500-300）÷（6-2）=200÷4=50（米），故C选项正确，不符合题意；
乙到达B地用的时间为：2+（600-300）÷50=2+300÷50=2+6=8（分钟），则甲比乙提前8-6=2分钟达到B地，故B选项错误，符合题意；
当x=2时，甲乙相距300-100×2=300-200=100（米），
当x=6时，甲乙相距600-500=100米，故D选项正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且m>0
∴x1-x2与y1-y2同号
∵是一次函数图象上不同的两个点
∴y随x的增大而增大
∴a+2>0
∴a>-2
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质可得x1-x2与y1-y2同号，再根据一次函数的性质与系数的关系即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。
12．【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=3-=2.
【分析】根据二次根式加减运算法则计算即可。即先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并起来。
13．【答案】30
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是5，12，
∴△ABC的面积为：×5×12=30，
故答案为：30．
【分析】首先根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后利用三角形的面积公式计算即可解答．
14．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
这位同学发挥最稳定的是乙
故答案为：乙
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数和的图象交于点，
∴关于，的二元一次方程组的解是，
故填：．
【分析】根据两直线的交点坐标是对应方程组的解即可求出答案.
16．【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作于点M，作于点N，如图所示
则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
故①正确；
∵，
当时，，
故②不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
故③正确；
过点F作交于点H，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确．
综上可知①③④正确．
故答案为：①③④
【分析】过点E作于点M，作于点N，根据正方形对角线性质，可得 进而可得，根据矩形性质推出，，易证， 得到；根据根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可得；根据 ，可得 ，然后再根据正方形性质可得，，，，得到，得到，得到，平分；过点F作交于点H，可得，，得到，根据，，得到，得到，即得
17．【答案】解：，
即，
∴，
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
18．【答案】证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】解：
∵，，
∴原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对括号里面的分式进行通分，然后再将除法换算成乘法，最后再进行约分化简，最后再将a和b的值代入化简后的式子中，即可求解。
20．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，如图，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，即，然后根据平行四边形的判定得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证结论；
（2）连接，先通过菱形的性质得，，，根据含30°的直角三角形的性质得，然后利用勾股定理求得到，从而得，进而根据矩形的性质得，，最后通过勾股定理即可求出的长．
21．【答案】（1）解：由统计图可得本次调查的总人数为40人，中位数则应该是40个数据从小到大排列之后第20和21个数据的平均数，
由统计图可知，第20和21个数据均为3，
∴本次调查数据的中位数是3；
（2）解：（小时）
答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）首先根据统计图得出被调查的总人数为40，再根据中位数的定义是第20位和21位的平均数，求解即可；
（2）根据平均数=和个数，求解即可答案；
（3）利用2000乘以被调查者中课外阅读时间不少于3小时的人数占比即可．
22．【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b
将x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式可得：
，解得：
∴ 一次函数的解析式为
（2）解：当y=0时，得：
解得：x≈-17.8
∴华氏温度为时对应的摄氏温度为-17.8℃
（3）解：华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，理由如下
当y=x时，
解得：x=-40
∴当摄氏温度是-40℃，对应华氏温度是-40°F，两者数值相等
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法将x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式即可求出答案.
（2）将y=0代入解析式即可求出答案.
（3）将y=x代入解析式，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：在中，
令，得，
令，得，
∴，，
∵直线与关于轴对称，
∴与关于轴对称，
∴，
∴，，。
（2）解：当点在直线上时，，解得，
即点的坐标为
当点在直线上时，即为关于轴的对称点为，
即点的坐标为，即，
∴当点在的内部时，的取值范围是。
（3）解：∵，，，
∴，
设过点的直线交与，，过作于，如图，
∴，
∴，
∴，
∴在上且，即点纵坐标为2，
由（2）得，，
设直线解析式为，直线过和原点，
∴，
解得：，
∴．
设过点的直线交与，，过作于，如图，
，
∴，
∴，
∴在上且，即点纵坐标为2，
由（2）得，，
设直线解析式为，直线过和原点，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，该直线的解析式为或。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）令一次函数的y=0，求出A点坐标，令x=0，求出C点坐标，然后再根据直线BC与AC关于y轴对称，求出B点的坐标，进而即可求解。
（2）当点P在直线AC上时，将P点坐标代入AC的解析式上，求出m的值，当点P在直线BC上时，因直线AC和直线BC关于y轴对称，可求出P点坐标，即可求出m的值，当点P在的内部时，根据端点的极值，即可求出m的取值范围是；
（3）根据A、B和C的坐标，然后再根据三角形的面积公式，代入数据，求出的面积，设过点O的直线交AC与G，，过G作于H，进而可求出的面积，然后再根据面积公式：，代入数据，求出GH的值，然后再结合（2），即可求出G点坐标，设直线解析式为，将G点坐标代入，求出OG的解析式；设过点的直线交与，，过作于，易得，同理，易得OM的解析式。
（1）解：在中，令，得，令，得，
∴，，
∵直线与关于轴对称，
∴与关于轴对称，
∴，
∴，，．
（2）解：当点在直线上时，，
解得，
即点的坐标为
当点在直线上时，即为关于轴的对称点为，
即点的坐标为，即，
∴当点在的内部时，的取值范围是．
（3）解：∵，，，
∴，
设过点的直线交与，，过作于，如图，
∴，
∴，
∴，
∴在上且，即点纵坐标为2，
由（2）得，，
设直线解析式为，直线过和原点，
∴，
解得：，
∴．
设过点的直线交与，，过作于，如图，
∴，
∴，
∴，
∴在上且，即点纵坐标为2，
由（2）得，，
设直线解析式为，直线过和原点，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，该直线的解析式为或．
24．【答案】（1）解：∵正方形，
∴，
在中，，，
则，
∴的周长，
故的周长为。
（2）解：①连接，如图，
∵正方形，
∴，
根据折叠的性质，，，．
∴，
∵点E为的中点，
∴
∴，
在和中，，，
∴．
∴，．
∴，
，
∵
∴
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∴．
∴．
②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对；
当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对．
理由如下：
延长交于点H，交延长线于点G，连接．如图，
由正方形与折叠的性质得，，，
∴对于和，，，
∴，
∴，
在和中，，，，
∴，
，，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
如图a，当点F在的延长线上时，，
∵，，，
∴；
如图b，当点F在线段上时，，
∵，，，
∴．
故当点F在线段上时，小方同学说得对；当点F在的延长线上时，小程同学说得对。
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似比
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得，在中，根据勾股定理：，代入数据求出AE，最后再根据三角形的周长公式即可求出的周长．
（2）①连接EF，根据正方形的性质，可得，然后再根据折叠的性质，可得，，，然后再根据中心的性质，易得，易证，根据角平分线的逆定理，可得，，进而得出，易证得再通过，最后再根据相似三角形的性质，可得，代入数据求出出从而求的长，即可得到的长度．
② 延长交于点H，交延长线于点G，连接AH ，然后正方形的性质和这点的性质，可得，， 进而可得再根据和，得出，，再根据点F的位置进行分类讨论判断，即可得出结论。
（1）解：∵正方形，
∴，
在中，，，则，
∴的周长，
故的周长为．
（2）解：①连接，如图，
∵正方形，
∴，
根据折叠的性质，，，．
∴，
∵点E为的中点，
∴
∴，
在和中，，，
∴．
∴，．
∴，
，
∵
∴
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∴．
∴．
②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对；
当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对．
理由如下：
延长交于点H，交延长线于点G，连接．如图，
由正方形与折叠的性质得，，，
∴对于和，，，
∴，
∴，
在和中，，，，
∴，
，，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
如图a，当点F在的延长线上时，，
∵，，，
∴；
如图b，当点F在线段上时，，
∵，，，
∴．
故当点F在线段上时，小方同学说得对；当点F在的延长线上时，小程同学说得对．
25．【答案】（1）解：当直线经过原点时，将原点坐标，代入直线表达式，
得到，
解得。
（2）解：当直线不经过原点时，
设直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
当时，，
，
，
解得：或，
当时，
，
，，
当时，
，，
，
。
（3）解：因为某个点到轴、轴的距离之和为2，
所以，
，
①当时，时，
，
解得：
当时，时，
，
，
若，即时，
，
，
若，即时，
，
，，
若，即时，
，
，，
，
，，
，
，，
无解，
故；
②当，时，，
，
，
解得：，
，，
，时，，
，
，
解得：，
，，
，
，
若，
，
，，
无解，
若，
，
，，
无解，
若，
，
，，
，
故，
③当，时，，
，
，
解得，
，，
，
，
若，
，
，，
，
若，
无解，
故，
④当，时，，
，
，
解得，
，，
，
，
，，
，
若，即，
，
，，
，
，，
，
若，即，
，
，，
，
，，
无解，
故，
综上所述，或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据一次函数的解析式，然后再根据该解析式，然后再将原点坐标代入该解析式中，即可求出该解析式。
（2）根据直线与轴，轴的交点坐标，分别令y=0和x=0，分别求出，的长度，然后再根据建立方程，求出值，进而求出的面积；
（3）根据“元元点”的定义，根据当时，、 当时， 、 当，，， 当，， 和设出“元元点”的坐标，代入直线解析式，得到关于的不等式，解不等式即可求解。
（1）当直线经过原点时，将原点坐标，代入直线表达式，得到，
解得，
（2）解：当直线不经过原点时，
设直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
当时，，
，
，
解得：或，
当时，
，
，，
当时，
，，
，
；
（3）解：因为某个点到轴、轴的距离之和为2，
所以，
，
①当时，时，
，
解得：
当时，时，
，
，
若，即时，
，
，
若，即时，
，
，，
若，即时，
，
，，
，
，，
，
，，
无解，
故；
②当，时，，
，
，
解得：，
，，
，时，，
，
，
解得：，
，，
，
，
若，
，
，，
无解，
若，
，
，，
无解，
若，
，
，，
，
故，
③当，时，，
，
，
解得，
，，
，
，
若，
，
，，
，
若，
无解，
故，
④当，时，，
，
，
解得，
，，
，
，
，，
，
若，即，
，
，，
，
，，
，
若，即，
，
，，
，
，，
无解，
故，
综上所述，或或或
1 / 1广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）
1．（2024九上·广州开学考）2024的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得2024的倒数为，
故答案为：A
【分析】根据有理数的倒数结合题意即可求出2024的倒数。
2．（2024九上·广州开学考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简根式，故不符合题意；
B、被开方数中含有分母，故不符合题意；
C、是最简根式，故符合题意；
D、，不是最简根式，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．（2024九上·广州开学考）已知一组数据：1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是 （　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：由题意，得：，解得，
∴这组数据为1，3，5，5，6，其中数据5出现次数最多，
∴众数为5；
故答案为：B．
【分析】先利用平均数的定义及计算方法求出x的值，再利用众数的定义分析求解即可.
4．（2024九上·广州开学考）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点O点为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P所表示的数是（　　）
A．2.2 B． C．1+ D．
【答案】B
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意可得：OB＝＝＝，
故弧与数轴的交点C表示的数为：．
故选：B．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
5．（2024九上·广州开学考）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B两点间的距离为32米.
故选：B.
【分析】根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半即可求解.
6．（2024九上·广州开学考）一次函数的图象不经过第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k=-3<0，b=4
∴函数图象经过第一，二，四象限
故答案为：C
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
7．（2024九上·广州开学考）如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长是，
∴
∴，
∵的周长是，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再利用三角形的周长公式可得，最后求出即可．
8．（2024九上·广州开学考）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（　　）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设交于点，连接，
由作图可知，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∴AB=BE，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，，
，
．
故选B．
【分析】设交于点，连接，由作图可知，，，根据平行四边形性质可得，则，即，根据等角对等边可得AB=BE，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，则，，，，再根据勾股定理可得AH，即可求出答案.
9．（2024九上·广州开学考）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．甲每分钟走100米
B．甲比乙提前3分钟到达B地
C．两分钟后乙每分钟走50米
D．当或6时，甲乙两人相距100米
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，甲每分钟走：600÷6=100（米），故A选项正确，不符合题意；
两分钟后乙每分钟走：（500-300）÷（6-2）=200÷4=50（米），故C选项正确，不符合题意；
乙到达B地用的时间为：2+（600-300）÷50=2+300÷50=2+6=8（分钟），则甲比乙提前8-6=2分钟达到B地，故B选项错误，符合题意；
当x=2时，甲乙相距300-100×2=300-200=100（米），
当x=6时，甲乙相距600-500=100米，故D选项正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
10．（2024九上·广州开学考）已知是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且m>0
∴x1-x2与y1-y2同号
∵是一次函数图象上不同的两个点
∴y随x的增大而增大
∴a+2>0
∴a>-2
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质可得x1-x2与y1-y2同号，再根据一次函数的性质与系数的关系即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（2024九上·广州开学考）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　。
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。
12．（2024九上·广州开学考）计算： =　 　.
【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=3-=2.
【分析】根据二次根式加减运算法则计算即可。即先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并起来。
13．（2024九上·广州开学考） 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为　 　．
【答案】30
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是5，12，
∴△ABC的面积为：×5×12=30，
故答案为：30．
【分析】首先根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后利用三角形的面积公式计算即可解答．
14．（2024九上·广州开学考）甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，，则这位同学发挥最稳定的是　 　．
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
这位同学发挥最稳定的是乙
故答案为：乙
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．（2024九上·广州开学考）如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是 　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数和的图象交于点，
∴关于，的二元一次方程组的解是，
故填：．
【分析】根据两直线的交点坐标是对应方程组的解即可求出答案.
16．（2024九上·广州开学考）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论：
①矩形是正方形； ②；③平分； ④．其中正确的序号为　 　．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作于点M，作于点N，如图所示
则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
故①正确；
∵，
当时，，
故②不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
故③正确；
过点F作交于点H，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确．
综上可知①③④正确．
故答案为：①③④
【分析】过点E作于点M，作于点N，根据正方形对角线性质，可得 进而可得，根据矩形性质推出，，易证， 得到；根据根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可得；根据 ，可得 ，然后再根据正方形性质可得，，，，得到，得到，得到，平分；过点F作交于点H，可得，，得到，根据，，得到，得到，即得
三、解答题（本大题共9小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024九上·广州开学考）解方程：．
【答案】解：，
即，
∴，
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
18．（2024九上·广州开学考）如图，点，，，在同一直线上，已知，，．求证：．
【答案】证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．（2024九上·广州开学考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
∵，，
∴原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对括号里面的分式进行通分，然后再将除法换算成乘法，最后再进行约分化简，最后再将a和b的值代入化简后的式子中，即可求解。
20．（2024九上·广州开学考）如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，如图，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，即，然后根据平行四边形的判定得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证结论；
（2）连接，先通过菱形的性质得，，，根据含30°的直角三角形的性质得，然后利用勾股定理求得到，从而得，进而根据矩形的性质得，，最后通过勾股定理即可求出的长．
21．（2024九上·广州开学考）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）本次调查数据的中位数是；
（2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少
（3）若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数．
【答案】（1）解：由统计图可得本次调查的总人数为40人，中位数则应该是40个数据从小到大排列之后第20和21个数据的平均数，
由统计图可知，第20和21个数据均为3，
∴本次调查数据的中位数是3；
（2）解：（小时）
答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）首先根据统计图得出被调查的总人数为40，再根据中位数的定义是第20位和21位的平均数，求解即可；
（2）根据平均数=和个数，求解即可答案；
（3）利用2000乘以被调查者中课外阅读时间不少于3小时的人数占比即可．
22．（2024九上·广州开学考）有煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度，右侧是摄氏温度．已知华氏温度与摄氏温度之间满足一次函数关系，小明通过观察温度计，得到如下表所示的数据．
摄氏温度值 0 10 20 30 40
华氏温度值 32 50 68 86 104
（1）请根据表格提供的数据求出一次函数解析式；
（2）根据解析式，求出华氏温度为时对应的摄氏温度（结果保留一位小数）；
（3）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b
将x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式可得：
，解得：
∴ 一次函数的解析式为
（2）解：当y=0时，得：
解得：x≈-17.8
∴华氏温度为时对应的摄氏温度为-17.8℃
（3）解：华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，理由如下
当y=x时，
解得：x=-40
∴当摄氏温度是-40℃，对应华氏温度是-40°F，两者数值相等
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法将x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式即可求出答案.
（2）将y=0代入解析式即可求出答案.
（3）将y=x代入解析式，解方程即可求出答案.
23．（2024九上·广州开学考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，直线与关于轴对称．
（1）求点、、的坐标；
（2）若点在的内部（不包含边界），求的取值范围；
（3）为坐标原点，若过点的直线将分成的两部分面积之比为，求该直线的解析式．
【答案】（1）解：在中，
令，得，
令，得，
∴，，
∵直线与关于轴对称，
∴与关于轴对称，
∴，
∴，，。
（2）解：当点在直线上时，，解得，
即点的坐标为
当点在直线上时，即为关于轴的对称点为，
即点的坐标为，即，
∴当点在的内部时，的取值范围是。
（3）解：∵，，，
∴，
设过点的直线交与，，过作于，如图，
∴，
∴，
∴，
∴在上且，即点纵坐标为2，
由（2）得，，
设直线解析式为，直线过和原点，
∴，
解得：，
∴．
设过点的直线交与，，过作于，如图，
，
∴，
∴，
∴在上且，即点纵坐标为2，
由（2）得，，
设直线解析式为，直线过和原点，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，该直线的解析式为或。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）令一次函数的y=0，求出A点坐标，令x=0，求出C点坐标，然后再根据直线BC与AC关于y轴对称，求出B点的坐标，进而即可求解。
（2）当点P在直线AC上时，将P点坐标代入AC的解析式上，求出m的值，当点P在直线BC上时，因直线AC和直线BC关于y轴对称，可求出P点坐标，即可求出m的值，当点P在的内部时，根据端点的极值，即可求出m的取值范围是；
（3）根据A、B和C的坐标，然后再根据三角形的面积公式，代入数据，求出的面积，设过点O的直线交AC与G，，过G作于H，进而可求出的面积，然后再根据面积公式：，代入数据，求出GH的值，然后再结合（2），即可求出G点坐标，设直线解析式为，将G点坐标代入，求出OG的解析式；设过点的直线交与，，过作于，易得，同理，易得OM的解析式。
（1）解：在中，令，得，令，得，
∴，，
∵直线与关于轴对称，
∴与关于轴对称，
∴，
∴，，．
（2）解：当点在直线上时，，
解得，
即点的坐标为
当点在直线上时，即为关于轴的对称点为，
即点的坐标为，即，
∴当点在的内部时，的取值范围是．
（3）解：∵，，，
∴，
设过点的直线交与，，过作于，如图，
∴，
∴，
∴，
∴在上且，即点纵坐标为2，
由（2）得，，
设直线解析式为，直线过和原点，
∴，
解得：，
∴．
设过点的直线交与，，过作于，如图，
∴，
∴，
∴，
∴在上且，即点纵坐标为2，
由（2）得，，
设直线解析式为，直线过和原点，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，该直线的解析式为或．
24．（2024九上·广州开学考）如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接．
（1）当时，求的周长；
（2）将沿折叠得到，延长交射线于点．
①如图2，当为中点时，求的长；
②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由．
【答案】（1）解：∵正方形，
∴，
在中，，，
则，
∴的周长，
故的周长为。
（2）解：①连接，如图，
∵正方形，
∴，
根据折叠的性质，，，．
∴，
∵点E为的中点，
∴
∴，
在和中，，，
∴．
∴，．
∴，
，
∵
∴
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∴．
∴．
②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对；
当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对．
理由如下：
延长交于点H，交延长线于点G，连接．如图，
由正方形与折叠的性质得，，，
∴对于和，，，
∴，
∴，
在和中，，，，
∴，
，，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
如图a，当点F在的延长线上时，，
∵，，，
∴；
如图b，当点F在线段上时，，
∵，，，
∴．
故当点F在线段上时，小方同学说得对；当点F在的延长线上时，小程同学说得对。
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似比
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得，在中，根据勾股定理：，代入数据求出AE，最后再根据三角形的周长公式即可求出的周长．
（2）①连接EF，根据正方形的性质，可得，然后再根据折叠的性质，可得，，，然后再根据中心的性质，易得，易证，根据角平分线的逆定理，可得，，进而得出，易证得再通过，最后再根据相似三角形的性质，可得，代入数据求出出从而求的长，即可得到的长度．
② 延长交于点H，交延长线于点G，连接AH ，然后正方形的性质和这点的性质，可得，， 进而可得再根据和，得出，，再根据点F的位置进行分类讨论判断，即可得出结论。
（1）解：∵正方形，
∴，
在中，，，则，
∴的周长，
故的周长为．
（2）解：①连接，如图，
∵正方形，
∴，
根据折叠的性质，，，．
∴，
∵点E为的中点，
∴
∴，
在和中，，，
∴．
∴，．
∴，
，
∵
∴
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∴．
∴．
②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对；
当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对．
理由如下：
延长交于点H，交延长线于点G，连接．如图，
由正方形与折叠的性质得，，，
∴对于和，，，
∴，
∴，
在和中，，，，
∴，
，，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
如图a，当点F在的延长线上时，，
∵，，，
∴；
如图b，当点F在线段上时，，
∵，，，
∴．
故当点F在线段上时，小方同学说得对；当点F在的延长线上时，小程同学说得对．
25．（2024九上·广州开学考）已知直线．
（1）当为何值时，直线经过原点？
（2）若直线不经过原点，设直线与轴交于点，与轴交于点，当为何值时，，并求出此时的面积；
（3）定义：在平面直角坐标系中，若某个点到轴、轴的距离之和为2，则称该点为“元元点”，如点，，都是“元元点”．若直线上至少有一个“元元点”，求的取值范围．
【答案】（1）解：当直线经过原点时，将原点坐标，代入直线表达式，
得到，
解得。
（2）解：当直线不经过原点时，
设直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
当时，，
，
，
解得：或，
当时，
，
，，
当时，
，，
，
。
（3）解：因为某个点到轴、轴的距离之和为2，
所以，
，
①当时，时，
，
解得：
当时，时，
，
，
若，即时，
，
，
若，即时，
，
，，
若，即时，
，
，，
，
，，
，
，，
无解，
故；
②当，时，，
，
，
解得：，
，，
，时，，
，
，
解得：，
，，
，
，
若，
，
，，
无解，
若，
，
，，
无解，
若，
，
，，
，
故，
③当，时，，
，
，
解得，
，，
，
，
若，
，
，，
，
若，
无解，
故，
④当，时，，
，
，
解得，
，，
，
，
，，
，
若，即，
，
，，
，
，，
，
若，即，
，
，，
，
，，
无解，
故，
综上所述，或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据一次函数的解析式，然后再根据该解析式，然后再将原点坐标代入该解析式中，即可求出该解析式。
（2）根据直线与轴，轴的交点坐标，分别令y=0和x=0，分别求出，的长度，然后再根据建立方程，求出值，进而求出的面积；
（3）根据“元元点”的定义，根据当时，、 当时， 、 当，，， 当，， 和设出“元元点”的坐标，代入直线解析式，得到关于的不等式，解不等式即可求解。
（1）当直线经过原点时，将原点坐标，代入直线表达式，得到，
解得，
（2）解：当直线不经过原点时，
设直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
当时，，
，
，
解得：或，
当时，
，
，，
当时，
，，
，
；
（3）解：因为某个点到轴、轴的距离之和为2，
所以，
，
①当时，时，
，
解得：
当时，时，
，
，
若，即时，
，
，
若，即时，
，
，，
若，即时，
，
，，
，
，，
，
，，
无解，
故；
②当，时，，
，
，
解得：，
，，
，时，，
，
，
解得：，
，，
，
，
若，
，
，，
无解，
若，
，
，，
无解，
若，
，
，，
，
故，
③当，时，，
，
，
解得，
，，
，
，
若，
，
，，
，
若，
无解，
故，
④当，时，，
，
，
解得，
，，
，
，
，，
，
若，即，
，
，，
，
，，
，
若，即，
，
，，
，
，，
无解，
故，
综上所述，或或或
1 / 1

展开更多......

收起↑