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第七章 随机变量及其分布列
7.4.2
超几何分布
·选择性必修第三册·
探究新知
问题1
已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
思考1：
采用有放回抽样，随机变量X服从什么分布？
采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08).
复习回顾
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X～B(n，p)
2.二项分布的均值与方差：
1.二项分布：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0若X～B(n, p)，则有
探究新知
思考2：
如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？
若不服从，那么X的分布列是什么？

问题1
已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
探究新知

计算的具体结果(精确到0.00001)如下表所示.
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思考3：不放回一次取一件共取4次和一次性取4件产品对概率计算结果有影响吗？（有顺序和无顺序）


若：已知9件产品中有4件次品，现从中采用不放回方式随机抽取6件．求次品数X的取值范围。
若：已知9件产品中有4件次品，现从中采用不放回方式随机抽取3件．求次品数X的取值范围。
探究新知
定义


探究新知
公式中个字母的含义
N—总体中的个体总数
M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)
n—样本容量
k—样本中的特殊个体数(如次品数)
辨析
事件“由较明显的两层次组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”；
不放回抽样：“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取n件”；
能力提升
例题1
能力提升
解析
应用新知
例2：
一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
解析
探究新知
思考：
服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
探究新知
结论


能力提升
例3
解析
能力提升
例3
解析
能力提升
例3
总结
求解超几何分布均值问题的注意事项：
(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．
(2)如果X服从超几何分布，其均值可以用公式E(X)＝求解，也可以用E(X)的定义求解．
应用新知
例4：

分析
因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，X～B(20,0.4)；
而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布．
应用新知
解析
(2) 利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001)，如下
表所示.
应用新知
解析
应用新知
解析
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同．
对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似．
应用新知
解析
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些．
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图(如下图)看，超几何分布更集中在均值附近．
探究新知
二项分布与超几何分布区别和联系
1.区别：一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的
模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.
2.联系：当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可
视其为二项分布.
随堂限时小练
B
解
随堂限时小练
解
随堂限时小练
3、老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，求抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值；
解析

2 3

随堂限时小练
解
随堂限时小练
解
课堂小结
超几何分布

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