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2025--2026年 高三数学一轮复习人教版A版选择性必修第三册期末综合基础练习试卷1
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．以下是某离散型随机变量的分布列，则实数（ ）
0 1
A． B． C．或 D．1
2．为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数与每平米平均建筑成本（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用和楼层数的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（ ）种
A． B． C． D．
4．从 9 名同学中选出 4 人去参加环保活动， 若甲、乙两名同学至少有 1 名位参加， 则选派方案共有（ ）
A．56 种 B．70 种 C．91 种 D．126 种
5．根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（ ）
A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌
B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌
C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者
D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%
6．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　)
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
7．若的展开式中常数项为，则正整数的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．某校组织校庆活动，由甲、乙、丙三名志愿者负责、、、四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且任务由甲负责，则不同的任务分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题.减少硶排放具有深远的意义.我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一.在这样的大环境下，我国新能源汽车逐渐火爆起来.下表是2022年我国某市1 5月份新能源汽车销量（单位：千辆）与月份的统计数据.
月份 1 2 3 4 5
销量 5 5 m 6 8
现已求得与的经验回归方程为，则（ ）
A．
B．与正相关
C．与的样本相关系数一定小于1
D．由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆
10．已知随机变量，随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
11．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量服从二项分布，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量的方差，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中，的系数是 .（用数字作答）
13．已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么 .
14．在的展开式中有理项的系数的和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
（1）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布；
（2）他能过关的概率．
16．DeepSeek是一种基于人工智能的大型语言模型，它是人们学习、工作与生活的得力助手，但也有部分人认为DeepSeek将在未来取代一部分人的工作．现对300家企业开展调查，统计DeepSeek的应用程度与一年内招聘人数是增加还是减少，得到统计数据如下表所示．
DeepSeek的应用程度 招聘人数减少的企业数 招聘人数增加的企业数 合计
广泛应用 90 70 m
未广泛应用 80 140
合计 150 150 300
（1）求；
（2）记广泛应用DeepSeek的企业招聘人数减少的概率为，求的估计值；
（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度有关？
附：．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17．小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立.
（1）在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率；
（2）若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望.
18．某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120
不满意 150
合计 200
（1）请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系；
（2）若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响.
（i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望；
（ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
参考答案
1．【答案】C
【详解】根据分布列的性质可知：，或，
故选C
2．【答案】C
【详解】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类型，故C正确.
故选C.
3．【答案】D
【详解】区域②有种选择，区域③有种选择，区域①和④各有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为种.
故选D.
4．【答案】C
【详解】从 9 名同学中选出 4 人去参加环保活动共有种，
甲、乙两名同学都不参加共有种，
若甲、乙两名同学至少有 1 名位参加有种，
故选C
5．【答案】D
【详解】由，得吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，D正确；
卡方检验仅说明吸烟与患肺癌两个变量间的关联性，无法量化个体情况，这两个变量间也无因果关系，ABC错误.
故选D
6．【答案】C
【详解】解法一:甲、乙两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有=120(种),故选C.
解法二:甲、乙从6种课外读物中各自选读2种,选法有×=225(种),其中,甲、乙选读的读物完全相同的选法有=15(种),甲、乙选读的读物完全不同的选法有×=90(种),因此所求选法共有225-15-90=120(种).故选C.
解法三:从6种课外读物中任选3种,选法有=20(种),然后把这3种读物分别安排为两人共同的读物、甲的读物、乙的读物,排列方法有3!种,因此所求选法共有×3!=120(种).故选C.
7．【答案】A
【详解】解：二项式展开式的通项为，
所以且，
显然且为整数，即为的倍数，故排除B、C，
又为的因数，所以或，
当时，此时，不符合题意；
当时，此时符合题意.
故选A
8．【答案】B
【详解】若甲负责两个任务，则甲还需从、、三个任务中挑选一个任务，
剩余两个任务排给乙、丙两人，此时有种分配方法；
若甲只负责任务，则需将、、三个任务分为两组，再分配给乙、丙两人，
此时，有种不同的分配方法.
由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为种.
故选B.
9．【答案】ABC
【详解】由，，
代入中有：，故A正确；
由线性回归系数，所以与正相关，故B正确；
由样本点不全在线性回归方程上，则与的样本相关系数一定小于1，故C正确，
将代入线性回归方程中得：，
故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D不正确，
故选ABC.
10．【答案】BCD
【详解】对A，，故A错误；
对B，因为，所以，故B正确；
对C，.
对D，.
故选BCD.
11．【答案】BC
【详解】若随机变量服从两点分布，，则，A错，
若随机变量服从二项分布，则，B对，
若随机变量服从二项分布，则，C对，
若随机变量的方差，则，D错，
故选BC.
12．【答案】8
【详解】的展开式的通项为，
令，得，所以的系数为.
13．【答案】0
【详解】因为随机变量X服从两点分布，，
所以，
所以，
因为，所以
14．【答案】
【详解】的展开式的通项为，
当时，展开式为有理项，
所以展开式中有理项的系数的和为.
15．【答案】（1）见详解；（2）．
【详解】（1）解：记抽到他会背诵的古诗词的数量为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，所以，．
所以，，，
，.
X的概率分布列为
X 0 1 2 3
p
（2）解：他能过关的概率为．
16．【答案】（1），；
（2）；
（3）认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关，理由见详解．
【详解】（1），．
（2）根据统计数据，广泛应用DeepSeek的企业有160家，其中招聘人数减少的有90家，
因此用频率估计概率，估计．
（3）零假设：企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关．
因为，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关．
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，
小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件，
，
故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为，
（2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王），
则，
由数学期望的性质可知，
对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布，
；
；
则.
18．【答案】（1）列联表见详解，推断犯错误的概率不大于0.001
（2）（i）；（ii）12
【详解】（1）列联表如下：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120 30 150
不满意 80 70 150
合计 200 100 300
零假设为：满意程度与性别无关，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）（i）依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”，
则，，，
所以
，
依题意，，所以；
（ii）依题意，，，
若最大，则，
解得，因为，所以，
所以取最大值时的值为12.
19．【答案】（1）
（2）
（3）分布列见详解；期望为
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知，即，
所以．
（3）由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　)
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．5 C． D．10
4．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A．31 B．30 C．29 D．28
5．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　）
A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
6．在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0．3，需要更换元件的概率为0．2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数.
第x天 1 2 3 4 5
新增y人 2 3 5 8 12
已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（ ）
A． B． C． D．
8．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生 女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ）
附：，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，事件B为“只有甲同学一人报名‘关怀老人’项目”，则(　　)
A．四名同学的报名情况共有34种
B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种
C．“四名同学最终只报名了两个项目”的概率是
D．P(B|A)＝
10．甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点C1出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”,即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点,紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出,进而达到该棱的另一端点,按此规律一直进行,其中每经过一条棱称为一次移动,并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径,比如“一笔画”路径C1→B1→A1→A→C．若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱,则称该路径为完美路径,否则为不完美路径.下列说法正确的有 (　　)
A．若“一笔画”路径为完美路径,则甲不可能6次移动后回到点C1
B．经过4次移动后仍在点C1的概率为
C．若“一笔画”路径为完美路径,则5次移动后回到点C1有5条不同笔迹
D．经过3次移动后,到达点A1的条件下经过点C的概率为
11．以下四个命题中，真命题的有（ ）
A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；
B．回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；
C．对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大．
D．已知随机变量服从二项分布，若，则．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中的系数为______（用数字作答）.
13．在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是
14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
（1） 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值；
（2） 根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：，
.
16．（13分）
为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物（单位:只）试验,得到如下列联表:
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80
服用 150 70 220
合计 250 400
（1） 求,；
（2） 记未服用药物A的动物患疾病B的概率为,给出的估计值；
（3） 根据小概率值的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效
附:,
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；
（2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
18．随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用．在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位．且向四个方向移动的概率均为．例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处
（1）设粒子在第2秒末移动到点记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）记第秒末粒子回到原点的概率为．
①求，；
②已知，求．
19．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为.
（1）写出的分布列并计算；
（2）某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值；
（3）定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，得，
故．
故选B
2．【答案】C
【详解】解法一:甲、乙两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有=120(种),故选C.
解法二:甲、乙从6种课外读物中各自选读2种,选法有×=225(种),其中,甲、乙选读的读物完全相同的选法有=15(种),甲、乙选读的读物完全不同的选法有×=90(种),因此所求选法共有225-15-90=120(种).故选C.
解法三:从6种课外读物中任选3种,选法有=20(种),然后把这3种读物分别安排为两人共同的读物、甲的读物、乙的读物,排列方法有3!种,因此所求选法共有×3!=120(种).故选C.
3．【答案】C
【详解】二项展开式的通项为.
令，得，则的系数为，故选.
4．【答案】C
【详解】令得，解得，
二项式的展开式的通项公式为且，
所以当时，；当时，，
所以二项式展开式中含的项为，
所以二项式展开式中的系数为.
故选C.
5．【答案】A
【详解】试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A．
考点：本题主要考查分步计数原理的应用．
点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成．
6．【答案】A
【详解】记事件为在某次通电后 有且只有一个需要更换，事件为需要更换，
则，
由条件概率公式可得．
故选A．
7．【答案】D
【详解】由题中的数据可知
所以
所以
所以y关于x的线性回归方程为
故选D
8．【答案】C
【详解】根据题意，不妨设，
于是，
由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
根据表格可知，解得，于是最小值为.
故选C
9．【答案】ACD
【详解】由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择，
则报名情况共有3×3×3×3＝34(种)，故A正确；
“每个项目都有人报名”，则必有两人报名同一个项目，故此时报名情况有CCA＝36(种)，故B错误；
“四名同学最终只报名了两个项目”，此时可先选出两个项目，
报名情况为分别有两人报名这两个项目，或者一人报名其中一个，另三人报名另一个项目，
故共有C(C＋CA)＝42(种)报名情况，
则“四名同学最终只报名了两个项目”的概率是＝，故C正确；
事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，有CA＝36(种)报名方法，则 P(A)＝＝，
事件B为“只有甲同学一人报名‘关怀老人’项目”，
若A，B同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”项目，
则有CA＝6(种)报名方法，则P(AB)＝＝，
故P(B|A)＝＝＝，故D正确．
10．【答案】BCD　
【详解】对于A,沿C1→B1→A1→A→B→C→C1路线即可移动6次后回到点C1,故A错误;对于B,若存在重复路线,且有两次移动是回到点C1(提示:如C1→B1→C1→B1→C1,从第三次开始是在重复新一轮的选择再原路返回),可以第一次移动到达点A1,B1,C,第三次移动再从这些移动方式中选,共有9种走法,另外可以先移动两次再原路返回(提示:如C1→B1→A1→B1→C1,从第三次开始原路返回),第一次移动可能到达点A1,B1,C,每个点在第二次移动时都有两种移动方式,共有6种方式,若不存在重复路线,经过点C由四条棱组成的闭合回路只有C1→A1→A→C→C1,C1→C→A→A1→C1,C1→B1→B→C→C1和C1→C→B→B1→C14种,所以经过4次移动后仍在点C1的概率为·19=（提示:每次移动时选择要到达的一个点的概率均为）,故B正确;对于C,可一一列举,有C1→A1→A→B→B1→C1,C1→A1→A→B→C→C1,C1→A1→B1→B→C→C1,C1→B1→A1→A→C→C1,C1→C→A→B→B1→C1(提示:根据题意可知,移动的起点与终点均为C1,过程中包含4个不同顶点,即从除C1外的5个顶点中选择4个顶点,共5条不同笔迹),共有5条不同笔迹,故C正确.
对于D,先考虑重复路线,前两条路径重复,第一次移动到点A1,B1,C,原路返回,再由点C1移动到点A1,共3条路径,后两条路径重复(即第一次移动到点A1),同理有3条路径,其中C1→A1→C1→A1重复,所以此时共有5条路径,再考虑不重复路径,只有C1→C→A→A11条路径,所以3次移动后到达点A1共有6条路径.记事件A1:从点C1出发,3次移动后到达点A1,事件C:从点C1出发,3次移动时经过点C,则P(A1)=·6,P(A1C)=·2(提示:对应路径为C1→C→A→A1和C1→C→C1→A1),故P(C|A1)==,故D正确.故选BCD.
【一题多解】对于A,C1→A1→B1→B→A→C→C1即为完美路径,且经过6次移动后回到点C1,故A错误;
对于B,若4次均经过某条棱(提示:如C1→B1→C1→B1→C1,即移动时一直在重复往返),P1=×3=;若4次只经过某两条棱,如C1→A1→B1→A1→C1或C1→A1→C1→B1→C1(提示:只经过某两条棱意味着4次移动中有2次是在重复往返),所以P2=××+××=;若经过某四条棱(提示:形成闭环回到点C1),P3=×4=,所以所求概率P=++=,故B正确;对于C,D,同深度解析.故选BCD.　
11．【答案】AB
【详解】对于A，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，A正确；
对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；
对于C，由独立性检验的思想知：值越大，“与有关系”的把握程度越大，C错误．
对于D，，，又，，解得：，D错误．
故选．
12．【答案】
【详解】展开式的通项为，所以的展开式中的系数为.
13．【答案】.
【详解】若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意；
当时，所有项的系数均为正数，
则需满足
即得；
当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数，
则此时需满足
解得，
综上可得的取值范围是.
【规律方法】求解展开式系数的最值问题的思路：设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果．
14．【答案】
【详解】列举法：假设乙固定按照2，4，6，8的顺序，则甲所有的可能如表所示.
从中找均小于2，4，6，8与有3个数字分别小于2，4，6，8的情况，此时甲得0分或1分，符合上述情况的有表中打√的12种情况.
那么甲的总得分不小于2分也有12种情况，由古典概型概率公式得所求概率为（说明：固定乙的顺序，将甲的情况排列出来，去挑选，也可以从中判断甲有2个及以上的数字超过乙的.如果改变乙的顺序，其情况是类似的）.
【一题多解】
不妨设甲四轮比赛中所选卡片顺序固定，即四轮比赛所选卡片依次为1，3，5，7，此时乙有（种）选法.甲可能得0，1，2，3分，但不可能得4分.
当甲得2分时，
若甲第二、三轮的数字大，则有1种选法；
若甲第二、四轮的数字大，则有（种）选法；
若甲第三、四轮的数字大，则有（种）选法，
共有（种）选法.
当甲得3分时，甲第一轮的数字小，其他三轮的数字大，有1种选法.
故甲的总得分不小于2的概率.
15．【答案】（1） 根据题表数据可知，超声波检查结果不正常的有200人，其中患该疾病的有180人，因此估计超声波检查结果不正常者患该疾病的概率（易错：注意该问所求概率中用到的数据，数据找错，计算也就出错）. …………6分
（2） 第一步:给出零假设
零假设为超声波检查结果与患该疾病无关. …………8分
第二步：计算的值并与进行比较
. …………11分
第三步：给出独立性检验的结果
根据小概率值的独立性检验，超声波检查结果与患该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. …………13分
16．【答案】
（1） 【解】第一步：计算的数值
由题意可知，180，············2分
第二步:计算的数值
150.············4分
（2） 第一步:由列联表得出未服用药物A的动物数量以及未服用药物A患疾病B的动物数量
由列联表可得，未服用药物A的动物总共180只，
未服用药物A患疾病B的动物共80只，
第二步:根据古典概型计算概率
所以.············7分
（3） 第一步：提出零假设
零假设药物A对预防疾病B无效.············8分
第二步:根据列联表，计算
由题表中数据，可得，··········11分
第三步:根据临界值表做出判断
所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物A对预防疾病B有效.············13分
17．【答案】（1）
（2）分布列见详解，
（3）选手乙，理由见详解
【详解】（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则．
故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为．
（2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
∴．
（3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴可以认为选手乙晋级的可能性更大．
18．【答案】（1）分布列见详解，
（2）① ，；②
【详解】（1）因在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处，
故在第2秒末可能运动到点各两种情形，各一种情形，有4种情形，共计16种情形，
随机变量表示的取值，故的可能取值为，
对应的概率分别为：，，.
故的分布列为：
数学期望.
（2）① 因第1秒末，粒子等可能地出现在，，，四点，
第2秒末，每个位置的粒子都有的可能回到原点，故；
对于粒子在第4秒末回到原点，分两种情况考虑：
每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形；
每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右，上上下下”，共有种情形.
故.
② 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，
向上移动了步，向下移动了步，
故
，
因，故.
19．【答案】（1）分布列见详解，
（2）50
（3），理由见详解
【详解】（1）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.
从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，
记甲口袋中黑球个数为，则的可能取值有1，2，3，
则，
，
，
所以的分布列为：
1 2 3
即；
（2）根据题设可得不可能同时为1，故，
由于，要使得取到最大值，则使得多出现0个，即甲口袋中的黑球要最快被换成白球，
即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，再第二次还是要从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，
这样经历次可以得到甲口袋中黑球个数为0，此时，
之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交换，此时，则，
我们可以再次从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，得到，则，
这样总可以是间隔一次出现甲口袋中没有黑球，所以的最大值为50；
（3）设表示第次交换后甲口袋中黑球有个的概率，
则，
，
，
，
所以
，
由上可得期望的递推关系：，
变形构造为：，由（1）得，所以，
即数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以当交换次数趋向于无穷时，趋向的值为.
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．展开式中，项的系数为（　　）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
2．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．7
3．的展开式中的系数为（ ）
A．280 B．35 C． D．
4．在一个不透明的容器中装7块形状相同的酥性饼干，其中2块是葱香饼干，2块是芝麻饼干，3块是奶油饼干，每次从中任意抽取1块，抽出的饼干不再放回，则在第1次抽到的不是奶油饼干的条件下，第2次抽到的是奶油饼干的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
6．抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作．若事件，事件，事件C满足，则事件C的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．216种 B．192种 C．180种 D．168种
8．的展开式中，项的系数的相反数为（ ）
A． B． C．15 D．5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
0 1 2
且，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，则下列说法正确的是（ ）
A．若将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，则共有256种分配方法
B．若从袋子中不放回地摸出4个球（1次1个），记X为摸出的球中红球的个数，则
C．若从袋子中不放回地依次摸球（1次1个），记Y为最后1个红球被摸出所需的摸球次数，则
D．若从袋子中有放回地依次摸出4次（1次1个），记Z为摸出的红球与黄球的次数之差，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
13．口袋中有大小、形状均相同的3个红球，2个白球，从中任取两个球，则取到的两个球颜色相同的概率为 ．
14．在展开式中，常数项是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员．
（1）设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求；
（2）设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
16．已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等．
（1）求展开式中的系数；
（2）设展开式的所有项的系数和为，展开式的所有偶数项的二项式系数和为，求．
17．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
19．某项比赛近五年的观众人数（单位：万人）与年份的统计数据如表所示：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份编号 1 2 3 4 5
观众人数（万人） 1.7 1.8 2 2.2 2.3
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测2026年的观众人数；
（2）若该比赛的门票有两个等次的票价，某机构随机调查了100位观众的购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为观看比赛的观众是否购买A等票与性别有关．
购买A等票 购买B等票 总计
男性观众 40 55
女性观众 25
总计 100
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为．
，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参考答案
1．【答案】B
【详解】，表示5个相乘，
展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，
第二种是中选出4个和1个，
所以展开式中含有项有和，
所以项的系数为,
故答案为：B
2．【答案】A
【详解】在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，
它的展开式共计有项，，
故二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得在的展开式中的系数为，
故选A．
3．【答案】D
【详解】的展开式中的系数为.
故选D.
4．【答案】C
【详解】令事件表示第1次抽到的不是奶油饼干，事件表示第2次抽到的是奶油饼干，
所以，，所以，
故选C.
5．【答案】A
【详解】由题意：
，
可由偶函数的图象向右平移1个单位得到，所以函数的对称轴为,
故选A.
6．【答案】A
【详解】根据题意，得到,,则，
当，，等式成立；
当，，；
C中含6，从1,2,3,5的4个元素中选3个，共种.
同理，当也有4种，共种.
故选A.
7．【答案】D
【详解】先对染色，有种方法，若2和3同色，则不同的染色方法有72种；
若2和3不同色，则不同的染色方法有种．
综上所述，不同的染色方法有种．
故选D.
8．【答案】D
【详解】二项展开式的通项为，
要得到项，有两类方法：
第一类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘，
由得，，即，则系数为；
第二类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘，
由得，，即，则项的系数为；
综上可知，展开式中的系数为.
所以项的系数的相反数为.
故选D.
9．【答案】AD
【详解】根据分布列性质以及可得，
解得，，可知A正确，B错误；
所以，即C错误；
则，即D正确.
故选AD
10．【答案】ABD
【详解】，，
两曲线分别关于直线对称，由图可知，故A正确；
又，所以，故B正确；
又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故C错误；
又，所以，故D正确；
故选ABD.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，
则共有种分配方法，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，可取，则，
，，
，
故，故C正确；
对于D，设为摸出的红球的个数，则，
而，故，故，
故D正确；
故选BCD.
12．【答案】24
【详解】二项式的展开式中的常数项为.
13．【答案】/0.5
【详解】从5个球中任取2个球的结果有个，取到同色球的结果个，
所以取到的两个球颜色相同的概率为.
14．【答案】
【详解】的展开式通项，
展开式的常数必使，此时，，
所求常数项为.
15．【答案】（1）
（2）分布列见详解，2
【详解】（1）依题意，
所以.
（2）依题意，的所有可能取值为1，2，3，
所以，
，，
所以的分布列为
1 2 3
所以．
16．【答案】（1）－1320；
（2）1023.
【详解】（1）∵第4项和第9项的二项式系数相等，
∴，则，
展开式通项公式是，，
令，解得，
∴x的系数为；
（2）在中令得，即为所有项的系数和，
展开式的所有偶数项的二项式系数和为，
∴．
【易错警示】解答此类问题应掌握(a＋b)n的展开式中各项的二项式系数的和为2n，且奇数项二项式系数和与偶数项二项式系数和都等于2n-1.
17．【答案】（1）；
（2）超声波检查结果与患该疾病有关.
【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以p的估计值为.
（2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.
18．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（ⅰ）；（ⅱ）46.24
【详解】（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6.8=100.6.
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值
=576.6，
年利润的预报值.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当=，即时，取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.
19．【答案】（1）；2.48万人
（2）填表见详解；有的把握认为观看比赛的观众是否购买A等票与性别有关
【详解】（1）由表格知，
所以，
，
则，因此，
故关于的线性回归方程为
易知2026年的年份编号为6，当时，，
估计2026年观众人数将达到2.48万人．
（2）依题意，补充列联表如下：
A等票 B等票 总计
男性 40 15 55
女性 20 25 45
总计 60 40 100
零假设为：观看比赛的观众是否购买A等票与性别无关；
易知，
根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立；
故有的把握认为观看比赛的观众是否购买A等票与性别有关.
第 page number 页，共 number of pages 页
第 page number 页，共 number of pages 页2025--2026年 高三数学一轮复习人教版A版选择性必修第三册期末综合提高练习试卷1
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　)
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
3．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　）
A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
4．在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0．3，需要更换元件的概率为0．2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
6．(x+y)5的展开式中x3y3的系数为 (　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
7．甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有 (　　)
A．20种 B．16种
C．12种 D．8种
8．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生 女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ）
附：，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点C1出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”,即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点,紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出,进而达到该棱的另一端点,按此规律一直进行,其中每经过一条棱称为一次移动,并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径,比如“一笔画”路径C1→B1→A1→A→C．若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱,则称该路径为完美路径,否则为不完美路径.下列说法正确的有 (　　)
A．若“一笔画”路径为完美路径,则甲不可能6次移动后回到点C1
B．经过4次移动后仍在点C1的概率为
C．若“一笔画”路径为完美路径,则5次移动后回到点C1有5条不同笔迹
D．经过3次移动后,到达点A1的条件下经过点C的概率为
10．以下四个命题中，真命题的有（ ）
A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；
B．回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；
C．对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大．
D．已知随机变量服从二项分布，若，则．
11．设，，，则下列结论正确的是( )
A．
B．当时，
C．若，，则
D．当，时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，则 .
13．的展开式中的系数为______（用数字作答）.
14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
（1） 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值；
（2） 根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：，
.
16．在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；
（2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
17．若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合.
（1）若是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
（2）从集合中任意取出两个数列，记.
①求随机变量的分布列，并证明：；
②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且.若，比较与的大小.
18．随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用．在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位．且向四个方向移动的概率均为．例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处
（1）设粒子在第2秒末移动到点记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）记第秒末粒子回到原点的概率为．
①求，；
②已知，求．
19．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为.
（1）写出的分布列并计算；
（2）某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值；
（3）定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，得，
故．
故选B
2．【答案】C
【详解】解法一:甲、乙两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有=120(种),故选C.
解法二:甲、乙从6种课外读物中各自选读2种,选法有×=225(种),其中,甲、乙选读的读物完全相同的选法有=15(种),甲、乙选读的读物完全不同的选法有×=90(种),因此所求选法共有225-15-90=120(种).故选C.
解法三:从6种课外读物中任选3种,选法有=20(种),然后把这3种读物分别安排为两人共同的读物、甲的读物、乙的读物,排列方法有3!种,因此所求选法共有×3!=120(种).故选C.
3．【答案】A
【详解】试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A．
考点：本题主要考查分步计数原理的应用．
点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成．
4．【答案】A
【详解】记事件为在某次通电后 有且只有一个需要更换，事件为需要更换，
则，
由条件概率公式可得．
故选A．
5．【答案】B
【详解】①恰有个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的个部门取出，有种；
第二步，从个旅游地中选出个排序，有种，
根据分步计数原理可得，方法有种；
②四个部门所选的旅游地都不相同的方法有种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种．
故选B
6．【答案】C
【详解】因为(x+y)5=x(x+y)5+(x+y)5,(x+y)5的通项为x5-ryr(r=0,1,2,3,4,5),所以x(x+y)5的展开式中x3y3的系数为=10,·(x+y)5的展开式中x3y3的系数为=5.所以(x+y)5的展开式中x3y3的系数为10+5=15.故选C.
7．【答案】B
【详解】因为乙和丙之间恰有2人,所以乙、丙及中间2人占据首四位或尾四位.
①若乙、丙及中间2人占据首四位,此时还剩末位,故甲在乙、丙中间,排乙、丙有种方法,排甲有种方法,剩余两个位置两人全排列有种排法,所以有=8(种)排法;
②若乙、丙及中间2人占据尾四位,此时还剩首位,故甲在乙、丙中间,排乙、丙有种方法,排甲有种方法,剩余两个位置两人全排列有种排法,所以有=8(种)排法.
由分类加法计数原理可知,一共有8+8=16(种)排法.故选B.
【快解】因为甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,所以甲一定在乙和丙中间,否则甲就要在两端,共有=16(种)排法.故选B.
8．【答案】C
【详解】根据题意，不妨设，
于是，
由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
根据表格可知，解得，于是最小值为.
故选C
9．【答案】BCD　
【详解】对于A,沿C1→B1→A1→A→B→C→C1路线即可移动6次后回到点C1,故A错误;对于B,若存在重复路线,且有两次移动是回到点C1(提示:如C1→B1→C1→B1→C1,从第三次开始是在重复新一轮的选择再原路返回),可以第一次移动到达点A1,B1,C,第三次移动再从这些移动方式中选,共有9种走法,另外可以先移动两次再原路返回(提示:如C1→B1→A1→B1→C1,从第三次开始原路返回),第一次移动可能到达点A1,B1,C,每个点在第二次移动时都有两种移动方式,共有6种方式,若不存在重复路线,经过点C由四条棱组成的闭合回路只有C1→A1→A→C→C1,C1→C→A→A1→C1,C1→B1→B→C→C1和C1→C→B→B1→C14种,所以经过4次移动后仍在点C1的概率为·19=（提示:每次移动时选择要到达的一个点的概率均为）,故B正确;对于C,可一一列举,有C1→A1→A→B→B1→C1,C1→A1→A→B→C→C1,C1→A1→B1→B→C→C1,C1→B1→A1→A→C→C1,C1→C→A→B→B1→C1(提示:根据题意可知,移动的起点与终点均为C1,过程中包含4个不同顶点,即从除C1外的5个顶点中选择4个顶点,共5条不同笔迹),共有5条不同笔迹,故C正确.
对于D,先考虑重复路线,前两条路径重复,第一次移动到点A1,B1,C,原路返回,再由点C1移动到点A1,共3条路径,后两条路径重复(即第一次移动到点A1),同理有3条路径,其中C1→A1→C1→A1重复,所以此时共有5条路径,再考虑不重复路径,只有C1→C→A→A11条路径,所以3次移动后到达点A1共有6条路径.记事件A1:从点C1出发,3次移动后到达点A1,事件C:从点C1出发,3次移动时经过点C,则P(A1)=·6,P(A1C)=·2(提示:对应路径为C1→C→A→A1和C1→C→C1→A1),故P(C|A1)==,故D正确.故选BCD.
【一题多解】对于A,C1→A1→B1→B→A→C→C1即为完美路径,且经过6次移动后回到点C1,故A错误;
对于B,若4次均经过某条棱(提示:如C1→B1→C1→B1→C1,即移动时一直在重复往返),P1=×3=;若4次只经过某两条棱,如C1→A1→B1→A1→C1或C1→A1→C1→B1→C1(提示:只经过某两条棱意味着4次移动中有2次是在重复往返),所以P2=××+××=;若经过某四条棱(提示:形成闭环回到点C1),P3=×4=,所以所求概率P=++=,故B正确;对于C,D,同深度解析.故选BCD.　
10．【答案】AB
【详解】对于A，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，A正确；
对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；
对于C，由独立性检验的思想知：值越大，“与有关系”的把握程度越大，C错误．
对于D，，，又，，解得：，D错误．
故选．
11．【答案】ACD
【详解】对于，令，得，令，得，
两式作差，得，正确；
对于，当时，，
，
令，得，错误；
对于，展开式的通项为，
由得
即
解得，
又，故，正确；
对于，当，时，，
，
又，故，正确.
故选．
12．【答案】
【详解】由题意，
，
由通项公式可知：.
13．【答案】
【详解】展开式的通项为，所以的展开式中的系数为.
14．【答案】
【详解】列举法：假设乙固定按照2，4，6，8的顺序，则甲所有的可能如表所示.
从中找均小于2，4，6，8与有3个数字分别小于2，4，6，8的情况，此时甲得0分或1分，符合上述情况的有表中打√的12种情况.
那么甲的总得分不小于2分也有12种情况，由古典概型概率公式得所求概率为（说明：固定乙的顺序，将甲的情况排列出来，去挑选，也可以从中判断甲有2个及以上的数字超过乙的.如果改变乙的顺序，其情况是类似的）.
【一题多解】
不妨设甲四轮比赛中所选卡片顺序固定，即四轮比赛所选卡片依次为1，3，5，7，此时乙有（种）选法.甲可能得0，1，2，3分，但不可能得4分.
当甲得2分时，
若甲第二、三轮的数字大，则有1种选法；
若甲第二、四轮的数字大，则有（种）选法；
若甲第三、四轮的数字大，则有（种）选法，
共有（种）选法.
当甲得3分时，甲第一轮的数字小，其他三轮的数字大，有1种选法.
故甲的总得分不小于2的概率.
15．【答案】（1） 根据题表数据可知，超声波检查结果不正常的有200人，其中患该疾病的有180人，因此估计超声波检查结果不正常者患该疾病的概率（易错：注意该问所求概率中用到的数据，数据找错，计算也就出错）. …………6分
（2） 第一步:给出零假设
零假设为超声波检查结果与患该疾病无关. …………8分
第二步：计算的值并与进行比较
. …………11分
第三步：给出独立性检验的结果
根据小概率值的独立性检验，超声波检查结果与患该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. …………13分
16．【答案】（1）
（2）分布列见详解，
（3）选手乙，理由见详解
【详解】（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则．
故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为．
（2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
∴．
（3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴可以认为选手乙晋级的可能性更大．
17．【答案】（1）0.
（2）①分布列见详解，见详解；②
【详解】（1）因为是12项数列，当且仅当时，，
所以当和时，.设数列的所有项的和为S，
则
，所以数列的所有项的和为0.
（2）①因为数列是从集合中任意取出两个数列，所以，数列为项数列所以，的可能取值为：当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，
又因为集合中元素的个数共有个，
所以，，
所以，的分布列为：
1 2
因为，
所以，
②由题知，所以，，
所以，，
所以，即，
所以，，即
18．【答案】（1）分布列见详解，
（2）① ，；②
【详解】（1）因在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处，
故在第2秒末可能运动到点各两种情形，各一种情形，有4种情形，共计16种情形，
随机变量表示的取值，故的可能取值为，
对应的概率分别为：，，.
故的分布列为：
数学期望.
（2）① 因第1秒末，粒子等可能地出现在，，，四点，
第2秒末，每个位置的粒子都有的可能回到原点，故；
对于粒子在第4秒末回到原点，分两种情况考虑：
每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形；
每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右，上上下下”，共有种情形.
故.
② 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，
向上移动了步，向下移动了步，
故
，
因，故.
19．【答案】（1）分布列见详解，
（2）50
（3），理由见详解
【详解】（1）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.
从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，
记甲口袋中黑球个数为，则的可能取值有1，2，3，
则，
，
，
所以的分布列为：
1 2 3
即；
（2）根据题设可得不可能同时为1，故，
由于，要使得取到最大值，则使得多出现0个，即甲口袋中的黑球要最快被换成白球，
即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，再第二次还是要从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，
这样经历次可以得到甲口袋中黑球个数为0，此时，
之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交换，此时，则，
我们可以再次从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，得到，则，
这样总可以是间隔一次出现甲口袋中没有黑球，所以的最大值为50；
（3）设表示第次交换后甲口袋中黑球有个的概率，
则，
，
，
，
所以
，
由上可得期望的递推关系：，
变形构造为：，由（1）得，所以，
即数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以当交换次数趋向于无穷时，趋向的值为.
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第 page number 页，共 number of pages 页2025--2026年 高三数学一轮复习人教版A版选择性必修第三册期末综合提高练习试卷2
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．三个家庭分别从承德避暑山庄、北戴河、野山坡百里峡、白石山这四个景点中选择一个景点旅游，则不同的选择方法共有（ ）
A．256种 B．24种 C．64种 D．81种
2．用两种不同的颜色对下列图形中的三个区域进行着色，相邻两个区域颜色不同，所有不同的着色方法数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．样本点数据大致呈线性分布，其经验回归方程为，若，数据的80%分位数为7，则当时，随机误差的残差为：（ ）．
A．-0.5 B．0.5 C．-1.5 D．1.5
4．已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）.
A．32种 B．64种 C．96种 D．144种
6．由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（ ）

A．15种 B．30种 C．48种 D．60种
7．抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．记事件A：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件B：“两枚骰子的点数之和是6”，则（ ）
A． B． C． D．
8．现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．五人进行丢骰子游戏，最后统计每人所丢骰子的点数之和，点数之和最大的获胜．已知每人每次丢完后都等可能地随机传向另外4人中的1人．第1次由将骰子传出，记第次传骰子之后骰子在或手上的概率为，记第次传骰子之后骰子在手上的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ）
A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为
B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为
C．经过6次试验后试验停止的概率为
D．经过6次试验后试验停止的概率最大
11．，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得的数据列于表中．已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则 ．
色差x 21 23 25 27
色度y 15 18 19 20
13．的展开式中的系数为 .
14． 只灯泡中含有 只不合格品，若从中一次任取 只，记“恰好含有 只不合格品”的概率为 ，当 取得最大值时， _________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
（2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为﹔前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐．
（1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率；
（2）求w同学与s同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率；
（3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数．
17．为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70％．
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
（1）求图1中m的值；
（2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？
（3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望．
附：，．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为，答错的概率都为，且每次答对与否相互独立.记第次答题得分为.
（1）求；
（2）求（）的分布列和期望；
（3）在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.
19．2025年5月下旬，为全面掌握学生学业水平，科学制定备考策略，某科研组织精心组织了一次针对高二年级的全市联合考试，研究发现，本次检测的数学成绩近似服从正态分布.
（1）按以往的统计数据，数学成绩能达到特殊招生分数线要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到特殊招生分数线的数学成绩大约是多少分 （精确到个位）（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于值是指总体取值小于概率，即.参考数据：，）.
（2）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查早恋现象对数学测试成绩的影响，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.你能否估算出中学生早恋人数的百分比
（3）有一天，柏拉图问苏格拉底：“什么是爱情？”苏格拉底微笑着让他去麦田里摘一株最大最好的麦穗回来，并且规定只能摘一次，而且只能往前走，不能回头.柏拉图充满信心地走进麦田，可过了很久他却垂头丧气地空手而归.他对苏格拉底说：“很难得看见一株不错的，却不知道是不是最好的，因为只可以摘一株，无奈只好放弃；于是，再往前走，看看有没有更好的，可是我越往前走，越发觉不如以前见到的好，所以我没有摘；当已经走到尽头时，才发觉原来最大的最饱满的麦穗早已错过了，只好空手而归.”这时，苏格拉底意味深长地说：“这就是‘爱情’.”
为了摆脱“麦穗困境”，找到最优伴侣，龙龙同学准备采用“前半观察，后半选择”的策略，即：前次心动不行动，自第次心动开始，只要发现比他前面见过所有的都优秀，就大胆行动，否则就在第20次心动再行动.为了使龙龙选择到最优伴侣的概率最大，求的取值.（以下可能会用到：，）
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意可知三个家庭中，每个家庭都有种选择方法，
由分步乘法计数原理得，共有种不同的选择方法．
故选C.
2．【答案】A
【详解】第一步先对第一块区域着色有2种方法，第二步对中间区域着色有1种方法，
第三步对最后一块区域着色有1种方法，所以共有2种方法.
故选A
3．【答案】B
【详解】将从小到大排列，，所以，预测值为，
所以残差为观测值-预测值=6-5.5=0.5
故选B．
4．【答案】D
【详解】设的展开式中，通项为，，
由，所以.
由.
故选D
5．【答案】D
【详解】2位老师不能分开，即将他们捆绑为一个整体，2位老师的顺序可交换，有种排法，
老师不排在首尾，由于将2位老师看成一个整体了，与4名学生一共是5个位置在排列，
2位老师不能选首尾的2个的位置，只能选中间的3个位置中的一个，2位老师选定后，剩下4名学生在4个位置全排列，
所以有种排法，
根据分步乘法计数原理，不同的排法一共有种.
故选D.
6．【答案】D
【详解】根据题意，一只蚂蚁从点出发，沿木棍爬行到点，
要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，共计6步，
则爬行的路径共有：不同的路径.
故选D.
7．【答案】C
【详解】事件含有的基本事件数为，
事件含有红1蓝5和红2蓝4两个基本事件，
所以．
故选C
8．【答案】A
【详解】设“甲乙丙之间恰有两人相邻”，“甲乙丙三人均相邻”
则，，故在有两人相邻坐的条件下，三人均相邻的概率为
，
故选A.
9．【答案】AC
【详解】由题意可得，第1次由将骰子传出，传到或手上的概率为，故A正确；
设第次传到或手上的概率为，则次传到或手上的概率为，
则，即，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，故C正确；
当时，，故B错误；
同理第次传到手上的概率为，则次传到手上的概率为，
则，即，
因为，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，故D错误.
故选AC
10．【答案】ABC
【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则.
从箱子中不放回地抽球，记“第次抽到白球”，记“第次抽到红球”，“第次硬币正面朝上且抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到红球”，
对于A项,，
经过两次实验后，实验者手中恰好有2个白球的概率为：，故A正确；
对于B项，已知第一次拿到白球，第二次拿到红球的概率为：,故B正确；
对于C项，实验6次结束，则前5次有4次硬币正面朝上，第6次硬币正面朝上，故其概率为：，故C正确；
对于D项，实验次结束的概率为，则，，
令，得化简可得，解得，即，
所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，故D错误.
故选ABC
11．【答案】ABD
【详解】由已知二项式的展开式通项为，
令，可得，A选项正确；
由，
令，得，B选项正确；
根据二项式定理可知等于将展开后所有项的系数和，
将代入，可得，C选项错误；
设，
则令，可得，
且，
令，可得；
则，D选项正确；
故选ABD.
12．【答案】21.6
【详解】由题意可知，，，
将代入，得，解得，所以.
当时，，则．
13．【答案】14
【详解】展开式的通项是，
分别令得，
所以展开式中项为，所以展开式中的系数为14.
14．【答案】
【详解】由题意， ，
由 ， ，
可得 ， ，
．
故答案为： ．
15．【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；
（2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
，
，
，
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，
则，
，
，
所以比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
，
则，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为．
16．【答案】（1）
（2）
（3）人
【详解】（1）记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”，
则﹔
（2）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，
则，
记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”，
则．
（3）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，
则，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，则，
当时，
所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人．
17．【答案】（1）
（2）表格见详解，有
（3）分布列见详解， 0.7
【详解】（1）由题意可得，
解得；
（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，
经常整理错题且成绩优秀的有人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
由于，所以在犯错误的概率不超过5的前提下，
可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联；
（3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，
不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，
则
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件
则，，，，
，，
，
，
，
故X的分布列如下：
X 0 1 2
P
则可得X的数学期望为．
18．【答案】（1）
（2）分别列见详解，
（3）方案②
【详解】（1）由题意可知表示事件“第1次答错，第2，3次均答对”，
（2）可取且表示事件“第次答错”，
所以，
当时，，
表示事件“第次答错，第次均答对”，
所以，，
表示事件“第次都答对”
，
所以
所以的分布列为：
1 2 4
（3）若选择方案①，只可能为2，4，即:，
表示事件“第1次答错，第2次答对”，
表示事件“第2次答错，第3、4次均答对"，
因为、互斥，所以
若选择方案②，只可能为1，2，4，即:，
表示事件“第1次答对”；
表示事件“第1、2次均答对”，
而第1次答对的话，游戏已结束，故不需要考虑这种情况；
表示事件“第1次答错，第2，3，4次均答对”；
因为与互斥，所以
，
所以应该选择方案②.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由，根据公式,
其中.
解得，由参考数据，
可得，解得.
因此，特殊招生分数线的数学成绩约为 87 分;
（2）两球同色的概率为，则两球异色的概率为，
回答问题①且回答“是”的概率，
摸到同色时回答第一个问题（学籍号最后一位是奇数），概率为 （假设学籍号均匀分布）.
摸到异色时回答第二个问题（是否有早恋），设早恋比例为 ，则 .
回答“是”的总概率为：
.
实际收到 78 个小石子，样本量为 300，所以回答“是”的样本比例为：
,所以
因此，中学生早恋人数的百分比约为 5%；
（3）最优伴侣在前 次出现：如果最优伴侣在前 次出现，龙龙不会选择（因为前 次不行动），因此概率贡献为 0.
最优伴侣在第 次出现（)：为了在第次选择最优伴侣，必须满足：
最优伴侣在第 次出现，且前 次中的最优伴侣出现在前 次中（否则龙龙会在 之前选择）.
因此，条件概率为 .
龙龙选择到最优伴侣的总概率 ：最优伴侣出现在任何位置的概率是.
对于 ，选中最优伴侣的概率是 .
因此：
根据提示，，所以：.
为最大化 ，考虑函数 .
求导：
令 ：,,
∵,
∴,∴.
当时,单调递增，当时,单调递减，
由于 为整数，比较 和 ：
当：,
比较 ，且其他 值（如 ) 均小于 ，故 时概率最大.
因此， 时概率最大.
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第 page number 页，共 number of pages 页2025--2026年 高三数学一轮复习人教版A版选择性必修第三册期末综合提高练习试卷3
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
非一线 一线 总计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
由，得.
参照下表，
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
2．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
3．已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
4．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B． C．15 D．120
5．已知随机变量的分布列为：
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
6．从正十边形的各顶点中任选3个，则选中的3个点能构成直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．近年来，越来越多的游客来参观抚州市的大觉山、流坑古村、麻姑山、黎川古城、竹桥古村、曹山景区等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往大觉山”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（ ）
A． B． C． D．
8．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为，某天在嘈杂环境下进行了10次测试试验，若测试结果为语音识别成功，则记2分，否则记分，且每次测试成功与否相互独立．记这10次测试试验的总得分为，则当取得最大值时，实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1
B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望
C．若随机变量，当μ不变时，σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
D．经验回归方程相对于点的残差为
10．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ）
A．
B．第8行所有数字之和为256
C．
D．记第20，21行数字的最大值分别为，则
11．，，，，五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若，两人站在一起有种方法
B．若，不相邻共有种方法
C．若在左边有种排法
D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机变量，若，则的值为 ；若，，则 ．
13．某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是 名.
附：若随机变量服从正态分布，则，
14．一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某职业技能资格考试包含三个模块，规定前两个模块至少有一个合格才能继续参加第三个模块，否则考试结束.已知考生小王完成前两个模块合格的概率均为，且前两个模块考试结果互不影响.若前两个模块都合格，则第三个模块合格的概率为，若前两个模块仅有一个合格，则第三个模块合格的概率为.
（1）求小王能参加第三个模块的概率；
（2）记为小王考试合格的模块数，求的分布列和期望.
16．在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；
（2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
17．某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）求的通项公式；
（3）证明：.
参考公式：若，是离散型随机变量，则.
18．随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用．在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位．且向四个方向移动的概率均为．例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处
（1）设粒子在第2秒末移动到点记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）记第秒末粒子回到原点的概率为．
①求，；
②已知，求．
19．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为.
（1）写出的分布列并计算；
（2）某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值；
（3）定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】由题可知，对照表格检验独立性.
【详解】因为，所以有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，
故选C.
2．【答案】C
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选C.
3．【答案】B
【详解】由题意，得.
因为，所以，解得，
所以.
故选B.
4．【答案】B
【详解】在的展开式中，需要从个因式中的个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，
所以含的项的系数是.
故选B.
5．【答案】C
【详解】根据分布列的性质，得，解得，
所以随机变量的数学期望为．又，
所以随机变量的数学期望为．
故选C.
6．【答案】B
【详解】
从正十边形的个顶点中任选3个点，共有种选法，
将正十边形看成一个圆的内接正十边形，则选中的3个点能构成直角三角形，即直角所对边为直径，
则任选圆的一条直径共有种选法，直角顶点有种选法，
所以选中的3个点能构成直角三角形的概率为.
故选B.
7．【答案】B
【详解】甲、乙从6处景点各选一处的总情况数为种，
“甲和乙至少有一个人前往大觉山”的对立事件是“甲和乙都不前往大觉山”，
甲不选大觉山有5种选法，乙不选大觉山也有5种选法，
所以甲和乙都不前往陆羽故园的情况数为种，
则，
“甲和乙至少有一个人前往大觉山且甲和乙选择不同的景点”，分两种情况：
（1）甲去大觉山，乙不去，
甲去大觉山有1种选法，乙从除大觉山外的5个景点选有5种选法，
共种情况；
（2）乙去大觉山，甲不去，
乙去大觉山有1种选法，甲从除大觉山外的5个景点选有5种选法，
共种情况，
所以，
所以.
故选B.
8．【答案】D
【详解】设为测试成功的次数，则，有．
因为，
所以，，
所以，其中，
所以当且仅当时，取得最大值．
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A中，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，所以A正确；
对于B中，由随机变量X服从几何分布，可得，其中，，即，所以B正确；
对于C中，根据正态分布参数的意义，越大表示随机变量的分布越分散，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，所以C错误；
对于D中，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，
观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有，
令，可得，所以相对于点的残差为，所以D正确．
故选ABD．
10．【答案】BC
【详解】对于A，，
所以，故A错误；
对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为，
所以第8行所有数字之和为，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，
所以，故D错误.
故选BC.
11．【答案】AC
【详解】对于A，利用“捆绑法”，把两人看成整体与其他3人进行全排，
再考虑两人的顺序，故不同的方法有种，故A正确；
对于B，考虑另外3人的不同站法，再将两人在另外3人留下的4个空位上选两个位置进行插空，
故不同的方法有种，故B错误；
对于C，因排队后与只有两个相同可能性的顺序，故先考虑5人全排，
再取其一半，则不同的方法有种，故C正确；
对于D，依题意，分成两类情况：
①站在最右边，则与3人随便站，有种不同的站法；
②不站在最左边，也不站在最右边，有3种站法，因不站最右边，故有3种站法，
余下3人全排即可，故不同的站法有种；
综上，不同的站法共有种，故D错误.
故选AC.
12．【答案】； .
【详解】因为随机变量，所以直线为正态曲线的对称轴，
而，
由正态分布的对称性可知，解得.
，
又直线为正态曲线的对称轴，所以，
所以，
所以.
13．【答案】1587
【详解】已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，
由题意可得．
，而
即，解得．
甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，
又，即．
学生在甲市本次考试的大致名次为1587名．
14．【答案】60
【详解】易知，所以的上四分位数为第5个数，即；
所以二项式为，
设展开式中的第项为常数项，即为常数项，
令，解得，
即常数项为.
15．【答案】（1）
（2）分布列见详解，
【详解】（1）设“小王能参加第三个模块”，
所以.
（2）由题意知，随机变量的可能取值为.
，
，
，
.
用表格表示的分布列，如表所示：
0 1 2 3
所以.
16．【答案】（1）
（2）分布列见详解，
（3）选手乙，理由见详解
【详解】（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则．
故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为．
（2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
∴．
（3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴可以认为选手乙晋级的可能性更大．
17．【答案】（1）分布列见详解，
（2）（，2，……，）
（3）见详解
【详解】（1）设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件，
，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4.
，
，
，
，
所以的概率分布为
0 2 3 4
（分）.
（2）当时，甲第次在处投篮分两种情形：
①第次在处投篮且投进，这种情形概率为；
②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为.
所以，
故，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，
即，，2，……，.
（3）因为第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为，
记第次得分，则的可能取值为0，2，3，
，
，
，
所以，
因为，
所以
，
因为，
所以.
18．【答案】（1）分布列见详解，
（2）① ，；②
【详解】（1）因在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处，
故在第2秒末可能运动到点各两种情形，各一种情形，有4种情形，共计16种情形，
随机变量表示的取值，故的可能取值为，
对应的概率分别为：，，.
故的分布列为：
数学期望.
（2）① 因第1秒末，粒子等可能地出现在，，，四点，
第2秒末，每个位置的粒子都有的可能回到原点，故；
对于粒子在第4秒末回到原点，分两种情况考虑：
每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形；
每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右，上上下下”，共有种情形.
故.
② 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，
向上移动了步，向下移动了步，
故
，
因，故.
19．【答案】（1）分布列见详解，
（2）50
（3），理由见详解
【详解】（1）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.
从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，
记甲口袋中黑球个数为，则的可能取值有1，2，3，
则，
，
，
所以的分布列为：
1 2 3
即；
（2）根据题设可得不可能同时为1，故，
由于，要使得取到最大值，则使得多出现0个，即甲口袋中的黑球要最快被换成白球，
即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，再第二次还是要从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，
这样经历次可以得到甲口袋中黑球个数为0，此时，
之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交换，此时，则，
我们可以再次从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，得到，则，
这样总可以是间隔一次出现甲口袋中没有黑球，所以的最大值为50；
（3）设表示第次交换后甲口袋中黑球有个的概率，
则，
，
，
，
所以
，
由上可得期望的递推关系：，
变形构造为：，由（1）得，所以，
即数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以当交换次数趋向于无穷时，趋向的值为.
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