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(共27张PPT)
14.3 角的平分线
第一课时 角的平分线的性质
学习目标及重难点
1. 能用尺规作图作一个角的平分线，知道作图的理论依据.
2. 探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何问题.
3. 熟练掌握证明几何命题的一般步骤.
性质
判定
对应边相等、对应角相等
对应中线、角平分线、高线相等
周长相等、面积相等
全等三角形
定义、SAS、ASA、AAS、SSS、HL
前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等. 本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上.
探索1: 角的平分线的尺规作图
角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.
探究1：如图，是的平分线，是上的任意一点，分别是上的点，我们研究与的关系.
C
A
B
O
M
N
P
探究1：研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 在图中，当与满足什么关系时，？
解：当时，.理由如下：
是的平分线，
在△和△中，
C
A
B
O
M
N
P
探究2: 反过来，如图，若分别是的边上的点，点在的内部，，则点的位置有什么特点？
解：点在的平分线上.理由如下：
连接.
在△和△中，
即点在的平分线上.
C
A
B
O
M
N
P
思考: 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗
根据上述结论：
①在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.
②在角的内部作出与这两点距离相等的点.
③以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
C
A
B
O
M
N
P
在内部
作法: 如图，已知.
(1)以点为圆心，适当长为半径 作弧，交于点，交于点
C
A
B
O
M
N
P
在内部
A
B
O
为什么要以适当长为半径画弧线？
以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.
(2)分别以点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点
C
A
B
O
M
N
P
在内部
A
B
O
为什么要以大于 的长为半径画弧？
因为小于 的长为半径画弧时两弧没有交点，等于 的长为半径画弧时不容易操作.
(3) 作射线，则射线 为 的平分线.
C
A
B
O
M
N
P
在内部
A
B
O
第（3）步能否说成“连接”？
“画射线”不能说成“连接”，因为连接得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
作法 如图，已知.
(1)以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点
(2)分别以点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点
(3) 作射线，则射线 为 的平分线.
C
A
B
O
M
N
P
在内部
A
B
O
例1: 已知：，如图所示.
求作： 的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示，射线就是的补角的平分线.
A
O
B
C
E
F
D
已知：平角
求作：平角的平分线.
A
O
B
E
F
C
作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
随堂小练习
探究2：如图，是的平分线.点…在上，过点
分别画与的垂线，垂足分别为与与与分别
比较与与与，你有什么发现
探索2: 角的平分线的性质
C
A
B
O
D1
E1
D2
E2
D3
E3
D4
E4
P1
P2
P3
P4
下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形.
可以发现： ，
，
，…
探究2：如图，是的平分线.点…在上，过点
分别画与的垂线，垂足分别为与与与分别
比较与与与，你有什么发现
猜想：
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
C
A
B
O
D1
E1
D2
E2
D3
E3
D4
E4
P1
P2
P3
P4
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
已知
求证
一个点在一个角的平分线上
这个点到角两边的距离相等
C
A
B
O
D
E
P
如图， 是的平分线，点 在 上，垂足分别为
求证：.
C
A
B
O
D
E
P
如图， 是的平分线，点 在 上，垂足分别为
求证：.
分析：如果能证明△就可以得到
由题意可知，△和△具备“角角边”的条件.
C
A
B
O
D
E
P
如图， 是的平分线，点 在 上，垂足分别为
求证：.
证明 是的平分线，
在△和△中，
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
符号语言：
平分
角的平分线的性质
归纳总结
C
A
B
O
D
E
P
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
注意：1. 所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；
2. 证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等.
1.如图，若平分垂足分别是，，则下列结论中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
C
习题1
2.如图，直线，点分别在直线上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧.交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A.100° B.80°
C.50° D.40°
D
习题2
3.如图，在△中，平分 若，则=_______.
1
习题3
4.如图，在直线 上求作一点，使点在的内部，且点到射线和的距离相等.
作法: (1)以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点
(2)分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点.
(3)作射线，交于点，点即为所求.
习题4
5.如图， 平分，在 上分别取点，使， 为 上一点，垂足分别为
求证：
证明： 平分，
在△ 和△中，
.
即平分
又为上一点，且，
习题5
角的平分线
为证明线段相等提供了又一途径.
性质定理
作一个角的平分线，依据：SSS
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等.
尺规作图

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