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第三课时　分段函数
1.已知函数y＝f（x）表示为
x [－2，0） 0 （0，2]
y 1 0 －2
设f（1）＝m，f（x）的值域为M，则（　　）
A.m＝－2，M＝{－2，0，1}
B.m＝－2，M＝{y｜－2≤y≤1}
C.m＝1，M＝{－2，0，1}
D.m＝1，M＝{y｜－2≤y≤1}
2.已知函数f（x）＝则f（f（3））＝（　　）
A.1 B.3
C.－1 D.－3
3.函数f（x）＝x2－2｜x｜的图象是（　　）
4.已知函数f（x）＝若f（a）＋f（1）＝0，则实数a的值等于（　　）
A.－1 B.－2
C.1 D.3
5.（多选）已知函数f（x）＝关于函数f（x）的结论正确的是（　　）
A.f（x）的最大值为3
B.f（0）＝2
C.若f（x）＝－1，则x＝2
D.f（x）＜2的解集为（－∞，0）∪（1，＋∞）
6.已知函数f（x）＝则f（－1）＝　　　　.
7.已知函数f（x）的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f＝　　　　.
8.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为　　　　.
9.已知f（x）＝
（1）画出f（x）的图象；
（2）若f（x）≥，求x的取值范围；
（3）求f（x）的值域.
10.已知f（x）＝则不等式xf（x）＋x≤2的解集是（　　）
A.{x｜x≤1} B.{x｜x≤2}
C.{x｜0≤x≤1} D.{x｜x＜0}
11.若定义运算a☉b＝则函数f（x）＝x☉（2－x）的值域是　　　　.
12.对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f（x），y＝g（x），规定：函数h（x）＝
（1）若函数f（x）＝－2x＋3，x≥1；g（x）＝x－2，x∈R，写出函数h（x）的解析式；
（2）求（1）中函数h（x）的最大值.
13.2024年3月，某人的工资应纳税所得额是11 000元，纳税标准按如下表格，则他应该纳税　　　　元.
纳税 级数 应纳税所得额 税率 （％）
1 不超过3 000元的部分 3％
2 超过3 000元至12 000元的部分 10％
14.如图，在同一平面上，已知等腰直角三角形纸片ABC的腰长为3，正方形纸片CDEF的边长为1，其中B、C、D三点在同一水平线上依次排列.把正方形纸片向左平移a个单位，0＜a≤3.设两张纸片重叠部分的面积为S.
（1）求S关于a的函数解析式；
（2）若S＝，求a的值.
第三课时　分段函数
1.A　根据题意得f（1）＝－2＝m，f（x）的值域为M＝{－2，0，1}.故选A.
2.D　因为f（x）＝则f（3）＝－＝－1，故f（f（3））＝f（－1）＝－1－2＝－3.故选D.
3.C　f（x）＝分段画出，应选C.
4.B　当a＞0时，由f（a）＋f（1）＝0 a2＋1＝0，该方程无实根；当a≤0时，f（a）＋f（1）＝0 a＋1＋1＝0 a＝－2，显然符合a≤0，故选B.
5.BD　画出函数f（x）＝的图象如图，
可知f（x）≠3，A选项错误；f（0）＝0＋2＝2，B选项正确；当x＜1时，f（x）＝x＋2＝－1，解得x＝－3，当x＞1时，f（x）＝－x2＋3＝－1，解得x＝2，C选项错误；当x＜1时，f（x）＝x＋2＜2，解得x＜0，当x＞1时，f（x）＝－x2＋3＜2，解得x＞1，D选项正确；故选B、D.
6.－1　解析：由题意可知f（－1）＝f（－1＋2）＝f（1）＝2－3＝－1.
7.　解析：由题图可知，函数f（x）的解析式为f（x）＝所以f＝－1＝－，所以f＝f＝－＋1＝.
8.25　解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意.故该公司拟录用25人.
9.解：（1）利用描点法，作出f（x）的图象，如图所示.
（2）由于f＝，结合此函数图象可知，使f（x）≥的x的取值范围是∪.
（3）由图象知，当－1≤x≤1时，f（x）＝x2的值域为[0，1]，
当x＞1或x＜－1时，f（x）＝1.
所以f（x）的值域为[0，1].
10.A　当x≥0时，f（x）＝1，
xf（x）＋x≤2 x≤1，
所以0≤x≤1；
当x＜0时，f（x）＝0，xf（x）＋x≤2 x≤2，
所以x＜0，综上，x≤1.
11.（－∞，1]　解析：由题意知f（x）＝
画出图象，如图所示.
由图易得值域为（－∞，1].
12.解：（1）h（x）＝
（2）当x≥1时，h（x）＝－2x2＋7x－6
＝－2＋，
∴h（x）≤.
当x＜1时，h（x）＜－1，
∴当x＝时，h（x）取最大值且最大值是.
13.890　解析：由题得应纳税3 000×3％＋（11 000－3 000）×10％＝890（元）.
14.解：（1）如图，延长EF交AB于点G，易得Rt△AFG∽Rt△ACB，又AC＝3FC＝3，
则＝＝，
所以FG＝2，
当0＜a≤1时，S＝a；
当1＜a≤2时，S＝1；
当2＜a≤3时，S＝1－（a－2）2＝－＋2a－1.
综上，S＝
（2）由（1）知：在（0，1]上，S＝a＝；
在（2，3]上，S＝－＋2a－1＝，整理得4a2－16a＋15＝（2a－3）（2a－5）＝0，
解得a＝（舍）或a＝.
综上，a＝或a＝.
1 / 2第三课时　分段函数
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、直观想象、数学运算
　　某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
　　（1）5千米以内（含5千米），票价2元；
　　（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米的按5千米计算）.
　　已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途（包括起点站和终点站）有11个汽车站.
【问题】　（1）从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y（元）有函数关系吗？
（2）函数的表达式是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　分段函数
1.分段函数的定义
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有　　　　　　　　　，则称其为分段函数.
2.分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.
3.常数函数
值域　　　　　　元素的函数，通常称为常数函数.
提醒　分段函数应注意4点：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；
②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；
③分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；
④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.
1.已知函数f（x）＝则f（f（－1））的值为（　　）
A.3　　　　　　　 B.0
C.－1 D.－2
2.函数f（x）＝的值域是（　　）
A.R B.[－1，1]
C.{－1，1} D.{－1，0，1}
3.下列图形是函数y＝x｜x｜的图象的是　　　　（填序号）.
题型一 分段函数的定义域、值域
【例1】　（1）已知函数f（x）＝，则其定义域为（　　）
A.R
B.（0，＋∞）
C.（－∞，0）
D.（－∞，0）∪（0，＋∞）
（2）函数f（x）＝的定义域为　　　　，值域为　　　　.
尝试解答
通性通法
1.分段函数定义域、值域的求法
（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；
（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集.
2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
【跟踪训练】
函数f（x）＝的值域是（　　）
A.R　　　　　　　 B.[0，＋∞）
C.[0，3] D.[0，2]∪{3}
题型二 分段函数求值问题
【例2】　已知函数f（x）＝
（1）求f的值；
（2）若f（a）＝，求a的值.
尝试解答
通性通法
分段函数问题的常见解法
（1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值；
（2）已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验；
（3）在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝则f（6）＝（　　）
A.－2　　　　　　　　 B.0
C.1 D.2
2.设f（x）＝若f（x）＝3，则x＝（　　）
A.1 B.±
C. D.
3.设f（x）＝若f（x）＞－1，则实数x的取值范围为（　　）
A.（－∞，－1）
B.（0，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（0，＋∞）
D.（－1，0）
题型三 分段函数的图象及应用
【例3】　分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域.
（1）y＝
（2）y＝
尝试解答
通性通法
分段函数图象的画法
（1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；也可以利用翻折变换作出图象；
（2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝x＋的图象是（　　）
2.设x∈R，则函数y＝2｜x－1｜－3｜x｜的值域为　　　　.
1.19世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数D（x）＝，则D{D[D（π）]}＝（　　）
A.0　　　　　　　 B.1
C.π D.π2
2.函数y＝的图象的大致形状是（　　）
3.若函数f（x）＝则f（2）＝（　　）
A.2　 B.3　
C.4　 D.5
4.（多选）已知函数f（x）＝若f（a）＝10，则a的值可以是 （　　）
A.－3 B.3
C.0 D.5
5.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是　　　　.
第三课时　分段函数
【基础知识·重落实】
知识点
1.不同的对应方式　3.只有一个
自我诊断
1.D　由题意得，f（－1）＝（－1）2－2×（－1）＝3，则f（f（－1））＝f（3）＝－3＋1＝－2.故选D.
2.D　∵函数f（x）＝∴函数值只有三个数：－1，0，1.∴函数f（x）的值域为{－1，0，1}，故选D.
3.④　解析：y＝故只有④符合.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）D　（2）（－1，1）　（－1，1）
解析：（1）要使f（x）有意义，需x≠0，
故定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）由已知定义域为{x｜0＜x＜1}∪{0}∪{x｜－1＜x＜0}＝{x｜－1＜x＜1}，即（－1，1）.又0＜x＜1时，0＜－x2＋1＜1，－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0，x＝0时，f（x）＝0，故值域为（－1，0）∪{0}∪（0，1）＝（－1，1）.
跟踪训练
　D　当x∈[0，1]时，f（x）＝2x2∈[0，2]，所以函数f（x）的值域为[0，2]∪{2，3}＝[0，2]∪{3}.
【例2】　解：（1）因为f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
（2）f（a）＝，若｜a｜≤1，则｜a－1｜－2＝，
得a＝或a＝－.
因为｜a｜≤1，所以a的值不存在；
若｜a｜＞1，则＝，得a＝±，符合｜a｜＞1.
所以若f（a）＝，a的值为±.
跟踪训练
1.A　根据分段函数可知：f（6）＝f（5）＝f（4）＝f（3）＝f（2）＝f（1）＝－2.故选A.
2.D　若即无解；
若即所以x＝；
若即无解.综上x＝.故选D.
3.C　当x≥0时，f（x）＝x－1＞－1，解得x＞0；当x＜0时，f（x）＝＞－1，解得x＜－1.综上，实数x的取值范围为x＜－1或x＞0.故选C.
【例3】　解：各函数对应图象如图所示：
由图象知，（1）的定义域是（0，＋∞），值域是[1，＋∞）.
（2）的定义域是（－∞，＋∞），值域是（－6，6].
跟踪训练
1.C　依题意，知f（x）＝x＋＝所以函数f（x）的图象为选项C中的图象.故选C.
2.（－∞，2]　解析：当x≥1时，y＝2（x－1）－3x＝－x－2；
当0≤x＜1时，y＝－2（x－1）－3x＝－5x＋2；
当x＜0时，y＝－2（x－1）＋3x＝x＋2.
故y＝
根据函数解析式作出函数图象，如图所示.
由图象可以看出，函数的值域为（－∞，2].
随堂检测
1.B　因为π Q，所以D（π）＝0，则D{D[D（π）]}＝D[D（0）]＝D（1）＝1，故选B.
2.A　因为y＝＝所以函数的图象为A.
3.B　∵f（x）＝∴f（2）＝f（2＋2）＝f（4）＝f（4＋2）＝f（6）＝6－3＝3.故选B.
4.AD　当a≤0时，f（a）＝a2＋1＝10，解得a＝3（舍去）或a＝－3，当a＞0时，f（a）＝2a＝10，解得a＝5，符合，综上，a＝－3或5.故选A、D.
5.f（x）＝　解析：由题图可知，f（x）的图象是由两条线段组成的.当－1≤x＜0时，设f（x）＝ax＋b，将（－1，0），（0，1）代入解析式，得解得
当0≤x≤1时，设f（x）＝kx，将（1，－1）代入，得k＝－1.
所以f（x）的解析式为f（x）＝
5 / 5(共59张PPT)
第三课时　分段函数
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能
简单应用 数学抽象、直观想
象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米的按5千米计算）.
　　已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途（包括起点站和终点站）有11个汽车站.
　　某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
　　（1）5千米以内（含5千米），票价2元；
（2）函数的表达式是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【问题】　（1）从起点站出发，公共汽车的行程 x （千米）与票价 y
（元）有函数关系吗？
知识点　分段函数
1. 分段函数的定义
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有
，则称其为分段函数.
不同的对应方式　
2. 分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标
系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段
图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函
数的图象.
3. 常数函数
值域 元素的函数，通常称为常数函数.
提醒　分段函数应注意4点：①分段函数是一个函数，而不是几个
函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从
而选取相应的对应关系；
只有一个　
②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形
式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；
③分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义
域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；
④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的
并集.
1. 已知函数 f （ x ）＝则 f （ f （－1））的值为
（　　）
A. 3 B. 0
C. －1 D. －2
解析：　由题意得， f （－1）＝（－1）2－2×（－1）＝3，则 f
（ f （－1））＝ f （3）＝－3＋1＝－2.故选D.
2. 函数 f （ x ）＝的值域是（　　）
A. R B. [－1，1]
C. {－1，1} D. {－1，0，1}
解析：　∵函数 f （ x ）＝∴函数值只有三个数：－
1，0，1.∴函数 f （ x ）的值域为{－1，0，1}，故选D.
3. 下列图形是函数 y ＝ x ｜ x ｜的图象的是 （填序号）.
解析： y ＝故只有④符合.
④
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分段函数的定义域、值域
【例1】　（1）已知函数 f （ x ）＝ ，则其定义域为（　D　）
A. R B. （0，＋∞）
C. （－∞，0） D. （－∞，0）∪（0，＋∞）
解析：要使 f （ x ）有意义，需 x ≠0，
故定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）函数 f （ x ）＝的定义域为
，值域为 .
解析：由已知定义域为{ x ｜0＜ x ＜1}∪{0}∪{ x ｜－1＜ x ＜0}
＝{ x ｜－1＜ x ＜1}，即（－1，1）.又0＜ x ＜1时，0＜－ x2＋1
＜1，－1＜ x ＜0时，－1＜ x2－1＜0， x ＝0时， f （ x ）＝0，故
值域为（－1，0）∪{0}∪（0，1）＝（－1，1）.
（－1，
1）　
（－1，1）　
通性通法
1. 分段函数定义域、值域的求法
（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；
（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集.
2. 绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝的值域是（　　）
A. R B. [0，＋∞）
C. [0，3] D. [0，2]∪{3}
解析：　当 x ∈[0，1]时， f （ x ）＝2 x2∈[0，2]，所以函数 f （ x ）
的值域为[0，2]∪{2，3}＝[0，2]∪{3}.
题型二 分段函数求值问题
【例2】　已知函数 f （ x ）＝
（1）求 f 的值；
解：因为 f ＝ －2＝－ ，
所以 f ＝ f ＝ ＝ .
（2）若 f （ a ）＝ ，求 a 的值.
解：f （ a ）＝ ，若｜ a ｜≤1，则｜ a －1｜－2＝ ，
得 a ＝ 或 a ＝－ .
因为｜ a ｜≤1，所以 a 的值不存在；
若｜ a ｜＞1，则 ＝ ，得 a ＝± ，符合｜ a ｜＞1.
所以若 f （ a ）＝ ， a 的值为± .
通性通法
分段函数问题的常见解法
（1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属
于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现 f （ f
（ a ））的形式时，应从内到外依次求值；
（2）已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量
的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，
切记要检验；
（3）在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：
先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相
应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝则 f （6）＝（　　）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
解析：　根据分段函数可知： f （6）＝ f （5）＝ f （4）＝ f （3）
＝ f （2）＝ f （1）＝－2.故选A.
2. 设 f （ x ）＝若 f （ x ）＝3，则 x ＝（　　）
A. 1 B. ±
C. D.
解析：　若无解；
若所以 x ＝ ；
若无解.
综上 x ＝ .故选D.
3. 设 f （ x ）＝若 f （ x ）＞－1，则实数 x 的取值范
围为（　　）
A. （－∞，－1）
B. （0，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（0，＋∞）
D. （－1，0）
解析：　当 x ≥0时， f （ x ）＝ x －1＞－1，解得 x ＞0；当 x ＜0
时， f （ x ）＝ ＞－1，解得 x ＜－1.综上，实数 x 的取值范围为 x ＜
－1或 x ＞0.故选C.
题型三 分段函数的图象及应用
【例3】　分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域.
（1） y ＝
解：各函数对应图象如图所示：
由图象知，（1）的定义域是
（0，＋∞），值域是[1，＋
∞）.
（2） y ＝
解：的定义域是（－∞，＋∞），值域是（－6，6].
通性通法
分段函数图象的画法
（1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意
义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函
数图象；也可以利用翻折变换作出图象；
（2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图
象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内
的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证
不重不漏.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝ x ＋ 的图象是（　　）
解析：　依题意，知 f （ x ）＝ x ＋ ＝所以
函数 f （ x ）的图象为选项C中的图象.故选C.
2. 设 x ∈R，则函数 y ＝2｜ x －1｜－3｜ x ｜的值域为 .
解析：当 x ≥1时， y ＝2（ x －1）－3 x ＝－ x －2；
当0≤ x ＜1时， y ＝－2（ x －1）－3 x ＝－5 x ＋2；
当 x ＜0时， y ＝－2（ x －1）＋3 x ＝ x ＋2.
故 y ＝
根据函数解析式作出函数图象，如图所示.
由图象可以看出，函数的值域为（－∞，2].
（－∞，2]　
1.19世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数 D
（ x ）＝，则 D { D [ D （π）]}＝（　　）
A. 0 B. 1
C. π D. π2
解析：　因为π Q，所以 D （π）＝0，则 D { D [ D （π）]}＝ D [ D
（0）]＝ D （1）＝1，故选B.
2. 函数 y ＝ 的图象的大致形状是（　　）
解析：　因为 y ＝ ＝所以函数的图象为A.
3. 若函数 f （ x ）＝则 f （2）＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析：　∵ f （ x ）＝∴ f （2）＝ f （2＋2）＝ f
（4）＝ f （4＋2）＝ f （6）＝6－3＝3.故选B.
4. （多选）已知函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＝10，则 a
的值可以是（　　）
A. －3 B. 3
C. 0 D. 5
解析：　当 a ≤0时， f （ a ）＝ a2＋1＝10，解得 a ＝3（舍去）
或 a ＝－3，当 a ＞0时， f （ a ）＝2 a ＝10，解得 a ＝5，符合，综
上， a ＝－3或5.故选A、D.
5. 已知函数 f （ x ）的图象如图所示，则 f （ x ）的解析式是
.
f （ x ）＝
　
解析：由题图可知， f （ x ）的图象是由两条线段组成的.当－
1≤ x ＜0时，设 f （ x ）＝ ax ＋ b ，将（－1，0），（0，1）代
入解析式，
得
解得
当0≤ x ≤1时，设 f （ x ）＝ kx ，将（1，－1）代入，得 k ＝－1.
所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 y ＝ f （ x ）表示为
x [－2，0） 0 （0，2]
y 1 0 －2
设 f （1）＝ m ， f （ x ）的值域为 M ，则（　　）
A. m ＝－2， M ＝{－2，0，1}
B. m ＝－2， M ＝{ y ｜－2≤ y ≤1}
C. m ＝1， M ＝{－2，0，1}
D. m ＝1， M ＝{ y ｜－2≤ y ≤1}
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解析：　根据题意得 f （1）＝－2＝ m ， f （ x ）的值域为 M ＝{－2，0，1}.故选A.
2. 已知函数 f （ x ）＝则 f （ f （3））＝（　　）
A. 1 B. 3
C. －1 D. －3
解析：　因为 f （ x ）＝则 f （3）＝－ ＝－1，故
f （ f （3））＝ f （－1）＝－1－2＝－3.故选D.
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3. 函数 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜的图象是（　　）
解析：　 f （ x ）＝分段画出，应选C.
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4. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＋ f （1）＝0，则实数
a 的值等于（　　）
A. －1 B. －2
C. 1 D. 3
解析：　当 a ＞0时，由 f （ a ）＋ f （1）＝0 a2＋1＝0，该方程
无实根；当 a ≤0时， f （ a ）＋ f （1）＝0 a ＋1＋1＝0 a ＝－2，
显然符合 a ≤0，故选B.
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5. （多选）已知函数 f （ x ）＝关于函数 f （ x ）的
结论正确的是（　　）
A. f （ x ）的最大值为3
B. f （0）＝2
C. 若 f （ x ）＝－1，则 x ＝2
D. f （ x ）＜2的解集为（－∞，0）∪（1，＋∞）
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解析：　画出函数 f （ x ）＝
的图象如图，
可知 f （ x ）≠3，A选项错误； f （0）＝0＋2
＝2，B选项正确；当 x ＜1时， f （ x ）＝ x ＋2
＝－1，解得 x ＝－3，当 x ＞1时， f （ x ）＝－
x2＋3＝－1，解得 x ＝2，C选项错误；当 x ＜1
时， f （ x ）＝ x ＋2＜2，解得 x ＜0，当 x ＞1
时， f （ x ）＝－ x2＋3＜2，解得 x ＞1，D选项
正确；故选B、D.
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6. 已知函数 f （ x ）＝则 f （－1）＝ .
解析：由题意可知 f （－1）＝ f （－1＋2）＝ f （1）＝2－3＝－1.
－1
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7. 已知函数 f （ x ）的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则 f
＝ 　 　.

解析：由题图可知，函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝
所以 f ＝ －1＝－ ，
所以 f ＝ f ＝－ ＋1＝ .
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8. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y
＝其中 x 代表拟录用人数， y 代
表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 .
解析：令 y ＝60，若4 x ＝60，则 x ＝15＞10，不合题意；若2 x ＋10
＝60，则 x ＝25，满足题意；若1.5 x ＝60，则 x ＝40＜100，不合题
意.故该公司拟录用25人.
25
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9. 已知 f （ x ）＝
（1）画出 f （ x ）的图象；
解：利用描点法，作出 f （ x ）的图
象，如图所示.
（2）若 f （ x ）≥ ，求 x 的取值范围；
解：由于 f ＝ ，结合此函数图象可知，使 f （ x ）
≥ 的 x 的取值范围是 ∪ .
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（3）求 f （ x ）的值域.
解：由图象知，当－1≤ x ≤1时， f （ x ）＝ x2的值域为
[0，1]，
当 x ＞1或 x ＜－1时， f （ x ）＝1.
所以 f （ x ）的值域为[0，1].
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10. 已知 f （ x ）＝则不等式 xf （ x ）＋ x ≤2的解集是
（　　）
A. { x ｜ x ≤1} B. { x ｜ x ≤2}
C. { x ｜0≤ x ≤1} D. { x ｜ x ＜0}
解析：　当 x ≥0时， f （ x ）＝1，
xf （ x ）＋ x ≤2 x ≤1，所以0≤ x ≤1；
当 x ＜0时， f （ x ）＝0， xf （ x ）＋ x ≤2 x ≤2，
所以 x ＜0，综上， x ≤1.
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11. 若定义运算 a ☉ b ＝则函数 f （ x ）＝ x ☉（2－ x ）的值
域是 .
解析：由题意知 f （ x ）＝
画出图象，如图所示.
由图易得值域为（－∞，1].
（－∞，1]　
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12. 对定义域分别是 Df ， Dg 的函数 y ＝ f （ x ）， y ＝ g （ x ），规定：
函数 h （ x ）＝
（1）若函数 f （ x ）＝－2 x ＋3， x ≥1； g （ x ）＝ x －2， x ∈R，
写出函数 h （ x ）的解析式；
解：h （ x ）＝
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（2）求（1）中函数 h （ x ）的最大值.
解：当 x ≥1时， h （ x ）＝－2 x2＋7 x －6
＝－2 ＋ ，∴ h （ x ）≤ .
当 x ＜1时， h （ x ）＜－1，
∴当 x ＝ 时， h （ x ）取最大值且最大值是 .
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13. 2024年3月，某人的工资应纳税所得额是11 000元，纳税标准按如
下表格，则他应该纳税 元.
纳税 级数 应纳税所得额 税率（％）
1 不超过3 000元的部分 3％
2 超过3 000元至12 000元的部分 10％
解析：由题得应纳税3 000×3％＋（11 000－3 000）×10％＝890（元）.
890
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14. 如图，在同一平面上，已知等腰直角三角形纸片 ABC 的腰长为3，
正方形纸片 CDEF 的边长为1，其中 B 、 C 、 D 三点在同一水平线
上依次排列.把正方形纸片向左平移 a 个单位，0＜ a ≤3.设两张纸
片重叠部分的面积为 S .
（1）求 S 关于 a 的函数解析式；
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解：如图，延长 EF 交 AB 于点 G ，易得Rt△ AFG ∽Rt△ ACB ，又 AC ＝3 FC ＝3，
则 ＝ ＝ ，所以 FG ＝2，
当0＜ a ≤1时， S ＝ a ；
当1＜ a ≤2时， S ＝1；
当2＜ a ≤3时， S ＝1－ （ a －2）2＝－ ＋2 a －1.
综上， S ＝
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（2）若 S ＝ ，求 a 的值.
解：由（1）知：在（0，1]上， S ＝a ＝ ；
在（2，3]上， S ＝－ ＋2 a －1＝ ，
整理得4 a2－16 a ＋15＝（2 a －3）（2 a －
5）＝0，
解得 a ＝ （舍）或 a ＝ .
综上， a ＝ 或 a ＝ .
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