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第二课时　函数的最值、平均变化率
1.已知函数f（x）＝2x2－4的图象上一点（1，－2）及邻近一点（1＋Δx，－2＋Δy），则等于（　　）
A.4 B.4Δx
C.4＋2Δx D.4＋2（Δx）2
2.已知函数f（x）＝，则f（x）在区间[2，6]上的最大值为（　　）
A. B.3
C.4 D.5
3.若函数f（x）＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为（　　）
A.10 B.10或20
C.20 D.无法确定
4.已知函数f（x）＝2－x，对于任意的x∈[－2，2]，f（x）≤m恒成立，则实数m的最小值是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
5.（多选）已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且a＜c＜b.则下列说法中错误的是（　　）
A.若f（x）在[a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）
B.若f（x）在[a，c）上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）
C.若f（x）在（a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）
D.若f（x）在[a，c]上是增函数，在（c，b]上是减函数，则f（x）max＝f（c）
6.已知三点A（－3，－1），B（0，2），C（m，4）在同一直线上，则实数m的值为　　　　.
7.若关于x的不等式｜x－2｜－｜x＋3｜＜a无解，则实数a的取值范围是　　　　 　.
8.已知函数y＝－x2－2x＋3在[a，2]上的最大值为，则a＝　　　　　 　.
9.已知函数f（x）＝－（a＞0，x＞0）.
（1）求证：f（x）在（0，＋∞）上是增函数；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值.
10.已知函数f（x）＝有最小值，则a的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
11.“ x∈[1，2]， t∈[1，2]，使得x＋2＞t＋m成立”为真命题，则实数m的范围为　　　　.
12.已知f（x）＝（x≠a）.
（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）内单调递增；
（2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）内单调递减，求a的取值范围.
13.已知min{a，b}＝设f（x）＝min{x－2，－x2＋4x－2}，则函数f（x）的最大值是（　　）
A.－2 B.1
C.2 D.3
14.已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0， ]上是减函数，在[，＋∞）上是增函数.已知f（x）＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域.
第二课时　函数的最值、平均变化率
1.C　∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝2（1＋Δx）2－4－（2－4）＝2（Δx）2＋4Δx，∴＝2Δx＋4，故选C.
2.C　∵f（x）＝＝2＋在[2，6]上单调递减，∴f（x）max＝f（2）＝4.故选C.
3.C　当k＝0时，不符合题意；
当k＞0时，f（x）＝在区间[2，4]上是减函数，∴f（x）min＝f（4）＝＝5，∴k＝20，符合题意；
当k＜0时，f（x）＝在区间[2，4]上是增函数，f（x）min＝f（2）＝＝5，∴k＝10，
又∵k＜0，∴k＝10舍去.∴k的值为20.故选C.
4.D　对于任意的x∈[－2，2]使2－x≤m恒成立，令＝t（t∈[0，2]），则x＝t2－2，即2－x＝2t－t2＋2，设g（t）＝－t2＋2t＋2（t∈[0，2]），则g（t）∈[2，3]，即f（x）max＝3.故m≥3，即实数m的最小值是3.故选D.
5.BCD　若f（x）在[a，c]上是增函数，则f（c）≥f（x），x∈[a，c]；在[c，b]上是减函数，则f（c）≥f（x），x∈[c，b]，所以f（x）max＝f（c），故A正确；
若f（x）在[a，c）上是增函数，在[c，b]上是减函数，函数的最大值不一定为f（c），
如f（x）＝值域为[－1，2），没有最大值，故B错误；
若f（x）在（a，c]上是增函数，在[c，b]上是减函数，函数的最大值不一定为f（c），例如函数f（x）＝其图象如图所示.
显然f（x）在（1，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数，但f（x）在[1，3]上的最大值是f（1）＝2，故C不正确.若f（x）在[a，c]上是增函数，在（c，b]上是减函数，函数的最大值不一定为f（c），故D错误.故选B、C、D.
6.2　解析：因为A，B，C三点在同一直线上，所以kAB＝kBC，即＝，故m＝2.
7.（－∞，－5]　解析：根据题意，设f（x）＝｜x－2｜－｜x＋3｜，则f（x）＝易得f（x）min＝－5.
因为关于x的不等式｜x－2｜－｜x＋3｜＜a无解，所以f（x）≥a恒成立，即f（x）min≥a，故a≤－5.
8.－　解析：y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，对称轴方程为x＝－1，当a≤－1时，x＝－1，函数取得最大值为4，不合题意舍去，当a＞－1时，x＝a，函数取得最大值为－a2－2a＋3＝，即4a2＋8a＋3＝0，（2a＋3）（2a＋1）＝0，解得a＝－或a＝－（舍去）.
9.解：（1）证明：设x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，则
＝＝＝，
由x1，x2∈（0，＋∞）知，x1x2＞0，＞0，
∴＞0，故f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
（2）由（1）可知，f（x）在上为增函数，
∴f＝－2＝，f（2）＝－＝2，
解得a＝.
10.C　当x≥0时，f（x）＝（x－1）2－1 ，此时f（x）min＝f（1）＝－1；
当x＜0时，f（x）＝（a－1）x＋2a.
①a＝1时，f（x）＝2为常函数，此时在R上满足函数f（x）有最小值为－1.
②a≠1时，函数f（x）在（－∞，0）上为一次函数，若要满足在R上有最小值，
需解得－≤a＜1，
综上，满足题意的实数a的取值范围为 .
故选C.
11.（－∞，2）　解析：令f（x）＝x＋2，g（t）＝t＋m，要想 x∈[1，2]， t∈[1，2]，使得x＋2＞t＋m成立为真命题，只需f（x）min＞g（t）min，其中f（x）＝x＋2在[1，2]上单调递增，f（x）min＝f（1）＝3，g（t）＝t＋m在[1，2]上单调递增，g（t）min＝g（1）＝1＋m，故3＞1＋m，解得m＜2.所以实数m的范围为（－∞，2）.
12.解：（1）证明：当a＝－2时，f（x）＝.
设x1，x2∈（－∞，－2），且x1≠x2，则
＝＝
＝.
由x1，x2∈（－∞，－2）知，x1＋2＜0，x2＋2＜0，
所以（x1＋2）（x2＋2）＞0，即＞0，
所以f（x）在（－∞，－2）内单调递增.
（2）任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1≠x2，则
＝＝
＝.
由a＞0，x1，x2∈（1，＋∞），且＜0知（x1－a）（x2－a）＞0恒成立，所以a≤1，故0＜a≤1，
所以a的取值范围为（0，1].
13.B　法一　当x－2≤－x2＋4x－2，即x∈[0，3]时，f（x）＝x－2在x∈[0，3]上单调递增，所以f（x）max＝f（3）＝3－2＝1，当x－2＞－x2＋4x－2，即x∈（－∞，0）∪（3，＋∞）时，f（x）＝－x2＋4x－2＝－（x－2）2＋2在x∈（－∞，0）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减，因为f（0）＝－2，f（3）＝1，所以f（x）＜f（3）＝1.
综上：函数f（x）的最大值为1.故选B.
法二　由x－2≤－x2＋4x－2得x2－3x≤0，∴0≤x≤3，
∴f（x）＝
其图象如图所示（实线部分）.
∵f（x）图象的最高点是（3，1），
∴f（x）max＝f（3）＝1.
故选B.
14.解：f（x）＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1，3].由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f（x）单调递减，所以递减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f（x）单调递增，所以递增区间为.
由f（0）＝－3，f＝－4，f（1）＝－，得f（x）的值域为[－4，－3].
2 / 2第二课时　函数的最值、平均变化率
　　科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线.
【问题】　（1）在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），＝一定大于零吗？
（2）如果在区间[12，24]对应的曲线上任取不同两点C（x3，y3），D（x4，y4），＝一定大于零吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数的最值
1.函数的最大值和最小值
一般地，设函数f（x）的定义域为D，且x0∈D：
（1）如果对任意x∈D，都有　　　　　　，则称f（x）的最大值为f（x0）（记作f（x）max＝f（x0）），而x0称为f（x）的　　　　　　；
（2）如果对任意x∈D，都有　　　　　　，则称f（x）的最小值为f（x0）（记作f（x）min＝f（x0）），而x0称为f（x）的　　　　　.
提醒　对函数最值的几点说明：①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f（x0）等于最值；②对于定义域内的任意元素x，都有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），“任意”两个字不可省略；③函数f（x）在其定义域（某个区间）内不一定有最大（小）值，如果有，最大（小）值只能有一个.但最大（小）值点x0可能不止一个.这里的最大（小）值点不是点而是实数；④函数f（x）在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.
2.最值和最值点
　　　　值和　　　　值统称为最值，最大值点和最小值点统称为　　　　点.
【想一想】
如果函数f（x）对于定义域内的任意x都满足f（x）≤M，那么M一定是函数f（x）的最大值吗？
知识点二　函数的平均变化率
1.直线的斜率
（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1≠x2时，称　　　　为直线AB的斜率（若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为）；当x1＝x2时，称直线AB的斜率　　　　.
（2）作用：直线AB的斜率反映了直线相对于　　　　的倾斜程度.
2.平均变化率与函数的单调性
若区间I是函数y＝f（x）的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f（x1），y2＝f（x2），＝，则：
（1）y＝f（x）在区间I上是增函数的充要条件是　　＞　　在区间I上恒成立；
（2）y＝f（x）在区间I上是减函数的充要条件是　　＜　　在区间I上恒成立.
当x1≠x2时，称＝为函数y＝f（x）在区间[x1，x2]（x1＜x2时）或[x2，x1]（x1＞x2时）上的平均变化率.通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量.
提醒　对函数平均变化率的几点说明：①函数f（x）应在x1，x2处有定义；②x2在x1附近，Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；③注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f（x2）－f（x1），而不是Δy＝f（x1）－f（x2）；④平均变化率可正可负，也可为零.但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.比如，f（x）＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f（x）＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]；⑤平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”.只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”.
【想一想】
1.函数的平均变化率是固定不变的吗？
2.如果＝0在I上恒成立，那么函数f（x）有什么特点？
1.已知f（x）＝3x2＋5，则自变量x从0.1到0.2的平均变化率为（　　）
A.0.3 B.0.9
C.0.6 D.1.2
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是　　　　，　　　　.
3.已知过点P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，求m的值.
题型一 平均变化率
角度1　直线的斜率公式及应用
【例1】　（1）已知直线l过点M（m＋1，m－1），N（2m，1）.当m为何值时，直线l的斜率是1？
（2）已知三点A（a，2），B（3，7），C（－2，－9a）在同一条直线上，求实数a的值.
尝试解答
通性通法
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
（1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
（2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
【跟踪训练】
1.已知经过两点（5， m）和（2，8）的直线的斜率大于1，则m的取值范围是（　　）
A.（2，8）　　　　　　B.（8，＋∞）
C.（11，＋∞） D.（－∞，11）
2.若A（3，1），B（－2，k），C（8，1）三点能构成三角形，则实数k的取值范围为　　　　.
角度2　平均变化率的计算
【例2】　一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10（1＋at）cm，a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率.
尝试解答
通性通法
　　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：
【跟踪训练】
路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯.
（1）求身影的长度y与人距路灯的射影点C的距离x之间的关系式；
（2）求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率.
题型二 利用平均变化率证明函数的单调性
【例3】　若函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数且f（x）＞0，求证：g（x）＝在I上为减函数.
尝试解答
通性通法
1.y＝f（x）在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立.
2.y＝f（x）在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝1－，x∈[3，5]，判断函数f（x）的单调性，并证明.
题型三 求函数的最值
角度1　图象法求函数的最值
【例4】　已知函数f（x）＝求函数f（x）的最大值和最小值.
尝试解答
通性通法
用图象法求最值的3个步骤
【跟踪训练】
函数y＝｜x＋1｜－｜2－x｜的最大值是（　　）
A.3　　　　　　　　 B.－3
C.5 D.－2
角度2　利用单调性求函数的最值
【例5】　已知函数f（x）＝x＋.
（1）证明：f（x）在（1，＋∞）内是增函数；
（2）求f（x）在[2，4]上的最值.
尝试解答
通性通法
函数的最值与单调性的关系
（1）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上是增函数，在区间[b，c）上是减函数，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最大值f（b）；
（2）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上是减函数，在区间[b，c）上是增函数，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最小值f（b）；
（3）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小（大）值、最大（小）值.
【跟踪训练】
1.设定义在R上的函数f（x）＝x｜x｜，则f（x）（　　）
A.只有最大值
B.只有最小值
C.既有最大值，又有最小值
D.既无最大值，又无最小值
2.已知函数f（x）是定义在区间[－1，3]上的减函数，且函数f（x）的图象经过点P（－1，2），Q（3，－4），则该函数的值域是　　　.
1.直线l经过原点和点（－1，1），则l的斜率为（　　）
A.0 B.1
C.－1 D.不存在
2.函数f（x）在[－2，＋∞）上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为（　　）
A.3，0 B.3，1
C.3，无最小值 D.3，－2
3.若函数f（x）＝x2－2x，x∈[－1，4]，则f（x）的值域为（　　）
A.[－1，3] B.[－1，16]
C.[－1，8] D.[3，8]
4.（多选）下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0，2]的说法正确的是（　　）
A.当a＜0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1
B.当a＜0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1
C.当a＞0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1
D.当a＞0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1
5.汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是，，，则三者由小到大的关系为　　　　.
第二课时　函数的最值、平均变化率
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）f（x）≤f（x0）　最大值点　（2）f（x）≥f（x0）　最小值点
2.最大　最小　最值
想一想
　提示：不一定.如函数f（x）＝－x2≤1恒成立，但是1不是函数的最大值.
知识点二
1.（1）　不存在　（2）x轴　2.（1）　0　（2）　0
想一想
1.提示：不一定.当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同.比如，f（x）＝x2在区间[0，2]和[2，4]上都有Δx＝2，但Δy分别为4－0＝4和16－4＝12.
事实上，根据下面将要学均变化率的几何意义可知，曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等，即一般情况下函数的平均变化率是不相同的.
2.提示：函数f（x）是常数函数.
自我诊断
1.B　Δy＝f（0.2）－f（0.1）＝0.12＋5－0.03－5＝0.09，可得平均变化率＝＝0.9.
2.－1　2
3.解：由题意得＝1，解得m＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为直线l的斜率是1，
所以＝1，即＝1，解得m＝.
（2）∵A，B，C三点共线，且3≠－2，
∴BC，AB的斜率都存在，且kAB＝kBC.
又∵kAB＝＝，kBC＝＝，
∴＝，解得a＝2或a＝.
跟踪训练
1.C　由题意得＞1，解得m＞11.故选C.
2.（－∞，1）∪（1，＋∞）　解析：因为A，B，C三点能构成三角形，所以A，B，C三点不共线，所以kAB≠kAC.
即≠，因此k－1≠0，解得k≠1.
故实数k的取值范围为（－∞，1）∪（1，＋∞）.
【例2】　解：设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为：
ΔS＝102[1＋a（t＋Δt）]2－102（1＋at）2＝200（a＋a2t）Δt＋100a2（Δt）2，所以平均膨胀率＝200（a＋a2t）＋100a2Δt.
跟踪训练
　解：（1）如图所示，由题意知人从C点运动到B点的距离为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝0.25x.
（2）84 m/min＝1.4 m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10 s内平均变化率＝＝0.35（m/s），
即此人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35 m/s.
【例3】　证明：任取x1，x2∈I且x2＞x1，
则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1），
∵函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数，
∴Δy＞0，＞0，
∴Δg＝g（x2）－g（x1）＝－＝.
又∵f（x）＞0，∴f（x1）f（x2）＞0且f（x1）－f（x2）＜0，
∴Δg＜0，∴＜0，故g（x）＝在I上为减函数.
跟踪训练
　解：由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，f（x）＝1－在[3，5]上为增函数.
证明过程如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，
则Δy＝f（x2）－f（x1）＝1－－＝－＝.
∵（x1＋2）（x2＋2）＞0，
∴Δy＞0，∴＞0，故函数f（x）在[3，5]上是增函数.
【例4】　解：作出f（x）的图象如图.由图象可知，当x＝2时，f（x）取最大值为2；
当x＝时，f（x）取最小值为－.
所以f（x）的最大值为2，最小值为－.
跟踪训练
　A　由题意可知y＝｜x＋1｜－｜2－x｜＝画出函数图象即可得最大值为3.故选A.
【例5】　解：（1）证明：任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1≠x2，则
＝＝＝1－.
由x1，x2∈（1，＋∞）知x1x2＞1，＜1，1－＞0，
∴＞0，故f（x）在（1，＋∞）内是增函数.
（2）由（1）可知f（x）在[2，4]上是增函数，
∴当x∈[2，4]时，f（2）≤f（x）≤f（4）.
又f（2）＝2＋＝，f（4）＝4＋＝，
∴f（x）在[2，4]上的最大值为，最小值为.
跟踪训练
1.D　f（x）＝x｜x｜＝作出f（x）的图象如图所示，可知f（x）既无最大值又无最小值.故选D.
2.[－4，2]　解析：∵f（x）的图象经过点P（－1，2），Q（3，－4），
∴f（－1）＝2，f（3）＝－4.
又∵f（x）在定义域[－1，3]上为减函数，∴该函数的值域是[－4，2].
随堂检测
1.C　因为直线l经过原点和点（－1，1），所以l的斜率是＝－1.故选C.
2.C　观察题中图象可知，图象的最高点坐标是（0，3），从而其最大值是3；图象无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
3.C　∵f（x）＝（x－1）2－1，∴函数y＝f（x）在区间[－1，1）上单调递减，在区间（1，4]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝－1，∵f（－1）＝3，f（4）＝8，∴f（x）max＝f（4）＝8.因此，函数y＝f（x）在区间[－1，4]上的值域为[－1，8].故选C.
4.AD　当a＜0时，函数y＝ax＋1在区间[0，2]上单调递减，当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.当a＞0时，函数y＝ax＋1在区间[0，2]上单调递增，当x＝0时，函数取得最小值为1，当x＝2时，函数取得最大值为2a＋1.故选A、D.
5.＜＜　解析：∵＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，由题图得kOA＜kAB＜kBC，
∴＜＜.
5 / 5(共78张PPT)
第二课时　
函数的最值、平均变化率
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠
气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线.
【问题】　（1）在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2）， ＝ 一定大于零吗？
（2）如果在区间[12，24]对应的曲线上任取不同两点 C （ x3， y3），
D （ x4， y4）， ＝ 一定大于零吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数的最值
1. 函数的最大值和最小值
一般地，设函数 f （ x ）的定义域为 D ，且 x0∈ D ：
（1）如果对任意 x ∈ D ，都有 ，则称 f （ x ）
的最大值为 f （ x0）（记作 f （ x ）max＝ f （ x0）），而 x0称为 f
（ x ）的 ；
f （ x ）≤ f （ x0）　
最大值点　
（2）如果对任意 x ∈ D ，都有 ，则称 f （ x ）
的最小值为 f （ x0）（记作 f （ x ）min＝ f （ x0）），而 x0称为 f
（ x ）的 .
f （ x ）≥ f （ x0）　
最小值点　
提醒　对函数最值的几点说明：①最值首先是一个函数值，
即存在一个自变量 x0，使得 f （ x0）等于最值；②对于定义域
内的任意元素 x ，都有 f （ x ）≤ f （ x0）（或 f （ x ）≥ f
（ x0）），“任意”两个字不可省略；③函数 f （ x ）在其定
义域（某个区间）内不一定有最大（小）值，如果有，最大
（小）值只能有一个.但最大（小）值点 x0可能不止一个.这里
的最大（小）值点不是点而是实数；④函数 f （ x ）在其定义
域（某个区间）内的最大值的几何意义是其图象上最高点的
纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.
2. 最值和最值点
值和 值统称为最值，最大值点和最小值点统称
为 点.
最大　
最小　
最值　
【想一想】
如果函数 f （ x ）对于定义域内的任意 x 都满足 f （ x ）≤ M ，那么 M
一定是函数 f （ x ）的最大值吗？
提示：不一定.如函数 f （ x ）＝－ x2≤1恒成立，但是1不是函数的
最大值.
知识点二　函数的平均变化率
1. 直线的斜率
（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点 A （ x1， y1）， B
（ x2， y2），当 x1≠ x2时，称 为直线 AB 的斜率（若
记Δ x ＝ x2－ x1，相应的Δ y ＝ y2－ y1，当Δ x ≠0时，斜率记为
）；当 x1＝ x2时，称直线 AB 的斜率 .
（2）作用：直线 AB 的斜率反映了直线相对于 的倾斜程度.
　
不存在　
x 轴　
2. 平均变化率与函数的单调性
若区间 I 是函数 y ＝ f （ x ）的定义域的子集，对任意 x1， x2∈ I 且
x1≠ x2，记 y1＝ f （ x1）， y2＝ f （ x2）， ＝ ，则：
（1） y ＝ f （ x ）在区间 I 上是增函数的充要条件是 ＞
在区间 I 上恒成立；
　
0　
（2） y ＝ f （ x ）在区间 I 上是减函数的充要条件是 ＜
在区间 I 上恒成立.
当 x1≠ x2时，称 ＝ 为函数 y ＝ f （ x ）在区间
[ x1， x2]（ x1＜ x2时）或[ x2， x1]（ x1＞ x2时）上的平均变化
率.通常称Δ x 为自变量的改变量，Δ y 为因变量的改变量.
　
0　
提醒　对函数平均变化率的几点说明：①函数 f （ x ）应在
x1， x2处有定义；② x2在 x1附近，Δ x ＝ x2－ x1≠0，但Δ x 可正
可负；③注意变量的对应，若Δ x ＝ x2－ x1，则Δ y ＝ f （ x2）
－ f （ x1），而不是Δ y ＝ f （ x1）－ f （ x2）；④平均变化率可
正可负，也可为零.但是，若函数在某区间上的平均变化率为
0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.比如， f
（ x ）＝ x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但 f （ x ）＝
x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]；⑤平均
变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均
变化率的“视觉化”.
利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是
“粗糙不精确的”.只有当Δ x ＝ x2－ x1无限变小时，这种量化才由“粗
糙”逼近“精确”.
【想一想】
1. 函数的平均变化率是固定不变的吗？
提示：不一定.当 x1取定值后，Δ x 取不同的数值时，函数的平均变
化率不一定相同；当Δ x 取定值后， x1取不同的数值时，函数的平均
变化率也不一定相同.比如， f （ x ）＝ x2在区间[0，2]和[2，4]上都
有Δ x ＝2，但Δ y 分别为4－0＝4和16－4＝12.
事实上，根据下面将要学均变化率的几何意义可知，曲线上
任意不同两点间连线的斜率一般不相等，即一般情况下函数的平均
变化率是不相同的.
2. 如果 ＝0在 I 上恒成立，那么函数 f （ x ）有什么特点？
提示：函数 f （ x ）是常数函数.
1. 已知 f （ x ）＝3 x2＋5，则自变量 x 从0.1到0.2的平均变化率为
（　　）
A. 0.3 B. 0.9
C. 0.6 D. 1.2
解析：　Δ y ＝ f （0.2）－ f （0.1）＝0.12＋5－0.03－5＝0.09，可
得平均变化率 ＝ ＝0.9.
2. 函数 y ＝ f （ x ）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小
值、最大值分别是 ， .
3. 已知过点 P （－2， m ）和 Q （ m ，4）的直线的斜率等于1，求
m 的值.
解：由题意得 ＝1，解得 m ＝1.
－1　
2　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平均变化率
角度1　直线的斜率公式及应用
【例1】　（1）已知直线 l 过点 M （ m ＋1， m －1）， N （2 m ，1）.
当 m 为何值时，直线 l 的斜率是1？
解：因为直线 l 的斜率是1，
所以 ＝1，即 ＝1，
解得 m ＝ .
（2）已知三点 A （ a ，2）， B （3，7）， C （－2，－9 a ）在同一条
直线上，求实数 a 的值.
解：∵ A ， B ， C 三点共线，且3≠－2，
∴ BC ， AB 的斜率都存在，且 kAB ＝ kBC .
又∵ kAB ＝ ＝ ， kBC ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得 a ＝2或 a ＝ .
通性通法
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
（1）运用公式的前提条件是“ x1≠ x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为
当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的；
（2）斜率公式与两点 P1， P2的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1
与 x2， y1与 y2可以同时交换位置.
【跟踪训练】
1. 已知经过两点（5， m ）和（2，8）的直线的斜率大于1，则 m 的取
值范围是（　　）
A. （2，8） B. （8，＋∞）
C. （11，＋∞） D. （－∞，11）
解析：　由题意得 ＞1，解得 m ＞11.故选C.
2. 若 A （3，1）， B （－2， k ）， C （8，1）三点能构成三角形，则
实数 k 的取值范围为 　　 　　.
（－∞，1）∪（1，＋∞）
解析：因为 A ， B ， C 三点能构成三角形，所以 A ， B ， C 三点不共
线，所以 kAB ≠ kAC .
即 ≠ ，因此 k －1≠0，解得 k ≠1.
故实数 k 的取值范围为（－∞，1）∪（1，＋∞）.
角度2　平均变化率的计算
【例2】　一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温
度为 t ℃时，边长变为10（1＋ at ）cm， a 为常数.试求铁板面积对温度
的平均膨胀率.
解：设温度的增量为Δ t ，则铁板面积 S 的增量为：
Δ S ＝102[1＋ a （ t ＋Δ t ）]2－102（1＋ at ）2＝200（ a ＋ a2 t ）Δ t ＋
100 a2（Δ t ）2，所以平均膨胀率 ＝200（ a ＋ a2 t ）＋100 a2Δ t .
通性通法
　　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清
自变量的增量Δ x 与函数值的增量Δ y ，求平均变化率的主要步骤是：
【跟踪训练】
路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从
路灯在地面上的射影点 C 处沿直线匀速离开路灯.
（1）求身影的长度 y 与人距路灯的射影点 C 的距离 x 之间的关系式；
解：如图所示，由题意知人从 C 点运动到
B 点的距离为 x m， AB 为身影长度， AB 的长度
为 y m，由于 CD ∥ BE ，则 ＝ ＝
，所以 y ＝0.25 x .
（2）求人离开路灯10 s内身影长度 y 关于时间 t 的平均变化率.
解：84 m/min＝1.4 m/s，则 y 关于 t 的函数关系式为 y ＝
0.25×1.4 t ＝0.35 t ，所以10 s内平均变化率 ＝ ＝0.35
（m/s），
即此人离开路灯10 s内身影长度 y 关于时间 t 的平均变化率为0.35
m/s.
题型二 利用平均变化率证明函数的单调性
【例3】　若函数 y ＝ f （ x ）是其定义域的子集 I 上的增函数且 f （ x ）
＞0，求证： g （ x ）＝ 在 I 上为减函数.
证明：任取 x1， x2∈ I 且 x2＞ x1，
则Δ x ＝ x2－ x1＞0，Δ y ＝ f （ x2）－ f （ x1），
∵函数 y ＝ f （ x ）是其定义域的子集 I 上的增函数，
∴Δ y ＞0， ＞0，
∴Δ g ＝ g （ x2）－ g （ x1）＝ － ＝ .
又∵ f （ x ）＞0，∴ f （ x1） f （ x2）＞0且 f （ x1）－ f （ x2）＜0，
∴Δ g ＜0，∴ ＜0，故 g （ x ）＝ 在 I 上为减函数.
通性通法
1. y ＝ f （ x ）在 I 上是增函数的充要条件是 ＞0在 I 上恒成立.
2. y ＝ f （ x ）在 I 上是减函数的充要条件是 ＜0在 I 上恒成立.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝1－ ， x ∈[3，5]，判断函数 f （ x ）的单调性，
并证明.
解：由于 y ＝ x ＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此， f （ x ）
＝1－ 在[3，5]上为增函数.
证明过程如下：
任取 x1， x2∈[3，5]且 x1＜ x2，
即Δ x ＝ x2－ x1＞0，
则Δ y ＝ f （ x2）－ f （ x1）＝1－ － ＝ － ＝
.
∵（ x1＋2）（ x2＋2）＞0，
∴Δ y ＞0，∴ ＞0，
故函数 f （ x ）在[3，5]上是增函数.
题型三 求函数的最值
角度1　图象法求函数的最值
【例4】　已知函数 f （ x ）＝求函数 f （ x ）的
最大值和最小值.
解：作出 f （ x ）的图象如图.由图象可知，当 x ＝2
时， f （ x ）取最大值为2；
当 x ＝ 时， f （ x ）取最小值为－ .
所以 f （ x ）的最大值为2，最小值为－ .
通性通法
用图象法求最值的3个步骤
【跟踪训练】
函数 y ＝｜ x ＋1｜－｜2－ x ｜的最大值是（　　）
A. 3 B. －3
C. 5 D. －2
解析：A　由题意可知 y ＝｜ x ＋1｜－｜2－ x ｜＝
画出函数图象即可得最大值为3.故选A.
角度2　利用单调性求函数的最值
【例5】　已知函数 f （ x ）＝ x ＋ .
（1）证明： f （ x ）在（1，＋∞）内是增函数；
解：证明：任取 x1， x2∈（1，＋∞），且 x1≠ x2，
则 ＝
＝
＝1－ .
由 x1， x2∈（1，＋∞）知 x1 x2＞1， ＜1，1－ ＞0，
∴ ＞0，故 f （ x ）在（1，＋∞）内是增函数.
（2）求 f （ x ）在[2，4]上的最值.
解：由（1）可知 f （ x ）在[2，4]上是增函数，
∴当 x ∈[2，4]时， f （2）≤ f （ x ）≤ f （4）.
又 f （2）＝2＋ ＝ ， f （4）＝4＋ ＝ ，
∴ f （ x ）在[2，4]上的最大值为 .
通性通法
函数的最值与单调性的关系
（1）如果函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ]上是增函数，在区间[ b ，
c ）上是减函数，则函数 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， c ）在 x ＝ b 处
有最大值 f （ b ）；
（2）如果函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ]上是减函数，在区间[ b ，
c ）上是增函数，则函数 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， c ）在 x ＝ b 处
有最小值 f （ b ）；
（3）如果函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上是增（减）函数，则
在区间[ a ， b ]的左、右端点处分别取得最小（大）值、最
大（小）值.
【跟踪训练】
1. 设定义在R上的函数 f （ x ）＝ x ｜ x ｜，则 f （ x ）（　　）
A. 只有最大值
B. 只有最小值
C. 既有最大值，又有最小值
D. 既无最大值，又无最小值
解析：　 f （ x ）＝ x ｜ x ｜＝作出 f
（ x ）的图象如图所示，可知 f （ x ）既无最大值又无
最小值.故选D.
2. 已知函数 f （ x ）是定义在区间[－1，3]上的减函数，且函数 f
（ x ）的图象经过点 P （－1，2）， Q （3，－4），则该函数的值
域是 .
解析：∵ f （ x ）的图象经过点 P （－1，2）， Q （3，－4），
∴ f （－1）＝2， f （3）＝－4.
又∵ f （ x ）在定义域[－1，3]上为减函数，∴该函数的值域是[－
4，2].
[－4，2]　
1. 直线 l 经过原点和点（－1，1），则 l 的斜率为（　　）
A. 0 B. 1
C. －1 D. 不存在
解析：　因为直线 l 经过原点和点（－1，1），所以 l 的斜率是
＝－1.故选C.
2. 函数 f （ x ）在[－2，＋∞）上的图象如图所示，则此函数的最大
值、最小值分别为（　　）
A. 3，0 B. 3，1
C. 3，无最小值 D. 3，－2
解析：　观察题中图象可知，图象的最高点坐标是（0，3），从
而其最大值是3；图象无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
3. 若函数 f （ x ）＝ x2－2 x ， x ∈[－1，4]，则 f （ x ）的值域为（　　）
A. [－1，3] B. [－1，16]
C. [－1，8] D. [3，8]
解析：　∵ f （ x ）＝（ x －1）2－1，∴函数 y ＝ f （ x ）在区间[－
1，1）上单调递减，在区间（1，4]上单调递增，∴ f （ x ）min＝ f
（1）＝－1，∵ f （－1）＝3， f （4）＝8，∴ f （ x ）max＝ f （4）
＝8.因此，函数 y ＝ f （ x ）在区间[－1，4]上的值域为[－1，8].故
选C.
4. （多选）下列关于函数 y ＝ ax ＋1， x ∈[0，2]的说法正确的是
（　　）
A. 当 a ＜0时，此函数的最大值为1，最小值为2 a ＋1
B. 当 a ＜0时，此函数的最大值为2 a ＋1，最小值为1
C. 当 a ＞0时，此函数的最大值为1，最小值为2 a ＋1
D. 当 a ＞0时，此函数的最大值为2 a ＋1，最小值为1
解析：　当 a ＜0时，函数 y ＝ ax ＋1在区间[0，2]上单调递减，
当 x ＝0时，函数取得最大值为1；当 x ＝2时，函数取得最小值为2 a
＋1.当 a ＞0时，函数 y ＝ ax ＋1在区间[0，2]上单调递增，当 x ＝0
时，函数取得最小值为1，当 x ＝2时，函数取得最大值为2 a ＋1.故
选A、D.
5. 汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的变化规律如图所示，在时间段
[ t0， t1]，[ t1， t2]，[ t2， t3]内的平均速度分别是 ， ， ，则
三者由小到大的关系为 .
＜ ＜ 　
解析：∵ ＝ ＝ kOA ， ＝ ＝ kAB ，
＝ ＝ kBC ，由题图得 kOA ＜ kAB ＜ kBC ，∴ ＜ ＜
.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x ）＝2 x2－4的图象上一点（1，－2）及邻近一点（1
＋Δ x ，－2＋Δ y ），则 等于（　　）
A. 4 B. 4Δ x
C. 4＋2Δ x D. 4＋2（Δ x ）2
解析：　∵Δ y ＝ f （1＋Δ x ）－ f （1）＝2（1＋Δ x ）2－4－（2－
4）＝2（Δ x ）2＋4Δ x ，∴ ＝2Δ x ＋4，故选C.
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2. 已知函数 f （ x ）＝ ，则 f （ x ）在区间[2，6]上的最大值为
（　　）
A. B. 3
C. 4 D. 5
解析：　∵ f （ x ）＝ ＝2＋ 在[2，6]上单调递减，∴ f
（ x ）max＝ f （2）＝4.故选C.
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3. 若函数 f （ x ）＝ 在区间[2，4]上的最小值为5，则 k 的值为
（　　）
A. 10 B. 10或20
C. 20 D. 无法确定
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解析：　当 k ＝0时，不符合题意；
当 k ＞0时， f （ x ）＝ 在区间[2，4]上是减函数，
∴ f （ x ）min＝ f （4）＝ ＝5，
∴ k ＝20，符合题意；
当 k ＜0时， f （ x ）＝ 在区间[2，4]上是增函数，
f （ x ）min＝ f （2）＝ ＝5，∴ k ＝10，
又∵ k ＜0，∴ k ＝10舍去.
∴ k 的值为20.故选C.
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4. 已知函数 f （ x ）＝2 － x ，对于任意的 x ∈[－2，2]， f
（ x ）≤ m 恒成立，则实数 m 的最小值是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　对于任意的 x ∈[－2，2]使2 － x ≤ m 恒成立，令
＝ t （ t ∈[0，2]），则 x ＝ t2－2，即2 － x ＝2 t － t2＋
2，设 g （ t ）＝－ t2＋2 t ＋2（ t ∈[0，2]），则 g （ t ）∈[2，3]，
即 f （ x ）max＝3.故 m ≥3，即实数 m 的最小值是3.故选D.
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5. （多选）已知函数 f （ x ）的定义域为[ a ， b ]，且 a ＜ c ＜ b .则下列
说法中错误的是（　　）
A. 若 f （ x ）在[ a ， c ]上是增函数，在[ c ， b ]上是减函数，则 f
（ x ）max＝ f （ c ）
B. 若 f （ x ）在[ a ， c ）上是增函数，在[ c ， b ]上是减函数，则 f
（ x ）max＝ f （ c ）
C. 若 f （ x ）在（ a ， c ]上是增函数，在[ c ， b ]上是减函数，则 f
（ x ）max＝ f （ c ）
D. 若 f （ x ）在[ a ， c ]上是增函数，在（ c ， b ]上是减函数，则 f
（ x ）max＝ f （ c ）
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解析：　若 f （ x ）在[ a ， c ]上是增函数，则 f （ c ）≥ f
（ x ）， x ∈[ a ， c ]；在[ c ， b ]上是减函数，则 f （ c ）≥ f
（ x ）， x ∈[ c ， b ]，所以 f （ x ）max＝ f （ c ），故A正确；
若 f （ x ）在[ a ， c ）上是增函数，在[ c ， b ]上是减函数，函数的
最大值不一定为 f （ c ），
如 f （ x ）＝值域为[－1，2），没有最大
值，故B错误；
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若 f （ x ）在（ a ， c ]上是增函数，在[ c ， b ]上是减函数，函数的
最大值不一定为 f （ c ），例如函数 f （ x ）＝
其图象如图所示.
显然 f （ x ）在（1，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数，但 f
（ x ）在[1，3]上的最大值是 f （1）＝2，故C不正确.若 f （ x ）在
[ a ， c ]上是增函数，在（ c ， b ]上是减函数，函数的最大值不一定
为 f （ c ），故D错误.故选B、C、D.
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6. 已知三点 A （－3，－1）， B （0，2）， C （ m ，4）在同一直线
上，则实数 m 的值为 .
解析：因为 A ， B ， C 三点在同一直线上，所以 kAB ＝ kBC ，即
＝ ，故 m ＝2.
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7. 若关于 x 的不等式｜ x －2｜－｜ x ＋3｜＜ a 无解，则实数 a 的取值
范围是 .
解析：根据题意，设 f （ x ）＝｜ x －2｜－｜ x ＋3｜，则 f （ x ）＝
易得 f （ x ）min＝－5.
因为关于 x 的不等式｜ x －2｜－｜ x ＋3｜＜ a 无解，所以 f （ x ）≥
a 恒成立，即 f （ x ）min≥ a ，故 a ≤－5.
（－∞，－5]
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8. 已知函数 y ＝－ x2－2 x ＋3在[ a ，2]上的最大值为 ，则 a ＝ 　－ 　.
解析： y ＝－ x2－2 x ＋3＝－（ x ＋1）2＋4，对称轴方程为 x ＝－
1，当 a ≤－1时， x ＝－1，函数取得最大值为4，不合题意舍去，
当 a ＞－1时， x ＝ a ，函数取得最大值为－ a2－2 a ＋3＝ ，即4 a2
＋8 a ＋3＝0，（2 a ＋3）（2 a ＋1）＝0，解得 a ＝－ 或 a ＝－
（舍去）.
－ 　
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9. 已知函数 f （ x ）＝ － （ a ＞0， x ＞0）.
（1）求证： f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数；
解：证明：设 x1， x2∈（0，＋∞）且 x1≠ x2，则
＝
＝ ＝ ，
由 x1， x2∈（0，＋∞）知， x1 x2＞0， ＞0，
∴ ＞0，故 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数.
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（2）若 f （ x ）在 上的值域是 ，求 a 的值.
解：由（1）可知， f （ x ）在 上为增函数，
∴ f ＝ －2＝ ， f （2）＝ － ＝2，
解得 a ＝ .
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10. 已知函数 f （ x ）＝有最小值，则 a 的
取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　当 x ≥0时， f （ x ）＝（ x －1）2－1 ，此时 f （ x ）min＝
f （1）＝－1；当 x ＜0时， f （ x ）＝（ a －1） x ＋2 a .
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① a ＝1时， f （ x ）＝2为常函数，此时在R上满足函数 f （ x ）有
最小值为－1.
② a ≠1时，函数 f （ x ）在（－∞，0）上为一次函数，若要满足
在R上有最小值，
需
解得－ ≤ a ＜1，
综上，满足题意的实数 a 的取值范围为 .
故选C.
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11. “ x ∈[1，2]， t ∈[1，2]，使得 x ＋2＞ t ＋ m 成立”为真命
题，则实数 m 的范围为 .
解析：令 f （ x ）＝ x ＋2， g （ t ）＝ t ＋ m ，要想 x ∈[1，2]， t
∈[1，2]，使得 x ＋2＞ t ＋ m 成立为真命题，只需 f （ x ）min＞ g
（ t ）min，其中 f （ x ）＝ x ＋2在[1，2]上单调递增， f （ x ）min＝ f
（1）＝3， g （ t ）＝ t ＋ m 在[1，2]上单调递增， g （ t ）min＝ g
（1）＝1＋ m ，故3＞1＋ m ，解得 m ＜2.所以实数 m 的范围为（－
∞，2）.
（－∞，2）　
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12. 已知 f （ x ）＝ （ x ≠ a ）.
（1）若 a ＝－2，试证 f （ x ）在（－∞，－2）内单调递增；
解：证明：当 a ＝－2时， f （ x ）＝ .
设 x1， x2∈（－∞，－2），且 x1≠ x2，则
＝ ＝
＝ .
由 x1， x2∈（－∞，－2）知， x1＋2＜0， x2＋2＜0，
所以（ x1＋2）（ x2＋2）＞0，即 ＞0，
所以 f （ x ）在（－∞，－2）内单调递增.
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（2）若 a ＞0且 f （ x ）在（1，＋∞）内单调递减，求 a 的取
值范围.
解：任取 x1， x2∈（1，＋∞），且 x1≠ x2，
则 ＝
＝
＝ .
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由 a ＞0， x1， x2∈（1，＋∞），且 ＜0知（ x1－ a ）·（ x2
－ a ）＞0恒成立，所以 a ≤1，
故0＜ a ≤1，
所以 a 的取值范围为（0，1].
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13. 已知min{ a ， b }＝设 f （ x ）＝min{ x －2，－ x2＋4 x
－2}，则函数 f （ x ）的最大值是（　　）
A. －2 B. 1
C. 2 D. 3
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解析：　法一　当 x －2≤－ x2＋4 x －2，即 x ∈[0，3]时， f
（ x ）＝ x －2在 x ∈[0，3]上单调递增，所以 f （ x ）max＝ f （3）
＝3－2＝1，当 x －2＞－ x2＋4 x －2，即 x ∈（－∞，0）∪（3，
＋∞）时， f （ x ）＝－ x2＋4 x －2＝－（ x －2）2＋2在 x ∈（－
∞，0）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减，因为 f （0）＝
－2， f （3）＝1，所以 f （ x ）＜ f （3）＝1.
综上：函数 f （ x ）的最大值为1.故选B.
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法二　由 x －2≤－ x2＋4 x －2得 x2－3 x ≤0，
∴0≤ x ≤3，∴ f （ x ）＝
其图象如图所示（实线部分）.
∵ f （ x ）图象的最高点是（3，1），
∴ f （ x ）max＝ f （3）＝1.
故选B.
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14. 已知函数 y ＝ x ＋ 有如下性质：如果常数 t ＞0，那么该函数在
（0， ]上是减函数，在[ ，＋∞）上是增函数.已知 f （ x ）＝
， x ∈[0，1]，利用上述性质，求函数 f （ x ）的单调区
间和值域.
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解： f （ x ）＝ ＝2 x ＋1＋ －8，
设 u ＝2 x ＋1， x ∈[0，1]，
则1≤ u ≤3，
故 y ＝ u ＋ －8， u ∈[1，3].
由已知性质得，当1≤ u ≤2，
即0≤ x ≤ 时， f （ x ）单调递减，所以递减区间为 ；
当2≤ u ≤3，即 ≤ x ≤1时， f （ x ）单调递增，
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所以递增区间为 .
由 f （0）＝－3， f ＝－4， f （1）＝－ ，
得 f （ x ）的值域为[－4，－3].
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