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模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知命题p： x0＞2，－8＞0，那么 p为（　　）
A. x0＞2，－8≤0 B. x＞2，x3－8≤0
C. x0≤2，－8≤0 D. x≤2，x3－8≤0
2.已知集合M＝，N＝{x｜x＜－5或x＞5}，则M∪N＝（　　）
A.{x｜x＜－5或x＞－3} B.{x｜－5＜x＜5}
C.{x｜－3＜x＜5} D.{x｜x＜－3或x＞5}
3.已知函数f（x）＝其中x∈N，则f（8）＝（　　）
A.2　 B.4
C.6 D.7
4.设偶函数f（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，则（　　）
A.f＜f（－1）＜f（2） B.f（2）＜f＜f（－1）
C.f（2）＜f（－1）＜f D.f（－1）＜f＜f（2）
5.已知函数f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）＝f＋f的定义域是（　　）
A. B. C. D.[0，2]
6.用二分法求方程f（x）＝0在区间（1，2）内的唯一实数解x0时，经计算得f（1）＝，f（2）＝－5，f＝9，则下列结论正确的是（　　）
A.x0∈ B.x0＝－
C.x0∈ D.x0＝1
7.图中阴影部分的面积S是关于h的函数（0≤h≤H），则该函数的大致图象是（　　）
8.已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x＋1）既是奇函数又是增函数，f（3）＝2，则f（2x－1）＜－2的解集为（　　）
A.{x｜x＜－2} B.{x｜x＜－3}
C.{x｜x＜－1} D.{x｜x＜0}
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（　　）
A.若a＞b，则＜ B.若a＞b，则ac2≥bc2
C.若a＞0＞b，则a2＜－ab D.若c＞a＞b＞0，则＞
10.已知定义域为R的函数f（x）在区间（1，＋∞）上为减函数，且函数y＝f（x＋1）为偶函数，则（　　）
A.f（－2）＞f（3） B.f（－2）＞f（5）
C.f（－3）＞f（5） D.f（－3）＞f（6）
11.已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（　　）
A.f（x）的图象关于y轴对称 B.f（x）的单调减区间为（2，＋∞）
C.f（x）的值域为R D.当x∈（－2，2）时，f（x）有最大值
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.设f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是减函数，f（1）＝0，则＜0的解集是　　　　.
13.某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算（出厂价格为正整数），若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠.如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a元，则a的值为　　　　.
14.定义max{a，b}＝则max{x2＋x－1，｜x－2｜}的最小值为　　　 　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知集合A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，C＝{x｜5－a＜x＜a}.
（1）求A∪B， RA；
（2）若C （A∪B），求实数a的取值范围.
16.（本小题满分15分）设实数x，y满足x＋＝1.
（1）若｜7－y｜＜2x＋3，求x的取值范围；
（2）若x＞0，y＞0，求证：≥xy.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝（x≥0）.
（1）证明：f（x）在区间[0，＋∞）上为增函数；
（2）若在[0，2]上存在实数x0，使得f（x0）＞＋1成立，求正数m的取值范围.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝｜x－a｜，a∈R.
（1）若a＝1，当x∈[1，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）若存在b∈[0，2]，对任意x∈[1，2]都有f（x）≤bx－2成立，求实数a的取值范围.
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝－，g（x）＝f（x）＋a.
（1）证明函数f（x）为奇函数；
（2）判断函数f（x）的单调性（无需证明），并求函数f（x）的值域；
（3）是否存在实数a，使得g（x）的最大值为？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
模块综合检测
1.B　已知命题p： x0＞2，－8＞0，那么 p是 x＞2，x3－8≤0.故选B.
2.A　由并集的定义可得M∪N＝{x｜x＜－5或x＞－3}.故选A.
3.D　∵f（x）＝其中x∈N，∴f（8）＝f[f（13）]＝f（10）＝7.故选D.
4.B　因为函数y＝f（x）为偶函数，则f（2）＝f（－2），由于函数y＝f（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－＜－1，∴f（－2）＜f＜f（－1），即f（2）＜f＜f（－1）.故选B.
5.A　 因为函数f（x）的定义域是[0，2]，所以有： ≤x≤.故选A.
6.C　由于f·f（2）＜0，则x0∈.
7.B　由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小的越来越慢，结合选项可知选B.
8.D　令g（x）＝f（2x＋1），因为g（x）既是奇函数又是增函数，f（3）＝2，
所以g（1）＝f（3）＝2，所以g（－1）＝－2，所以不等式f（2x－1）＜－2等价于g（x－1）＜g（－1），所以x－1＜－1，即x＜0.故选D.
9.BD　根据a＞b，取a＝1，b＝－1，则＜不成立，故A错误；∵a＞b，∴由不等式的基本性质知ac2≥bc2成立，故B正确；由a＞0＞b，取a＝1，b＝－1，则a2＜－ab不成立，故C错误；∵c＞a＞b＞0，∴（a－b）c＞0，
∴ac－ab＞bc－ab，即a（c－b）＞b（c－a），
∵c－a＞0，c－b＞0，∴＞，故D正确.故选B、D.
10.BD　∵y＝f（x＋1）为偶函数，
∴f（－x＋1）＝f（x＋1）.
∴f（－2）＝f（4），f（－3）＝f（5）.又知f（x）在（1，＋∞）上为减函数，
∴f（－2）＜f（3），f（－2）＞f（5），f（－3）＝f（5）＞f（6）.故选B、D.
11.AD　对于A，函数f（x）＝的定义域为{x｜x≠±2}，关于原点对称，且f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，当x∈（－∞，－2）∪（－2，0）时，f（x）＝＝－，当x∈[0，2）∪（2，＋∞）时，f（x）＝＝，所以f（x）的单调递减区间为[0，2）和（2，＋∞），故B错误；
对于C，由函数解析式可得f（x）≠0，故C错误；
对于D，当x∈（－2，0）时，f（x）＝－为增函数，f（x）＜f（0）＝－，当x∈[0，2）时，f（x）＝为减函数，f（x）≤f（0）＝－，所以当x∈（－2，2）时，f（x）有最大值为f（0）＝－，故D正确.故选A、D.
12.{x｜x＜－1或x＞1}　解析：因为f（x）为奇函数，所以f（－1）＝－f（1）＝0，当x＜0时，由＜0得出f（x）＞0＝f（－1），因为f（x）在（－∞，0）上是减函数，所以x＜－1；
当x＞0时，由＜0得出f（x）＜0＝f（1），因为f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以x＞1，
所以＜0的解集是{x｜x＜－1或x＞1}.
13.6 600　解析：设按出厂价y元购买x套应付a元，
则a＝xy（且x≤50，x，y∈N*）.
再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元，则a＝（x＋11）（y－30），其中x＋11＞50.
∴xy＝（x＋11）（y－30）（39＜x≤50）.
∴x＝y－30.又x∈N*，y∈N*（因价格为正整数），39＜x≤50，∴x＝44，y＝150，a＝44×150＝6 600.
14.1　解析：令x2＋x－1＝｜x－2｜得：x＝－3或x＝1，由题意可得：
max{x2＋x－1，｜x－2｜}＝画出函数对应的图象如所示：
由图可得：当x＝1时，max{x2＋x－1，｜x－2｜}最小，代入解析式可得最小值为1.
15.解：（1）∵集合A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，
∴A∪B＝{x｜2＜x＜10}， RA＝{x｜x＜3或x≥7}.
（2）由A∪B＝{x｜2＜x＜10}，
①当C＝ 时，5－a≥a，解得a≤.
②当C≠ 时，若C （A∪B），
则解得＜a≤3.
综上所述，实数a的取值范围是{a｜a≤3}.
16.解：（1）因为x＋＝1，所以4x＋y＝4，即y＝4－4x，
又｜7－y｜＜2x＋3，所以｜4x＋3｜＜2x＋3，则－2x－3＜4x＋3＜2x＋3，解得－1＜x＜0，故x的取值范围为（－1，0）.
（2）证明：因为x＞0，y＞0，所以1＝x＋≥2＝，
即≤1，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝2时等号成立，
所以－xy＝（1－）≥0，所以≥xy.
17.解：（1）证明：因为f（x）＝＝2－，任取x1，x2∈[0，＋∞），且x2＜x1，
则f（x1）－f（x2）＝－＝，
因为x1，x2∈[0，＋∞），且x2＜x1，故可得x1－x2＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
故可得f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在[0，＋∞）上为增函数.
（2）由（1）可知，f（x）是[0，＋∞）上的单调增函数，故f（x）在[0，2]上的最大值为f（2）＝，
若在[0，2]上存在实数x0，使得f（x0）＞＋1成立，则＞＋1，
解得m＜2，故正数m的取值范围为（0，2）.
18.解：（1）若a＝1，x∈[1，2]，则f（x）＝｜x－1｜＝x－.又∵f（x）在区间[1，2]上单调递增，∴f（x）的值域是.
（2）①x∈[1，2]，当a≤1时，f（x）＝（x－a）＝，
∵f（x）≤bx－2，∴≤bx－2，∴b≥＋，只需2≥＋，x∈[1，2]，
∴a2≥－x2＋2x，x∈[1，2]，∴a2≥（－x2＋2x）max＝1，∴a≥1或a≤－1，因此a≤－1或a＝1；
②当a＞1时，∵f（x）≤bx－2，∴b≥，x∈[1，2]，
必须有b≥f（1）＋2＝（1＋a）｜1－a｜＋2＞2，这与b∈[0，2]矛盾.
综上a≤－1或a＝1.
19.解：（1）证明：∵∴－1≤x≤1，
∴f（x）的定义域为[－1，1]，
又 f（－x）＝－＝－f（x），
∴f（x）为奇函数.
（2）f（x）在[－1，1]上单调递增.
∵f（x）在[－1，1]上单调递增，
∴f（x）min＝f（－1）＝－，
∴f（x）max＝f（1）＝，f（x）的值域为[－，].
（3）g（x）＝－＋a，
令－＝t（t∈[－，]），
则2－2＝t2， ＝，
∴y＝t＋a＝－t2＋t＋a（t∈[－，]），
①当a＝0时，y＝t在[－，]上单调递增，
∴t＝时，ymax＝（符合题意）；
②当a＞0时，图象开口向下，对称轴t＝＞0，
当0＜≤，即a≥，t＝时，ymax＝＋a＝，
∴a＝；
当＞，即0＜a＜，t＝时，ymax＝（符合题意）.
③a＜0时，图象开口向上，对称轴x＝＜0，
当t＝时，ymax＝（符合题意）.
综上，a的取值范围为.
2 / 2(共36张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知命题 p ： x0＞2， －8＞0，那么 p 为（　　）
A. x0＞2， －8≤0 B. x ＞2， x3－8≤0
C. x0≤2， －8≤0 D. x ≤2， x3－8≤0
解析：　已知命题 p ： x0＞2， －8＞0，那么 p 是 x ＞2，
x3－8≤0.故选B.
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2. 已知集合 M ＝ ， N ＝{ x ｜ x ＜－5或 x ＞5}，则 M
∪ N ＝（　　）
A. { x ｜ x ＜－5或 x ＞－3} B. { x ｜－5＜ x ＜5}
C. { x ｜－3＜ x ＜5} D. { x ｜ x ＜－3或 x ＞5}
解析：　由并集的定义可得 M ∪ N ＝{ x ｜ x ＜－5或 x ＞－3}.
故选A.
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3. 已知函数 f （ x ）＝其中 x ∈N，则 f （8）＝
（　　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 7
解析：　∵ f （ x ）＝其中 x ∈N，∴ f
（8）＝ f [ f （13）]＝ f （10）＝7.故选D.
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4. 设偶函数 f （ x ）在区间（－∞，－1]上单调递增，则（　　）
A. f ＜ f （－1）＜ f （2）
B. f （2）＜ f ＜ f （－1）
C. f （2）＜ f （－1）＜ f
D. f （－1）＜ f ＜ f （2）
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解析：　因为函数 y ＝ f （ x ）为偶函数，则 f （2）＝ f （－2），
由于函数 y ＝ f （ x ）在区间（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－
＜－1，∴ f （－2）＜ f ＜ f （－1），即 f （2）＜ f ＜ f
（－1）.故选B.
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5. 已知函数 f （ x ）的定义域是[0，2]，则函数 g （ x ）＝ f ＋ f
的定义域是（　　）
A. B.
C. D. [0，2]
解析：　 因为函数 f （ x ）的定义域是[0，2]，所以有：
≤ x ≤ .故选A.
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6. 用二分法求方程 f （ x ）＝0在区间（1，2）内的唯一实数解 x0时，
经计算得 f （1）＝ ， f （2）＝－5， f ＝9，则下列结论正确
的是（　　）
A. x0∈ B. x0＝－
C. x0∈ D. x0＝1
解析：　由于 f · f （2）＜0，则 x0∈ .
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7. 图中阴影部分的面积 S 是关于 h 的函数（0≤ h ≤ H ），则该函数的
大致图象是（　　）
解析：　由题图知，随着 h 的增大，阴影部分的面积 S 逐渐减小，
且减小的越来越慢，结合选项可知选B.
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8. 已知函数 f （ x ）的定义域为R，且 f （2 x ＋1）既是奇函数又是增函
数， f （3）＝2，则 f （2 x －1）＜－2的解集为（　　）
A. { x ｜ x ＜－2} B. { x ｜ x ＜－3}
C. { x ｜ x ＜－1} D. { x ｜ x ＜0}
解析：　令 g （ x ）＝ f （2 x ＋1），因为 g （ x ）既是奇函数又是
增函数， f （3）＝2，
所以 g （1）＝ f （3）＝2，所以 g （－1）＝－2，所以不等式 f （2 x
－1）＜－2等价于 g （ x －1）＜ g （－1），所以 x －1＜－1，即 x
＜0.故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的
得部分分，有选错的得0分）
9. 对于实数 a ， b ， c ，下列命题是真命题的为（　　）
A. 若 a ＞ b ，则 ＜
B. 若 a ＞ b ，则 ac2≥ bc2
C. 若 a ＞0＞ b ，则 a2＜－ ab
D. 若 c ＞ a ＞ b ＞0，则 ＞
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解析：　根据 a ＞ b ，取 a ＝1， b ＝－1，则 ＜ 不成立，故A
错误；∵ a ＞ b ，∴由不等式的基本性质知 ac2≥ bc2成立，故B正
确；由 a ＞0＞ b ，取 a ＝1， b ＝－1，则 a2＜－ ab 不成立，故C错
误；∵ c ＞ a ＞ b ＞0，∴（ a － b ） c ＞0，∴ ac － ab ＞ bc － ab ，即
a （ c － b ）＞ b （ c － a ），∵ c － a ＞0， c － b ＞0，∴ ＞
，故D正确.故选B、D.
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10. 已知定义域为R的函数 f （ x ）在区间（1，＋∞）上为减函数，且
函数 y ＝ f （ x ＋1）为偶函数，则（　　）
A. f （－2）＞ f （3） B. f （－2）＞ f （5）
C. f （－3）＞ f （5） D. f （－3）＞ f （6）
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解析：　∵ y ＝ f （ x ＋1）为偶函数，
∴ f （－ x ＋1）＝ f （ x ＋1）.
∴ f （－2）＝ f （4）， f （－3）＝ f （5）.又知 f （ x ）在（1，＋
∞）上为减函数，
∴ f （－2）＜ f （3）， f （－2）＞ f （5）， f （－3）＝ f （5）＞ f
（6）.故选B、D.
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11. 已知函数 f （ x ）＝ ，下列结论中正确的是（　　）
A. f （ x ）的图象关于 y 轴对称
B. f （ x ）的单调减区间为（2，＋∞）
C. f （ x ）的值域为R
D. 当 x ∈（－2，2）时， f （ x ）有最大值
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解析：　对于A，函数 f （ x ）＝ 的定义域为{ x ｜ x
≠±2}，关于原点对称，且 f （－ x ）＝ ＝ ＝ f
（ x ），所以 f （ x ）为偶函数， f （ x ）的图象关于 y 轴对称，故A
正确；
对于B，当 x ∈（－∞，－2）∪（－2，0）时， f （ x ）＝ ＝
－ ，当 x ∈[0，2）∪（2，＋∞）时， f （ x ）＝ ＝ ，
所以 f （ x ）的单调递减区间为[0，2）和（2，＋∞），故B错误；
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对于C，由函数解析式可得 f （ x ）≠0，故C错误；
对于D，当 x ∈（－2，0）时， f （ x ）＝－ 为增函数， f （ x ）
＜ f （0）＝－ ，
当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝ 为减函数， f （ x ）≤ f （0）＝－
，
所以当 x ∈（－2，2）时， f （ x ）有最大值为 f （0）＝－ ，故D
正确.故选A、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 设 f （ x ）是奇函数，且在（－∞，0）上是减函数， f （1）＝0，
则 ＜0的解集是 .
{ x ｜ x ＜－1或 x ＞1}　
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解析：因为 f （ x ）为奇函数，所以 f （－1）＝－ f （1）＝0，
当 x ＜0时，由 ＜0得出 f （ x ）＞0＝ f （－1），
因为 f （ x ）在（－∞，0）上是减函数，所以 x ＜－1；
当 x ＞0时，由 ＜0得出 f （ x ）＜0＝ f （1），
因为 f （ x ）在（0，＋∞）上是减函数，所以 x ＞1，
所以 ＜0的解集是{ x ｜ x ＜－1或 x ＞1}.
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13. 某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协
商，同意按出厂价结算（出厂价格为正整数），若超过50套就可
以每套比出厂价低30元给予优惠.如果按出厂价购买应付 a 元，但
再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付 a 元，则 a 的值为
.
6 600
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解析：设按出厂价 y 元购买 x 套应付 a 元，
则 a ＝ xy （且 x ≤50， x ， y ∈N*）.
再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付 a 元，则 a ＝（ x ＋11）
（ y －30），其中 x ＋11＞50.
∴ xy ＝（ x ＋11）（ y －30）（39＜ x ≤50）.
∴ x ＝ y －30.
又 x ∈N*， y ∈N*（因价格为正整数），39＜ x ≤50，
∴ x ＝44， y ＝150， a ＝44×150＝6 600.
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14. 定义max{ a ， b }＝则max{ x2＋ x －1，｜ x －2｜}的最
小值为 .
解析：令 x2＋ x －1＝｜ x －2｜得： x ＝－3或 x ＝1，由题意可得：
max{ x2＋ x －1，｜ x －2｜}＝
画出函数对应的图象如
所示：由图可得：当 x ＝1时，max{ x2＋ x －1，｜ x －2｜}最小，代入解析式可得最小值为1.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知集合 A ＝{ x ｜3≤ x ＜7}， B ＝{ x ｜2＜ x
＜10}， C ＝{ x ｜5－ a ＜ x ＜ a }.
（1）求 A ∪ B ， R A ；
解：∵集合 A ＝{ x ｜3≤ x ＜7}， B ＝{ x ｜2＜ x ＜10}，
∴ A ∪ B ＝{ x ｜2＜ x ＜10}， R A ＝{ x ｜ x ＜3或 x ≥7}.
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（2）若 C （ A ∪ B ），求实数 a 的取值范围.
解：由 A ∪ B ＝{ x ｜2＜ x ＜10}，
①当 C ＝ 时，5－ a ≥ a ，解得 a ≤ .
②当 C ≠ 时，若 C （ A ∪ B ），
则＜ a ≤3.
综上所述，实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤3}.
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16. （本小题满分15分）设实数 x ， y 满足 x ＋ ＝1.
（1）若｜7－ y ｜＜2 x ＋3，求 x 的取值范围；
解：因为 x ＋ ＝1，所以4 x ＋ y ＝4，即 y ＝4－4 x ，
又｜7－ y ｜＜2 x ＋3，所以｜4 x ＋3｜＜2 x ＋3，则－2 x －3
＜4 x ＋3＜2 x ＋3，解得－1＜ x ＜0，故 x 的取值范围为（－
1，0）.
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（2）若 x ＞0， y ＞0，求证： ≥ xy .
解：证明：因为 x ＞0， y ＞0，所以1＝ x ＋ ≥2 ＝ ，
即 ≤1，当且仅当 x ＝ ＝ ，即 x ＝ ， y ＝2时等号成
立，所以 － xy ＝ （1－ ）≥0，所以 ≥ xy .
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17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ （ x ≥0）.
（1）证明： f （ x ）在区间[0，＋∞）上为增函数；
解：证明：因为 f （ x ）＝ ＝2－ ，任取 x1，
x2∈[0，＋∞），且 x2＜ x1，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ ，
因为 x1， x2∈[0，＋∞），且 x2＜ x1，故可得 x1－ x2＞0， x1
＋1＞0， x2＋1＞0，
故可得 f （ x1）－ f （ x2）＞0，即 f （ x1）＞ f （ x2），故 f
（ x ）在[0，＋∞）上为增函数.
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（2）若在[0，2]上存在实数 x0，使得 f （ x0）＞ ＋1成立，求正
数 m 的取值范围.
解：由（1）可知， f （ x ）是[0，＋∞）上的单调增函
数，故 f （ x ）在[0，2]上的最大值为 f （2）＝ ，
若在[0，2]上存在实数 x0，使得 f （ x0）＞ ＋1成立，则
＞ ＋1，
解得 m ＜2，故正数 m 的取值范围为（0，2）.
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18. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝ ｜ x － a ｜， a ∈R.
（1）若 a ＝1，当 x ∈[1，2]时，求函数 f （ x ）的值域；
解：若 a ＝1， x ∈[1，2]，则 f （ x ）＝ ｜ x －
1｜＝ x － .又∵ f （ x ）在区间[1，2]上单调递增，∴ f
（ x ）的值域是 .
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（2）若存在 b ∈[0，2]，对任意 x ∈[1，2]都有 f （ x ）≤ bx －2成
立，求实数 a 的取值范围.
解：① x ∈[1，2]，当 a ≤1时， f （ x ）＝ （ x
－ a ）＝ ，
∵ f （ x ）≤ bx －2，∴ ≤ bx －2，∴ b ≥ ＋ ，只
需2≥ ＋ ， x ∈[1，2]，
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∴ a2≥－ x2＋2 x ， x ∈[1，2]，∴ a2≥（－ x2＋2 x ）max＝
1，∴ a ≥1或 a ≤－1，因此 a ≤－1或 a ＝1；
②当 a ＞1时，∵ f （ x ）≤ bx －2，∴ b ≥ ， x
∈[1，2]，
必须有 b ≥ f （1）＋2＝（1＋ a ）｜1－ a ｜＋2＞2，这与 b
∈[0，2]矛盾.
综上 a ≤－1或 a ＝1.
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19. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝ － ， g
（ x ）＝ f （ x ）＋ a .
（1）证明函数 f （ x ）为奇函数；
解：证明：∵∴－1≤ x ≤1，
∴ f （ x ）的定义域为[－1，1]，
又 f （－ x ）＝ － ＝－ f （ x ），
∴ f （ x ）为奇函数.
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（2）判断函数 f （ x ）的单调性（无需证明），并求函数 f （ x ）
的值域；
解：f （ x ）在[－1，1]上单调递增.
∵ f （ x ）在[－1，1]上单调递增，
∴ f （ x ）min＝ f （－1）＝－ ，
∴ f （ x ）max＝ f （1）＝ ， f （ x ）的值域为[－ ].
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（3）是否存在实数 a ，使得 g （ x ）的最大值为 ？若存在，求
出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：g （ x ）＝ － ＋ a ，
令 － ＝ t （ t ∈[－ ]），
则2－2 ＝ t2， ＝ ，
∴ y ＝ t ＋ a ＝－ t2＋ t ＋ a （ t ∈[－ ]），
①当 a ＝0时， y ＝ t 在[－ ]上单调递增，
∴ t ＝ 时， ymax＝ （符合题意）；
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②当 a ＞0时，图象开口向下，对称轴 t ＝ ＞0，
当0＜ ≤ ，即 a ≥ ， t ＝ 时， ymax＝ ＋ a ＝ ，
∴ a ＝ ；
当 ＞ ，即0＜ a ＜ ， t ＝ 时， ymax＝ （符合题
意）.
③ a ＜0时，图象开口向上，对称轴 x ＝ ＜0，
当 t ＝ 时， ymax＝ （符合题意）.
综上， a 的取值范围为 .
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