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第2课时　集合的表示
1.设A＝{x｜x≥2}，a＝3，下列各式正确的是（　　）
A.0∈A B.a A
C.a∈A D.－a∈A
2.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　　）
A.{x｜－3＜x＜11，x∈Z}
B.{x｜－3＜x＜11}
C.{x｜－3＜x＜11，x＝2k}
D.{x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}
3.（2024·淮安月考）下列集合表示中，两个集合相等的是（　　）
A.M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B.M＝{2，3}，N＝{3，2}
C.M＝{（x，y）｜x＋y＝1}，N＝{y｜x＋y＝1}
D.M＝{2，3}，N＝{（2，3）}
4.将集合M＝{（x，y）｜y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}，用列举法表示正确的是（　　）
A.{0，1，2}
B.{4，7，8}
C.{（1，7），（2，4）}
D.{（0，8），（1，7），（2，4）}
5.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，则集合B中元素的个数为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
6.（多选）下列命题中正确的是（　　）
A.集合{x｜x2＝1，x∈R}中有两个元素
B.集合{0}中没有元素
C.∈{x｜x＜2}
D.{1，2}与{2，1}是同一个集合
7.如图所示的Venn图表示的集合，用描述法可表示为　　　　.
8.（2024·常州月考） 方程组的解集用列举法可表示为　　　.
9.（2024·南京月考）定义P*Q＝{ab｜a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则P*Q中元素的个数是　　　　.
10.用适当的方法表示下列集合：
（1）由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
（2）方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合；
（3）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
11.下列选项中是集合A＝{（x，y）｜x＝，y＝，k∈Z}中的元素的是（　　）
A.（，4） B.（，）
C.（3，4） D.（4，3）
12.（多选）（2024·连云港质检）设集合M＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}.P＝{y｜y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则（　　）
A.a∈M B.a∈P
C.b∈M D.b∈P
13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集.集合A＝{－1，1，2}　　　　（填“是”或“不是”）可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集　　　　.
14.已知集合A＝{x｜ax2－3x＋1＝0，a∈R}.
（1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.
15.（2024·徐州月考）以某些整数为元素的集合P具有以下两个性质：①P中的元素有正整数，也有负整数；②若x，y∈P，则x＋y∈P.
（1）若x∈P，求证：3x∈P；
（2）求证：0∈P；
（3）判断集合P是有限集还是无限集，请说明理由.
第2课时　集合的表示
1.C　集合A＝{x｜x≥2}，∵a＝3，3＞2，∴a∈A.
2.D　由题意可知，满足题设条件的只有选项D.故选D.
3.B　选项A中的集合M是由点（3，2）组成的点集，集合N是由点（2，3）组成的点集，故集合M与N不相等；选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y｜x＋y＝1}＝R，故集合M与N不相等；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不相等；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N相等.故选B.
4.D　集合M是点集不是数集，故A、B错误；∵x∈N，y∈N，∴当x＝0时，y＝8∈N，即点（0，8）∈M；当x＝1时，y＝7∈N，即点（1，7）∈M；当x＝2时，y＝4∈N，即点（2，4）∈M；当x≥3时，y＝－x2＋8＜0，此时y N；综上可知M＝{（0，8），（1，7），（2，4）}，故选D.
5.C　由于集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，因为0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，所以B＝{0，1，2}.故集合B中元素的个数为3.故选C.
6.AD　{x｜x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}中有一个元素，这个元素是0；{x｜x＜2}＝{x｜x＜}，＞，故 {x｜x＜2}；根据集合中元素的无序性可知，{1，2}与{2，1}是同一个集合.故选A、D.
7.{x｜0＜x＜6，x∈Z}（答案不唯一）
解析：由Venn图可知，其表示的集合用描述法可表示为{x｜0＜x＜6，x∈Z}.
8.{（1，－1），（－2，2）}　解析：由方程组可得或所以方程组的解集是{（1，－1），（－2，2）}.
9.6　解析：若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1，2，3；若a＝2，则ab＝2，4，6.故P*Q＝{0，1，2，3，4，6}，共6个元素.
10.解：（1）小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}.
（2）方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x｜x2－4x＋4＝0，x∈R}.
（3）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y｜y＝x2＋2x－10}.
11.D　对于A，当x＝，y＝4时，由可知无解，不满足题意，故A错误；对于B，当x＝，y＝时，由可知无解，不满足题意，故B错误；对于C，当x＝3，y＝4时，由可知无解，不满足题意，故C错误；对于D，当x＝4，y＝3时，由得k＝12，满足题意，故D正确.故选D.
12.AD　设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2（n＋k）＋1∈M，x0y0＝2k（2n＋1）＝2（2nk＋k）∈P，即a∈M，b∈P.故选A、D.
13.不是　{1，2，}（答案不唯一）
解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若集合中有三个元素，则必有一个元素的倒数是它本身，故可取的集合有{1，2，}，{－1，3，}等.
14.解：（1）集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解，
所以a≠0，且Δ＝（－3）2－4a＞0，解得a＜且a≠0，
所以实数a的取值范围为{a｜a＜且a≠0}.
（2）当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，Δ＝（－3）2－4a≤0，即a≥.
所以实数a的取值范围为{a｜a≥或a＝0}.
15.解：（1）证明：由性质②可得若x∈P，则x＋x＝2x∈P，则x＋2x＝3x∈P.
（2）证明：设m∈N*，n∈N*，
由P具有性质①设m∈P，－n∈P，
由（1）知mn∈P，－mn∈P，
由P具有性质②知mn＋（－mn）＝0∈P.
（3）集合P为无限集，理由如下：
假设集合P为有限集，则集合P中元素必有最大值，且最大值为正整数，
不妨设最大值为a，由性质②可得2a∈P，与集合P中元素的最大值为a矛盾，所以集合P为无限集.
2 / 2第2课时　集合的表示
中国是四大文明古国之一，有着五千年的历史.“中国”一词，最早见于西周的青铜器“何尊”的铭文.新疆和田地区民丰县尼雅遗址出土的汉代织锦护臂也有“五星出东方利中国”这样的话.中华文明源远流长，历史上，在不同的时期有许多别称，像中华、华夏、九州等等.
【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　列举法
　将集合的元素　　　　　　　　　，并置于花括号“{　}”内，这种表示集合的方法称为列举法.
提醒　用列举法表示集合的注意点：①元素间用“，”隔开；②集合的“{}”已包含“所有”“全体”的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼.
【想一想】
小于100的正整数集合可以用列举法表示为{1，2，3，…，98，99}吗？
知识点二　描述法
　将集合的　　　　　　都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x｜p（x）}的形式，这种表示集合的方法称为描述法.其中x为集合的代表元素，p（x）指元素x具有的性质.
提醒　用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符号，如{x｜x＞1}不能写成{x＞1}；②不能出现未被说明的字母，如{x∈Z｜x＝2m}中m未被说明；③所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z｜x＝2m}，m∈N*”不符合要求.
【想一想】
集合A＝{x｜x－1＝0}与集合B＝{1}相等吗？
知识点三　Venn图
　为了直观地表示集合，常画一条　　　　的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图.
【想一想】
用Venn图表示集合的优点和缺点是什么？
知识点四　集合的分类
　按照集合中元素的个数分类
（1）有限集：含有　　　　个元素的集合称为有限集；
（2）无限集：含有　　　　个元素的集合称为无限集；
（3）空集：把　　　　　　元素的集合称为空集，记作 .
提醒　 与0，{0}，{ }之间的关系
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是
1.方程x2－4x＋3＝0的所有实数根组成的集合为（　　）
A.{1，3} B.{1}
C.{x2－4x＋3＝0} D.{x＝1，x＝3}
2.（多选）下列集合中，是空集的是（　　）
A.{x｜x＞6，且x＜5}
B.{x｜x2＋1＝0，x∈N}
C.{x｜x2＋x＋1＝0，x∈R}
D.{（x，y）｜x2＝－y2，y∈R}
3.分别用列举法和描述法表示由大于－1小于5的自然数组成的集合.
　　
题型一 用列举法表示集合
【例1】　（链接教科书第7页例1）用列举法表示下列集合：
（1）小于12的非负偶数组成的集合；
（2）不大于20的所有质数组成的集合；
（3）一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合.
通性通法
用列举法表示集合的步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
提醒　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.
【跟踪训练】
1.方程组的解集是（　　）
A.（－5，4） B.（5，－4）
C.{（－5，4）} D.{（5，－4）}
2.用列举法表示下列给定的集合：
（1）“Welcome”中的所有字母构成的集合；
（2）方程x3＝x的所有实数根组成的集合；
（3）直线y＝－3x＋12上所有满足x∈N*，y∈N*的点所组成的集合.
题型二 用描述法表示集合
【例2】　（链接教科书第7页例2）用描述法表示下列集合：
（1）大于－1的所有偶数组成的集合；
（2）不等式－3＜2x－1≤3的解集；
（3）坐标平面内第一象限的点组成的集合.
通性通法
描述法表示集合的步骤
提醒　描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，则不宜采用描述法.
【跟踪训练】
1.集合{（x，y）｜y＝2x－1}表示（　　）
A.方程y＝2x－1
B.点（x，y）
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
2.用描述法表示下列集合：
（1）所有奇数组成的集合；
（2）大于1且小于8的有理数组成的集合；
（3）被3除余2的正整数组成的集合.
题型三 集合表示法的应用
【例3】　若集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【母题探究】
1.（变条件）若集合A中有2个元素，求实数k的取值范围.
2.（变条件）若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围.
通性通法
集合与方程综合问题的解题策略
（1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数求参数问题，常把集合问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不相等的实数解；
（2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果；
（3）求出参数的值（范围）后务必要检验是否满足集合中元素的互异性.
【跟踪训练】
1.已知集合A＝{x｜x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＋b＝　　　　 　.
2.（2024·南通东南中学质检）若集合{x｜ax2＋x＋1＝0}有且只有一个元素，则实数a的取值集合是　　　　.
1.用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为（　　）
A.{x｜2＜x＜5，x∈N}　B.{2，3，4，5}
C.{2＜x＜5} D.{3，4}
2.（多选）（2024·南京月考）已知集合A＝{x｜kx2－3x＋1＝0，k∈R}.若集合A中仅有一个元素，则实数k的值为（　　）
A.0　　　B.2 C.　　　D.－
3.用描述法表示不等式3x＋2＞5的解集为　　　　.
4.已知集合A＝{x｜y＝x2}，B＝{y｜y＝x2}，C＝{（x，y）｜y＝x2}，它们三个集合相等吗？试说明理由.
第2课时　集合的表示
【基础知识·重落实】
知识点一
　一一列举出来
想一想
　提示：可以.当集合中的元素个数较多且具有明显的规律特征时也可以用列举法表示.
知识点二
　所有元素
想一想
　提示：A＝{x｜x－1＝0}＝{1}与集合B相等.
知识点三
　封闭
想一想
　提示：用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，能直观地表示集合之间的关系；缺点是集合中元素的特征性质不明显.
知识点四
　（1）有限　（2）无限　（3）不含任何
自我诊断
1.A　由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，∴用列举法表示实数根组成的集合为{1，3}.
2.ABC　D中，{（x，y）｜x2＝－y2，y∈R}＝{（0，0）}，A、B、C表示的是空集.故选A、B、C.
3.解：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4，故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}；用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1＜x＜5，故用描述法表示集合为{x｜－1＜x＜5，x∈N}.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为非负表示大于或等于0，所以小于12的非负偶数组成的集合是{0，2，4，6，8，10}.
（2）因为不大于20表示小于或等于20，所以不大于20的所有质数组成的集合是{2，3，5，7，11，13，17，19}.
（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1），故交点组成的集合是{（0，1）}.
跟踪训练
1.D　解方程组得故解集为{（5，－4）}.故选D.
2.解：（1）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}.
（2）方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以用列举法表示为{0，1，－1}.
（3）当x＝1时，y＝9；当x＝2时，y＝6；当x＝3时，y＝3，所以在直线y＝－3x＋12上满足x∈N*，y∈N*的所有点组成的集合为{（1，9），（2，6），（3，3）}.
【例2】　解：（1）偶数可表示为x＝2k，k∈Z，又因为大于－1，所以x＞－1，故此集合表示为{x｜x＞－1，x＝2k，k∈Z}.
（2）由－3＜2x－1≤3得－1＜x≤2，故此集合表示为{x｜－1＜x≤2，x∈R}.
（3）第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合表示为{（x，y）｜x＞0，y＞0}.
跟踪训练
1.D　本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D.
2.解：（1）奇数可表示为x＝2k－1，k∈Z，因此，这个集合表示为{x｜x＝2k－1，k∈Z}.
（2）大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x｜1＜x＜8，x∈Q}.
（3）根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x｜x＝3n＋2，n∈N}.
【例3】　解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2，
此时集合A＝{2}.
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意.
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.
母题探究
1.解：由题意得
解得k＜1，且k≠0.
故实数k的取值范围为{k｜k＜1，且k≠0}.
2.解：（1）当集合A中含有1个元素时，由例题知，k＝0或k＝1；
（2）当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，
即
解得k＞1.
综上，实数k的取值范围为{k｜k＝0或k≥1}.
跟踪训练
1.11　解析：由A＝{2，3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6，a＋b＝11.
2.　解析：当a＝0时，A＝{－1}，符合题意；当a≠0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－4a＝0得a＝.综上，当a＝0或a＝时，集合{x｜ax2＋x＋1＝0}只有一个元素，故实数a的取值集合为.
随堂检测
1.D　大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3，4}.故选D.
2.AC　当k＝0时，x＝，符合题意；当k≠0时，Δ＝（－3）2－4k＝0，所以k＝.综上，集合A中仅含有一个元素时，k＝0或k＝.故选A、C.
3.{x｜x＞1}　解析：由不等式3x＋2＞5得x＞1，用描述法可表示为{x｜x＞1}.
4.解：三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样.集合A表示y＝x2中x的取值范围，x∈R，∴A＝R；集合B表示y＝x2中y的范围，B＝{y｜y≥0}；集合C表示y＝x2上的点组成的集合.
4 / 4(共61张PPT)
第2课时　集合的表示
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
中国是四大文明古国之一，有着五千年的历史.“中国”一词，
最早见于西周的青铜器“何尊”的铭文.新疆和田地区民丰县尼雅遗
址出土的汉代织锦护臂也有“五星出东方利中国”这样的话.中华文
明源远流长，历史上，在不同的时期有许多别称，像中华、华夏、九
州等等.
【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　列举法
　将集合的元素 ，并置于花括号“{　}”内，这种
表示集合的方法称为列举法.
提醒　用列举法表示集合的注意点：①元素间用“，”隔开；②集合
的“{}”已包含“所有”“全体”的意思，比如{整数}，即代表整数
集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼.
一一列举出来　
【想一想】
小于100的正整数集合可以用列举法表示为{1，2，3，…，98，
99}吗？
提示：可以.当集合中的元素个数较多且具有明显的规律特征时也可
以用列举法表示.
知识点二　描述法
　将集合的 都具有的性质（满足的条件）表示出来，写
成{ x ｜ p （ x ）}的形式，这种表示集合的方法称为描述法.其中 x 为
集合的代表元素， p （ x ）指元素 x 具有的性质.
提醒　用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符
号，如{ x ｜ x ＞1}不能写成{ x ＞1}；②不能出现未被说明的字母，如
{ x ∈Z｜ x ＝2 m }中 m 未被说明；③所有描述的内容都要写在花括号
内，如“{ x ∈Z｜ x ＝2 m }， m ∈N*”不符合要求.
所有元素　
【想一想】
集合 A ＝{ x ｜ x －1＝0}与集合 B ＝{1}相等吗？
提示： A ＝{ x ｜ x －1＝0}＝{1}与集合 B 相等.
知识点三　Venn图
　为了直观地表示集合，常画一条 的曲线，用它的内部来表
示一个集合，称为Venn图.
封闭　
【想一想】
用Venn图表示集合的优点和缺点是什么？
提示：用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，能直观
地表示集合之间的关系；缺点是集合中元素的特征性质不明显.
知识点四　集合的分类
　按照集合中元素的个数分类
（1）有限集：含有 个元素的集合称为有限集；
（2）无限集：含有 个元素的集合称为无限集；
有限　
无限　
（3）空集：把 元素的集合称为空集，记作 .
不含任何　
提醒　 与0，{0}，{ }之间的关系
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无
的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；
0是实数 不含任何元素；{0}含
一个元素0 不含任何元素；
{ }含一个元素，该
元素是
1. 方程 x2－4 x ＋3＝0的所有实数根组成的集合为（　　）
A. {1，3} B. {1}
C. { x2－4 x ＋3＝0} D. { x ＝1， x ＝3}
解析：　由 x2－4 x ＋3＝0，得 x ＝1或 x ＝3，∴用列举法表示实
数根组成的集合为{1，3}.
2. （多选）下列集合中，是空集的是（　　）
A. { x ｜ x ＞6，且 x ＜5}
B. { x ｜ x2＋1＝0， x ∈N}
C. { x ｜ x2＋ x ＋1＝0， x ∈R}
D. {（ x ， y ）｜ x2＝－ y2， y ∈R}
解析：　D中，{（ x ， y ）｜ x2＝－ y2， y ∈R}＝{（0，
0）}，A、B、C表示的是空集.故选A、B、C.
3. 分别用列举法和描述法表示由大于－1小于5的自然数组成的集合.
解：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4，故用列举法表示集
合为{0，1，2，3，4}；用描述法表示可用 x 表示代表元素，其满
足的条件是 x ∈N且－1＜ x ＜5，故用描述法表示集合为{ x ｜－1＜
x ＜5， x ∈N}.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用列举法表示集合
【例1】　（链接教科书第7页例1）用列举法表示下列集合：
（1）小于12的非负偶数组成的集合；
解：因为非负表示大于或等于0，所以小于12的非负偶数组成的
集合是{0，2，4，6，8，10}.
（2）不大于20的所有质数组成的集合；
解：因为不大于20表示小于或等于20，所以不大于20的所有质
数组成的集合是{2，3，5，7，11，13，17，19}.
（3）一次函数 y ＝2 x ＋1的图象与 y 轴的交点所组成的集合.
解：将 x ＝0代入 y ＝2 x ＋1，得 y ＝1，即交点是（0，1），故交
点组成的集合是{（0，1）}.
通性通法
用列举法表示集合的步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
提醒　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点
的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”
隔开.
【跟踪训练】
1. 方程组的解集是（　　）
A. （－5，4） B. （5，－4）
C. {（－5，4）} D. {（5，－4）}
解析：　解方程组得故解集为{（5，
－4）}.故选D.
2. 用列举法表示下列给定的集合：
（1）“Welcome”中的所有字母构成的集合；
解：由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}.
（2）方程 x3＝ x 的所有实数根组成的集合；
解：方程 x3＝ x 的解是 x ＝0或 x ＝1或 x ＝－1，所以用列举法表示为{0，1，－1}.
（3）直线 y ＝－3 x ＋12上所有满足 x ∈N*， y ∈N*的点所组成
的集合.
解：当 x ＝1时， y ＝9；当 x ＝2时， y ＝6；当 x ＝3时，
y ＝3，所以在直线 y ＝－3 x ＋12上满足 x ∈N*， y ∈N*的所有
点组成的集合为{（1，9），（2，6），（3，3）}.
题型二 用描述法表示集合
【例2】　（链接教科书第7页例2）用描述法表示下列集合：
（1）大于－1的所有偶数组成的集合；
解：偶数可表示为 x ＝2 k ， k ∈Z，又因为大于－1，所以 x ＞－
1，故此集合表示为{ x ｜ x ＞－1， x ＝2 k ， k ∈Z}.
（2）不等式－3＜2 x －1≤3的解集；
解：由－3＜2 x －1≤3得－1＜ x ≤2，故此集合表示为{ x ｜－1
＜ x ≤2， x ∈R}.
（3）坐标平面内第一象限的点组成的集合.
解：第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合表示为
{（ x ， y ）｜ x ＞0， y ＞0}.
通性通法
描述法表示集合的步骤
提醒　描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有
明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较
多时，则不宜采用描述法.
【跟踪训练】
1. 集合{（ x ， y ）｜ y ＝2 x －1}表示（　　）
A. 方程 y ＝2 x －1
B. 点（ x ， y ）
C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D. 一次函数 y ＝2 x －1图象上的所有点组成的集合
解析：　本题中的集合是点集，其表示一次函数 y ＝2 x －1图象
上的所有点组成的集合.故选D.
2. 用描述法表示下列集合：
（1）所有奇数组成的集合；
解：奇数可表示为 x ＝2 k －1， k ∈Z，因此，这个集合
表示为{ x ｜ x ＝2 k －1， k ∈Z}.
（2）大于1且小于8的有理数组成的集合；
解：大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为
{ x ｜1＜ x ＜8， x ∈Q}.
（3）被3除余2的正整数组成的集合.
解：根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为
{ x ｜ x ＝3 n ＋2， n ∈N}.
题型三 集合表示法的应用
【例3】　若集合 A ＝{ x ｜ kx2－8 x ＋16＝0}只有一个元素，试求实数
k 的值，并用列举法表示集合 A .
解：当 k ＝0时，原方程变为－8 x ＋16＝0， x ＝2，
此时集合 A ＝{2}.
当 k ≠0时，则关于 x 的一元二次方程 kx2－8 x ＋16＝0有两个相等实
根，只需Δ＝64－64 k ＝0，即 k ＝1.
此时方程的解为 x1＝ x2＝4，集合 A ＝{4}，满足题意.
综上所述，实数 k 的值为0或1.当 k ＝0时， A ＝{2}；当 k ＝1时， A ＝
{4}.
【母题探究】
1. （变条件）若集合 A 中有2个元素，求实数 k 的取值范围.
解：由题意得
解得 k ＜1，且 k ≠0.
故实数 k 的取值范围为{ k ｜ k ＜1，且 k ≠0}.
2. （变条件）若集合 A 中至多有一个元素，求实数 k 的取值范围.
解：（1）当集合 A 中含有1个元素时，由例题知， k ＝0或 k ＝1；
（2）当集合 A 中没有元素时，方程 kx2－8 x ＋16＝0无解，即
解得 k ＞1.
综上，实数 k 的取值范围为{ k ｜ k ＝0或 k ≥1}.
通性通法
集合与方程综合问题的解题策略
（1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数求
参数问题，常把集合问题转化为方程的解的问题.如对于方程
ax2＋ bx ＋ c ＝0，当 a ＝0， b ≠0时，方程有一个解；当 a ≠0
时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ＜0，则方程无
解；若Δ＞0，则方程有两个不相等的实数解；
（2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的
取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果；
（3）求出参数的值（范围）后务必要检验是否满足集合中元素的互
异性.
【跟踪训练】
1. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ b ＝0}，若 A ＝{2，3}，则 a ＋ b
＝ .
解析：由 A ＝{2，3}知，方程 x2－ ax ＋ b ＝0的两根为2，3，由根
与系数的关系得因此 a ＝5， b ＝6， a ＋ b ＝11.
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2. （2024·南通东南中学质检）若集合{ x ｜ ax2＋ x ＋1＝0}有且只有
一个元素，则实数 a 的取值集合是 .
解析：当 a ＝0时， A ＝{－1}，符合题意；当 a ≠0时，若集合 A 只
有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－4 a ＝0得 a ＝ .综上，
当 a ＝0或 a ＝ 时，集合{ x ｜ ax2＋ x ＋1＝0}只有一个元素，故实
数 a 的取值集合为 .
　
1. 用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为（　　）
A. { x ｜2＜ x ＜5， x ∈N} B. {2，3，4，5}
C. {2＜ x ＜5} D. {3，4}
解析：　大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组
成的集合为{3，4}.故选D.
2. （多选）（2024·南京月考）已知集合 A ＝{ x ｜ kx2－3 x ＋1＝0， k
∈R}.若集合 A 中仅有一个元素，则实数 k 的值为（　　）
A. 0 B. 2
C. D. －
解析：　当 k ＝0时， x ＝ ，符合题意；当 k ≠0时，Δ＝（－
3）2－4 k ＝0，所以 k ＝ .综上，集合 A 中仅含有一个元素时， k ＝
0或 k ＝ .故选A、C.
3. 用描述法表示不等式3 x ＋2＞5的解集为 .
解析：由不等式3 x ＋2＞5得 x ＞1，用描述法可表示为{ x ｜ x ＞1}.
4. 已知集合 A ＝{ x ｜ y ＝ x2}， B ＝{ y ｜ y ＝ x2}， C ＝{（ x ， y ）｜ y
＝ x2}，它们三个集合相等吗？试说明理由.
解：三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意
义不一样.集合 A 表示 y ＝ x2中 x 的取值范围， x ∈R，∴ A ＝R；集
合 B 表示 y ＝ x2中 y 的范围， B ＝{ y ｜ y ≥0}；集合 C 表示 y ＝ x2上
的点组成的集合.
{ x ｜ x ＞1}　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 A ＝{ x ｜ x ≥2 }， a ＝3，下列各式正确的是（　　）
A. 0∈ A B. a A
C. a ∈ A D. － a ∈ A
解析：　集合 A ＝{ x ｜ x ≥2 }，∵ a ＝3，3＞2 ，∴ a ∈ A .
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2. 由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　　）
A. { x ｜－3＜ x ＜11， x ∈Z}
B. { x ｜－3＜ x ＜11}
C. { x ｜－3＜ x ＜11， x ＝2 k }
D. { x ｜－3＜ x ＜11， x ＝2 k ， k ∈Z}
解析：　由题意可知，满足题设条件的只有选项D. 故选D.
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3. （2024·淮安月考）下列集合表示中，两个集合相等的是（　　）
A. M ＝{（3，2）}， N ＝{（2，3）}
B. M ＝{2，3}， N ＝{3，2}
C. M ＝{（ x ， y ）｜ x ＋ y ＝1}， N ＝{ y ｜ x ＋ y ＝1}
D. M ＝{2，3}， N ＝{（2，3）}
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解析：　选项A中的集合 M 是由点（3，2）组成的点集，集合 N
是由点（2，3）组成的点集，故集合 M 与 N 不相等；选项C中的集
合 M 是由一次函数 y ＝1－ x 图象上的所有点组成的集合，集合 N 是
由一次函数 y ＝1－ x 图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即 N ＝
{ y ｜ x ＋ y ＝1}＝R，故集合 M 与 N 不相等；选项D中的集合 M 是
数集，而集合 N 是点集，故集合 M 与 N 不相等；对于选项B，由集
合中元素的无序性，可知 M ， N 相等.故选B.
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4. 将集合 M ＝{（ x ， y ）｜ y ＝－ x2＋8， x ∈N， y ∈N}，用列举法
表示正确的是（　　）
A. {0，1，2}
B. {4，7，8}
C. {（1，7），（2，4）}
D. {（0，8），（1，7），（2，4）}
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解析：　集合 M 是点集不是数集，故A、B错误；∵ x ∈N， y
∈N，∴当 x ＝0时， y ＝8∈N，即点（0，8）∈ M ；当 x ＝1时， y
＝7∈N，即点（1，7）∈ M ；当 x ＝2时， y ＝4∈N，即点（2，
4）∈ M ；当 x ≥3时， y ＝－ x2＋8＜0，此时 y N；综上可知 M ＝
{（0，8），（1，7），（2，4）}，故选D.
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5. 设集合 A ＝{－1，0，1，2，3，4}， B ＝{ x ｜ x ∈ A 且2 x ∈ A }，则
集合 B 中元素的个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　由于集合 A ＝{－1，0，1，2，3，4}， B ＝{ x ｜ x ∈ A
且2 x ∈ A }，因为0∈ A 且2×0∈ A ，1∈ A 且2×1∈ A ，2∈ A 且
2×2∈ A ，所以 B ＝{0，1，2}.故集合 B 中元素的个数为3.故选C.
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6. （多选）下列命题中正确的是（　　）
A. 集合{ x ｜ x2＝1， x ∈R}中有两个元素
B. 集合{0}中没有元素
C. ∈{ x ｜ x ＜2 }
D. {1，2}与{2，1}是同一个集合
解析：　{ x ｜ x2＝1， x ∈R}＝{1，－1}；集合{0}中有一个元
素，这个元素是0；{ x ｜ x ＜2 }＝{ x ｜ x ＜ }， ＞
，故 { x ｜ x ＜2 }；根据集合中元素的无序性可知，
{1，2}与{2，1}是同一个集合.故选A、D.
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7. 如图所示的Venn图表示的集合，用描述法可表示为
.
解析：由Venn图可知，其表示的集合用描述法可表示为{ x ｜0＜ x
＜6， x ∈Z}.
{ x ｜0＜ x ＜
6， x ∈Z}（答案不唯一）　
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8. （2024·常州月考） 方程组的解集用列举法可表示
为 .
解析：由方程组可得或所以方程
组的解集是{（1，－1），（－2，2）}.
{（1，－1），（－2，2）}　
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9. （2024·南京月考）定义P*Q＝{ ab ｜ a ∈ P ， b ∈ Q }，若 P ＝{0，
1，2}， Q ＝{1，2，3}，则P*Q中元素的个数是 .
解析：若 a ＝0，则 ab ＝0；若 a ＝1，则 ab ＝1，2，3；若 a ＝2，
则 ab ＝2，4，6.故P*Q＝{0，1，2，3，4，6}，共6个元素.
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10. 用适当的方法表示下列集合：
（1）由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
解：小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别
为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}.
（2）方程 x2－4 x ＋4＝0的实数根组成的集合；
解：方程 x2－4 x ＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{ x ｜ x2－4 x ＋4＝0， x ∈R}.
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（3）二次函数 y ＝ x2＋2 x －10的图象上所有点的纵坐标组成
的集合.
解：二次函数 y ＝ x2＋2 x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为 y ，是实数，故可用描述法表示为{ y ｜ y ＝ x2＋2 x －10}.
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11. 下列选项中是集合 A ＝{（ x ， y ）｜ x ＝ ， y ＝ ， k ∈Z}中的元
素的是（　　）
A. （ ，4） B. （ ， ）
C. （3，4） D. （4，3）
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解析：　对于A，当 x ＝ ， y ＝4时，由可知无解，不
满足题意，故A错误；对于B，当 x ＝ ， y ＝ 时，由可
知无解，不满足题意，故B错误；对于C，当 x ＝3， y ＝4时，由
可知无解，不满足题意，故C错误；
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对于D，当 x ＝4， y ＝3时，由得 k ＝12，满足题意，故D正确.故选D.
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12. （多选）（2024·连云港质检）设集合 M ＝{ x ｜ x ＝2 m ＋1， m
∈Z}. P ＝{ y ｜ y ＝2 m ， m ∈Z}，若 x0∈ M ， y0∈ P ， a ＝ x0＋
y0， b ＝ x0 y0，则（　　）
A. a ∈ M B. a ∈ P
C. b ∈ M D. b ∈ P
解析：　设 x0＝2 n ＋1， y0＝2 k ， n ， k ∈Z，则 x0＋ y0＝2 n ＋
1＋2 k ＝2（ n ＋ k ）＋1∈ M ， x0 y0＝2 k （2 n ＋1）＝2（2 nk ＋
k ）∈ P ，即 a ∈ M ， b ∈ P . 故选A、D.
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13. 若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数
集.集合 A ＝{－1，1，2} （填“是”或“不是”）可倒数
集.试写出一个含三个元素的可倒数集
.
解析：由于2的倒数 不在集合 A 中，故集合 A 不是可倒数集.
若集合中有三个元素，则必有一个元素的倒数是它本身，故可取的集合有{1，2， }，{－1，3， }等.
不是　
{1，2， }（答案不唯
一）
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14. 已知集合 A ＝{ x ｜ ax2－3 x ＋1＝0， a ∈R}.
（1）若集合 A 中有两个元素，求实数 a 的取值范围；
解：集合 A 中含有两个元素，
即关于 x 的方程 ax2－3 x ＋1＝0有两个不相等的实数解，
所以 a ≠0，且Δ＝（－3）2－4 a ＞0，解得 a ＜ 且 a ≠0，
所以实数 a 的取值范围为 .
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（2）若集合 A 中至多有一个元素，求实数 a 的取值范围.
解：当 a ＝0时， x ＝ ，符合题意；
当 a ≠0时，Δ＝（－3）2－4 a ≤0，
即 a ≥ .
所以实数 a 的取值范围为 .
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15. （2024·徐州月考）以某些整数为元素的集合 P 具有以下两个性
质：① P 中的元素有正整数，也有负整数；②若 x ， y ∈ P ，则 x
＋ y ∈ P .
（1）若 x ∈ P ，求证：3 x ∈ P ；
解：证明：由性质②可得若 x ∈ P ，则 x ＋ x ＝2 x ∈
P ，则 x ＋2 x ＝3 x ∈ P .
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（2）求证：0∈ P ；
解：证明：设 m ∈N*， n ∈N*，
由 P 具有性质①设 m ∈ P ，－ n ∈ P ，
由（1）知 mn ∈ P ，－ mn ∈ P ，
由 P 具有性质②知 mn ＋（－ mn ）＝0∈ P .
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（3）判断集合 P 是有限集还是无限集，请说明理由.
解：集合 P 为无限集，理由如下：
假设集合 P 为有限集，则集合 P 中元素必有最大值，且最大
值为正整数，
不妨设最大值为 a ，
由性质②可得2 a ∈ P ，
与集合 P 中元素的最大值为 a 矛盾，
所以集合 P 为无限集.
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