资源简介

1.2　子集、全集、补集
1.下列四个集合中，是空集的为（　　）
A.{0}
B.{x｜x＞8，且x＜5}
C.{x∈N｜x2－1＝0}
D.{x｜x＞4}
2.（2024·金陵中学质检）已知集合A＝{x｜x＜4，x∈N}，则（　　）
A.0 A B.－1∈A
C.{0} A D.{－1} A
3.已知集合M＝{x｜x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是（　　）
A.M＝N B.N M
C.M N D.N M
4.设集合A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{x｜x－a＞0}.若A B，则实数a的取值范围是（　　）
A.{a｜a≥1}
B.{a｜a＞1}
C.{a｜a＜－1}
D.{a｜a≤－1}
5.（多选）已知集合A＝{x｜x2－2x＝0}，则有（　　）
A. A
B.－2∈A
C.{0，2} A
D.A {y｜y＜3}
6.（多选）已知A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是（　　）
A.{1，8} B.{2，3}
C.{1} D.{2}
7.（2024·扬州月考）若集合A {1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有　　　　个.
8.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x｜1＜x＜5，x∈Z}，则集合 UA＝　　　　.
9.设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，a－5}，M U， UM＝{5，7}，则实数a＝　　　　.
10.已知集合A＝{x｜1≤x≤2}，B＝{x｜1≤x≤a}.
（1）若A B，求a的取值范围；
（2）若B A，求a的取值范围.
11.已知集合A＝{x｜x2＋x＝0，x∈R}，若集合B满足{0} B A，则集合B＝（　　）
A.{－1} B.{0}
C.{－1，0} D.{0，1}
12.（2024·常州月考）设U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}， UA＝{x｜x＜3或x＞4}，则a＋b＝（　　）
A.5 B.6
C.7 D.8
13.（多选）已知集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜2a－3＜x＜a－2}，则下列结论正确的是（　　）
A.不存在实数a使得A＝B
B.存在实数a使得A B
C.当0≤a≤4时，B A
D.存在实数a使得B A
14.已知集合M＝{x｜x2＋2x－a＝0}.
（1）若M≠ ，求实数a的取值范围；
（2）若N＝{x｜x2＋x＝0}且M N，求实数a的取值范围.
15.（2024·无锡月考）对于一个非空集合，如果集合满足如下四个条件：
①D {（a，b）｜a∈A，b∈A}；
②任意a∈A，（a，a）∈D；
③任意a，b∈A，若（a，b）∈D且（b，a）∈D，则a＝b；
④任意a，b，c∈A，若（a，b）∈D且（b，c）∈D，则（a，c）∈D，
则称集合D为集合A的一个“偏序关系”.
（1）设A＝{1，2，3}，试判断集合D＝{（1，1），（1，2），（2，2），（2，3），（3，3）}是不是集合A的一个“偏序关系”，请你写出一个含有4个元素且是集合A的“偏序关系”的集合；
（2）证明：R≤＝{（a，b）｜a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个“偏序关系”.
1.2　子集、全集、补集
1.B　满足x＞8且x＜5的实数不存在，故{x｜x＞8，且x＜5}＝ .
2.C　因为A＝{0，1，2，3}，则0∈A，－1 A，{0} A，{－1} A，故C对，A、B、D均错.故选C.
3.C　解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}，因为1∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M N.又因为0∈N但0 M，所以M N.故选C.
4.D　化简得集合B＝{x｜x＞a}，结合数轴可知，要使A B，则只要a≤－1即可，即实数a的取值范围是{a｜a≤－1}.故选D.
5.ACD　由题得集合A＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0，2}，所以C、D正确，B错误.故选A、C、D.
6.AC　∵A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，∴集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知A、C满足题意.
7.5　解析：若集合A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若集合A中含有两个奇数，则A＝{1，3}.综上，符合题意的集合A有5个.
8.{1，5}　解析：由于1＜x＜5，x∈Z，∴A＝{2，3，4}，∴ UA＝{1，5}.
9.8　解析：由题知a－5＝3，a＝8.
10.解：（1）若A B，由图可知，a＞2.
故实数a的取值范围为{a｜a＞2}.
（2）若B A，①当a＜1时，集合B是 ，符合题意；
②当a≥1时，由图可知，1≤a≤2.
故实数a的取值范围为{a｜a≤2}.
11.C　解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，所以集合A＝{－1，0}，因为集合B满足{0} B A，所以集合B＝{－1，0}.
12.C　因为 UA＝{x｜x＜3或x＞4}，所以A＝{x｜3≤x≤4}，又A＝{x｜a≤x≤b}，所以a＝3，b＝4，则a＋b＝7.故选C.
13.AD　对于A，由集合相等的概念可得此方程组无解，故不存在实数a使得A＝B，因此A正确；对于B，由A B，得即此不等式组无解，因此B错误；对于C，当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝ A，符合B A，当a＜1时，要使B A，需满足解得2≤a≤4，不满足a＜1，故这样的实数a不存在，故当a≥1时，B A，因此C错误；对于D，由C选项分析可得存在实数a使得B A，因此D正确.故选A、D.
14.解：（1）由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解，
∴Δ＝22－4×（－a）≥0，解得a≥－1，
∴实数a的取值范围是{a｜a≥－1}.
（2）∵N＝{x｜x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M N，
∴当M＝ 时，Δ＝22－4×（－a）＜0，解得a＜－1；
当M≠ 时，当Δ＝0时，a＝－1.
此时M＝{－1}，满足M N，符合题意；
当Δ＞0时，a＞－1，M中有两个元素，
若M N，则M＝N，从而根据一元二次方程根与系数的关系有无解.
综上，实数a的取值范围为{a｜a≤－1}.
15.解：（1）集合D满足①②③，但不满足④.
若集合D是集合A的“偏序关系”，则由（1，2）∈D，（2，3）∈D可知（1，3）∈D，而由条件可知（1，3） D，所以不满足④.
所以集合D不是集合的一个“偏序关系”.
含有4个元素且是集合A的一个“偏序关系”的集合是{（1，1），（1，2），（2，2），（3，3）}（答案不唯一）.
（2）证明：由题意得，R≤＝{（a，b）｜a∈R，b∈R，a≤b}，满足①②.
任意（a，b）∈D a≤b，且（b，a）∈D b≤a，则a＝b，满足条件③.
任意a，b，c∈R，若（a，b）∈R≤且（b，c）∈R≤，则a≤b，b≤c，所以a≤c，所以（a，c）∈R≤，满足条件④.
综上所述，R≤＝{（a，b）｜a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个“偏序关系”.
2 / 21.2　子集、全集、补集
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 数学抽象、逻辑推理
2.了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 数学抽象、数学运算
3.能理解用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用 数学抽象、直观想象
南京红山森林动物园拥有世界上具有代表性的动物和珍稀动物近300种4 000余只，有近二十多个品种的猴子，猴山是动物园最热闹的地方，聚集了100多只猕猴.如果猴山上的所有猕猴组成集合A，动物园内的所有猴子组成集合B.
【问题】　（1）集合A与集合B存在什么关系？
（2）如何用数学语言来表示这两个集合之间的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　子集、真子集
子集 真子集
概念 如果集合A的　　　　元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记作　 　或　 　，读作“集合A　　　　集合B”或“集合B包含集合A” 如果　　　　，并且　　　　，那么集合A称为集合B的真子集，记为　　　　或　　　　，读作“　　　　　　　”或“　　　　　　”
图示
结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即　　　　； （2）对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么　　　　； （3）规定 A，即空集是任何集合的子集 （1）若A B且B C，则A　　C； （2）若A B且A≠B，则A　　B； （3）空集是任何非空集合的真子集
提醒　（1）子集刻画了两个集合之间的关系，它反映的是局部与整体之间的关系（而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系）.“集合A是集合B的子集”可表述为：若x∈A，则x∈B；（2）在真子集的定义中，A B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A；（3）对于集合A，B，子集、真子集与集合相等的关系如下：A B A＝B或A B.即子集包含真子集和集合相等两种情况.
【想一想】
1.任意两个集合之间的关系有哪些情形，你能用Venn图表示吗？
2.你能用Venn图表示常用数集之间的关系吗？
知识点二　全集、补集
1.全集：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的　　　　　　，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
2.补集
文字语言 设A S，由S中不属于A的　　　　　组成的集合称为S的子集A的补集，记作　　　（读作“A在S中的补集”）
符号语言 SA＝　　　　　　　
图形语言
提醒　（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割；（2）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的.
1.已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，下列关系中正确的是（　　）
A.P∈Q B.P Q
C.Q P D.Q∈P
2.已知全集U＝{0，1，2}，且 UA＝{2}，则A＝（　　）
A.{0} B.{1}
C.{0，1} D.{0，1，2}
3.若全集U＝R，求集合A＝{x｜x＞2}的补集 UA.
题型一 集合间关系的判断
【例1】　（链接教科书第9页例1）判断下列两个集合之间的关系：
（1）A＝{1，2，3}，B＝{x｜（x－1）（x－2）·（x－3）＝0}；
（2）A＝{1，2，4}，B＝{x｜x是8的约数}；
（3）A＝{x｜0＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x≤3}；
（4）A＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}.
通性通法
判断集合间关系的常用方法
【跟踪训练】
1.能正确表示集合M＝{x∈R｜0≤x≤2}和集合N＝{x∈R｜x2－x＝0}关系的Venn图是（　　）
2.（多选）下列关系中正确的有（　　）
A.0∈{0}　　　　　 B. {0}
C.{0，1} {（0，1）} D.{（1，2）}＝{（2，1）}
题型二 确定集合的子集和真子集
【例2】　（链接教科书第9页例2）写出下列集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集：
（1）集合{a，b}；
（2）集合{a，b，c}.
通性通法
求集合子集、真子集个数的步骤
提醒　（1）要注意两个特殊的子集： 和自身；（2）对含有n个元素的集合，它的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
【跟踪训练】
1.（2024·南航附属高中月考）集合M＝{1，2，3}的子集个数为（　　）
A.5 B.6
C.7 D.8
2.（2024·淮安期中）满足{1} A {1，2，3}的集合A的个数为　　　　.
题型三 确定集合的补集
【例3】　（链接教科书第10页例4）（1）设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，试求 UA；
（2）设全集U＝R，不等式组的解集为A，试求A及 UA，并把它们分别表示在数轴上.
通性通法
求集合补集的2种方法
（1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
（2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.
【跟踪训练】
1.若全集U＝{x∈R｜－2≤x≤2}，集合A＝{x∈R｜－2≤x≤0}，则 UA＝（　　）
A.{x∈R｜0＜x＜2} B.{x∈R｜0≤x＜2}
C.{x∈R｜0＜x≤2} D.{x∈R｜0≤x≤2}
2.若集合A＝{x｜x＞1}，则 RA＝　　　　.
题型四 由集合间的关系求参数的范围
【例4】　（链接教科书第12页习题7题）已知集合A＝{x｜－3≤x≤4}，B＝{x｜1＜x＜m，m＞1}，且B A，则实数m的取值范围是　　　　.
【母题探究】
1.（变条件）本例若将“B＝{x｜1＜x＜m，m＞1}”改为“B＝{x｜1＜x＜m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？
2.（变条件）本例若将“B＝{x｜1＜x＜m，m＞1}”改为“B＝{x｜2m－1＜x＜m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？
通性通法
由集合间的包含关系求参数的方法
（1）当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，转化为方程或方程组求解，此时应注意分类讨论；
（2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点.
提醒　（1）不能忽视集合为 的情形；
（2）当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论.
【跟踪训练】
　已知全集U＝R，A＝{x｜x＜3}，B＝{x｜x＜a}.
（1）若B A，求a的取值范围；
（2）若A B，求a的取值范围；
（3）若 UB＝A，求a的取值范围.
1.下列结论中正确的是（　　）
A.{1}∈{0，1，2}
B.{1，－3}＝{－3，1}
C.{0，1，2} {1，0，2}
D. ∈{0，1，2}
2.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则 UM＝（　　）
A.U B.{1，3，5}
C.{3，5，6} D.{2，4，6}
3.（2024·常州奔牛高中月考）设集合A＝{0，1，2}，B＝{4，5}，M＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集的个数为　　　　.
4.已知集合A＝{x｜x＞4}，非空集合B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围.
1.2　子集、全集、补集
【基础知识·重落实】
知识点一
　任意一个　A B　B A　包含于　A B　A≠B　A B　B A　A真包含于B　B真包含A　（1）A A　
（2）A C　（1） 　（2）
想一想
1.提示：对于任意两个集合A，B，它们可能是包含关系、相等关系（即互相包含）、真包含关系、互不包含关系.Venn图表示为：
　
2.提示：
知识点二
1.所有元素　2.所有元素　 SA
{x｜x∈S，且x A}
自我诊断
1.C　集合Q中的元素都在集合P中，所以Q P.故选C.
2.C　∵U＝{0，1，2}， UA＝{2}，∴A＝{0，1}.故选C.
3.解：借助数轴得 UA＝{x｜x≤2}.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）B＝{x｜（x－1）（x－2）·（x－3）＝0}＝{1，2，3}＝A.
（2）∵A＝{1，2，4}，B＝{1，2，4，8}，如图，
∴A B.
（3）∵A＝{x｜0＜x＜2}，
B＝{x｜－1＜x≤3}，
用数轴表示如下：
∴A B.
（4）法一　任取x0∈A，则x0＝2k0＋1，k0∈Z.
又∵x0＝2（k0＋1）－1，k0∈Z，∴k0＋1∈Z，∴x0∈B，则A B.同理可得，B A.由A B，B A，得A＝B.
法二　集合A＝{…，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}，集合B＝{…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，…}，根据规律可知集合A与B所含元素相同，∴A＝B.
跟踪训练
1.B　解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B所示.
2.AB　对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}正确；对于C，{0，1}是数集，{（0，1）}是点集，所以C错误；对于D，{（1，2）}与{（2，1）}是不同的点集，所以D错误.
【例2】　解：（1）集合{a，b}的所有子集为 ，{a}，{b}，{a，b}.真子集为 ，{a}，{b}.
（2）集合{a，b，c}的所有子集为 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.真子集为 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.
跟踪训练
1.D　法一　由题设，M的所有子集为 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共8个.故选D.
法二　集合M＝{1，2，3}含有3个元素，所以其子集个数为23＝8，故选D.
2.4　解析：∵{1} A {1，2，3}，∴A＝{1}或{1，2}或{1，3}或{1，2，3}，故集合A的个数为4.
【例3】　解：（1）因为全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，由补集的定义，得集合 UA＝{0，1，3，5}.
（2）A＝， UA＝{x｜x≤，或x＞，在数轴上分别表示如下：
跟踪训练
1.C　借助数轴（如图）易得 UA＝{x∈R｜0＜x≤2}.
2.{x｜x≤1}　解析：∵A＝{x｜x＞1}，∴ RA＝{x｜x≤1}.
【例4】　{m｜1＜m≤4}　解析：由于B A，结合数轴分析可知，m≤4，又m＞1，所以1＜m≤4.
母题探究
1.解：若m≤1，则B＝ ，满足B A.
若m＞1，则由例题解析可知1＜m≤4.
综上可知m≤4.
2.解：因为B A，
①当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠ 时，有
解得－1≤m＜2.
综上得m≥－1.
跟踪训练
　解：（1）因为B A，B是A的子集，由图①得a≤3.
（2）因为A B，A是B的子集，由图②得a≥3.
（3）因为 UB＝A，所以 UB＝{x｜x＜3}，所以B＝{x｜x≥3}，又B＝{x｜x＜a}，所以实数a的取值范围为 .
随堂检测
1.B　对于A，应是{1} {0，1，2}，故A错误；对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子集，但不是真子集，故{0，1，2} {1，0，2}，故C错误；对于D，应是 {0，1，2}，故D错误.故选B.
2.C　∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴ UM＝{3，5，6}.
3.15　解析：集合M＝{4，5，6，7}，所以集合M的真子集的个数为24－1＝15.
4.解：因为B≠ ，根据题意作出如图所示的数轴，
则解得2＜a≤3.
所以实数a的取值范围为{a｜2＜a≤3}.
4 / 4(共64张PPT)
1.2　子集、全集、补集
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的
子集 数学抽象、
逻辑推理
2.了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补
集的含义，能求给定子集的补集 数学抽象、
数学运算
3.能理解用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对
理解抽象概念的作用 数学抽象、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
南京红山森林动物园拥有世界上具有代表性的动物和珍稀动物近
300种4 000余只，有近二十多个品种的猴子，猴山是动物园最热闹的
地方，聚集了100多只猕猴.如果猴山上的所有猕猴组成集合 A ，动物
园内的所有猴子组成集合 B .
【问题】　（1）集合 A 与集合 B 存在什么关系？
（2）如何用数学语言来表示这两个集合之间的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　子集、真子集
子集 真子集
概
念 如果集合 A 的 元素
都是集合 B 的元素（若 a ∈ A ，则
a ∈ B ），那么集合 A 称为集合 B
的子集，记作 或
，读作“集合 A 集
合 B ”或“集合 B 包含集合 A ” 如果 ，并且
，那么集合 A 称为集合 B 的
真子集，记为 或
，读作“
”或“ ”
任意一个　
A B 　
B
A 　
包含于　
A B 　
A ≠
B 　
A B 　
B
A 　
A 真包含于
B 　
B 真包含 A 　
子集 真子集
图
示
结
论 （1）任何一个集合是它本身的子
集，即 ； （2）对于集合 A ， B ， C ，如果
A B ，且 B C ，那么
； （3）规定 A ，即空集是任何
集合的子集 （1）若 A B 且 B C ，则
A C ；
（2）若 A B 且 A ≠ B ，则
A B ；
（3）空集是任何非空集合的真
子集
A A 　
A
C 　
　
　
提醒　（1）子集刻画了两个集合之间的关系，它反映的是局部与整
体之间的关系（而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关
系）.“集合 A 是集合 B 的子集”可表述为：若 x ∈ A ，则 x ∈ B ；
（2）在真子集的定义中， A B 首先要满足 A B ，其次至少有一个 x
∈ B ，但 x A ；（3）对于集合 A ， B ，子集、真子集与集合相等的关
系如下： A B A ＝ B 或 A B . 即子集包含真子集和集合相等两种
情况.
【想一想】
1. 任意两个集合之间的关系有哪些情形，你能用Venn图表示吗？
提示：对于任意两个集合 A ， B ，它们可能是包含关系、相等关系
（即互相包含）、真包含关系、互不包含关系.Venn图表示为：
2. 你能用Venn图表示常用数集之间的关系吗？
提示：
知识点二　全集、补集
1. 全集：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的 ，
那么就称这个集合为全集，全集通常记作 U .
所有元素　
2. 补集
文字
语言 设 A S ，由 S 中不属于 A 的 组成的集合称为 S
的子集 A 的补集，记作 （读作“ A 在 S 中的补集”）
符号
语言 SA ＝
图形
语言
所有元素　
SA 　
{ x ｜ x ∈ S ，且 x A }　
提醒　（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割；（2）
补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求
集合 A 的补集的前提是 A 为全集 U 的子集，随着所选全集的不同，
得到的补集也是不同的.
1. 已知集合 P ＝{－1，0，1，2}， Q ＝{－1，0，1}，下列关系中正
确的是（　　）
A. P ∈ Q B. P Q
C. Q P D. Q ∈ P
解析：　集合 Q 中的元素都在集合 P 中，所以 Q P . 故选C.
2. 已知全集 U ＝{0，1，2}，且 UA ＝{2}，则 A ＝（　　）
A. {0} B. {1}
C. {0，1} D. {0，1，2}
解析：　∵ U ＝{0，1，2}， UA ＝{2}，∴ A ＝{0，1}.故选C.
3. 若全集 U ＝R，求集合 A ＝{ x ｜ x ＞2}的补集 UA .
解：借助数轴得 UA ＝{ x ｜ x ≤2}.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合间关系的判断
【例1】　（链接教科书第9页例1）判断下列两个集合之间的关系：
（1） A ＝{1，2，3}， B ＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）（ x －3）＝0}；
解： B ＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）（ x －3）＝0}＝{1，2，3}＝ A .
（2） A ＝{1，2，4}， B ＝{ x ｜ x 是8的约数}；
解：∵ A ＝{1，2，4}， B ＝{1，2，4，8}，如图，
∴ A B .
（3） A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}， B ＝{ x ｜－1＜ x ≤3}；
解：∵ A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}，
B ＝{ x ｜－1＜ x ≤3}，
用数轴表示如下：
∴ A B .
（4） A ＝{ x ｜ x ＝2 k ＋1， k ∈Z}， B ＝{ x ｜ x ＝2 k －1， k ∈Z}.
解：法一　任取 x0∈ A ，则 x0＝2 k0＋1， k0∈Z.
又∵ x0＝2（ k0＋1）－1， k0∈Z，∴ k0＋1∈Z，∴ x0∈ B ，则 A
B . 同理可得， B A . 由 A B ， B A ，得 A ＝ B .
法二　集合 A ＝{…，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}，集合 B ＝{…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，…}，根据规律可知集合 A 与 B 所含元素相同，∴ A ＝ B .
通性通法
判断集合间关系的常用方法
【跟踪训练】
1. 能正确表示集合 M ＝{ x ∈R｜0≤ x ≤2}和集合 N ＝{ x ∈R｜ x2－ x
＝0}关系的Venn图是（　　）
解析：　解 x2－ x ＝0得 x ＝1或 x ＝0，故 N ＝{0，1}，易得 N
M ，其对应的Venn图如选项B所示.
2. （多选）下列关系中正确的有（　　）
A. 0∈{0} B. {0}
C. {0，1} {（0，1）} D. {（1，2）}＝{（2，1）}
解析：　对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；
对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}正确；对
于C，{0，1}是数集，{（0，1）}是点集，所以C错误；对于D，
{（1，2）}与{（2，1）}是不同的点集，所以D错误.
题型二 确定集合的子集和真子集
【例2】　（链接教科书第9页例2）写出下列集合的所有子集，并指
出哪些是它的真子集：
（1）集合{ a ， b }；
解：集合{ a ， b }的所有子集为 ，{ a }，{ b }，{ a ， b }.真子集
为 ，{ a }，{ b }.
（2）集合{ a ， b ， c }.
解：集合{ a ， b ， c }的所有子集为 ，{ a }，{ b }，{ c }，{ a ，
b }，{ a ， c }，{ b ， c }，{ a ， b ， c }.真子集为 ，{ a }，{ b }，
{ c }，{ a ， b }，{ a ， c }，{ b ， c }.
通性通法
求集合子集、真子集个数的步骤
提醒　（1）要注意两个特殊的子集： 和自身；（2）对含有 n 个
元素的集合，它的子集有2 n 个，非空子集有2 n －1个，非空真子集
有2 n －2个.
【跟踪训练】
1. （2024·南航附属高中月考）集合 M ＝{1，2，3}的子集个数为
（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析：　法一　由题设， M 的所有子集为 ，{1}，{2}，{3}，
{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共8个.故选D.
法二　集合 M ＝{1，2，3}含有3个元素，所以其子集个数为23＝8，
故选D.
2. （2024·淮安期中）满足{1} A {1，2，3}的集合 A 的个数为 .
解析：∵{1} A {1，2，3}，∴ A ＝{1}或{1，2}或{1，3}或
{1，2，3}，故集合 A 的个数为4.
4　
题型三 确定集合的补集
【例3】　（链接教科书第10页例4）（1）设全集 U ＝{0，1，2，3，
4，5}， A ＝{2，4}，试求 UA ；
解：因为全集 U ＝{0，1，2，3，4，5}， A ＝{2，4}，由补集的定
义，得集合 UA ＝{0，1，3，5}.
（2）设全集 U ＝R，不等式组的解集为 A ，试求 A 及
UA ，并把它们分别表示在数轴上.
解： A ＝ ， UA ＝{ x ｜ x ≤ ，或 x ＞ ，在数轴
上分别表示如下：
通性通法
求集合补集的2种方法
（1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
（2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴
分析求解.
【跟踪训练】
1. 若全集 U ＝{ x ∈R｜－2≤ x ≤2}，集合 A ＝{ x ∈R｜－2≤ x
≤0}，则 UA ＝（　　）
A. { x ∈R｜0＜ x ＜2} B. { x ∈R｜0≤ x ＜2}
C. { x ∈R｜0＜ x ≤2} D. { x ∈R｜0≤ x ≤2}
解析：　借助数轴（如图）易得 UA ＝{ x ∈R｜0＜ x ≤2}.
2. 若集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}，则 R A ＝ .
解析：∵ A ＝{ x ｜ x ＞1}，∴ R A ＝{ x ｜ x ≤1}.
{ x ｜ x ≤1}　
题型四 由集合间的关系求参数的范围
【例4】　（链接教科书第12页习题7题）已知集合 A ＝{ x ｜－3≤ x
≤4}， B ＝{ x ｜1＜ x ＜ m ， m ＞1}，且 B A ，则实数 m 的取值范围
是 .
{ m ｜1＜ m ≤4}　
解析：由于 B A ，结合数轴分析可知， m ≤4，又 m ＞1，所以1＜ m
≤4.
【母题探究】
1. （变条件）本例若将“ B ＝{ x ｜1＜ x ＜ m ， m ＞1}”改为“ B ＝
{ x ｜1＜ x ＜ m }”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围是什么？
解：若 m ≤1，则 B ＝ ，满足 B A .
若 m ＞1，则由例题解析可知1＜ m ≤4.
综上可知 m ≤4.
2. （变条件）本例若将“ B ＝{ x ｜1＜ x ＜ m ， m ＞1}”改为“ B ＝
{ x ｜2 m －1＜ x ＜ m ＋1}”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围
是什么？
解：因为 B A ，
①当 B ＝ 时， m ＋1≤2 m －1，解得 m ≥2.
②当 B ≠ 时，有
解得－1≤ m ＜2.
综上得 m ≥－1.
通性通法
由集合间的包含关系求参数的方法
（1）当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，转化
为方程或方程组求解，此时应注意分类讨论；
（2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注
意端点处是实点还是虚点.
提醒　（1）不能忽视集合为 的情形；
（2）当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论.
【跟踪训练】
　已知全集 U ＝R， A ＝{ x ｜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x ＜ a }.
（1）若 B A ，求 a 的取值范围；
解：因为 B A ， B 是 A 的子集，由图①得 a ≤3.
（2）若 A B ，求 a 的取值范围；
解：因为 A B ， A 是 B 的子集，由图②得 a ≥3.
（3）若 UB ＝ A ，求 a 的取值范围.
解：因为 UB ＝ A ，所以 UB ＝{ x ｜ x ＜3}，所以 B ＝
{ x ｜ x ≥3}，又 B ＝{ x ｜ x ＜ a }，所以实数 a 的取值范围为 .
1. 下列结论中正确的是（　　）
A. {1}∈{0，1，2} B. {1，－3}＝{－3，1}
C. {0，1，2} {1，0，2} D. ∈{0，1，2}
解析：　对于A，应是{1} {0，1，2}，故A错误；对于B，集合
中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子
集，但不是真子集，故{0，1，2} {1，0，2}，故C错误；对于
D，应是 {0，1，2}，故D错误.故选B.
2. 设集合 U ＝{1，2，3，4，5，6}， M ＝{1，2，4}，则 UM ＝（　）
A. U B. {1，3，5}
C. {3，5，6} D. {2，4，6}
解析：　∵ U ＝{1，2，3，4，5，6}， M ＝{1，2，4}，∴ UM
＝{3，5，6}.
3. （2024·常州奔牛高中月考）设集合 A ＝{0，1，2}， B ＝{4，5}，
M ＝{ x ｜ x ＝ a ＋ b ， a ∈ A ， b ∈ B }，则集合 M 的真子集的个数
为 .
解析：集合 M ＝{4，5，6，7}，所以集合 M 的真子集的个数为24－
1＝15.
15　
4. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞4}，非空集合 B ＝{ x ｜2 a ≤ x ≤ a ＋3}，若
B A ，求实数 a 的取值范围.
解：因为 B ≠ ，根据题意作出如图所示的数轴，
则解得2＜ a ≤3.
所以实数 a 的取值范围为{ a ｜2＜ a ≤3}.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列四个集合中，是空集的为（　　）
A. {0} B. { x ｜ x ＞8，且 x ＜5}
C. { x ∈N｜ x2－1＝0} D. { x ｜ x ＞4}
解析：　满足 x ＞8且 x ＜5的实数不存在，故{ x ｜ x ＞8，且 x ＜
5}＝ .
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2. （2024·金陵中学质检）已知集合 A ＝{ x ｜ x ＜4， x ∈N}，则
（　　）
A. 0 A B. －1∈ A
C. {0} A D. {－1} A
解析：　因为 A ＝{0，1，2，3}，则0∈ A ，－1 A ，{0} A ，
{－1} A ，故C对，A、B、D均错.故选C.
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3. 已知集合 M ＝{ x ｜ x2－3 x ＋2＝0}， N ＝{0，1，2}，则集合 M 与
N 的关系是（　　）
A. M ＝ N B. N M
C. M N D. N M
解析：　解方程 x2－3 x ＋2＝0得 x ＝2或 x ＝1，则 M ＝{1，2}，
因为1∈ M 且1∈ N ，2∈ M 且2∈ N ，所以 M N . 又因为0∈ N 但
0 M ，所以 M N . 故选C.
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4. 设集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜1}， B ＝{ x ｜ x － a ＞0}.若 A B ，则实
数 a 的取值范围是（　　）
A. { a ｜ a ≥1} B. { a ｜ a ＞1}
C. { a ｜ a ＜－1} D. { a ｜ a ≤－1}
解析：　化简得集合 B ＝{ x ｜ x ＞ a }，结合数轴可知，要使 A
B ，则只要 a ≤－1即可，即实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤－1}.故
选D.
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5. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ x2－2 x ＝0}，则有（　　）
A. A B. －2∈ A
C. {0，2} A D. A { y ｜ y ＜3}
解析：　由题得集合 A ＝{0，2}，由于空集是任何集合的子
集，故A正确；因为 A ＝{0，2}，所以C、D正确，B错误.故选A、
C、D.
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6. （多选）已知 A B ， A C ， B ＝{2，0，1，8}， C ＝{1，9，
3，8}，则集合 A 可以是（　　）
A. {1，8} B. {2，3}
C. {1} D. {2}
解析：　∵ A B ， A C ， B ＝{2，0，1，8}， C ＝{1，9，
3，8}，∴集合 A 中一定含有集合 B ， C 的公共元素，结合选项可
知A、C满足题意.
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7. （2024·扬州月考）若集合 A {1，2，3}，且 A 中至少含有一个奇
数，则这样的集合 A 有 个.
解析：若集合 A 中含有一个奇数，则 A 可能为{1}，{3}，{1，2}，
{3，2}；若集合 A 中含有两个奇数，则 A ＝{1，3}.综上，符合题
意的集合 A 有5个.
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8. 已知全集 U ＝{1，2，3，4，5}，集合 A ＝{ x ｜1＜ x ＜5， x
∈Z}，则集合 UA ＝ .
解析：由于1＜ x ＜5， x ∈Z，∴ A ＝{2，3，4}，∴ UA ＝{1，5}.
{1，5}　
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9. 设全集 U ＝{1，3，5，7}，集合 M ＝{1， a －5}， M U ， UM ＝
{5，7}，则实数 a ＝ .
解析：由题知 a －5＝3， a ＝8.
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10. 已知集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤2}， B ＝{ x ｜1≤ x ≤ a }.
（1）若 A B ，求 a 的取值范围；
解：若 A B ，由图可知， a ＞2.
故实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ＞2}.
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（2）若 B A ，求 a 的取值范围.
解：若 B A ，①当 a ＜1时，集合 B 是 ，符合题意；
②当 a ≥1时，由图可知，1≤ a ≤2.
故实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ≤2}.
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11. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2＋ x ＝0， x ∈R}，若集合 B 满足{0} B
A ，则集合 B ＝（　　）
A. {－1} B. {0}
C. {－1，0} D. {0，1}
解析：　解方程 x2＋ x ＝0，得 x ＝－1或 x ＝0，所以集合 A ＝{－
1，0}，因为集合 B 满足{0} B A ，所以集合 B ＝{－1，0}.
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12. （2024·常州月考）设 U ＝R， A ＝{ x ｜ a ≤ x ≤ b }， UA ＝{ x ｜ x
＜3或 x ＞4}，则 a ＋ b ＝（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
解析：　因为 UA ＝{ x ｜ x ＜3或 x ＞4}，所以 A ＝{ x ｜3≤ x
≤4}，又 A ＝{ x ｜ a ≤ x ≤ b }，所以 a ＝3， b ＝4，则 a ＋ b ＝7.
故选C.
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13. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜1＜ x ＜2}， B ＝{ x ｜2 a －3＜ x ＜ a －
2}，则下列结论正确的是（　　）
A. 不存在实数 a 使得 A ＝ B
B. 存在实数 a 使得 A B
C. 当0≤ a ≤4时， B A
D. 存在实数 a 使得 B A
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解析：　对于A，由集合相等的概念可得此方程
组无解，故不存在实数 a 使得 A ＝ B ，因此A正确；对于B，由 A
B ，得即此不等式组无解，因此B错
误；对于C，当2 a －3≥ a －2，即 a ≥1时， B ＝ A ，符合 B
A ，当 a ＜1时，要使 B A ，需满足解得2≤ a
≤4，不满足 a ＜1，故这样的实数 a 不存在，故当 a ≥1时， B
A ，因此C错误；对于D，由C选项分析可得存在实数 a 使得 B
A ，因此D正确.故选A、D.
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14. 已知集合 M ＝{ x ｜ x2＋2 x － a ＝0}.
（1）若 M ≠ ，求实数 a 的取值范围；
解：由题意得，方程 x2＋2 x － a ＝0有实数解，
∴Δ＝22－4×（－ a ）≥0，解得 a ≥－1，
∴实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≥－1}.
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（2）若 N ＝{ x ｜ x2＋ x ＝0}且 M N ，求实数 a 的取值范围.
解：∵ N ＝{ x ｜ x2＋ x ＝0}＝{0，－1}，且 M N ，
∴当 M ＝ 时，Δ＝22－4×（－ a ）＜0，解得 a ＜－1；
当 M ≠ 时，当Δ＝0时， a ＝－1.
此时 M ＝{－1}，满足 M N ，符合题意；
当Δ＞0时， a ＞－1， M 中有两个元素，
若 M N ，则 M ＝ N ，从而根据一元二次方程根与系数的关
系有无解.
综上，实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ≤－1}.
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15. （2024·无锡月考）对于一个非空集合，如果集合满足如下四
个条件：
① D {（ a ， b ）｜ a ∈ A ， b ∈ A }；
②任意 a ∈ A ，（ a ， a ）∈ D ；
③任意 a ， b ∈ A ，若（ a ， b ）∈ D 且（ b ， a ）∈ D ，则 a ＝ b ；
④任意 a ， b ， c ∈ A ，若（ a ， b ）∈ D 且（ b ， c ）∈ D ，则
（ a ， c ）∈ D ，
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则称集合 D 为集合 A 的一个“偏序关系”.
（1）设 A ＝{1，2，3}，试判断集合 D ＝{（1，1），（1，2），
（2，2），（2，3），（3，3）}是不是集合 A 的一个“偏
序关系”，请你写出一个含有4个元素且是集合 A 的“偏序
关系”的集合；
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解：集合 D 满足①②③，但不满足④.
若集合 D 是集合 A 的“偏序关系”，则由（1，2）∈ D ，
（2，3）∈ D 可知（1，3）∈ D ，而由条件可知（1，3）
D ，所以不满足④.
所以集合 D 不是集合的一个“偏序关系”.
含有4个元素且是集合 A 的一个“偏序关系”的集合是
{（1，1），（1，2），（2，2），（3，3）}（答案不唯一）.
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（2）证明：R≤＝{（ a ， b ）｜ a ∈R， b ∈R， a ≤ b }是实数集R
的一个“偏序关系”.
解：证明：由题意得，R≤＝{（ a ， b ）｜ a ∈R， b ∈R， a ≤ b }，满足①②.
任意（ a ， b ）∈ D a ≤ b ，且（ b ， a ）∈ D b ≤ a ，则
a ＝ b ，满足条件③.
任意 a ， b ， c ∈R，若（ a ， b ）∈R≤且（ b ， c ）∈R≤，
则 a ≤ b ， b ≤ c ，所以 a ≤ c ，所以（ a ， c ）∈R≤，满足
条件④.
综上所述，R≤＝{（ a ， b ）｜ a ∈R， b ∈R， a ≤ b }是实
数集R的一个“偏序关系”.
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