资源简介

1.3　交集、并集
1.已知集合A＝{－3，0，2}，B＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）
A.{0，1} B.{0}
C.{－3，2，3} D.{－3，0，1，2，3}
2.（2024·盐城射阳高中期末）已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜3x－7＜8－2x}，则A∩B＝（　　）
A.{x｜3＜x＜4} B.{x｜x＞2}
C.{x｜2＜x＜3} D.{x｜x＞3}
3.集合M＝{1，3，a}，N＝{2，a2}.若M∪N＝{1，2，3，4，16}，则a＝（　　）
A.0 B.1
C.2 D.4
4.（2024·苏州期末）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（ UN）＝（　　）
A. B.{4}
C.{1，3} D.{2，5}
5.（多选）若集合M N，则下列结论正确的是（　　）
A.M∩N＝M
B.M∪N＝N
C.M M∩N
D.（ NM）∩N＝M
6.（多选）已知集合A＝{x｜x2＝x}，集合B中有两个元素，且满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B可以是（　　）
A.{0，1} B.{0，2}
C.{0，3} D.{1，2}
7.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤－1，或x≥4}，则A∩B＝　　　，A∪B＝　　　.
8.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝　　　　.
9.设全集U＝R，M＝{x｜x＜－2，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为　　　　.
10.设集合A＝{－2}，B＝{x｜ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值.
11.设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4}，则（ UA）∪（ UB）＝（　　）
A.{0} B.{0，1}
C.{0，1，4} D.{0，1，2，3，4}
12.高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米跑、跳远两项比赛.已知参加100米跑比赛的有15人，参加跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有（　　）
A.2人 B.3人
C.4人 D.6人
13.已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是　　　　.
14.（2024·金陵中学期中）已知集合A＝{x｜5≤x≤7}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}.
（1）当m＝3时，求A∪B和A∩B；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围.
15.已知集合A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x｜x2－5x＋6＝0}，C＝{x｜x2＋2x－8＝0}.
（1）若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
（2）若 A∩B，A∩C＝ ，求实数a的值.
1.3　交集、并集
1.D　由Venn图可知阴影部分所表示的集合是A∪B，故A∪B＝{－3，0，1，2，3}.故选D.
2.C　B＝{x｜x＜3}，A∩B＝{x｜2＜x＜3}.故选C.
3.D　∵M∪N＝{1，2，3，4，16}，∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4，解得 a＝4.故选D.
4.C　由题意知， UN＝{1，3}，所以M∩（ UN）＝{1，3}.故选C.
5.ABC　因为M N，所以M∩N＝M，M∪N＝N，M M∩N，（ NM）∩N＝ NM，故A、B、C正确，D错误.故选A、B、C.
6.BD　集合A＝{0，1}，因为B中有两个元素，且A∪B＝{0，1，2}，所以B可以为{0，2}，{1，2}.故选B、D.
7.{x｜4≤x＜5}　R　解析：借助数轴可知A∩B＝{x｜4≤x＜5}，A∪B＝R.
8.0或3　解析：∵A∪B＝A，∴B A.又A＝{1，3，}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝，由m＝得m＝0或m＝1，但m＝1不满足集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.
9.{x｜－2≤x＜1}　解析：阴影部分所表示的集合为 U（M∪N）＝（ UM）∩（ UN）＝{x｜－2≤x≤2}∩{x｜x＜1或x＞3}＝{x｜－2≤x＜1}.
10.解：∵A∪B＝A，∴B A.
∵A＝{－2}≠ ，∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0；
当B≠ 时，此时a≠0，则B＝，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，a＝0或a＝.
11.C　法一　∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，1，2，3}，∴ UA＝{4}，又∵B＝{2，3，4}.∴ UB＝{0，1}，∴（ UA）∪（ UB）＝{4}∪{0，1}＝{0，1，4}，故选C.
法二　∵A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∩B＝{2，3}，又∵U＝{0，1，2，3，4}，∴（ UA）∪（ UB）＝ U（A∩B）＝{0，1，4}.故选C.
12.D　设同时参加这两项比赛的人数为x，由Venn图可知，15－x＋21－x＋x＝30，解得x＝6.故选D.
13.　解析：因为A∩B＝ ，所以可分两种情况讨论：B＝ 和B≠ .当B＝ 时，a≥3a，解得a≤0；当B≠ 时，解得a≥4或0＜a≤.综上可得，实数a的取值范围是{a｜a≤或a≥4}.
14.解：（1）当m＝3时，B＝{x｜4≤x≤5}.
所以A∪B＝{x｜5≤x≤7}∪{x｜4≤x≤5}＝{x｜4≤x≤7}，
A∩B＝{x｜5≤x≤7}∩{x｜4≤x≤5}＝{5}.
（2）当B＝ 时，有m＋1＞2m－1，则m＜2；
当B≠ 时，可得或
解得2≤m＜3或m＞6.
综上可得，实数m的取值范围是（－∞，3）∪（6，＋∞）.
15.解：由已知，得B＝{2，3}，C＝{2，－4}.
（1）因为A∩B＝A∪B，所以A＝B.
于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由根与系数的关系知解得a＝5.
（2）由A∩B A∩B≠ ，又A∩C＝ ，得3∈A，2 A，－4 A.
由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2.
当a＝5时，A＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，与2 A矛盾；
当a＝－2时，A＝{x｜x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意.所以a＝－2.
2 / 21.3　交集、并集
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集 数学抽象、数学运算
2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 数学运算、直观想象
3.会用集合的语言简洁、准确地表达数学的研究对象，在观察、分析、抽象、类比得到集合的数学知识的过程中提升学生的思维能力 数学抽象、逻辑推理
　　某学校篮球社团开始招募新成员，对招募成员的要求有两个：①高一年级在校男生；②身高1.80米以上.如果满足条件①的同学组成的集合记为A，满足条件②的同学组成的集合记为B，能成为篮球社团新成员的同学组成的集合记为C.
【问题】　（1）满足①或满足②的同学能成为集合C的元素吗？
（2）集合A，B，C之间具有怎样的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　交集
文字语言 由所有属于集合A　　　属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作　　　　　（读作“　　　　　”）
符号语言 A∩B＝　　　　　　　　　
图形语言
运算 性质 A∩B＝　　　　，A∩A＝　　　，A∩ ＝ ∩A＝　　　，A∩ UA＝ ，A∩B A，A∩B B，A B A∩B＝A
提醒　（1）A∩B仍是一个集合；（2）文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B；（3）如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝ .
知识点二　并集
文字语言 由所有属于集合A　　　属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作　　　　（读作“　　　　”）
符号语言 A∪B＝　　　　　　　　
图形语言
运算性质 A∪B＝　　　　，A∪A＝　　　，A∪ ＝ ∪A＝　　　，A∪ UA＝U，A A∪B，B A∪B，A B A∪B＝B
提醒　（1）A∪B仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
【想一想】
1.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
2.若x∈（A∩B），则x∈（A∪B）吗？反之，若x∈（A∪B），则x∈（A∩B）吗？
知识点三　区间及相关概念
1.区间的概念及记法
设a，b是两个实数，而且a＜b，我们规定：
定义 名称 符号 数轴表示
{x｜a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x｜a＜x＜b} 开区间 （a，b）
{x｜a≤x＜b} 左闭右开区间 [a，b）
{x｜a＜x≤b} 左开右闭区间 （a，b]
2.无穷大：实数集R可以用区间表示为　　　　　　，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”.
3.特殊区间的表示
定义 区间 数轴表示
{x｜x≥a} [a，＋∞）
{x｜x＞a} （a，＋∞）
{x｜x≤b} （－∞，b]
{x｜x＜b} （－∞，b）
【想一想】
1.区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
2.“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
1.（2024·徐州期中）已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x｜－1＜x＜2}，则A∩B＝（　　）
A.{0，1}　　　　B.{－1，1}
C.{－1，0，1} D.{0，1，2}
2.（2024·南京期末）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（　　）
A.{－1} B.{0，1}
C.{－1，0，1，2} D.{－2，－1，0，1，2}
3.集合{x｜2＜x＜3}可用区间表示为　　　　.
题型一 集合的交集和并集
角度1　求两集合的交集
【例1】　（链接教科书第14页例1）（1）设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
A.{－1，0}　　　 B.{0，2}
C.{0，1} D.{－1，0，1，2，3}
（2）设集合A＝{x｜x＞－1}，B＝{x｜x≤1}，则A∩B＝　　　　.
通性通法
求两个集合交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.
角度2　求两集合的并集
【例2】　（链接教科书第14页例1）（1）已知集合A＝{－1，0，4}，B＝{0，1，2，3}，则A∪B＝（　　）
A.{－1，0} B.{－1，0，0，1，2，3，4}
C.{0，1} D.{－1，0，1，2，3，4}
（2）设集合A＝{x｜x＞－1}，B＝{x｜x≤1}，则A∪B＝　　　　.
通性通法
求集合并集的2种基本方法
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解（其中两集合的公共元素只写一次）；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由连续实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解.
【跟踪训练】
1.（2021·新高考Ⅰ卷1题）设集合A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A.{2} B.{2，3}
C.{3，4} D.{2，3，4}
2.设集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，则A∪B＝（　　）
A.{x｜2＜x≤3} B.{x｜2≤x≤3}
C.{x｜1≤x＜4} D.{x｜1＜x＜4}
题型二 交集和并集的综合运用
【例3】　（链接教科书第14页例2）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.求该网店：
（1）第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？
（2）这三天售出的商品最少有多少种？
通性通法
　　在解决有关集合交集、并集的实际应用问题时，常借助Venn图来求解.
【跟踪训练】
　有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的人数为（　　）
A.20 B.30
C.40 D.50
题型三 区间及其表示
【例4】　把下列数集用区间表示：
（1）{x｜x≥－1}；
（2）{x｜－1＜x＜1}；
（3）{x｜0＜x＜1，或2≤x≤4}.
通性通法
用区间表示数集的方法
（1）区间左端点值小于右端点值，区间两端点之间用“，”隔开；
（2）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
（3）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时必须用小括号.
【跟踪训练】
1.集合{x｜－2＜x≤2，且x≠0}用区间表示为　　　　　　　　.
2.已知区间（a＋1，7]，则实数a的取值范围是　　　　.
题型四 由集合的并集、交集求参数
【例5】　（链接教科书第18页习题12题）已知集合A＝{x｜－3＜x≤4}，集合B＝{x｜k＋1≤x≤2k－1}，若A∪B＝A，试求k的取值范围.
【母题探究】
1.（变条件）把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围.
2.（变条件）把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x｜－3＜x≤5}”，求k的值.
通性通法
利用集合交集、并集的性质解题的方法
（1）在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理；
（2）当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉.
【跟踪训练】
1.设集合M＝{x｜－2＜x＜5}，N＝{x｜2－t＜x＜2t＋1，t∈R}.若M∩N＝N，则实数t的取值范围为　　　　.
2.已知集合A＝{x｜x≤－1或x≥3}，B＝{x｜a＜x＜4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是　　　　.
1.（2024·南通海安期末）已知集合A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{－1，0，1}，则A∩B＝（　　）
A.{－1，1}　　　　　B.{1}
C.{0，1} D.{－1，0，1}
2.（多选）若集合A＝{－1，2，3，4}，B＝{1，2，3，5}，则（　　）
A.A∩B＝{2，3}
B.A∪B＝{－1，1，2，3，4，5}
C.A B
D.A∩B＝A∪B
3.若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x的值为　　　　.
4.已知集合A＝，集合B＝{x｜2x－1＜3}，求A∩B，A∪B.
1.3　交集、并集
【基础知识·重落实】
知识点一
　且　A∩B　A交B　{x｜x∈A，且x∈B}　B∩A　A　
知识点二
　或者　A∪B　A并B　{x｜x∈A，或x∈B}　B∪A　A　A
想一想
1.提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和.
2.提示：若x∈（A∩B），则x∈（A∪B）成立；
反之，若x∈（A∪B），则x∈（A∩B）不一定成立.
知识点三
2.（－∞，＋∞）
想一想
1.提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.
2.提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.
自我诊断
1.A　由题意A∩B＝{0，1}.故选A.
2.C　根据并集的定义得M∪N＝{－1，0，1，2}.故选C.
3.（2，3）　解析：集合{x｜2＜x＜3}可用区间表示为（2，3）.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）C　（2）{x｜－1＜x≤1}　
解析：（1）图中阴影部分表示集合A，B的公共部分，即A∩B，A∩B＝{－1，0，1}∩{0，1，2，3}＝{0，1}.故选C.
（2）如图，在同一条数轴上分别作出集合A，B，
由图可知A∩B＝{x｜－1＜x≤1}.
【例2】　（1）D　（2）R　解析：（1）A∪B＝{－1，0，4}∪{0，1，2，3}＝{－1，0，1，2，3，4}.故选D.
（2）A∪B＝{x｜x＞－1}∪{x｜x≤1}＝R.
跟踪训练
1.B　因为A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}，故选B.
2.C　A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，则A∪B＝{x｜1≤x＜4}，故选C.
【例3】　解：（1）设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素.
由于前两天都售出的商品有3种，则A∩B中有3个元素.
Venn图如图所示，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16（种）.
（2）由（1）知，前两天售出的商品为19＋13－3＝29（种），当第三天售出的18种商品都是前两天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少，售出的商品最少为29种.
跟踪训练
C　设同时报名两个俱乐部的人数为x，则只报名足球俱乐部的有50－x人，只报名乒乓球俱乐部的有60－x人，则（50－x）＋x＋（60－x）＝70，解得x＝40.故选C.
【例4】　解：（1）{x｜x≥－1}＝[－1，＋∞）.
（2）{x｜－1＜x＜1}＝（－1，1）.
（3）{x｜0＜x＜1，或2≤x≤4}＝（0，1）∪[2，4].
跟踪训练
1.（－2，0）∪（0，2]　解析：{x｜－2＜x≤2，且x≠0}＝（－2，0）∪（0，2].
2.（－∞，6）　解析：由题意可知a＋1＜7，即a＜6，所以实数a的取值范围是（－∞，6）.
【例5】　解：由A∪B＝A，得B A.
①当B＝ ，即k＋1＞2k－1时，k＜2，满足A∪B＝A.
②当B≠ 时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合①②可知，k的取值范围是.
母题探究
1.解：由A∩B＝A可知A B.
所以即
所以k的取值范围为 .
2.解：由题意可知解得k＝3.所以k的值为3.
跟踪训练
1.{t｜t≤2}　解析：由M∩N＝N，得N M.故当N＝ ，即2t＋1≤2－t，即t≤时，M∩N＝N成立；当N≠ 时，由图得解得＜t≤2.综上可知，所求实数t的取值范围为{t｜t≤2}.
2.（－∞，－1]　解析：利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.
随堂检测
1.A　由题意集合A是奇数集合，所以A∩B＝{－1，1}.故选A.
2.AB　A∩B＝{2，3}，A∪B＝{－1，1，2，3，4，5}，A、B正确，C、D错误.故选A、B.
3.±　解析：∵A∪B＝A，∴B A.∵A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或或－或1.经检验，当x＝或－时满足题意.
4.解：解不等式组得－2＜x＜3，
即A＝{x｜－2＜x＜3}.
解不等式2x－1＜3，得x＜2，即B＝{x｜x＜2}，
在数轴上分别表示集合A，B，如图所示.
则A∩B＝{x｜－2＜x＜2}，A∪B＝{x｜x＜3}.
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1.3　交集、并集
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合
的交集与并集 数学抽象、
数学运算
2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理
解抽象概念的作用 数学运算、
直观想象
3.会用集合的语言简洁、准确地表达数学的研究对
象，在观察、分析、抽象、类比得到集合的数学知识
的过程中提升学生的思维能力 数学抽象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　某学校篮球社团开始招募新成员，对招募成员的要求有两个：①
高一年级在校男生；②身高1.80米以上.如果满足条件①的同学组成
的集合记为 A ，满足条件②的同学组成的集合记为 B ，能成为篮球社
团新成员的同学组成的集合记为 C .
【问题】　（1）满足①或满足②的同学能成为集合 C 的元素吗？
（2）集合 A ， B ， C 之间具有怎样的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　交集
文字
语言 由所有属于集合 A 属于集合 B 的元素构成的集合，称
为 A 与 B 的交集，记作 （读作“ ”）
符号
语言 A ∩ B ＝
且　
A ∩ B 　
A 交 B 　
{ x ｜ x ∈ A ，且 x ∈ B }　
图形
语言
运算
性质 A ∩ B ＝ ， A ∩ A ＝ ， A ∩ ＝ ∩ A
＝ ， A ∩ UA ＝ ， A ∩ B A ， A ∩ B B ， A B A
∩ B ＝ A
B ∩ A 　
A 　
　
提醒　（1） A ∩ B 仍是一个集合；（2）文字语言中“所有”的含
义： A ∩ B 中任一元素都是 A 与 B 的公共元素， A 与 B 的公共元素都属
于 A ∩ B ；（3）如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交
集，而是 A ∩ B ＝ .
知识点二　并集
文字
语言 由所有属于集合 A 属于集合 B 的元素构成的集合，
称为 A 与 B 的并集，记作 （读作“ ”）
符号
语言 A ∪ B ＝
图形
语言
运算
性质 A ∪ B ＝ ， A ∪ A ＝ ， A ∪ ＝ ∪ A
＝ ， A ∪ UA ＝ U ， A A ∪ B ， B A ∪ B ， A B
A ∪ B ＝ B
或者　
A ∪ B 　
A 并 B 　
{ x ｜ x ∈ A ，或 x ∈ B }　
B ∪ A 　
A 　
A 　
提醒　（1） A ∪ B 仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包
含三种情况：① x ∈ A 且 x B ；② x ∈ A 且 x ∈ B ；③ x A 且 x ∈ B .
【想一想】
1. 集合 A ∪ B 的元素个数是否等于集合 A 与集合 B 的元素个数和？
提示：不一定， A ∪ B 的元素个数小于或等于集合 A 与集合 B 的元
素个数和.
2. 若 x ∈（ A ∩ B ），则 x ∈（ A ∪ B ）吗？反之，若 x ∈（ A ∪
B ），则 x ∈（ A ∩ B ）吗？
提示：若 x ∈（ A ∩ B ），则 x ∈（ A ∪ B ）成立；
反之，若 x ∈（ A ∪ B ），则 x ∈（ A ∩ B ）不一定成立.
知识点三　区间及相关概念
1. 区间的概念及记法
设 a ， b 是两个实数，而且 a ＜ b ，我们规定：
定义 名称 符号 数轴表示
{ x ｜ a ≤ x ≤ b } 闭区间 [ a ， b ]
{ x ｜ a ＜ x ＜ b } 开区间 （ a ， b ）
{ x ｜ a ≤ x ＜ b } 左闭右开区间 [ a ， b ）
{ x ｜ a ＜ x ≤ b } 左开右闭区间 （ a ， b ]
2. 无穷大：实数集R可以用区间表示为 ，“∞”
读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正
无穷大”.
（－∞，＋∞）　
定义 区间 数轴表示
{ x ｜ x ≥ a } [ a ，＋∞）
{ x ｜ x ＞ a } （ a ，＋∞）
{ x ｜ x ≤ b } （－∞， b ]
{ x ｜ x ＜ b } （－∞， b ）
3. 特殊区间的表示
【想一想】
1. 区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间
表示.
2. “∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可
以是中括号吗？
提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”
或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.
1. （2024·徐州期中）已知集合 A ＝{－1，0，1，2}， B ＝{ x ｜－1＜
x ＜2}，则 A ∩ B ＝（　　）
A. {0，1} B. {－1，1}
C. {－1，0，1} D. {0，1，2}
解析：　由题意 A ∩ B ＝{0，1}.故选A.
2. （2024·南京期末）已知集合 M ＝{－1，0，1}， N ＝{0，1，2}，
则 M ∪ N ＝（　　）
A. {－1} B. {0，1}
C. {－1，0，1，2} D. {－2，－1，0，1，2}
解析：　根据并集的定义得 M ∪ N ＝{－1，0，1，2}.故选C.
3. 集合{ x ｜2＜ x ＜3}可用区间表示为 .
解析：集合{ x ｜2＜ x ＜3}可用区间表示为（2，3）.
（2，3）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合的交集和并集
角度1　求两集合的交集
【例1】　（链接教科书第14页例1）（1）设集合 A ＝{－1，0，1}，
B ＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（　C　）
A. {－1，0} B. {0，2}
C. {0，1} D. {－1，0，1，2，3}
解析：图中阴影部分表示集合 A ， B 的公共部分，即 A ∩ B ， A ∩ B ＝
{－1，0，1}∩{0，1，2，3}＝{0，1}.故选C.
C
（2）设集合 A ＝{ x ｜ x ＞－1}， B ＝{ x ｜ x ≤1}，则 A ∩ B ＝
.
解析：如图，在同一条数轴上分别作出集合 A ， B ，
由图可知 A ∩ B ＝{ x ｜－1＜ x ≤1}.
{ x ｜－
1＜ x ≤1}　
通性通法
求两个集合交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即
可；
（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的
交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要
注意端点值的取舍.
角度2　求两集合的并集
【例2】　（链接教科书第14页例1）（1）已知集合 A ＝{－1，0，
4}， B ＝{0，1，2，3}，则 A ∪ B ＝（　D　）
A. {－1，0} B. {－1，0，0，1，2，3，4}
C. {0，1} D. {－1，0，1，2，3，4}
解析： A ∪ B ＝{－1，0，4}∪{0，1，2，3}＝{－1，0，1，2，3，4}.故选D.
（2）设集合 A ＝{ x ｜ x ＞－1}， B ＝{ x ｜ x ≤1}，则 A ∪ B ＝ .
D
解析： A ∪ B ＝{ x ｜ x ＞－1}∪{ x ｜ x ≤1}＝R.
R　
通性通法
求集合并集的2种基本方法
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义
求解（其中两集合的公共元素只写一次）；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由连续实数组成的数
集，则可以借助数轴分析求解.
【跟踪训练】
1. （2021·新高考Ⅰ卷1题）设集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}， B ＝{2，3，
4，5}，则 A ∩ B ＝（　　）
A. {2} B. {2，3}
C. {3，4} D. {2，3，4}
解析：　因为 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}， B ＝{2，3，4，5}，所以 A
∩ B ＝{2，3}，故选B.
2. 设集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3}， B ＝{ x ｜2＜ x ＜4}，则 A ∪ B ＝（　）
A. { x ｜2＜ x ≤3} B. { x ｜2≤ x ≤3}
C. { x ｜1≤ x ＜4} D. { x ｜1＜ x ＜4}
解析：　 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3}， B ＝{ x ｜2＜ x ＜4}，则 A ∪ B ＝
{ x ｜1≤ x ＜4}，故选C.
题型二 交集和并集的综合运用
【例3】　（链接教科书第14页例2）某网店统计了连续三天售出商品
的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售
出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4
种.求该网店：
（1）第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？
解：设第一天售出的商品为集合 A ，则 A 中有19个元素，第二天
售出的商品为集合 B ，则 B 中有13个元素.
由于前两天都售出的商品有3种，则 A ∩ B 中有3个元素.
Venn图如图所示，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商
品有19－3＝16（种）.
（2）这三天售出的商品最少有多少种？
解：由（1）知，前两天售出的商品为19＋13－3＝29（种），
当第三天售出的18种商品都是前两天售出的商品时，这三天售
出的商品种类最少，售出的商品最少为29种.
通性通法
　　在解决有关集合交集、并集的实际应用问题时，常借助Venn图来
求解.
【跟踪训练】
　有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或
乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的人数为（　　）
A. 20 B. 30
C. 40 D. 50
解析：　设同时报名两个俱乐部的人数为 x ，则只报名足球俱乐部的有50－ x 人，只报名乒乓球俱乐部的有60－ x 人，则（50－ x ）＋ x ＋（60－ x ）＝70，解得 x ＝40.故选C.
题型三 区间及其表示
【例4】　把下列数集用区间表示：
（1）{ x ｜ x ≥－1}；
解： { x ｜ x ≥－1}＝[－1，＋∞）.
（2）{ x ｜－1＜ x ＜1}；
解：{ x ｜－1＜ x ＜1}＝（－1，1）.
（3）{ x ｜0＜ x ＜1，或2≤ x ≤4}.
解：{ x ｜0＜ x ＜1，或2≤ x ≤4}＝（0，1）∪[2，4].
通性通法
用区间表示数集的方法
（1）区间左端点值小于右端点值，区间两端点之间用“，”隔开；
（2）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
（3）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时必须用小括号.
【跟踪训练】
1. 集合{ x ｜－2＜ x ≤2，且 x ≠0}用区间表示为
.
解析：{ x ｜－2＜ x ≤2，且 x ≠0}＝（－2，0）∪（0，2].
2. 已知区间（ a ＋1，7]，则实数 a 的取值范围是 .
解析：由题意可知 a ＋1＜7，即 a ＜6，所以实数 a 的取值范围是
（－∞，6）.
（－2，0）∪（0，
2]　
（－∞，6）　
题型四 由集合的并集、交集求参数
【例5】　（链接教科书第18页习题12题）已知集合 A ＝{ x ｜－3＜ x
≤4}，集合 B ＝{ x ｜ k ＋1≤ x ≤2 k －1}，若 A ∪ B ＝ A ，试求 k 的取
值范围.
解：由 A ∪ B ＝ A ，得 B A .
①当 B ＝ ，即 k ＋1＞2 k －1时， k ＜2，满足 A ∪ B ＝ A .
②当 B ≠ 时，要使 A ∪ B ＝ A ，
只需解得2≤ k ≤ .
综合①②可知， k 的取值范围是 .
【母题探究】
1. （变条件）把本例条件“ A ∪ B ＝ A ”改为“ A ∩ B ＝ A ”，试求 k
的取值范围.
解：由 A ∩ B ＝ A 可知 A B .
所以即
所以 k 的取值范围为 .
2. （变条件）把本例条件“ A ∪ B ＝ A ”改为“ A ∪ B ＝{ x ｜－3＜ x
≤5}”，求 k 的值.
解：由题意可知解得 k ＝3.所以 k 的值为3.
通性通法
利用集合交集、并集的性质解题的方法
（1）在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到 A ∩ B ＝
A ， A ∪ B ＝ B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及
上节学习的集合间的关系去分析，如 A ∩ B ＝ A A B ， A ∪
B ＝ B A B 等，解答时应灵活处理；
（2）当集合 B A 时，如果集合 A 是一个确定的集合，而集合 B 不确
定，运算时一定要考虑 B ＝ 的情况，切不可漏掉.
【跟踪训练】
1. 设集合 M ＝{ x ｜－2＜ x ＜5}， N ＝{ x ｜2－ t ＜ x ＜2 t ＋1， t
∈R}.若 M ∩ N ＝ N ，则实数 t 的取值范围为 .
解析：由 M ∩ N ＝ N ，得 N M . 故当 N ＝ ，即2 t ＋1≤2－ t ，即
t ≤ 时， M ∩ N ＝ N 成立；当 N ≠ 时，由图得
解得 ＜ t ≤2.综上可知，所求实数 t 的取值范围为{ t ｜ t ≤2}.
{ t ｜ t ≤2}　
2. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ≤－1或 x ≥3}， B ＝{ x ｜ a ＜ x ＜4}，若 A ∪ B
＝R，则实数 a 的取值范围是 .
解析：利用数轴，若 A ∪ B ＝R，则 a ≤－1.
（－∞，－1]　
1. （2024·南通海安期末）已知集合 A ＝{ x ｜ x ＝2 k －1， k ∈Z}， B
＝{－1，0，1}，则 A ∩ B ＝（　　）
A. {－1，1} B. {1}
C. {0，1} D. {－1，0，1}
解析：　由题意集合 A 是奇数集合，所以 A ∩ B ＝{－1，1}.
故选A.
2. （多选）若集合 A ＝{－1，2，3，4}， B ＝{1，2，3，5}，则
（　　）
A. A ∩ B ＝{2，3}
B. A ∪ B ＝{－1，1，2，3，4，5}
C. A B
D. A ∩ B ＝ A ∪ B
解析：　 A ∩ B ＝{2，3}， A ∪ B ＝{－1，1，2，3，4，5}，
A、B正确，C、D错误.故选A、B.
3. 若集合 A ＝{0，1，2， x }， B ＝{1， x2}， A ∪ B ＝ A ，则满足条件
的实数 x 的值为 .
解析：∵ A ∪ B ＝ A ，∴ B A . ∵ A ＝{0，1，2， x }， B ＝{1，
x2}，∴ x2＝0或 x2＝2或 x2＝ x ，解得 x ＝0或 或－ 或1.经检
验，当 x ＝ 或－ 时满足题意.
± 　
4. 已知集合 A ＝，集合 B ＝{ x ｜2 x －1＜3}，求 A ∩
B ， A ∪ B .
解：解不等式组得－2＜ x ＜3，
即 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜3}.
解不等式2 x －1＜3，得 x ＜2，即 B ＝{ x ｜ x ＜2}，
在数轴上分别表示集合 A ， B ，如图所示.
则 A ∩ B ＝{ x ｜－2＜ x ＜2}， A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜3}.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知集合 A ＝{－3，0，2}， B ＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分
所表示的集合是（　　）
A. {0，1} B. {0}
C. {－3，2，3} D. {－3，0，1，2，3}
解析：　由Venn图可知阴影部分所表示的集合是 A ∪ B ，故 A ∪
B ＝{－3，0，1，2，3}.故选D.
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2. （2024·盐城射阳高中期末）已知集合 A ＝{ x ｜2＜ x ＜4}， B ＝
{ x ｜3 x －7＜8－2 x }，则 A ∩ B ＝（　　）
A. { x ｜3＜ x ＜4} B. { x ｜ x ＞2}
C. { x ｜2＜ x ＜3} D. { x ｜ x ＞3}
解析：　 B ＝{ x ｜ x ＜3}， A ∩ B ＝{ x ｜2＜ x ＜3}.故选C.
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3. 集合 M ＝{1，3， a }， N ＝{2， a2}.若 M ∪ N ＝{1，2，3，4，
16}，则 a ＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
解析：　∵ M ∪ N ＝{1，2，3，4，16}，∴ a ＝4， a2＝16或 a ＝
16， a2＝4，解得 a ＝4.故选D.
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4. （2024·苏州期末）设全集 U ＝{1，2，3，4，5}，集合 M ＝{1，
3，4}， N ＝{2，4，5}，则 M ∩（ UN ）＝（　　）
A. B. {4}
C. {1，3} D. {2，5}
解析：　由题意知， UN ＝{1，3}，所以 M ∩（ UN ）＝{1，3}.
故选C.
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5. （多选）若集合 M N ，则下列结论正确的是（　　）
A. M ∩ N ＝ M B. M ∪ N ＝ N
C. M M ∩ N D. （ NM ）∩ N ＝ M
解析：　因为 M N ，所以 M ∩ N ＝ M ， M ∪ N ＝ N ， M
M ∩ N ，（ NM ）∩ N ＝ NM ，故A、B、C正确，D错误.故选A、
B、C.
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6. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ x2＝ x }，集合 B 中有两个元素，且满足
A ∪ B ＝{0，1，2}，则集合 B 可以是（　　）
A. {0，1} B. {0，2}
C. {0，3} D. {1，2}
解析：　集合 A ＝{0，1}，因为 B 中有两个元素，且 A ∪ B ＝
{0，1，2}，所以 B 可以为{0，2}，{1，2}.故选B、D.
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7. 若集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜5}， B ＝{ x ｜ x ≤－1，或 x ≥4}，则 A
∩ B ＝ ， A ∪ B ＝ .
解析：借助数轴可知 A ∩ B ＝{ x ｜4≤ x ＜5}， A ∪ B ＝R.
{ x ｜4≤ x ＜5}　
R　
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8. 已知集合 A ＝{1，3， }， B ＝{1， m }， A ∪ B ＝ A ，则 m ＝
.
解析：∵ A ∪ B ＝ A ，∴ B A . 又 A ＝{1，3， }， B ＝{1，
m }，∴ m ＝3或 m ＝ ，由 m ＝ 得 m ＝0或 m ＝1，但 m ＝1不
满足集合中元素的互异性，故舍去，故 m ＝0或 m ＝3.
0
或3　
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9. 设全集 U ＝R， M ＝{ x ｜ x ＜－2，或 x ＞2}， N ＝{ x ｜1≤ x ≤3}.
如图所示，则阴影部分所表示的集合为 .
解析：阴影部分所表示的集合为 U （ M ∪ N ）＝（ UM ）∩（
UN ）＝{ x ｜－2≤ x ≤2}∩{ x ｜ x ＜1或 x ＞3}＝{ x ｜－2≤ x ＜1}.
{ x ｜－2≤ x ＜1}　
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10. 设集合 A ＝{－2}， B ＝{ x ｜ ax ＋1＝0， a ∈R}，若 A ∪ B ＝ A ，
求 a 的值.
解：∵ A ∪ B ＝ A ，∴ B A .
∵ A ＝{－2}≠ ，∴ B ＝ 或 B ≠ .
当 B ＝ 时，方程 ax ＋1＝0无解，此时 a ＝0；
当 B ≠ 时，此时 a ≠0，则 B ＝ ，
∴－ ∈ A ，即有－ ＝－2，得 a ＝ .
综上， a ＝0或 a ＝ .
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11. 设全集 U ＝{0，1，2，3，4}，集合 A ＝{0，1，2，3}， B ＝{2，
3，4}，则（ UA ）∪（ UB ）＝（　　）
A. {0} B. {0，1}
C. {0，1，4} D. {0，1，2，3，4}
解析：　法一　∵ U ＝{0，1，2，3，4}， A ＝{0，1，2，3}，
∴ UA ＝{4}，又∵ B ＝{2，3，4}.∴ UB ＝{0，1}，∴（ UA ）
∪（ UB ）＝{4}∪{0，1}＝{0，1，4}，故选C.
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法二　∵ A ＝{0，1，2，3}， B ＝{2，3，4}，∴ A ∩ B ＝{2，3}，又
∵ U ＝{0，1，2，3，4}，∴（ UA ）∪（ UB ）＝ U （ A ∩ B ）＝
{0，1，4}.故选C.
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解析：　设同时参加这两项比赛的人数为 x ，由Venn图可知，15
－ x ＋21－ x ＋ x ＝30，解得 x ＝6.故选D.
12. 高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米跑、跳远两
项比赛.已知参加100米跑比赛的有15人，参加跳远比赛的有21
人，则同时参加这两项比赛的有（　　）
A. 2人 B. 3人
C. 4人 D. 6人
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13. 已知集合 A ＝{ x ｜2＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ a ＜ x ＜3 a }，若 A ∩ B ＝
，则实数 a 的取值范围是 .
解析：因为 A ∩ B ＝ ，所以可分两种情况讨论： B ＝ 和 B ≠ .
当 B ＝ 时， a ≥3 a ，解得 a ≤0；当 B ≠ 时，
解得 a ≥4或0＜ a ≤ .综上可得，实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤
或 a ≥4}.
　
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14. （2024·金陵中学期中）已知集合 A ＝{ x ｜5≤ x ≤7}， B ＝{ x ｜ m
＋1≤ x ≤2 m －1}.
（1）当 m ＝3时，求 A ∪ B 和 A ∩ B ；
解：当 m ＝3时， B ＝{ x ｜4≤ x ≤5}.
所以 A ∪ B ＝{ x ｜5≤ x ≤7}∪{ x ｜4≤ x ≤5}＝{ x ｜4≤ x ≤7}，
A ∩ B ＝{ x ｜5≤ x ≤7}∩{ x ｜4≤ x ≤5}＝{5}.
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（2）若 A ∩ B ＝ ，求实数 m 的取值范围.
解：当 B ＝ 时，有 m ＋1＞2 m －1，则 m ＜2；
当 B ≠ 时，可得或
解得2≤ m ＜3或 m ＞6.
综上可得，实数 m 的取值范围是（－∞，3）∪（6，＋∞）.
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15. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ a2－19＝0}， B ＝{ x ｜ x2－5 x ＋6＝
0}， C ＝{ x ｜ x2＋2 x －8＝0}.
（1）若 A ∩ B ＝ A ∪ B ，求实数 a 的值；
（1）因为 A ∩ B ＝ A ∪ B ，所以 A ＝ B .
于是2，3是一元二次方程 x2－ ax ＋ a2－19＝0的两个根，由
根与系数的关系知解得 a ＝5.
解：由已知，得 B ＝{2，3}， C ＝{2，－4}.
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解：由 A ∩ B A ∩ B ≠ ，又 A ∩ C ＝ ，得3∈
A ，2 A ，－4 A .
由3∈ A ，得32－3 a ＋ a2－19＝0，解得 a ＝5或 a ＝－2.
当 a ＝5时， A ＝{ x ｜ x2－5 x ＋6＝0}＝{2，3}，与2 A
矛盾；
当 a ＝－2时， A ＝{ x ｜ x2＋2 x －15＝0}＝{3，－5}，
符合题意.所以 a ＝－2.
（2）若 A ∩ B ， A ∩ C ＝ ，求实数 a 的值.
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