资源简介

4.2.2　对数运算法则
1.已知ln 2＝a，ln 3＝b，则ln 18＝（　　）
A.2a－b　　　　　　B.a－2b
C.a＋2b D.a＋3b
2.计算（log312－2log32）＝（　　）
A.0 B.1
C.2 D.4
3.若2a＝5b＝10，则＝（　　）
A.2 B.4
C.5 D.10
4.心理学家有时用函数L（t）＝A（1－e－kt）测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5 min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ln 0.9≈－0.105，ln 0.1≈－2.303）（　　）
A.0.021 B.0.221
C.0.461 D.0.661
5.（多选）若log2m＝log4n，则（　　）
A.n＝2m
B.log9n＝log3m
C.ln n＝2ln m
D.log2m＝log8（mn）
6.计算：lg 16－（π＋1）0＋2＋lg 50＝　　　　.
7.若4a＝9b＝36，则＋＝　　　　.
8.若ln（x－y）＋ln（2x＋y）＝ln 2＋ln x＋ln y，则＝　　　　.
9.计算：
（1）2log32－log3＋log38；
（2）log3（9×272）＋log26－log23＋log43×log316.
10.若实数a，b满足lg 2b－lg a＝lg（2b－a），则b的最小值为（　　）
A.1 B.2＋
C.2 D.4
11.化简：log3＋log3＋log3＋…＋log3＝　　　　.
12.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 2＝0.3，31.2＝3.74，31.4＝4.66）
（1）若x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？
（2）若雄鸟的飞行速度为1.5 km/min，雌鸟的飞行速度为1 km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？
13.设f（n）＝logn＋1（n＋2）（n∈N*），现把满足乘积f（1）·f（2）·…·f（n）为整数的n叫做“贺数”，则在区间（1，2 024）内所有“贺数”的个数是（　　）
A.9 B.10
C.29 D.210
14.若a，b是方程2（lg x）2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg（ab）·（logab＋logba）的值.
4.2.2　对数运算法则
1.C　因为ln 18＝ln（2×32）＝ln 2＋2ln 3＝a＋2b，故选C.
2.B　∵log64＋log63＝log6＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，∴（log312－2log32）＝1，故选B.
3.C　∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510.∴＝＝＝log25，∴＝＝5.故选C.
4.A　由题意可知200（1－e－5k）＝20，e－5k＝0.9，所以ln e－5k＝ln 0.9≈－0.105，解得k≈0.021，故选A.
5.BCD　依题意log2m＝log4n，所以m＞0，n＞0，log2m＝lon＝log2n＝log2，所以m＝，m2＝n，A选项错误；log9n＝lom2＝log3m＝log3m，B选项正确；ln n＝ln m2＝2ln m，C选项正确；log8（mn）＝lom3＝log2m＝log2m，D选项正确.故选B、C、D.
6.10　解析：lg 16－（π＋1）0＋2＋lg 50＝lg 24－1＋（33＋lg 50＝lg 2－1＋32＋lg 50＝lg 100－1＋9＝10.
7.1　解析：因为4a＝9b＝36，所以a＝，＝，同理＝，所以＋＝＋＝＝1.
8.　解析：对于ln（x－y）＋ln（2x＋y）＝ln 2＋ln x＋ln y，要使对数有意义，只需即x＞y＞0.利用对数的运算性质可得（x－y）（2x＋y）＝2xy，即2x2－3xy－y2＝0.因为x＞y＞0，同除以y2得：2－3－1＝0，解得＝.
9.解：（1）原式＝log34－log3＋log38＝log34－log34－log38＋log39＋log38＝log39＝2.
（2）原式＝log3（32×36）＋log2＋log43×2log34＝log338＋log22＋2＝11.
10.C　由对数式lg 2b－lg a＝lg（2b－a）有意义可得a＞0，b＞0，由对数的运算法则得lg ＝lg（2b－a），所以＝2b－a，2b＝2ab－a2，2b＝，结合a＞0，b＞0，可得a＞1，所以2b＝＝＝（a－1）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝2时取等号，所以b≥2.故选C.
11.－4　解析：原式＝log3＝log3＝－4.
12.解：（1）将x0＝5，v＝0代入函数v＝log3－lg x0，得log3－lg 5＝0，
即log3＝2lg 5＝2（1－lg 2）＝1.4，
所以＝31.4＝4.66，所以x＝466.
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位.
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x2，由题意可得：
两式相减可得：＝log3，所以log3＝1，即＝3，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.
13.A　∵f（n）＝logn＋1（n＋2）＝，∴f（1）·f（2）·…·f（n）＝··…·＝＝log2（n＋2）.∵n∈（1，2 024），∴n＋2∈（3，2 026）.∵210＝1 024，211＝2 048，∴在（3，2 026）内含有22，23，…，210共9个2的幂，故选A.
14.解：原方程可化为2（lg x）2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a，b是方程2（lg x）2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg（ab）·（logab＋logba）
＝（lg a＋lg b）·
＝（lg a＋lg b）·
＝（lg a＋lg b）·
＝2×＝12，
即lg（ab）·（logab＋logba）＝12.
2 / 24.2.2　对数运算法则
新课程标准解读 核心素养
理解对数的运算法则，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数 数学运算
大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？
【问题】　观察下列各式，你能从中猜想出什么结论？
①log2（2×4）＝log22＋log24＝3；
②log3（3×9）＝log33＋log39＝3；
③log2（4×8）＝log24＋log28＝5.
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　对数的运算法则
　若a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，α∈R，则
（1）loga（MN）＝　　　　　　；
（2）logaMα＝　　　　；
（3）loga＝　　　　　　.
提醒　对数运算中的常见公式及推广：（1）loga＝logaM（M＞0，n∈N*，n＞1，a＞0且a≠1）；（2）loga＝－logaM（M＞0，a＞0且a≠1）；（3）loga＝logaM（M＞0，n，p∈N*，p，n＞1，a＞0且a≠1）；（4）loga（M·N）＝logaM＋logaN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）可推广为loga（N1·N2·…·Nk）＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk（k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a＞0且a≠1）.
知识点二　换底公式
若a＞0且a≠1，c＞0且c≠1，b＞0，则有logab＝　　　　.
【想一想】
1.对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
2.你能用换底公式和对数的运算法则推导出结论loMm＝logNM吗？
1.log3＋2log310＝（　　）
A.0　　　　　　　　B.1
C.2 D.3
2.以下运算正确的是（　　）
A.lg 2×lg 3＝lg 6 B.（lg 2）2＝lg 4
C.lg 2＋lg 3＝lg 5 D.lg 4－lg 2＝lg 2
3.＝　　　　，log29·log32＝　　　　.
题型一 利用对数的运算法则求值
【例1】　求下列各式的值：
（1）log2（47×25）；
（2）lg；
（3）lg 14－2lg＋lg 7－lg 18；
（4）lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋（lg 2）2.
尝试解答
通性通法
对数式化简与求值的基本原则和方法
（1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；
（2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.
【跟踪训练】
计算：（1）log2.56.25＋lg＋ln；
（2）.
题型二 利用对数的运算法则化简
【例2】　（1）已知log312＝a，试用a表示log324；
（2）设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示lg.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）若本例（2）中的条件不变，如何用a，b表示lg ？
2.（变条件）若将本例（2）中的条件改为“lg 6＝a，lg 15＝b”，结果如何？
通性通法
关于对数式的化简
　　首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开.
【跟踪训练】
已知log189＝a，18b＝5，求log3645.（用a，b表示）
题型三 对数换底公式的应用
【例3】　已知3a＝4b＝c，且＋＝2，求实数c的值.
尝试解答
通性通法
利用换底公式求值的思想及注意点
【跟踪训练】
1.已知a＝log35，b＝log45，c＝＋，则5c＝（　　）
A.12　 　B.　 　C.7　　　D.
2.若2m＝3，则log312＝（　　）
A. B.
C. D.
1.计算：log232－2log24＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.若log5 ·log36·log6x＝2，则x＝（　　）
A.9 B.
C.25 D.
3.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab＝（　　）
A.2 B. C.100 D.
4.（多选）设a＞0且a≠1，m，n是正整数，则（　　）
A.loga（mn）＝logam＋logan
B.loga＝
C.lom＝nlogam
D.logamn＝nlogam
5.计算＋lg 5＋lg 2＋eln 2＋lg 0.01＝　　　　.
4.2.2　对数运算法则
【基础知识·重落实】
知识点一
（1）logaM＋logaN　（2）αlogaM　（3）logaM－logaN
知识点二
想一想
1.提示：logab＝，logab＝.
2.提示：loMm＝＝＝·＝logNM.
自我诊断
1.C　log3＋2log310＝log3＋log3100＝log3＝2.故选C.
2.D　根据对数的运算，lg 2＋lg 3＝lg 6从而判断A、C都错误，lg 2＋lg 2＝lg 4，从而判断B错误，lg 4－lg 2＝lg ＝lg 2，从而判断D正确.故选D.
3.2　2　解析：＝log39＝2.log29·log32＝·＝＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）原式＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
（2）原式＝lg 10＝lg 100＝×2＝.
（3）原式＝lg（2×7）－2（lg 7－lg 3）＋lg 7－lg（32×2）＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
（4）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5（2lg 2＋lg 5）＋（lg 2）2＝2lg 10＋（lg 5＋lg 2）2＝2＋（lg 10）2＝2＋1＝3.
跟踪训练
　解：（1）原式＝log2.52.52＋lg 10－2＋ln ＝2－2＋＝.
（2）原式＝
＝＝.
【例2】　解：（1）log312＝log3（3×4）＝1＋2log32＝a，
所以log32＝，
log324＝log3（8×3）＝1＋3log32＝1＋3×＝.
（2）因为108＝4×27＝22×33，
所以lg＝lg 108＝lg（22×33）
＝lg 22＋lg 33＝lg 2＋lg 3
＝a＋b.
母题探究
1.解：lg＝lg 9－lg 5＝2lg 3－（1－lg 2）＝2b＋a－1.
2.解：由已知得即
解得
所以lg＝lg 108＝lg（22×33）
＝（2lg 2＋3lg 3）＝lg 2＋lg 3
＝＋×
＝＝.
跟踪训练
　解：因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝＝.
【例3】　解：由3a＝4b＝c，得a＝log3c，b＝log4c，
所以＝＝logc3，＝＝logc4.
又＋＝2，所以logc3＋logc4＝logc12＝2，
即c2＝12，又3a＝4b＝c＞0，所以c＝2.
跟踪训练
1.A　由c＝＋＝log53＋log54＝log512，所以5c＝＝12，故选A.
2.C　由2m＝3得m＝log23.∴log312＝log3（3×4）＝1＋2log32＝1＋＝，故选C.
随堂检测
1.A　log232－2log24＝log2＝log22＝1.故选A.
2.D　由换底公式，得··＝2，lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
3.C　∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－＝2，∴ab＝100.故选C.
4.AD　对于A，由对数的运算性质可得loga（mn）＝logam＋logan，故A正确；对于B，loga＝logam－logan，故B错误；对于C，lom＝logam，故C错误；对于D，logamn＝nlogam，故D正确.故选A、D.
5.　解析：原式＝2＋lg 10＋2＋×（－2）＝.
4 / 4(共55张PPT)
4.2.2　对数运算法则
新课程标准解读 核心素养
理解对数的运算法则，知道用换底公式能将一般对
数转化为自然对数或常用对数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数
的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能
否大胆猜想一下对数的运算法则呢？
【问题】　观察下列各式，你能从中猜想出什么结论？
①log2（2×4）＝log22＋log24＝3；
②log3（3×9）＝log33＋log39＝3；
③log2（4×8）＝log24＋log28＝5.
知识点一　对数的运算法则
　　　若 a ＞0且 a ≠1， M ＞0， N ＞0，α∈R，则
（1）log a （ MN ）＝ ；
（2）log aMα＝ ；
（3）log a ＝ .
log aM ＋log aN 　
αlog aM 　
log aM －log aN 　
提醒　对数运算中的常见公式及推广：（1）log a ＝ log aM （ M
＞0， n ∈N*， n ＞1， a ＞0且 a ≠1）；（2）log a ＝－log aM （ M ＞
0， a ＞0且 a ≠1）；（3）log a ＝ log aM （ M ＞0， n ， p ∈N*，
p ， n ＞1， a ＞0且 a ≠1）；（4）log a （ M · N ）＝log aM ＋log aN （ a
＞0且 a ≠1， M ＞0， N ＞0）可推广为log a （ N1· N2·…· Nk ）＝log aN1
＋log aN2＋…＋log aNk （ k ∈N*， N1， N2，…， Nk 均大于0， a ＞0且 a
≠1）.
知识点二　换底公式
若 a ＞0且 a ≠1， c ＞0且 c ≠1， b ＞0，则有log ab ＝ .
　
【想一想】
1. 对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
提示：log ab ＝ ，log ab ＝ .
2. 你能用换底公式和对数的运算法则推导出结论lo Mm ＝
log NM 吗？
提示：lo Mm ＝ ＝ ＝ · ＝ log NM .
1. log3 ＋2log310＝（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析： 　log3 ＋2log310＝log3 ＋log3100＝log3
＝2.故选C.
2. 以下运算正确的是（　　）
A. lg 2×lg 3＝lg 6 B. （lg 2）2＝lg 4
C. lg 2＋lg 3＝lg 5 D. lg 4－lg 2＝lg 2
解析： 　根据对数的运算，lg 2＋lg 3＝lg 6从而判断A、C都错
误，lg 2＋lg 2＝lg 4，从而判断B错误，lg 4－lg 2＝lg ＝lg 2，从
而判断D正确.故选D.
3. ＝ ，log29·log32＝ .
解析： ＝log39＝2.log29·log32＝ · ＝ ＝2.
2　
2　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用对数的运算法则求值
【例1】　求下列各式的值：
（1）log2（47×25）；
解： 原式＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
（2）lg ；
解： 原式＝ lg 100＝ ×2＝ .
（3）lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；
解： 原式＝lg（2×7）－2（lg 7－lg 3）＋lg 7－lg
（32×2）＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
（4）lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋（lg 2）2.
解： 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5（2lg 2＋lg 5）＋（lg 2）2＝
2lg 10＋（lg 5＋lg 2）2＝2＋（lg 10）2＝2＋1＝3.
通性通法
对数式化简与求值的基本原则和方法
（1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进
行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着
便于真数化简的原则进行；
（2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成
积（商）的对数；②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两
对数的和（差）.
【跟踪训练】
计算：（1）log2.56.25＋lg ＋ln ；
解： 原式＝log2.52.52＋lg 10－2＋ln ＝2－2＋ ＝ .
（2） .
解： 原式＝
＝ ＝ .
题型二 利用对数的运算法则化简
【例2】　（1）已知log312＝ a ，试用 a 表示log324；
解： log312＝log3（3×4）＝1＋2log32＝ a ，
所以log32＝ ，
log324＝log3（8×3）＝1＋3log32＝1＋3× ＝ .
（2）设 a ＝lg 2， b ＝lg 3，试用 a ， b 表示lg .
解： 因为108＝4×27＝22×33，
所以lg ＝ lg 108＝ lg（22×33）
＝ lg 22＋ lg 33＝lg 2＋ lg 3＝ a ＋ b .
【母题探究】
1. （变设问）若本例（2）中的条件不变，如何用 a ， b 表示lg ？
解：lg ＝lg 9－lg 5＝2lg 3－（1－lg 2）＝2 b ＋ a －1.
2. （变条件）若将本例（2）中的条件改为“lg 6＝ a ，lg 15＝ b ”，
结果如何？
解：由已知得即
解得
所以lg ＝ lg 108＝ lg（22×33）
＝ （2lg 2＋3lg 3）＝lg 2＋ lg 3
＝ ＋ ×
＝ ＝ .
通性通法
关于对数式的化简
　　首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用
积、商、幂的对数运算法则依次展开.
【跟踪训练】
已知log189＝ a ，18 b ＝5，求log3645.（用 a ， b 表示）
解：因为18 b ＝5，所以 b ＝log185.
所以log3645＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
题型三 对数换底公式的应用
【例3】　已知3 a ＝4 b ＝ c ，且 ＋ ＝2，求实数 c 的值.
解：由3 a ＝4 b ＝ c ，得 a ＝log3 c ， b ＝log4 c ，
所以 ＝ ＝log c 3， ＝ ＝log c 4.
又 ＋ ＝2，所以log c 3＋log c 4＝log c 12＝2，
即 c2＝12，又3 a ＝4 b ＝ c ＞0，所以 c ＝2 .
通性通法
利用换底公式求值的思想及注意点
【跟踪训练】
1. 已知 a ＝log35， b ＝log45， c ＝ ＋ ，则5 c ＝（　　）
A. 12 B. C. 7 D.
解析： 　由 c ＝ ＋ ＝log53＋log54＝log512，所以5 c ＝ ＝
12，故选A.
2. 若2 m ＝3，则log312＝（　　）
A. B. C. D.
解析： 　由2 m ＝3得 m ＝log23.∴log312＝log3（3×4）＝1＋
2log32＝1＋ ＝ ，故选C.
1. 计算：log232－2log24＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　log232－2log24＝log2 ＝log22＝1.故选A.
2. 若log5 ·log36·log6 x ＝2，则 x ＝（　　）
A. 9 B.
C. 25 D.
解析： 　由换底公式，得 · · ＝2，lg x ＝－2lg 5， x ＝5－
2＝ .
3. 若lg a ，lg b 是方程2 x2－4 x ＋1＝0的两个实根，则 ab ＝（　　）
A. 2 B.
C. 100 D.
解析： 　∵lg a ，lg b 是方程2 x2－4 x ＋1＝0的两个实根，∴由根
与系数的关系得lg a ＋lg b ＝－ ＝2，∴ ab ＝100.故选C.
4. （多选）设 a ＞0且 a ≠1， m ， n 是正整数，则（　　）
A. log a （ mn ）＝log am ＋log an
B. log a ＝
C. lo m ＝ n log am
D. log amn ＝ n log am
解析： 　对于A，由对数的运算性质可得log a （ mn ）＝log am ＋
log an ，故A正确；对于B，log a ＝log am －log an ，故B错误；对
于C，lo m ＝ log am ，故C错误；对于D，log amn ＝ n log am ，故
D正确.故选A、D.
5. 计算 ＋lg 5＋lg 2＋eln 2＋ lg 0.01＝ 　 　.
解析：原式＝2＋lg 10＋2＋ ×（－2）＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知ln 2＝ a ，ln 3＝ b ，则ln 18＝（　　）
A. 2 a － b B. a －2 b
C. a ＋2 b D. a ＋3 b
解析： 　因为ln 18＝ln（2×32）＝ln 2＋2ln 3＝ a ＋2 b ，故选C.
1
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2. 计算 （log312－2log32）＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
解析： 　∵ log64＋log63＝log6 ＋log63＝log62＋log63＝log66＝
1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，∴
（log312－2log32）＝1，故选B.
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3. 若2 a ＝5 b ＝10，则 ＝（　　）
A. 2 B. 4
C. 5 D. 10
解析： 　∵2 a ＝5 b ＝10，∴ a ＝log210， b ＝log510.∴ ＝
＝ ＝log25，∴ ＝ ＝5.故选C.
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4. 心理学家有时用函数 L （ t ）＝ A （1－e－ kt ）测定在时间 t （单位：
min）内能够记忆的量 L ，其中 A 表示需要记忆的量， k 表示记忆
率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时 L 表示在时间 t
内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5 min内能够记忆20个单
词，则 k 的值约为（ln 0.9≈－0.105，ln 0.1≈－2.303）（　　）
A. 0.021 B. 0.221
C. 0.461 D. 0.661
解析： 　由题意可知200（1－e－5 k ）＝20，e－5 k ＝0.9，所以ln e
－5 k ＝ln 0.9≈－0.105，解得 k ≈0.021，故选A.
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5. （多选）若log2 m ＝log4 n ，则（　　）
A. n ＝2 m B. log9 n ＝log3 m
C. ln n ＝2ln m D. log2 m ＝log8（ mn ）
解析： 　依题意log2 m ＝log4 n ，所以 m ＞0， n ＞0，log2 m ＝
lo n ＝ log2 n ＝log2 ，所以 m ＝ ， m2＝ n ，A选项错误；
log9 n ＝lo m2＝ log3 m ＝log3 m ，B选项正确；ln n ＝ln m2＝2ln
m ，C选项正确；log8（ mn ）＝lo m3＝ log2 m ＝log2 m ，D选项
正确.故选B、C、D.
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6. 计算： lg 16－（π＋1）0＋2 ＋lg 50＝ .
解析： lg 16－（π＋1）0＋2 ＋lg 50＝ lg 24－1＋（33 ＋lg
50＝lg 2－1＋32＋lg 50＝lg 100－1＋9＝10.
10　
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7. 若4 a ＝9 b ＝36，则 ＋ ＝ .
解析：因为4 a ＝9 b ＝36，所以 a ＝ ， ＝ ，同理 ＝ ，
所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1.
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8. 若ln（ x － y ）＋ln（2 x ＋ y ）＝ln 2＋ln x ＋ln y ，则
＝ .
解析：对于ln（ x － y ）＋ln（2 x ＋ y ）＝ln 2＋ln x ＋ln y ，要使对
数有意义，只需即 x ＞ y ＞0.利用对数的运算性质可
得（ x － y ）（2 x ＋ y ）＝2 xy ，即2 x2－3 xy － y2＝0.因为 x ＞ y ＞
0，同除以 y2得：2 －3 －1＝0，解得 ＝ .
　
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9. 计算：
（1）2log32－log3 ＋log38；
解： 原式＝log34－log3 ＋log38＝log34－log34－log38
＋log39＋log38＝log39＝2.
（2）log3（9×272）＋log26－log23＋log43×log316.
解： 原式＝log3（32×36）＋log2 ＋log43×2log34＝
log338＋log22＋2＝11.
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10. 若实数 a ， b 满足lg 2 b －lg a ＝lg（2 b － a ），则 b 的最小值为
（　　）
A. 1 B. 2＋ C. 2 D. 4
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解析： 　由对数式lg 2 b －lg a ＝lg（2 b － a ）有意义可得 a ＞0，
b ＞0，由对数的运算法则得lg ＝lg（2 b － a ），所以 ＝2 b －
a ，2 b ＝2 ab － a2，2 b ＝ ，结合 a ＞0， b ＞0，可得 a ＞1，所
以2 b ＝ ＝ ＝（ a －1）＋ ＋2≥2
＋2＝4，当且仅当 a ＝2时取等号，所以 b ≥2.故
选C.
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11. 化简：log3 ＋log3 ＋log3 ＋…＋log3 ＝ .
解析：原式＝log3 ＝log3 ＝－4.
－4　
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12. 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家
经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数 v ＝ log3 －lg
x0，单位是km/min，其中 x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常
数 x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 2＝
0.3，31.2＝3.74，31.4＝4.66）
（1）若 x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个
单位？
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解： 将 x0＝5， v ＝0代入函数 v ＝ log3 －lg x0，得
log3 －lg 5＝0，
即log3 ＝2lg 5＝2（1－lg 2）＝1.4，
所以 ＝31.4＝4.66，所以 x ＝466.
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位.
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（2）若雄鸟的飞行速度为1.5 km/min，雌鸟的飞行速度为1
km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧
量的多少倍？
解： 设雄鸟每分钟的耗氧量为 x1，雌鸟每分钟耗氧量
为 x2，由题意可得：
两式相减可得： ＝ log3 ，所以log3 ＝1，即 ＝3，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.
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13. 设 f （ n ）＝log n＋1（ n ＋2）（ n ∈N*），现把满足乘积 f （1）· f
（2）·…· f （ n ）为整数的 n 叫做“贺数”，则在区间（1，2
024）内所有“贺数”的个数是（　　）
A. 9 B. 10
C. 29 D. 210
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解析： 　∵ f （ n ）＝log n＋1（ n ＋2）＝ ，∴ f （1）· f
（2）·…· f （ n ）＝ · ·…· ＝ ＝log2（ n ＋
2）.∵ n ∈（1，2 024），∴ n ＋2∈（3，2 026）.∵210＝1 024，
211＝2 048，∴在（3，2 026）内含有22，23，…，210共9个2的
幂，故选A.
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14. 若 a ， b 是方程2（lg x ）2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg
（ ab ）·（log ab ＋log ba ）的值.
解：原方程可化为2（lg x ）2－4lg x ＋1＝0.
设 t ＝lg x ，则方程化为2 t2－4 t ＋1＝0，
∴ t1＋ t2＝2， t1· t2＝ .
又∵ a ， b 是方程2（lg x ）2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴ t1＝lg a ， t2＝lg b ，
即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝ .
∴lg（ ab ）·（log ab ＋log ba ）
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＝（lg a ＋lg b ）·
＝（lg a ＋lg b ）·
＝（lg a ＋lg b ）·
＝2× ＝12，即lg（ ab ）·（log ab ＋log ba ）＝12.
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