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4.2.3　对数函数的性质与图象
第1课时　对数函数的概念、性质与图象
1.已知函数f（x）＝loga（x＋2），若图象过点（6，3），则f（2）的值为（　　）
A.－2　　　　　　　 B.2
C. D.－
2.函数y＝的图象大致是（　　）
3.函数f（x）＝的定义域为（0，10]，则实数a的值为（　　）
A.0 B.10
C.1 D.
4.函数y＝lo（4x－x2）的值域是（　　）
A.[－2，＋∞） B.R
C.[0，＋∞） D.（0，4]
5.（多选）已知函数f（x）＝loga（1－x）（a＞0，a≠1），下列关于f（x）的说法正确的是（　　）
A.f（x）的定义域是（－∞，1）
B.f（x）的值域是R
C.f（x）的图象过原点
D.当a＞1时，f（x）在定义域上是增函数
6.若f（x）＝logax＋（a2－4a－5）是对数函数，则a＝　　　　.
7.已知函数y＝log2（x＋2）＋m的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为　　　　.
8.已知函数f（x）＝若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围为　　　　.
9.求y＝（lox）2－lox＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值.
10.已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－4] B.（－4，1）
C.[－4，1） D.（0，1）
11.已知函数f（x）＝｜lox｜的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为　　　　.
12.已知函数f（x）＝lo（x2－2ax＋3）.
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围.
13.已知函数f（x）＝若正实数a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a·b·c的取值范围为　　　　.
14.已知函数f（x）＝ln .
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）若函数g（x）＝ln x－（x－1）在（1，＋∞）上单调递减，比较f（2）＋f（4）＋…＋f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由.
第1课时　对数函数的概念、性质与图象
1.B　因为函数f（x）＝loga（x＋2）的图象过点（6，3），所以loga（6＋2）＝3，则a3＝8 a＝2，所以f（x）＝log2（x＋2），f（2）＝log2（2＋2）＝2，故选B.
2.D　函数y＝的定义域是{x｜x≠0}，且易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A、B，当x＝1时，y＝lg 1＝0，故图象与x轴相交，且其中一个交点为（1，0），只有D中图象符合.
3.C　由已知，得a－lg x≥0的解集为（0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.
4.A　由4x－x2＞0，得0＜x＜4，令t＝4x－x2，则y＝lot，因为t＝4x－x2＝－（x－2）2＋4，0＜x＜4，所以0＜t≤4，因为函数y＝lot在（0，4]上单调递减，所以y＝lot≥lo4＝－2，所以函数的值域为[－2，＋∞），故选A.
5.ABC　对于A选项，对于函数f（x）＝loga（1－x）（a＞0，a≠1），1－x＞0，解得x＜1，所以函数f（x）的定义域是（－∞，1），A选项正确；对于B选项，1－x＞0，函数f（x）的值域是R，B选项正确；对于C选项，因为f（0）＝loga1＝0，所以函数f（x）的图象过原点，C选项正确；对于D选项，当a＞1时，由于内层函数u＝1－x在（－∞，1）上为减函数，外层函数y＝logau为增函数，所以函数f（x）在定义域上是减函数，D选项错误.故选A、B、C.
6.5　解析：由对数函数的定义可知，解得a＝5.
7.[－1，＋∞）　解析：由题意，知log22＋m≥0，所以m≥－1.
8.　解析：当x≤1时，f（x）＝－x2＋x＝－＋≤，当x＝时等号成立；当x＞1时，f（x）＝lox＜0，故f（x）max＝，故m≥.
9.解：因为2≤x≤4，且y＝lox为减函数，所以lo2≥lox≥lo4，即－1≥lox≥－2.
设t＝lox，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
10.C　当x≥1，f（x）＝ln x－2a，∴当x≥1时，f（x）≥－2a，∵f（x）的值域为R，∴当x＜1时，f（x）＝（1－a）x＋3值域需包含（－∞，－2a），∴解得－4≤a＜1，故选C.
11.[1，2]　解析：作出f（x）＝｜lox｜的图象（如图）可知f＝f（2）＝1，f（1）＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
12.解：（1）当a＝－1时，f（x）＝lo（x2＋2x＋3），
∵x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2，∴lo（x2＋2x＋3）≤lo2＝－1，
∴函数f（x）的值域（－∞，－1].
（2）要使函数f（x）的值域为R，则y＝x2－2ax＋3的值域包含（0，＋∞），
∴Δ＝（－2a）2－4×1×3≥0，解得a≤－或a≥，
∴实数a的取值范围为（－∞，－]∪[，＋∞）.
13.（e，e2）　解析：f（x）＝的图象如图所示.设a＜b＜c，因为f（a）＝f（b）＝f（c），所以｜ln a｜＝｜ln b｜，即ln a＋ln b＝0，则ab＝1，又因为x＞e时，y＝2－ln x单调递减，且与x轴交于点（e2，0），所以c∈（e，e2），所以abc＝c∈（e，e2）.
14.解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：
由＞0，解得x＜－1或x＞1，所以函数的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），
对任意的x∈（－∞，－1）∪（1，＋∞），有f（－x）＝ln ＝ln ＝ln＝－ln ＝－f（x），
所以函数f（x）为奇函数.
（2）f（2）＋f（4）＋…＋f（2n）＜2n（n∈N*）.理由如下：
因为f（2）＋f（4）＋…＋f（2n）＝ln（×××…×）＝ln（2n＋1），
所以f（2）＋f（4）＋…＋f（2n）－2n＝ln（2n＋1）－2n＝ln（2n＋1）－[（2n＋1）－1]，
又g（x）＝ln x－（x－1）在x∈（1，＋∞）上单调递减，
当x＞1时g（x）＜g（1）＝0，故g（2n＋1）＜0，即ln（2n＋1）－[（2n＋1）－1]＜0，
所以f（2）＋f（4）＋…＋f（2n）＜2n（n∈N*）.
2 / 24.2.3　对数函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解对数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助信息技术画出具体对数函数的图象 直观想象
3.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 数学抽象、直观想象
4.体会对数函数是一类重要的函数模型 数学抽象、数学运算、直观想象
第1课时　对数函数的概念、性质与图象
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.
同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？
那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！
【问题】　考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用P（碳14含量）估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　对数函数的概念
一般地，函数　　　　称为对数函数，其中a是　　　　，a＞0且a≠1.
【想一想】
1.对数函数的定义域是什么？为什么？
2.类比指数函数的解析式及定义，对数函数的解析式有何特征？
知识点二　对数函数的图象与性质
a的范围 0＜a＜1 a＞1
图　象
性　　质 定义域
值域 R
定点 　　　　，即x＝　　时，y＝　　
单调性 在（0，＋∞）上是　　　 在（0，＋∞）上是　　　
提醒　（1）对数函数的图象都经过点，（1，0），（a，1），且图象都在第一、四象限内；（2）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”，且还具有以下规律：在对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）中，①若0＜a＜1且0＜x＜1，或a＞1且x＞1，则有y＞0；②若0＜a＜1且x＞1，或a＞1且0＜x＜1，则有y＜0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负；（3）在同一坐标系内，y＝logax（a＞0且a≠1）的图象与y＝lox（a＞0且a≠1）的图象关于x轴（即直线y＝0）对称.
1.若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（　　）
A.y＝log2x　　　　　　B.y＝2log4x
C.y＝log2x或y＝2log4x D.不确定
2.函数f（x）＝＋ln x的定义域是（　　）
A.（－∞，1] B.（0，1]
C.（0，＋∞） D.[0，1]
3.函数f（x）＝loga（x－3）＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标为　　　　.
题型一 对数函数的概念
【例1】　指出下列函数哪些是对数函数？
（1）y＝log23x；　　　（2）y＝log6x；
（3）y＝logx5； （4）y＝log2x＋1.
尝试解答
通性通法
判断一个函数是对数函数的方法
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数，则实数a＝　　　　.
2.若对数函数f（x）＝logax的图象过点（2，1），则f（8）＝　　　　.
3.函数f（x）＝3log2x＝logax，则a＝　　　　.
题型二 对数型函数的定义域、值域问题
【例2】　（1）求下列函数的定义域：
①y＝；
②y＝log（2x－1）（－4x＋8）.
（2）求下列函数的值域：
①y＝log2（x2＋4）；②y＝lo（3＋2x－x2）.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）把本例（1）①的函数变为“y＝”，结果如何？
2.（变设问）若把本例（1）①中x的范围限定为[－8，1]，求函数的值域.
通性通法
1.求对数型函数定义域的原则
（1）分母不能为0；
（2）根指数为偶数时，被开方数非负；
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
2.求函数值域的方法
（1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解；
（2）求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值.
【跟踪训练】
1.函数y＝的定义域为（　　）
A.（－4，－1） B.（－4，1）
C.（－1，1） D.（－1，1]
2.函数f（x）＝log0.2（2x＋1）的值域为　　　　.
题型三 对数型函数的图象
角度1　图象过定点问题
【例3】　函数f（x）＝loga（2x＋1）＋2（a＞0且a≠1）的图象过定点　　　　.
尝试解答
通性通法
　　求函数y＝m＋logaf（x）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点的步骤：
（1）令f（x）＝1；
（2）求出x；
（3）得定点（x，m）.
角度2　图象识辨问题
【例4】　已知a＞0且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga（－x）的图象可能是（　　）
尝试解答
通性通法
　　给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法.
角度3　图象的应用问题
【例5】　当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2＜logax（a＞0且a≠1）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（1，2] D.
尝试解答
通性通法
　　本题应用了一种重要的思想方法，即数形结合思想，数形结合思想就是将数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合.本题将不等式恒成立问题转化为两个函数图象的位置关系问题进行求解.
【跟踪训练】
1.设a与b均为实数，a＞0且a≠1，已知函数y＝loga（x＋b）的图象如图所示，则a＋2b＝（　　）
A.6 B.8
C.10 D.12
2.若函数f（x）＝logm（nx＋3）＋1（m＞0且m≠1）恒过定点（2，1），则实数n＝　　　　.
3.函数f（x）＝｜ln x｜－e－x的零点个数为　　　　.
1.给出下列函数：①y＝lox2；②y＝log3（x－1）；③y＝logx＋1x；④y＝logπx.其中是对数函数的有（　　）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.函数y＝log2（x＋1）的图象大致是（　　）
3.函数y＝log2（2x＋1）的值域是（　　）
A.[1，＋∞） B.（0，1）
C.（－∞，0） D.（0，＋∞）
4.（多选）若ln a＝lg b，则下列选项可能成立的是（　　）
A.a＝b B.1＜a＜b
C.a＜b＜1 D.b＜a＜1
5.函数f（x）＝的定义域为　　　　.
第1课时　对数函数的概念、性质与图象
【基础知识·重落实】
知识点一
y＝logax　常数
想一想
1.提示：定义域为（0，＋∞），因为负数和零没有对数.
2.提示：对数函数解析式的3个特征：
（1）底数a为大于0且不等1的常数；
（2）自变量x的位置在真数上，且x的系数为1；
（3）logax的系数为1.
知识点二
（0，＋∞）　（1，0）　1　0　减函数　增函数
自我诊断
1.A　设函数为y＝logax（a＞0，a≠1），依题可知，2＝loga4，解得a＝2，所以该对数函数的解析式为y＝log2x.故选A.
2.B　要使函数有意义，则需满足解得x∈（0，1].故选B.
3.（4，1）　解析：令x－3＝1，可得x＝4，f（4）＝1，即P（4，1）.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）log23x的真数是3x，不是x，不是对数函数.
（2）符合对数函数的结构形式，是对数函数.
（3）自变量在底数位置上，不是对数函数.
（4）对数式log2x后又加上1，不是对数函数.
跟踪训练
1.1　解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
2.3　解析：依题意知1＝loga2，所以a＝2，所以f（x）＝log2x，故f（8）＝log28＝3.
3.　解析：∵f（x）＝3log2x＝log2x3＝lox，∴a＝.
【例2】　解：（1）①由题意得
即即x≤1.
故函数y＝的定义域为（－∞，1].
②由题意得解得
故函数y＝log（2x－1）（－4x＋8）的定义域为∪（1，2）.
（2）①因为t＝x2＋4≥4，且y＝log2t为增函数，
所以y＝log2（x2＋4）≥log24＝2.
即函数y＝log2（x2＋4）的值域为[2，＋∞）.
②因为t＝3＋2x－x2＝－（x－1）2＋4≤4.
且y＝lot为减函数，
所以lo（3＋2x－x2）≥lo4＝－2.
即函数y＝lo（3＋2x－x2）的值域为[－2，＋∞）.
母题探究
1.解：由题意可知所以
所以即1≤x＜2.
故函数y＝的定义域为[1，2）.
2.解：因为y＝在x∈[－8，1]上为减函数，所以ymax＝＝1，ymin＝＝0.所以函数的值域为[0，1].
跟踪训练
1.C　由题意得解得故定义域为（－1，1）.故选C.
2.（－∞，0）　解析：因为t＝2x＋1＞1，且y＝log0.2t为单调递减函数，所以y＜log0.21＝0，所以函数f（x）＝log0.2（2x＋1）的值域为（－∞，0）.
【例3】　（0，2）　解析：令2x＋1＝1，可得x＝0，则f（0）＝loga1＋2＝2，故函数f（x）＝loga（2x＋1）＋2（a＞0且a≠1）的图象过定点（0，2）.
【例4】　B　若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象从左到右下降且过点（0，1），函数y＝loga（－x）的图象从左到右上升且过点（－1，0）；若a＞1，则函数y＝ax的图象从左到右上升且过点（0，1），函数y＝loga（－x）的图象从左到右下降且过点（－1，0）.综上可知，选B.
【例5】　C　令f1（x）＝（x－1）2，f2（x）＝logax，要使当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2＜logax（a＞0且a≠1）恒成立，只需f1（x）＝（x－1）2在（1，2）上的图象在f2（x）＝logax（a＞0且a≠1）的图象的下方.
当0＜a＜1时，显然不成立；
当a＞1时，如图所示，要使在（1，2）上，f1（x）＝（x－1）2的图象在f2（x）＝logax（a＞0且a≠1）的图象的下方，只需f1（2）≤f2（2），即（2－1）2≤loga2，∴loga2≥1，即1＜a≤2.
跟踪训练
1.C　令f（x）＝y＝loga（x＋b），由图可知f（0）＝logab＝2，f（－3）＝loga（－3＋b）＝0，即解得故a＋2b＝2＋4×2＝10，故选C.
2.－1　解析：依题意2n＋3＝1，n＝－1.
3.2　解析：令f（x）＝0，即｜ln x｜－e－x＝0，即｜ln x｜＝e－x，令g（x）＝｜ln x｜，h（x）＝e－x，把函数f（x）的零点个数问题转化为函数g（x），h（x）的图象的交点个数，画出函数g（x）＝｜ln x｜，h（x）＝e－x的图象，如图所示，结合图象，可得两函数的图象共有2个交点，即函数f（x）＝｜ln x｜－e－x的零点个数为2.
随堂检测
1.A　①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.
2.C　函数y＝log2（x＋1）的图象是把函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点（0，0），函数定义域为（－1，＋∞），且在（－1，＋∞）上是增函数，故选C.
3.D　设t＝2x＋1，则t＝2x＋1＞1，故log2（2x＋1）＞0，故y＝log2（2x＋1）的值域为（0，＋∞），故选D.
4.ABD　在同一直角坐标系中，作出y＝ln x，y＝lg x的图象.由图可知，当a＝b＝1时，有ln a＝lg b，故A正确；当a＞1，b＞1时，显然有a＜b，故B正确；当a＜1，b＜1时，显然有b＜a，故C错误，D正确.故选A、B、D.
5.（0，2]　解析：函数有意义需满足，解得0＜x≤2，∴函数f（x）＝的定义域为（0，2].
5 / 5(共65张PPT)
第1课时　
对数函数的概念、性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解对数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助信息技术画出具体对数
函数的图象 直观想象
3.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 数学抽象、直观想象
4.体会对数函数是一类重要的函数模型 数学抽象、数学运
算、直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李
锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河
巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活
着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的
“亚洲龙王”.
同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年
代的吗？
那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个
问题吧！
【问题】　考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物
体的残留物，利用 P （碳14含量）估算出土文物或古遗址的年代 t ，
那么 t 是 P 的函数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点一　对数函数的概念
一般地，函数 称为对数函数，其中 a 是 ， a ＞0
且 a ≠1.
y ＝log ax 　
常数　
【想一想】
1. 对数函数的定义域是什么？为什么？
提示：定义域为（0，＋∞），因为负数和零没有对数.
2. 类比指数函数的解析式及定义，对数函数的解析式有何特征？
提示：对数函数解析式的3个特征：
（1）底数 a 为大于0且不等1的常数；
（2）自变量 x 的位置在真数上，且 x 的系数为1；
（3）log ax 的系数为1.
知识点二　对数函数的图象与性质
a 的范围 0＜ a ＜1 a ＞1
图　象
a 的范围 0＜ a ＜1 a ＞1
性质 定义域
值域 R
定点 ，即 x ＝ 时， y ＝
单调性 在（0，＋∞）上是
在（0，＋∞）上是

（0，＋∞）　
（1，0）　
1　
0　
减
函数　
增
函数　
提醒　（1）对数函数的图象都经过点 ，（1，0），（ a ，
1），且图象都在第一、四象限内；（2）底数 a 与1的大小关系决定了
对数函数图象的“升降”：当 a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当
0＜ a ＜1时，对数函数的图象“下降”，且还具有以下规律：在对数
函数 y ＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）中，①若0＜ a ＜1且0＜ x ＜1，或 a ＞1
且 x ＞1，则有 y ＞0；②若0＜ a ＜1且 x ＞1，或 a ＞1且0＜ x ＜1，则有
y ＜0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负；（3）在同一
坐标系内， y ＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象与 y ＝lo x （ a ＞0且 a
≠1）的图象关于 x 轴（即直线 y ＝0）对称.
1. 若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为
（　　）
A. y ＝log2 x B. y ＝2log4 x
C. y ＝log2 x 或 y ＝2log4 x D. 不确定
解析： 　设函数为 y ＝log ax （ a ＞0， a ≠1），依题可知，2＝log
a 4，解得 a ＝2，所以该对数函数的解析式为 y ＝log2 x .故选A.
2. 函数 f （ x ）＝ ＋ln x 的定义域是（　　）
A. （－∞，1] B. （0，1]
C. （0，＋∞） D. [0，1]
解析： 　要使函数有意义，则需满足解得 x ∈（0，
1].故选B.
3. 函数 f （ x ）＝log a （ x －3）＋1的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标
为 .
解析：令 x －3＝1，可得 x ＝4， f （4）＝1，即 P （4，1）.
（4，1）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数函数的概念
【例1】 指出下列函数哪些是对数函数？
（1） y ＝log23 x ； （2） y ＝log6 x ；
（3） y ＝log x 5； （4） y ＝log2 x ＋1.
解：（1）log23 x 的真数是3 x ，不是 x ，不是对数函数.
（2）符合对数函数的结构形式，是对数函数.
（3）自变量在底数位置上，不是对数函数.
（4）对数式log2 x 后又加上1，不是对数函数.
通性通法
　　判断一个函数是对数函数的方法
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝（ a2－ a ＋1）log（ a＋1） x 是对数函数，则实数 a
＝ .
解析： a2－ a ＋1＝1，解得 a ＝0或1.又 a ＋1＞0，且 a ＋1≠1，
∴ a ＝1.
2. 若对数函数 f （ x ）＝log ax 的图象过点（2，1），则 f （8）
＝ .
解析：依题意知1＝log a 2，所以 a ＝2，所以 f （ x ）＝log2 x ，故 f
（8）＝log28＝3.
3. 函数 f （ x ）＝3log2 x ＝log ax ，则 a ＝ .
解析：∵ f （ x ）＝3log2 x ＝log2 x3＝lo x ，∴ a ＝ .
1　
3　
　
题型二 对数型函数的定义域、值域问题
【例2】　（1）求下列函数的定义域：
① y ＝ ；
② y ＝log（2 x－1）（－4 x ＋8）.
解： ①由题意得
即即 x ≤1.
故函数 y ＝ 的定义域为（－∞，1].
②由题意得解得
故函数 y ＝log（2 x－1）（－4 x ＋8）的定义域为 ∪（1，2）.
（2）求下列函数的值域：
① y ＝log2（ x2＋4）；② y ＝lo （3＋2 x － x2）.
解： ①因为 t ＝ x2＋4≥4，且 y ＝log2 t 为增函数，
所以 y ＝log2（ x2＋4）≥log24＝2.
即函数 y ＝log2（ x2＋4）的值域为[2，＋∞）.
②因为 t ＝3＋2 x － x2＝－（ x －1）2＋4≤4.
且 y ＝lo t 为减函数，
所以lo （3＋2 x － x2）≥lo 4＝－2.
即函数 y ＝lo （3＋2 x － x2）的值域为[－2，＋∞）.
【母题探究】
1. （变条件）把本例（1）①的函数变为“ y ＝ ”，
结果如何？
解：由题意可知
所以所以即1≤ x ＜2.
故函数 y ＝ 的定义域为[1，2）.
2. （变设问）若把本例（1）①中 x 的范围限定为[－8，1]，求函数
的值域.
解：因为 y ＝ 在 x ∈[－8，1]上为减函数，所以 ymax
＝ ＝1， ymin＝ ＝0.所以函数的值域为
[0，1].
通性通法
1. 求对数型函数定义域的原则
（1）分母不能为0；
（2）根指数为偶数时，被开方数非负；
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
2. 求函数值域的方法
（1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数
的取值范围求解；
（2）求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函
数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数
的取值.
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝ 的定义域为（　　）
A. （－4，－1） B. （－4，1）
C. （－1，1） D. （－1，1]
解析： 　由题意得解得故定
义域为（－1，1）.故选C.
2. 函数 f （ x ）＝log0.2（2 x ＋1）的值域为 .
解析：因为 t ＝2 x ＋1＞1，且 y ＝log0.2 t 为单调递减函数，所以 y ＜
log0.21＝0，所以函数 f （ x ）＝log0.2（2 x ＋1）的值域为（－∞，
0）.
（－∞，0）　
题型三 对数型函数的图象
角度1　图象过定点问题
【例3】　函数 f （ x ）＝log a （2 x ＋1）＋2（ a ＞0且 a ≠1）的图象过
定点 .
解析：令2 x ＋1＝1，可得 x ＝0，则 f （0）＝log a 1＋2＝2，故函数 f
（ x ）＝log a （2 x ＋1）＋2（ a ＞0且 a ≠1）的图象过定点（0，2）.
（0，2）　
通性通法
　　求函数 y ＝ m ＋log af （ x ）（ a ＞0且 a ≠1）的图象恒过定点
的步骤：
（1）令 f （ x ）＝1；
（2）求出 x ；
（3）得定点（ x ， m ）.
角度2　图象识辨问题
【例4】　已知 a ＞0且 a ≠1，则函数 y ＝ ax 与 y ＝log a （－ x ）的图象
可能是（　　）
解析： 　若0＜ a ＜1，则函数 y ＝ ax 的图象从左到右下降且过点
（0，1），函数 y ＝log a （－ x ）的图象从左到右上升且过点（－1，
0）；若 a ＞1，则函数 y ＝ ax 的图象从左到右上升且过点（0，1），
函数 y ＝log a （－ x ）的图象从左到右下降且过点（－1，0）.综上可
知，选B.
通性通法
　　给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初
等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性
质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选
出，解决此类题目常采用排除法.
角度3　图象的应用问题
【例5】　当 x ∈（1，2）时，不等式（ x －1）2＜log ax （ a ＞0且 a
≠1）恒成立，则实数 a 的取值范围为（　　）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （1，2] D.
解析： 　令 f1（ x ）＝（ x －1）2， f2（ x ）＝log ax ，
要使当 x ∈（1，2）时，不等式（ x －1）2＜log ax （ a
＞0且 a ≠1）恒成立，只需 f1（ x ）＝（ x －1）2在
（1，2）上的图象在 f2（ x ）＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）
的图象的下方.
当0＜ a ＜1时，显然不成立；当 a ＞1时，如图所示，要使在（1，2）上， f1（ x ）＝（ x －1）2的图象在 f2（ x ）＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象的下方，只需 f1（2）≤ f2（2），即（2－1）2≤log a 2，∴log a 2≥1，
即1＜ a ≤2.
通性通法
　　本题应用了一种重要的思想方法，即数形结合思想，数形结合思
想就是将数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结
合.本题将不等式恒成立问题转化为两个函数图象的位置关系问题进
行求解.
【跟踪训练】
1. 设 a 与 b 均为实数， a ＞0且 a ≠1，已知函数 y ＝log a （ x ＋ b ）的图
象如图所示，则 a ＋2 b ＝（　　）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
解析： 　令 f （ x ）＝ y ＝log a （ x ＋ b ），由图可知 f （0）＝log ab
＝2， f （－3）＝log a （－3＋ b ）＝0，即解得
故 a ＋2 b ＝2＋4×2＝10，故选C.
2. 若函数 f （ x ）＝log m （ nx ＋3）＋1（ m ＞0且 m ≠1）恒过定点
（2，1），则实数 n ＝ .
解析：依题意2 n ＋3＝1， n ＝－1.
－1　
3. 函数 f （ x ）＝｜ln x ｜－e－ x 的零点个数为 .
解析：令 f （ x ）＝0，即｜ln x ｜－e－ x ＝
0，即｜ln x ｜＝e－ x ，令 g （ x ）＝｜ln
x ｜， h （ x ）＝e－ x ，把函数 f （ x ）的零点
个数问题转化为函数 g （ x ）， h （ x ）的图
象的交点个数，画出函数 g （ x ）＝｜ln x ｜， h （ x ）＝e－ x 的图象，如图所示，结合图象，可得两函数的图象共有2个交点，即函数 f （ x ）＝｜ln x ｜－e－ x 的零点个数为2.
2　
1. 给出下列函数：① y ＝lo x2；② y ＝log3（ x －1）；③ y ＝log x＋1
x ；④ y ＝logπ x .其中是对数函数的有（　　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析： 　①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量
x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.
2. 函数 y ＝log2（ x ＋1）的图象大致是（　　）
解析： 　函数 y ＝log2（ x ＋1）的图象是把函数 y ＝log2 x 的图象
向左平移一个单位长度得到的，图象过定点（0，0），函数定义域
为（－1，＋∞），且在（－1，＋∞）上是增函数，故选C.
3. 函数 y ＝log2（2 x ＋1）的值域是（　　）
A. [1，＋∞） B. （0，1）
C. （－∞，0） D. （0，＋∞）
解析：D　设 t ＝2 x ＋1，则 t ＝2 x ＋1＞1，故log2（2 x ＋1）＞0，故
y ＝log2（2 x ＋1）的值域为（0，＋∞），故选D.
解析： 　在同一直角坐标系中，作出 y ＝ln x ， y ＝lg x 的图象.由图可知，当 a ＝ b ＝1时，有ln a ＝lg b ，故A正确；当 a ＞1， b ＞
1时，显然有 a ＜ b ，故B正确；当 a ＜1， b ＜1时，显然有 b ＜ a ，故C错误，D正确.故选A、B、D.
4. （多选）若ln a ＝lg b ，则下列选项可能成立的是（　　）
A. a ＝ b B. 1＜ a ＜ b
C. a ＜ b ＜1 D. b ＜ a ＜1
5. 函数 f （ x ）＝ 的定义域为 .
解析：函数有意义需满足，解得0＜ x ≤2，∴函数
f （ x ）＝ 的定义域为（0，2].
（0，2]　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x ）＝log a （ x ＋2），若图象过点（6，3），则 f
（2）的值为（　　）
A. －2 B. 2
C. D. －
解析： 　因为函数 f （ x ）＝log a （ x ＋2）的图象过点（6，3），
所以log a （6＋2）＝3，则 a3＝8 a ＝2，所以 f （ x ）＝log2（ x ＋
2）， f （2）＝log2（2＋2）＝2，故选B.
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2. 函数 y ＝ 的图象大致是（　　）
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解析： 　函数 y ＝ 的定义域是{ x ｜ x ≠0}，且易得函数为
奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A、B，当 x ＝1时，
y ＝lg 1＝0，故图象与 x 轴相交，且其中一个交点为（1，0），只
有D中图象符合.
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3. 函数 f （ x ）＝ 的定义域为（0，10]，则实数 a 的值为
（　　）
A. 0 B. 10
C. 1 D.
解析： 　由已知，得 a －lg x ≥0的解集为（0，10]，由 a －lg x
≥0，得lg x ≤ a ，又当0＜ x ≤10时，lg x ≤1，所以 a ＝1，故选C.
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4. 函数 y ＝lo （4 x － x2）的值域是（　　）
A. [－2，＋∞） B. R
C. [0，＋∞） D. （0，4]
解析： 由4 x － x2＞0，得0＜ x ＜4，令 t ＝4 x － x2，则 y ＝lo
t ，因为 t ＝4 x － x2＝－（ x －2）2＋4，0＜ x ＜4，所以0＜ t ≤4，
因为函数 y ＝lo t 在（0，4]上单调递减，所以 y ＝lo t ≥lo 4
＝－2，所以函数的值域为[－2，＋∞），故选A.
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5. （多选）已知函数 f （ x ）＝log a （1－ x ）（ a ＞0， a ≠1），下列
关于 f （ x ）的说法正确的是（　　）
A. f （ x ）的定义域是（－∞，1）
B. f （ x ）的值域是R
C. f （ x ）的图象过原点
D. 当 a ＞1时， f （ x ）在定义域上是增函数
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解析： 　对于A选项，对于函数 f （ x ）＝log a （1－ x ）（ a ＞
0， a ≠1），1－ x ＞0，解得 x ＜1，所以函数 f （ x ）的定义域是
（－∞，1），A选项正确；对于B选项，1－ x ＞0，函数 f （ x ）的
值域是R，B选项正确；对于C选项，因为 f （0）＝log a 1＝0，所以
函数 f （ x ）的图象过原点，C选项正确；对于D选项，当 a ＞1时，
由于内层函数 u ＝1－ x 在（－∞，1）上为减函数，外层函数 y ＝
log au 为增函数，所以函数 f （ x ）在定义域上是减函数，D选项错
误.故选A、B、C.
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6. 若 f （ x ）＝log ax ＋（ a2－4 a －5）是对数函数，则 a ＝ .
解析：由对数函数的定义可知，解得 a ＝5.
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7. 已知函数 y ＝log2（ x ＋2）＋ m 的图象不过第四象限，则实数 m 的
取值范围为 .
解析：由题意，知log22＋ m ≥0，所以 m ≥－1.
[－1，＋∞）　
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8. 已知函数 f （ x ）＝若对任意的 x ∈R，不等式 f
（ x ）≤ m 恒成立，则实数 m 的取值范围为 .
解析：当 x ≤1时， f （ x ）＝－ x2＋ x ＝－ ＋ ≤ ，当 x ＝
时等号成立；当 x ＞1时， f （ x ）＝lo x ＜0，故 f （ x ）max＝
，故 m ≥ .
　
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9. 求 y ＝（lo x ）2－ lo x ＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值.
解：因为2≤ x ≤4，且 y ＝lo x 为减函数，所以lo 2≥lo x ≥lo
4，即－1≥lo x ≥－2.
设 t ＝lo x ，则－2≤ t ≤－1，
所以 y ＝ t2－ t ＋5，其图象的对称轴为直线 t ＝ ，
所以当 t ＝－2时， ymax＝10；当 t ＝－1时， ymin＝ .
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10. 已知函数 f （ x ）＝的值域为R，则实数
a 的取值范围是（　　）
A. （－∞，－4] B. （－4，1）
C. [－4，1） D. （0，1）
解析： 　当 x ≥1， f （ x ）＝ln x －2 a ，∴当 x ≥1时， f （ x ）≥
－2 a ，∵ f （ x ）的值域为R，∴当 x ＜1时， f （ x ）＝（1－ a ） x
＋3值域需包含（－∞，－2 a ），∴解得－
4≤ a ＜1，故选C.
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11. 已知函数 f （ x ）＝｜lo x ｜的定义域为 ，值域为[0，
1]，则 m 的取值范围为 .
解析：作出 f （ x ）＝｜lo x ｜的图象（如图）
可知 f ＝ f （2）＝1， f （1）＝0，由题意结合
图象知：1≤ m ≤2.
[1，2]　
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12. 已知函数 f （ x ）＝lo （ x2－2 ax ＋3）.
（1）当 a ＝－1时，求函数 f （ x ）的值域；
解： 当 a ＝－1时， f （ x ）＝lo （ x2＋2 x ＋3），
∵ x2＋2 x ＋3＝（ x ＋1）2＋2≥2，∴lo （ x2＋2 x ＋3）
≤lo 2＝－1，
∴函数 f （ x ）的值域（－∞，－1].
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（2）若函数 f （ x ）的值域为R，求实数 a 的取值范围.
解： 要使函数 f （ x ）的值域为R，则 y ＝ x2－2 ax ＋3
的值域包含（0，＋∞），
∴Δ＝（－2 a ）2－4×1×3≥0，解得 a ≤－ 或 a ≥ ，
∴实数 a 的取值范围为（－∞，－ ]∪[ ，＋∞）.
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13. 已知函数 f （ x ）＝若正实数 a ， b ， c 互不相
等，且 f （ a ）＝ f （ b ）＝ f （ c ），则 a · b · c 的取值范围
为 .
解析： f （ x ）＝的图
象如图所示.
设 a ＜ b ＜ c ，因为 f （ a ）＝ f （ b ）＝ f
（ c ），所以｜ln a ｜＝｜ln b ｜，即ln a
＋ln b ＝0，则 ab ＝1，又因为 x ＞e时， y＝2－ln x 单调递减，且与 x 轴交于点（e2，0），所以 c ∈（e，e2），所以 abc ＝ c ∈（e，e2）.
（e，e2）　
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14. 已知函数 f （ x ）＝ln .
（1）判断函数 f （ x ）的奇偶性，并给出证明；
解： 函数 f （ x ）为奇函数，证明如下：
由 ＞0，解得 x ＜－1或 x ＞1，所以函数的定义域为（－
∞，－1）∪（1，＋∞），
对任意的 x ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞），有 f （－ x ）＝
ln ＝ln ＝ln ＝－ln ＝－ f （ x ），
所以函数 f （ x ）为奇函数.
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（2）若函数 g （ x ）＝ln x －（ x －1）在（1，＋∞）上单调递
减，比较 f （2）＋ f （4）＋…＋ f （2 n ）与2 n （ n ∈N*）的
大小关系，并说明理由.
解： f （2）＋ f （4）＋…＋ f （2 n ）＜2 n （ n
∈N*）.理由如下：
因为 f （2）＋ f （4）＋…＋ f （2 n ）＝ln（ × ×
×…× ）＝ln（2 n ＋1），
所以 f （2）＋ f （4）＋…＋ f （2 n ）－2 n ＝ln（2 n ＋
1）－2 n ＝ln（2 n ＋1）－[（2 n ＋1）－1]，
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又 g （ x ）＝ln x －（ x －1）在 x ∈（1，＋∞）上单调
递减，
当 x ＞1时 g （ x ）＜ g （1）＝0，故 g （2 n ＋1）＜0，
即ln（2 n ＋1）－[（2 n ＋1）－1]＜0，
所以 f （2）＋ f （4）＋…＋ f （2 n ）＜2 n （ n ∈N*）.
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