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第2课时　对数函数图象及性质的应用（习题课）
1.若a＝，b＝2 02，c＝log2 025，则a，b，c的大小关系为（　　）
A.a＜b＜c　　　　　 B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
2.函数f（x）＝｜lox｜的单调递增区间是（　　）
A. B.（0，1]
C.（0，＋∞） D.[1，＋∞）
3.若ax≥1的解集为{x｜x≤0}且函数y＝loga（x2＋2）的最大值为－1，则实数a的值为（　　）
A.2 B.
C.3 D.
4.已知函数f（x）＝则满足f（x）＞1的x的取值范围是（　　）
A.（－2，e）
B.（－2，＋∞）
C.（－∞，－2）∪（0，＋∞）
D.（－∞，－2）∪（e，＋∞）
5.（多选）使lo（2x－3）＞－2成立的一个充分不必要条件是（　　）
A.x＞ B.x＜或x＞3
C.2＜x＜3 D.3＜x＜
6.函数f（x）是值域为R的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，则满足题意的一个函数为　　　　.
7.已知log0.45（x＋2）＞log0.45（1－x），则实数x的取值范围是　　　　.
8.已知函数f（x）＝log3（x2－ax＋2a）在（1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　.
9.求函数y＝lo（1－x2）的单调增区间，并求函数的最小值.
10.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0]上单调递减.若实数a满足f（log2a）＋f≤2f（2），则a的取值范围是（　　）
A.（－∞，4） B.（0，4]
C. D.
11.若函数f（x）＝ex－e－x，则不等式f（ln x）＋f（ln x－1）＞0的解集是　　　　.
12.已知函数f（x）＝loga（ax2－x）.
（1）若a＝，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围.
13.若不等式x2－logax＜0在内恒成立，则a的取值范围是（　　）
A.≤a＜1 B.＜a＜1
C.0＜a≤ D.0＜a＜
14.已知函数f（x）＝2log2x＋lox.
（1）求f（x）在区间[1，8]上的值域；
（2）设函数g（x）＝f（x＋a），其中a＞0，若对任意t∈，g（x）在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.
第2课时　对数函数图象及性质的应用（习题课）
1.D　∵0＜＜＝1，∴∈（0，1），2 02＞2 0250＝1，∴2 02＞1，log2 025＜log2 0251＝0，∴c＜a＜b.故选D.
2.D　f（x）的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞）.
3.B　因为ax≥1＝a0的解集为{x｜x≤0}，所以0＜a＜1，因为x2＋2≥2，函数y＝loga（x2＋2）的最大值为－1，则loga2＝－1，解得a＝.故选B.
4.D　依题意f（x）＞1，即或即或解得x＜－2或x＞e.所以x的取值范围是（－∞，－2）∪（e，＋∞）.故选D.
5.CD　∵lo（2x－3）＞－2＝lo＝lo4，∴0＜2x－3＜4，解得不等式的解集为{x｜＜x＜}.根据题意，题目答案所对应的集合必须是所求集合的真子集.故选C、D.
6.f（x）＝lo｜x｜（答案不唯一）　解析：∵函数f（x）是值域为R的偶函数，∴满足题意的一个函数是f（x）＝loga｜x｜，0＜a＜1即可.
7.　解析：由log0.45（x＋2）＞log0.45（1－x），得0＜x＋2＜1－x，解得－2＜x＜－.
8.[－1，2]　解析：∵函数f（x）＝log3（x2－ax＋2a）在（1，＋∞）上单调递增，∴函数t（x）＝x2－ax＋2a在（1，＋∞）上单调递增，且t（x）＞0，∴解得－1≤a≤2，即a∈[－1，2].
9.解：要使y＝lo（1－x2）有意义，则1－x2＞0，
∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为（－1，1）.
令t＝1－x2，x∈（－1，1）.
当x∈（－1，0]时，x增大，t增大，y＝lot减小，
∴x∈（－1，0]时，y＝lo（1－x2）是减函数；
同理当x∈[0，1）时，y＝lo（1－x2）是增函数.
故函数y＝lo（1－x2）的单调增区间为[0，1），且函数的最小值ymin＝lo（1－02）＝0.
10.D　∵f（x）是定义域为R上的偶函数，且在区间（－∞，0]上单调递减，∴函数f（x）在区间[0，＋∞）上是单调递增函数，∴不等式f（log2a）＋f≤2f（2）可化为2f（log2a）≤2f（2），即f（log2a）≤f（2），则f（｜log2a｜）≤f（2），又函数在区间[0，＋∞）上是单调递增函数，∴｜log2a｜≤2，即－2≤log2a≤2，解得≤a≤4.故选D.
11.（，＋∞）　解析：因为f（x）＝ex－e－x，定义域为R，且f（－x）＝－＝－f（x），故其为奇函数，又y＝ex，y＝－e－x均为单调增函数，故f（x）为R上的单调增函数，则原不等式等价于f（ln x）＞f（1－ln x），也即ln x＞1－ln x，整理得ln x＞，解得x＞，故不等式的解集为（，＋∞）.
12.解：（1）当a＝时，易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（2，＋∞）.
易知y＝x2－x在（－∞，0）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增.
故函数f（x）＝loga（ax2－x）＝lo在（－∞，0）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减.
（2）令g（x）＝ax2－x，则g（x）图象的对称轴为x＝.又f（x）在[2，4]上是增函数，
则①当a＞1时，∴≤2，∴a＞1.
又∵g（x）在[2，4]上恒大于0，
∴g（2）＞0，g（4）＞0，
∴解得a＞，∴a＞1.
②当0＜a＜1时，∴≥4，∴0＜a≤.
又∵g（x）在[2，4]上恒大于0，
∴g（2）＞0，g（4）＞0，
∴解得a＞，与0＜a≤矛盾.
综上所述a＞1.
13.A　当a＞1时，由x∈，可得logax＜0，则－logax＞0，又由x2＞0，此时不等式x2－logax＜0不成立，不合题意；当0＜a＜1时，函数y＝logax在上单调递减，此时函数y＝－logax在上单调递增，又由y＝x2在上单调递增，要使得不等式x2－logax＜0在内恒成立，可得－loga≤0，解得≤a＜1.故选A.
14.解：（1）∵f（x）＝2log2x＋lox＝2log2x－log2x＝log2x，
∴f（x）在[1，8]上单调递增，∴f（x）∈[0，3].
（2）由题意得，g（x）＝log2（x＋a），易得g（x）在[t，t＋1]上单调递增，
∴任意t∈，g（t＋1）－g（t）≤1成立，
即log2（t＋1＋a）－log2（t＋a）≤1，∴0＜t＋1＋a≤2（t＋a），
∴a≥1－t，∴a≥，即a的取值范围为.
2 / 2第2课时　对数函数图象及性质的应用（习题课）
题型一 比较对数值的大小
【例1】　比较下列各组中两个值的大小：
（1）ln 0.3，ln 2；
（2）loga3.1，loga5.2（a＞0且a≠1）；
（3）log30.2，log40.2；
（4）log3π，logπ3.
尝试解答
通性通法
比较对数值大小时常用的4种方法
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
【跟踪训练】
1.已知a＝log53，b＝5－0.5，c＝log35，则（　　）
A.a＜c＜b　　　　　B.b＜c＜a
C.b＜a＜c D.a＜b＜c
2.已知函数f（x）＝｜ln x｜，若a＝f，b＝f，c＝f（2），则a，b，c从小到大排序为　　　　.
题型二 求解对数不等式
【例2】　解不等式：
（1）log2（2x＋3）≥log2（5x－6）；
（2）loga（x－4）－loga（2x－1）＞0（a＞0且a≠1）.
尝试解答
通性通法
常见对数不等式的2种解法
（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
（2）形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解.
【跟踪训练】
1.不等式ln（x2＋1）＞ln（3x＋5）的解集为（　　）
A.（4，＋∞）
B.（－1，4）
C.∪（4，＋∞）
D.（－∞，－1）∪（4，＋∞）
2.已知函数f（x）是偶函数，在[0，＋∞）上是减函数，若f（log2x）＞f（2）.则实数x的取值范围是（　　）
A.（1，4） B.∪（4，＋∞）
C.∪（1，4） D.
题型三 对数型函数的单调性
【例3】　求函数f（x）＝lo（x2－2x－3）的单调区间.
尝试解答
通性通法
1.解决对数型函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域.
2.对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf（x）（a＞0且a≠1）型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f（logax）（a＞0且a≠1）型.
【跟踪训练】
1.若函数f（x）＝ln（ax－2）在（1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）
A.（0，＋∞） B.（2，＋∞）
C.（0，2] D.[2，＋∞）
2.函数y＝log2（x2－4x＋3）的单调递增区间为　　　　.
对数的应用
　　为研究某种病毒的传播规律及其治疗和预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的总数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内98%的病毒细胞.
天数x 病毒细胞总数y
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
… …
【问题探究】
1.y与x的函数关系式是什么？
提示：由表中数据可知：当x＝1时，y＝1＝20；
当x＝2时，y＝2＝21；当x＝3时，y＝4＝22；……
故可得y与x的函数关系式为y＝2x－1（其中x∈N*）.
2.第几天时该种病毒细胞在小白鼠体内的病毒细胞超过（212＋10）个？
提示：令2x－1＝212＋10，得13＜x＜14，故第14天时小白鼠体内的病毒细胞超过（212＋10）个.
3.若在第12天时注射这种药物，则小白鼠体内还剩多少个病毒细胞？（结果保留整数）
提示：第12天时，小白鼠体内的病毒细胞有211＝2 048个，
所以体内还剩余的病毒细胞有2 048×（1－98%）＝40.96≈41（个）.
4.为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次注射该种药物最迟应在何时？（精确到天；参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
提示：由题意，知病毒细胞总数y与天数x的函数关系式为y＝2x－1（其中x∈N*），
则由2x－1≤108，两边取以10为底的对数得（x－1）lg 2≤8，从而x≤＋1≈27.58，
即第一次注射该种药物最迟应在第27天.
5.第二次注射该种药物最迟应在何时，才能维持小白鼠的生命？（精确到天；参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
提示：由第4题知，注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞有226×2%个，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞有226×2%×2x个，由题意226×2%×2x≤108，
两边取以10为底的对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤－27≈6.22.
故再经过6天必须注射药物，即第二次注射该种药物应在第33天.
1.若a＝log50.3，b＝log0.30.2，c＝0.35，则a，b，c的大小关系是（　　）
A.b＜a＜c　 　　　B.c＜b＜a
C.b＜c＜a D.a＜c＜b
2.若lg（2x－4）≤1，则x的取值范围是（　　）
A.（－∞，7] B.（2，7]
C.[7，＋∞） D.（2，＋∞）
3.若函数g（x）＝log3（ax2＋2x－1）有最大值1，则实数a＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.4
4.函数f（x）＝lo（6－x－x2）的单调递增区间是　　　　.
第2课时　对数函数图象及性质的应用（习题课）
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为函数y＝ln x在（0，＋∞）上是增函数，且0.3＜2，所以ln 0.3＜ln 2.
（2）当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
综上所述，当a＞1时，loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，loga3.1＞loga5.2.
（3）因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，
即log30.2＜log40.2.
（4）因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
跟踪训练
1.C　1＞log53＞log5＝，＝＜，log35＞log33＝1，故c＞a＞b，故选C.
2.c＜b＜a　解析：由题可知a＝f＝＝ln 8，b＝f＝＝ln 4，c＝f（2）＝｜ln 2｜＝ln 2，又函数y＝ln x在定义域中是单调递增的，所以c＜b＜a.
【例2】　解：（1）原不等式等价于
解得＜x≤3.
所以不等式的解集为.
（2）原不等式化为loga（x－4）＞loga（2x－1）.
当a＞1时，
不等式等价于 无解.
当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.
综上可知，当a＞1时，解集为 ；当0＜a＜1时，解集为{x｜x＞4}.
跟踪训练
1.C　原不等式等价于x2＋1＞3x＋5＞0，解得－＜x＜－1或x＞4.故选C.
2.D　∵函数f（x）是偶函数，在[0，＋∞）上是减函数，∴f（｜log2x｜）＞f（2），｜log2x｜＜2，∴－2＜log2x＜2，解得＜x＜4.故选D.
【例3】　解：设t＝x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1，由于t＝（x－1）2－4在（3，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减，又y＝lot在定义域内单调递减，因而函数f（x）＝lo（x2－2x－3）的单调递增区间为（－∞，－1），单调递减区间为（3，＋∞）.
跟踪训练
1.D　函数f（x）＝ln（ax－2）中，令u＝ax－2，函数y＝ln u在（0，＋∞）上单调递增，而函数f（x）＝ln（ax－2）在（1，＋∞）上单调递增，则函数u＝ax－2在（1，＋∞）上单调递增，且 x＞1，ax－2＞0，因此解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞）.故选D.
2.（3，＋∞）　解析：由x2－4x＋3＞0得x＜1或x＞3，即函数的定义域为（－∞，1）∪（3，＋∞），因为2＞1，且t＝x2－4x＋3在（3，＋∞）上为增函数，所以函数y＝log2（x2－4x＋3）的单调递增区间为（3，＋∞）.
随堂检测
1.D　因为a＝log50.3＜log51＝0，b＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，0＜c＝0.35＜0.30＝1，因此，a＜c＜b.故选D.
2.B　∵lg（2x－4）≤1，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是（2，7]，故选B.
3.C　∵函数g（x）＝log3（ax2＋2x－1）有最大值1，∴ax2＋2x－1有最大值3，∴a＜0.设h（x）＝ax2＋2x－1，则h＝a·＋2－1＝3，∴a＝－.故选C.
4.　解析：∵6－x－x2＞0，∴－3＜x＜2，当－＜x＜2时，u＝6－x－x2单调递减，而f（x）＝lou也单调递减，所以f（x）＝lo（6－x－x2）单调递增.
3 / 3(共50张PPT)
第2课时　
对数函数图象及性质的应用（习题课）
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 比较对数值的大小
【例1】　比较下列各组中两个值的大小：
（1）ln 0.3，ln 2；
解： 因为函数 y ＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数，且0.3＜
2，所以ln 0.3＜ln 2.
（2）log a 3.1，log a 5.2（ a ＞0且 a ≠1）；
解： 当 a ＞1时，函数 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是增
函数，
又3.1＜5.2，所以log a 3.1＜log a 5.2；
当0＜ a ＜1时，函数 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是减函数，
又3.1＜5.2，所以log a 3.1＞log a 5.2.
综上所述，当 a ＞1时，log a 3.1＜log a 5.2；
当0＜ a ＜1时，log a 3.1＞log a 5.2.
（3）log30.2，log40.2；
解： 因为0＞log0.23＞log0.24，所以 ＜ ，
即log30.2＜log40.2.
（4）log3π，logπ3.
解： 因为函数 y ＝log3 x 是增函数，且π＞3，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
通性通法
比较对数值大小时常用的4种方法
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对
底数进行分类讨论；
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再
进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图
象，再进行比较；
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
【跟踪训练】
1. 已知 a ＝log53， b ＝5－0.5， c ＝log35，则（　　）
A. a ＜ c ＜ b B. b ＜ c ＜ a
C. b ＜ a ＜ c D. a ＜ b ＜ c
解析： 1＞log53＞log5 ＝ ， ＝ ＜ ，log35＞log33＝1，
故 c ＞ a ＞ b ，故选C.
2. 已知函数 f （ x ）＝｜ln x ｜，若 a ＝ f ， b ＝ f ， c ＝ f （2），
则 a ， b ， c 从小到大排序为 .
解析：由题可知 a ＝ f ＝ ＝ln 8， b ＝ f ＝ ＝ln 4，
c ＝ f （2）＝｜ln 2｜＝ln 2，又函数 y ＝ln x 在定义域中是单调递增
的，所以 c ＜ b ＜ a .
c ＜ b ＜ a 　
题型二 求解对数不等式
【例2】　解不等式：
（1）log2（2 x ＋3）≥log2（5 x －6）；
解： 原不等式等价于
解得 ＜ x ≤3.
所以不等式的解集为 .
（2）log a （ x －4）－log a （2 x －1）＞0（ a ＞0且 a ≠1）.
解： 原不等式化为log a （ x －4）＞log a （2 x －1）.
当 a ＞1时，不等式等价于 无解.
当0＜ a ＜1时，不等式等价于解得 x ＞4.
综上可知，当 a ＞1时，解集为 ；当0＜ a ＜1时，解集为{ x ｜ x
＞4}.
通性通法
常见对数不等式的2种解法
（1）形如log ax ＞log ab 的不等式，借助 y ＝log ax 的单调性求解，如果
a 的取值不确定，需分 a ＞1与0＜ a ＜1两种情况讨论；
（2）形如log ax ＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形
式，再借助 y ＝log ax 的单调性求解.
【跟踪训练】
1. 不等式ln（ x2＋1）＞ln（3 x ＋5）的解集为（　　）
A. （4，＋∞）
B. （－1，4）
C. ∪（4，＋∞）
D. （－∞，－1）∪（4，＋∞）
解析： 　原不等式等价于 x2＋1＞3 x ＋5＞0，解得－ ＜ x ＜－1
或 x ＞4.故选C.
2. 已知函数 f （ x ）是偶函数，在[0，＋∞）上是减函数，若 f （log2
x ）＞ f （2）.则实数 x 的取值范围是（　　）
A. （1，4） B. ∪（4，＋∞）
C. ∪（1，4） D.
解析： 　∵函数 f （ x ）是偶函数，在[0，＋∞）上是减函数，
∴ f （｜log2 x ｜）＞ f （2），｜log2 x ｜＜2，∴－2＜log2 x ＜2，解
得 ＜ x ＜4.故选D.
题型三 对数型函数的单调性
【例3】　求函数 f （ x ）＝lo （ x2－2 x －3）的单调区间.
解：设 t ＝ x2－2 x －3＞0，得 x ＞3或 x ＜－1，由于 t ＝（ x －1）2－4
在（3，＋∞）上单调递增，在（－∞，
－1）上单调递减，又 y ＝lo t 在定义域内单调递减，因而函数 f
（ x ）＝lo （ x2－2 x －3）的单调递增区间为（－∞，－1），单调
递减区间为（3，＋∞）.
通性通法
1. 解决对数型函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当
底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复
合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域.
2. 对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即 y
＝log af （ x ）（ a ＞0且 a ≠1）型；另一类是对数函数为内函数，
即 y ＝ f （log ax ）（ a ＞0且 a ≠1）型.
【跟踪训练】
1. 若函数 f （ x ）＝ln（ ax －2）在（1，＋∞）上单调递增，则实数 a
的取值范围为（　　）
A. （0，＋∞） B. （2，＋∞）
C. （0，2] D. [2，＋∞）
解析： 　函数 f （ x ）＝ln（ ax －2）中，令 u ＝ ax －2，函数 y ＝
ln u 在（0，＋∞）上单调递增，而函数 f （ x ）＝ln（ ax －2）在
（1，＋∞）上单调递增，则函数 u ＝ ax －2在（1，＋∞）上单调
递增，且 x ＞1， ax －2＞0，因此解得 a ≥2，所以实
数 a 的取值范围为[2，＋∞）.故选D.
2. 函数 y ＝log2（ x2－4 x ＋3）的单调递增区间为 .
解析：由 x2－4 x ＋3＞0得 x ＜1或 x ＞3，即函数的定义域为（－
∞，1）∪（3，＋∞），因为2＞1，且 t ＝ x2－4 x ＋3在（3，＋
∞）上为增函数，所以函数 y ＝log2（ x2－4 x ＋3）的单调递增区间
为（3，＋∞）.
（3，＋∞）　
　对数的应用
　　
　　为研究某种病毒的传播规律及其治疗和预防，将病毒细胞注入一
只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的总数与天数的关系记录
如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠
将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内98%的病毒细胞.
天数 x 病毒细胞总数 y
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
… …
【问题探究】
1. y 与 x 的函数关系式是什么？
提示：由表中数据可知：当 x ＝1时， y ＝1＝20；
当 x ＝2时， y ＝2＝21；当 x ＝3时， y ＝4＝22；……
故可得 y 与 x 的函数关系式为 y ＝2 x－1（其中 x ∈N*）.
2. 第几天时该种病毒细胞在小白鼠体内的病毒细胞超过（212＋
10）个？
提示：令2 x－1＝212＋10，得13＜ x ＜14，故第14天时小白鼠体内的
病毒细胞超过（212＋10）个.
3. 若在第12天时注射这种药物，则小白鼠体内还剩多少个病毒细胞？
（结果保留整数）
提示：第12天时，小白鼠体内的病毒细胞有211＝2 048个，
所以体内还剩余的病毒细胞有2 048×（1－98%）＝40.96≈41
（个）.
4. 为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次注射该种药物最迟应在
何时？（精确到天；参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
提示：由题意，知病毒细胞总数 y 与天数 x 的函数关系式为 y ＝2 x－1
（其中 x ∈N*），
则由2 x－1≤108，两边取以10为底的对数得（ x －1）·lg 2≤8，从而
x ≤ ＋1≈27.58，
即第一次注射该种药物最迟应在第27天.
5. 第二次注射该种药物最迟应在何时，才能维持小白鼠的生命？（精
确到天；参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
提示：由第4题知，注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞有
226×2%个，
再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞有226×2%×2 x 个，
由题意226×2%×2 x ≤108，
两边取以10为底的对数得26lg 2＋lg 2－2＋ x lg 2≤8，解得 x ≤
－27≈6.22.
故再经过6天必须注射药物，即第二次注射该种药物应在第33天.
1. 若 a ＝log50.3， b ＝log0.30.2， c ＝0.35，则 a ， b ， c 的大小关系
是（　　）
A. b ＜ a ＜ c B. c ＜ b ＜ a
C. b ＜ c ＜ a D. a ＜ c ＜ b
解析： 　因为 a ＝log50.3＜log51＝0， b ＝log0.30.2＞log0.30.3＝
1，0＜ c ＝0.35＜0.30＝1，因此， a ＜ c ＜ b .故选D.
2. 若lg（2 x －4）≤1，则 x 的取值范围是（　　）
A. （－∞，7] B. （2，7]
C. [7，＋∞） D. （2，＋∞）
解析： 　∵lg（2 x －4）≤1，∴0＜2 x －4≤10，解得2＜ x ≤7，
∴ x 的取值范围是（2，7]，故选B.
3. 若函数 g （ x ）＝log3（ ax2＋2 x －1）有最大值1，则实数 a ＝
（　　）
A. － B.
C. － D. 4
解析： 　∵函数 g （ x ）＝log3（ ax2＋2 x －1）有最大值1，∴ ax2
＋2 x －1有最大值3，∴ a ＜0.设 h （ x ）＝ ax2＋2 x －1，则 h
＝ a · ＋2 －1＝3，∴ a ＝－ .故选C.
4. 函数 f （ x ）＝lo （6－ x － x2）的单调递增区间
是 .
解析：∵6－ x － x2＞0，∴－3＜ x ＜2，当－ ＜ x ＜2时， u ＝6－ x
－ x2单调递减，而 f （ x ）＝lo u 也单调递减，所以 f （ x ）＝lo
（6－ x － x2）单调递增.
　
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 若 a ＝ ， b ＝2 02 ， c ＝log2 025 ，则 a ， b ， c
的大小关系为（　　）
A. a ＜ b ＜ c B. b ＜ c ＜ a
C. c ＜ b ＜ a D. c ＜ a ＜ b
解析： 　∵0＜ ＜ ＝1，∴ ∈（0，
1），2 02 ＞2 0250＝1，∴2 02 ＞1，log2 025 ＜log
2 0251＝0，∴ c ＜ a ＜ b .故选D.
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2. 函数 f （ x ）＝｜lo x ｜的单调递增区间是（　　）
A. B. （0，1]
C. （0，＋∞） D. [1，＋∞）
解析： 　 f （ x ）的图象如图所示，由图象可知单调
递增区间为[1，＋∞）.
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3. 若 ax ≥1的解集为{ x ｜ x ≤0}且函数 y ＝log a （ x2＋2）的最大值为
－1，则实数 a 的值为（　　）
A. 2 B.
C. 3 D.
解析： 　因为 ax ≥1＝ a0的解集为{ x ｜ x ≤0}，所以0＜ a ＜1，因
为 x2＋2≥2，函数 y ＝log a （ x2＋2）的最大值为－1，则log a 2＝－
1，解得 a ＝ .故选B.
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4. 已知函数 f （ x ）＝则满足 f （ x ）＞1的 x 的取值
范围是（　　）
A. （－2，e）
B. （－2，＋∞）
C. （－∞，－2）∪（0，＋∞）
D. （－∞，－2）∪（e，＋∞）
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解析： 　依题意 f （ x ）＞1，即或即
或解得 x ＜－2或 x ＞e.所以 x 的取值范
围是（－∞，－2）∪（e，＋∞）.故选D.
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5. （多选）使lo （2 x －3）＞－2成立的一个充分不必要条件是
（　　）
A. x ＞ B. x ＜ 或 x ＞3
C. 2＜ x ＜3 D. 3＜ x ＜
解析： 　∵lo （2 x －3）＞－2＝lo ＝lo 4，∴0＜2
x －3＜4，解得不等式的解集为{ x ｜ ＜ x ＜ }.根据题意，题目答
案所对应的集合必须是所求集合的真子集.故选C、D.
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6. 函数 f （ x ）是值域为R的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，
则满足题意的一个函数为
.
解析：∵函数 f （ x ）是值域为R的偶函数，∴满足题意的一个函数
是 f （ x ）＝log a ｜ x ｜，0＜ a ＜1即可.
f （ x ）＝lo ｜ x ｜（答案不唯
一）　
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7. 已知log0.45（ x ＋2）＞log0.45（1－ x ），则实数 x 的取值范围
是 .
解析：由log0.45（ x ＋2）＞log0.45（1－ x ），得0＜ x ＋2＜1－ x ，
解得－2＜ x ＜－ .
　
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8. 已知函数 f （ x ）＝log3（ x2－ ax ＋2 a ）在（1，＋∞）上单调递
增，则实数 a 的取值范围为 .
解析：∵函数 f （ x ）＝log3（ x2－ ax ＋2 a ）在（1，＋∞）上单调
递增，∴函数 t （ x ）＝ x2－ ax ＋2 a 在（1，＋∞）上单调递增，
且 t （ x ）＞0，∴解得－1≤ a ≤2，即 a
∈[－1，2].
[－1，2]　
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9. 求函数 y ＝lo （1－ x2）的单调增区间，并求函数的最小值.
解：要使 y ＝lo （1－ x2）有意义，则1－ x2＞0，
∴ x2＜1，则－1＜ x ＜1，因此函数的定义域为（－1，1）.
令 t ＝1－ x2， x ∈（－1，1）.
当 x ∈（－1，0]时， x 增大， t 增大， y ＝lo t 减小，
∴ x ∈（－1，0]时， y ＝lo （1－ x2）是减函数；
同理当 x ∈[0，1）时， y ＝lo （1－ x2）是增函数.
故函数 y ＝lo （1－ x2）的单调增区间为[0，1），且函数的最小值 ymin＝lo （1－02）＝0.
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10. 已知函数 f （ x ）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0]上
单调递减.若实数 a 满足 f （log2 a ）＋ f ≤2 f （2），则 a 的
取值范围是（　　）
A. （－∞，4） B. （0，4]
C. D.
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解析： 　∵ f （ x ）是定义域为R上的偶函数，且在区间（－
∞，0]上单调递减，∴函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上是单调递
增函数，∴不等式 f （log2 a ）＋ f ≤2 f （2）可化为2 f
（log2 a ）≤2 f （2），即 f （log2 a ）≤ f （2），则 f （｜log2
a ｜）≤ f （2），又函数在区间[0，＋∞）上是单调递增函数，
∴｜log2 a ｜≤2，即－2≤log2 a ≤2，解得 ≤ a ≤4.故选D.
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11. 若函数 f （ x ）＝e x －e－ x ，则不等式 f （ln x ）＋ f （ln x －1）＞0
的解集是 .
解析：因为 f （ x ）＝e x －e－ x ，定义域为R，且 f （－ x ）＝－
＝－ f （ x ），故其为奇函数，又 y ＝e x ， y ＝－e－ x 均
为单调增函数，故 f （ x ）为R上的单调增函数，则原不等式等价
于 f （ln x ）＞ f （1－ln x ），也即ln x ＞1－ln x ，整理得ln x ＞ ，
解得 x ＞ ，故不等式的解集为（ ，＋∞）.
（ ，＋∞）　
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12. 已知函数 f （ x ）＝log a （ ax2－ x ）.
（1）若 a ＝ ，求 f （ x ）的单调区间；
解： 当 a ＝ 时，易知函数 f （ x ）的定义域为（－
∞，0）∪（2，＋∞）.
易知 y ＝ x2－ x 在（－∞，0）上单调递减，在（2，＋∞）
上单调递增.
故函数 f （ x ）＝log a （ ax2－ x ）＝lo 在（－
∞，0）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减.
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（2）若 f （ x ）在区间[2，4]上是增函数，求实数 a 的取值范围.
解：令 g （ x ）＝ ax2－ x ，则 g （ x ）图象的对称轴为 x ＝
.又 f （ x ）在[2，4]上是增函数，
则①当 a ＞1时，∴ ≤2，∴ a ＞1.
又∵ g （ x ）在[2，4]上恒大于0，
∴ g （2）＞0， g （4）＞0，
∴解得 a ＞ ，∴ a ＞1.
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②当0＜ a ＜1时，∴ ≥4，∴0＜ a ≤ .
又∵ g （ x ）在[2，4]上恒大于0，
∴ g （2）＞0， g （4）＞0，
∴解得 a ＞ ，与0＜ a ≤ 矛盾.
综上所述 a ＞1.
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13. 若不等式 x2－log ax ＜0在 内恒成立，则 a 的取值范围是
（　　）
A. ≤ a ＜1 B. ＜ a ＜1
C. 0＜ a ≤ D. 0＜ a ＜
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解析： 当 a ＞1时，由 x ∈ ，可得log ax ＜0，则－log ax
＞0，又由 x2＞0，此时不等式 x2－log ax ＜0不成立，不合题意；当
0＜ a ＜1时，函数 y ＝log ax 在 上单调递减，此时函数 y ＝
－log ax 在 上单调递增，又由 y ＝ x2在 上单调递
增，要使得不等式 x2－log ax ＜0在 内恒成立，可得 －
log a ≤0，解得 ≤ a ＜1.故选A.
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14. 已知函数 f （ x ）＝2log2 x ＋lo x .
（1）求 f （ x ）在区间[1，8]上的值域；
解： ∵ f （ x ）＝2log2 x ＋lo x ＝2log2 x －log2 x ＝log2x ，
∴ f （ x ）在[1，8]上单调递增，∴ f （ x ）∈[0，3].
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解： 由题意得， g （ x ）＝log2（ x ＋ a ），易得 g
（ x ）在[ t ， t ＋1]上单调递增，
∴任意 t ∈ ， g （ t ＋1）－ g （ t ）≤1成立，
即log2（ t ＋1＋ a ）－log2（ t ＋ a ）≤1，∴0＜ t ＋1＋ a ≤2
（ t ＋ a ），
∴ a ≥1－ t ，∴ a ≥ ，即 a 的取值范围为 .
（2）设函数 g （ x ）＝ f （ x ＋ a ），其中 a ＞0，若对任意 t ∈
， g （ x ）在区间[ t ， t ＋1]上的最大值与最小值的差
不超过1，求 a 的取值范围.
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