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4.3　指数函数与对数函数的关系
1.已知y＝的反函数为y＝f（x），若f（x0）＝－，则x0＝（　　）
A.－2　　　　　　　 B.－1
C.2 D.
2.设f（x）＝3x＋9，则f－1（x）的定义域是（　　）
A.（0，＋∞） B.（9，＋∞）
C.（10，＋∞） D.（－∞，＋∞）
3.设函数y＝f（x）的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝x对称，f（2）＋f（4）＝1，则a＝（　　）
A.－1 B.1
C.2 D.4
4.已知函数f（x）＝x2－2ax－3，x∈[1，4）存在反函数，则a的取值范围是（　　）
A.a≤1或a≥4
B.a＜1或a≥4
C.a＞4
D.a≤1或a＞4
5.（多选）已知函数f（x）＝ax（a＞1），其反函数为y＝f－1（x），实数t满足f－1（t）＜1－t＜f（t），则t的值可以是（　　）
A.－1 B.
C. D.
6.对任意不等于1的正数a，函数f（x）＝loga（x＋3）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是　　　　.
7.若函数f（x）＝log2x＋2的反函数为f－1（x），则f－1（4）＝　　　　.
8.若函数y＝f（x）与y＝5x互为反函数，则y＝f（x2－2x）的单调递减区间是　　　　.
9.已知函数f（x）＝loga（2－x）（a＞1）.
（1）求函数f（x）的定义域、值域；
（2）求函数f（x）的反函数f－1（x）；
（3）判断f－1（x）的单调性.
10.若f（x）＝2x的反函数为f－1（x），且f－1（a）＋f－1（b）＝4，则＋的最小值是（　　）
A.1 B.
C. D.
11.若函数f（x）＝x－（x＞0）的反函数为y＝f－1（x），则关于x的不等式f－1（x）≤3的解集为　　　　.
12.已知函数f（x）＝2（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数y＝f（x）的反函数y＝f－1（x）；
（2）判定f－1（x）的奇偶性；
（3）解不等式f－1（x）＞1.
13.设x1，x2分别是函数f（x）＝xax－1和g（x）＝xlogax－1的零点（其中a＞1），则x1＋2x2的取值范围是（　　）
A.[2，＋∞） B.（2，＋∞）
C.[3，＋∞） D.（3，＋∞）
14.已知函数f（x）＝3x＋k（k为常数），A（－2k，2）是函数y＝f－1（x）图象上的点.
（1）求实数k的值及函数y＝f－1（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝f－1（x－3），若2f－1（x＋－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.
4.3　指数函数与对数函数的关系
1.C　∵y＝的反函数是f（x）＝lox，∴f（x0）＝lox0＝－，∴x0＝＝＝2.
2.B　∵3x＞0，∴f（x）＝3x＋9＞9，因此，函数y＝f－1（x）的定义域为（9，＋∞）.故选B.
3.B　依题意函数y＝f（x）的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝x对称，∴f（x）与y＝2x＋a互为反函数，由y＝2x＋a x＋a＝log2y，∴f（x）＝log2x－a，由于f（2）＋f（4）＝1，所以1－a＋2－a＝1 a＝1.故选B.
4.A　函数f（x）＝x2－2ax－3，x∈[1，4）存在反函数，只需函数f（x）＝x2－2ax－3在[1，4）上单调即可，因为函数f（x）＝x2－2ax－3的对称轴为x＝－＝a，故当a≤1或a≥4时，函数f（x）＝x2－2ax－3在[1，4）上单调，即函数f（x）＝x2－2ax－3，x∈[1，4）存在反函数.故选A.
5.BC　∵函数f（x）＝ax（a＞1），其反函数为y＝f－1（x），∴y＝f－1（x）＝logax，又实数t满足f－1（t）＜1－t＜f（t），∴logat＜1－t＜at，a＞1，当t≤0时，显然不合题意，故A错误；当0＜t＜1时，logat＜0，0＜1－t＜1，at＞1，logat＜1－t＜at，∴0＜t＜1适合题意，故B、C正确；当t＝1时，logat＝0，1－t＝0，at＝a，不合题意；当t＞1时，logat＞0，1－t＜0，at＞a，不合题意，故D错误.故选B、C.
6.（0，－2）　解析：当x＝－2时，f（x）＝loga（－2＋3）＝0，∴f（x）恒过点（－2，0），即反函数的图象恒过点P（0，－2）.
7.4　解析：由f（x）＝log2x＋2，则其反函数的解析式为f－1（x）＝2x－2，故f－1（4）＝24－2＝4.
8.（－∞，0）　解析：因为y＝f（x）与y＝5x互为反函数，所以y＝f（x）＝log5x在定义域（0，＋∞）上为增函数，又y＝x2－2x＝（x－1）2－1，在（－∞，1）上递减，（1，＋∞）上递增，而由x2－2x＞0得x＜0或x＞2.综上，y＝f（x2－2x）在（－∞，0）上为减函数.
9.解：（1）要使函数f（x）有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，
故原函数的定义域为（－∞，2），值域为R.
（2）由y＝loga（2－x），得2－x＝ay，
即x＝2－ay.
∴f－1（x）＝2－ax（x∈R）.
（3）f－1（x）在R上是减函数.
证明如下：
任取x1，x2∈R且x1＜x2.
∵f－1（x2）－f－1（x1）＝2－－2＋＝－，
∵a＞1，x1＜x2，
∴＜，即－＜0，
∴f－1（x2）＜f－1（x1），
∴f－1（x）在R上是减函数.
10.B　由y＝2x得x＝log2y，所以f－1（x）＝log2x，又f－1（a）＋f－1（b）＝4，所以log2a＋log2b＝4，即log2ab＝4，所以ab＝16，因此＋≥2＝＝，当且仅当＝，即a＝b＝4时，等号成立.故选B.
11.　解析：观察可得f（x）＝x－在（0，＋∞）上单调递增，值域为R.则其反函数在R上也为单调递增函数，又f（3）＝3－＝，则3＝f－1，∴f－1（x）≤3，即f－1（x）≤f－1，∴x≤，即关于x的不等式f－1（x）≤3的解集为.
12.解：（1）化简得f（x）＝，设y＝，
则ax＝.∴x＝loga.
∴所求反函数为y＝f－1（x）＝loga（－1＜x＜1）.
（2）函数f－1（x）的定义域关于原点对称，
∵f－1（－x）＝loga＝loga＝－loga＝－f－1（x），∴f－1（x）是奇函数.
（3）loga＞1.
当a＞1时，原不等式 ＞a ＜0.∴＜x＜1；
当0＜a＜1时，原不等式 解得－1＜x＜.
综上，当a＞1时，所求不等式的解集为；
当0＜a＜1时，所求不等式的解集为.
13.D　根据函数零点的定义可知函数y＝ax与y＝的图象交点为，同理可得函数y＝logax与y＝的图象交点为.又因为函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，函数y＝的图象也关于直线y＝x对称，所以点与点关于直线y＝x对称，所以x1＝.由a＞1可知x2＞1，所以x1＋2x2＝2x2＋在区间（1，＋∞）上单调递增，所以x1＋2x2＞3.故选D.
14.解：（1）由题知，反函数过A（－2k，2），则原函数过（2，－2k），f（2）＝32＋k＝－2k k＝－3，则f（x）＝3x－3，由y＝3x－3 3x＝y＋3 x＝log3（y＋3），即f－1（x）＝log3（x＋3）（x＞－3）.
（2）由题意g（x）＝log3x（x＞0），
则2f－1（x＋－3）－g（x）≥1恒成立 2log3（x＋）－log3x≥1（x＞0）恒成立，所以x＋＋2≥3在x＞0时恒成立，只需≥3，
又x＋≥2（当且仅当x＝，即x＝时等号成立），
所以＝4，即4≥3，所以m≥.
所以实数m的取值范围为.
2 / 24.3　指数函数与对数函数的关系
新课程标准解读 核心素养
知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1） 数学抽象、直观想象、数学运算
　　观察下列变换：y＝axx＝logayy＝logax.
【问题】　（1）指数函数y＝ax的值域与对数函数y＝logax的定义域是否相同？
（2）指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图象有什么关系？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　反函数
1.反函数的定义
一般地，如果在函数y＝f（x）中，给定值域中　　　　　　y的值，只有　　　　的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f（x）的反函数，此时，称y＝f（x）存在反函数.
2.反函数的记法
一般地，函数y＝f（x）的反函数记作　　　　.
3.函数及其反函数的性质间的关系
（1）图象：关于直线　　　　对称；
（2）定义域、值域：y＝f（x）的定义域与y＝f－1（x）的　　　　相同，y＝f（x）的值域与y＝f－1（x）的　　　　相同；
（3）单调性：y＝f（x）与y＝f－1（x）的单调性　　　　.
提醒　并非任意一个函数y＝f（x）都有反函数，只有定义域和值域都满足“一一对应”的函数才有反函数，互为反函数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示：
函数y＝f（x） 反函数y＝f－1（x）
定义域 A C
值域 C A
【想一想】
1.函数f（x）＝x2有反函数吗？为什么？
2.什么样的函数一定具有反函数？
3.如果不求反函数的解析式，能否求反函数的定义域和值域？为什么？
1.y＝3x与y＝log3x的图象关于（　　）
A.x轴对称　　　　B.直线y＝x对称
C.原点对称 D.y轴对称
2.在同一平面直角坐标系中，函数f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，若f（m）＝－1，则m的值是（　　）
A.－e B.－
C.e D.
3.已知y＝f（x）＝log5（2x＋1），则y＝f－1（x）＝　　　　.
题型一 求已知函数的反函数
【例1】　求下列函数的反函数：
（1）y＝log2x；（2）y＝；（3）y＝5x＋1.
尝试解答
通性通法
求反函数的一般步骤
【跟踪训练】
1.若函数y＝f（x）＝1＋3－x的反函数为y＝g（x），则g（10）＝（　　）
A.2　　　　　　 　B.－2
C.3 D.－1
2.函数f（x）＝x2＋1（x＜0）的反函数f－1（x）＝　　　　.
题型二 互为反函数的图象间的关系
【例2】　（1）函数y＝lg（x＋1）的反函数的图象为（　　）
（2）已知函数y＝loga（x2－5x）（x＞5）的反函数图象过点（1，6），则函数y＝loga（x2－5x）的图象必过点（　　）
A.（1，1） B.（1，6）
C.（6，1） D.（6，6）
尝试解答
通性通法
互为反函数的图象的特点
（1）互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数；
（2）互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致；
（3）若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数.
【跟踪训练】
1.将曲线y＝log2x沿x轴正方向移动1个单位，再沿y轴负方向移动2个单位，得到曲线C，在下列曲线中，与曲线C关于直线x－y＝0对称的是（　　）
A.y＝2x＋2＋1 B.y＝2x＋2－1
C.y＝2x－2－1 D.y＝2x－2＋1
2.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，7），其反函数y＝f－1（x）的图象过点（4，0），则a的值为　　　　.
题型三 指数函数与对数函数的综合应用
【例3】　已知f（x）＝（a∈R），f（0）＝0.
（1）求a的值，并判断f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的反函数；
（3）对任意的k∈（0，＋∞），解不等式f－1（x）＞log2.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若本例变为“若函数f（x）为奇函数”，求a的值.
2.（变设问）若本例中的条件不变，如何判断f－1（x）的单调性，并给出证明.
通性通法
解对数不等式的常见解法
（1）借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集；
（2）底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意与1的大小的讨论.
1.已知函数f（x）＝log3x与g（x）的图象关于y＝x对称，则g（－1）＝（　　）
A.3 B.
C.1 D.－1
2.f（x）＝－3x＋4的反函数是（　　）
A.f－1（x）＝
B.f－1（x）＝
C.f－1（x）＝
D.f－1（x）＝
3.下列函数图象中，存在反函数的函数的图象只能是（　　）
4.（多选）已知函数f（x）在其定义域内单调递增，且f（1）＝－1，若f（x）的反函数为f－1（x），则（　　）
A.f－1（－1）＝1
B.f－1（x）在定义域内单调递增
C.f－1（1）＝1
D.f－1（x）在定义域内单调递减
5.若函数f（x）＝log2（x＋m）＋2的反函数的图象经过点（3，1），则f（3）＝　　　　.
4.3　指数函数与对数函数的关系
【基础知识·重落实】
知识点
1.任意一个　唯一　2.y＝　3.（1）y＝x　（2）值域
定义域　（3）相同
想一想
1.提示：没有.若令y＝f（x）＝1，则x＝±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义.
2.提示：单调函数.
3.提示：能.可通过求原函数的值域和定义域解决.
自我诊断
1.B　函数y＝3x与y＝log3x互为反函数，故其图象关于直线y＝x对称.故选B.
2.D　因为函数f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，所以f（x）＝ln x，因为f（m）＝－1，所以ln m＝－1，所以m＝.故选D.
3.　解析：因为y＝log5（2x＋1），所以5y＝2x＋1，即x＝，故f－1（x）＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由y＝log2x，得x＝2y，y∈R，
∴f－1（x）＝2x，x∈R.
（2）由y＝，得x＝loy且y＞0，
∴f－1（x）＝lox（x＞0）.
（3）由y＝5x＋1，得x＝且y∈R，
∴f－1（x）＝，x∈R.
跟踪训练
1.B　由y＝1＋3－x得x＝－log3（y－1），又3－x＞0，∴y＝1＋3－x＞1，∴g（x）＝－log3（x－1）（x＞1），∴g（10）＝－2.故选B.
2.－（x＞1）　解析：由y＝x2＋1（x＜0）可知，x＝－且y＞1，由反函数定义可知，f－1（x）＝－（x＞1）.
【例2】　（1）D　（2）C　解析：（1）由y＝lg（x＋1）得x＋1＝10y，可得x＝10y－1，故函数y＝lg（x＋1）的反函数的解析式为y＝10x－1，而函数y＝10x－1的图象可由函数y＝10x的图象向下平移1个单位得到.故选D.
（2）∵函数y＝loga（x2－5x）的反函数图象过点（1，6），∴函数y＝loga（x2－5x）的图象必过点（6，1）.故选C.
跟踪训练
1.A　将曲线y＝log2x沿x轴正方向移动1个单位，得到y＝log2（x－1），再沿y轴负方向移动2个单位，得到曲线C，则曲线C的方程为y＝log2（x－1）－2，∴曲线C关于直线x－y＝0对称的是y＝2x＋2＋1.故选A.
2.4　解析：函数f（x）＝ax＋b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，7）.反函数y＝f－1（x）的图象过点（4，0），可得原函数的图象过（0，4），所以 所以a的值为4.
【例3】　解：（1）由f（0）＝0，得a＝1，所以f（x）＝.
因为f（x）＋f（－x）＝＋＝＋＝0，
所以f（－x）＝－f（x），即f（x）为奇函数.
（2）因为f（x）＝y＝＝1－，
所以2x＝（－1＜y＜1），
所以f－1（x）＝log2（－1＜x＜1）.
（3）因为f－1（x）＞log2，
即log2＞log2，
所以所以
所以当0＜k＜2时，原不等式的解集为{x｜1－k＜x＜1}；
当k≥2时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜1}.
母题探究
1.解：由奇函数定义可得f（－x）＝－f（x），即＝－，
可变形为a－2x＝1－a·2x，所以a＝1.
2.解：f－1（x）＝log2（－1＜x＜1）.
任取－1＜x1＜x2＜1，则令t（x）＝＝＝－1＋，所以t（x1）－t（x2）＝－＝－＝＝.
因为－1＜x1＜x2＜1，所以1－x1＞0，1－x2＞0，x1－x2＜0，所以t（x1）－t（x2）＜0，t（x1）＜t（x2），
所以log2t（x1）＜log2t（x2），
即f－1（x1）＜f－1（x2），所以函数f－1（x）为（－1，1）上的增函数.
随堂检测
1.B　由题知g（x）是f（x）＝log3x的反函数，所以g（x）＝3x，所以g（－1）＝3－1＝.故选B.
2.A　令y＝－3x＋4，则x＝，故f－1（x）＝.故选A.
3.A　根据反函数的定义，得存在反函数的函数在其定义域上是单调函数，由图象得只有选项A中图象对应函数是单调函数，即存在反函数的函数的图象只能是选项A.故选A.
4.AB　由反函数的性质可知，f－1（－1）＝1，且f－1（x）在定义域内单调递增.故选A、B.
5.4　解析：由于函数f（x）＝log2（x＋m）＋2的反函数的图象经过点（3，1），则f（1）＝log2（1＋m）＋2＝3，解得m＝1，∴函数f（x）＝log2（x＋1）＋2，∴f（3）＝log2（3＋1）＋2＝4.
4 / 4(共58张PPT)
4.3　
指数函数与对数函数的关系
新课程标准解读 核心素养
知道对数函数 y ＝log ax 与指数函数 y ＝ ax 互为反
函数（ a ＞0，且 a ≠1） 数学抽象、直观想
象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察下列变换： y ＝ ax x ＝log ay y ＝log ax .
【问题】　（1）指数函数 y ＝ ax 的值域与对数函数 y ＝log ax 的定义域
是否相同？
（2）指数函数 y ＝ ax 与对数函数 y ＝log ax 的图象有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　反函数
1. 反函数的定义
一般地，如果在函数 y ＝ f （ x ）中，给定值域中 y 的
值，只有 的 x 与之对应，那么 x 是 y 的函数，这个函数称
为 y ＝ f （ x ）的反函数，此时，称 y ＝ f （ x ）存在反函数.
2. 反函数的记法
一般地，函数 y ＝ f （ x ）的反函数记作 .
任意一个　
唯一　
y ＝ f－1（ x ）　
3. 函数及其反函数的性质间的关系
（1）图象：关于直线 对称；
（2）定义域、值域： y ＝ f （ x ）的定义域与 y ＝ f－1（ x ）的
相同， y ＝ f （ x ）的值域与 y ＝ f－1（ x ）的
相同；
（3）单调性： y ＝ f （ x ）与 y ＝ f－1（ x ）的单调性 .
y ＝ x 　
值
域　
定义域　
相同　
提醒　并非任意一个函数 y ＝ f （ x ）都有反函数，只有定义域和值域
都满足“一一对应”的函数才有反函数，互为反函数的两个函数的定
义域、值域的关系如下表所示：
函数 y ＝ f （ x ） 反函数 y ＝ f－1（ x ）
定义域 A C
值域 C A
【想一想】
1. 函数 f （ x ）＝ x2有反函数吗？为什么？
提示：没有.若令 y ＝ f （ x ）＝1，则 x ＝±1，即 x 值不唯一，不符
合反函数的定义.
2. 什么样的函数一定具有反函数？
提示：单调函数.
3. 如果不求反函数的解析式，能否求反函数的定义域和值域？为
什么？
提示：能.可通过求原函数的值域和定义域解决.
1. y ＝3 x 与 y ＝log3 x 的图象关于（　　）
A. x 轴对称 B. 直线 y ＝ x 对称
C. 原点对称 D. y 轴对称
解析： 　函数 y ＝3 x 与 y ＝log3 x 互为反函数，故其图象关于直线 y
＝ x 对称.故选B.
2. 在同一平面直角坐标系中，函数 f （ x ）的图象与 y ＝e x 的图象关于
直线 y ＝ x 对称，若 f （ m ）＝－1，则 m 的值是（　　）
A. －e B. －
C. e D.
解析： 　因为函数 f （ x ）的图象与 y ＝e x 的图象关于直线 y ＝ x 对
称，所以 f （ x ）＝ln x ，因为 f （ m ）＝－1，所以ln m ＝－1，所以
m ＝ .故选D.
3. 已知 y ＝ f （ x ）＝log5（2 x ＋1），则 y ＝ f－1（ x ）＝ .
解析：因为 y ＝log5（2 x ＋1），所以5 y ＝2 x ＋1，即 x ＝ ，故 f
－1（ x ）＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求已知函数的反函数
【例1】　求下列函数的反函数：（1） y ＝log2 x ；
解： 由 y ＝log2 x ，得 x ＝2 y ， y ∈R，
∴ f－1（ x ）＝2 x ， x ∈R.
解：由 y ＝ ，得 x ＝lo y 且 y ＞0，
∴ f－1（ x ）＝lo x （ x ＞0）.
解：由 y ＝5 x ＋1，得 x ＝ 且 y ∈R，
∴ f－1（ x ）＝ ， x ∈R.
（2） y ＝ ；
（3） y ＝5 x ＋1.
通性通法
求反函数的一般步骤
【跟踪训练】
1. 若函数 y ＝ f （ x ）＝1＋3－ x 的反函数为 y ＝ g （ x ），则 g （10）＝
（　　）
A. 2 B. －2
C. 3 D. －1
解析： 　由 y ＝1＋3－ x 得 x ＝－log3（ y －1），又3－ x ＞0，∴ y ＝
1＋3－ x ＞1，∴ g （ x ）＝－log3（ x －1）（ x ＞1），∴ g （10）＝
－2.故选B.
2. 函数 f （ x ）＝ x2＋1（ x ＜0）的反函数 f－1（ x ）＝
.
解析：由 y ＝ x2＋1（ x ＜0）可知， x ＝－ 且 y ＞1，由反函
数定义可知， f－1（ x ）＝－ （ x ＞1）.
－ （ x
＞1）　
题型二 互为反函数的图象间的关系
【例2】　（1）函数 y ＝lg（ x ＋1）的反函数的图象为（　D　）
D
解析： 由 y ＝lg（ x ＋1）得 x ＋1＝10 y ，可得 x ＝10 y －1，故函数 y ＝lg（ x ＋1）的反函数的解析式为 y ＝10 x －1，而函数 y ＝10 x －1的图象可由函数 y ＝10 x 的图象向下平移1个单位得到.故选D.
（2）已知函数 y ＝log a （ x2－5 x ）（ x ＞5）的反函数图象过点（1，
6），则函数 y ＝log a （ x2－5 x ）的图象必过点（　C　）
A. （1，1） B. （1，6）
C. （6，1） D. （6，6）
C
解析： ∵函数 y ＝log a （ x2－5 x ）的反函数图象过点（1，6），
∴函数 y ＝log a （ x2－5 x ）的图象必过点（6，1）.故选C.
通性通法
互为反函数的图象的特点
（1）互为反函数的图象关于直线 y ＝ x 对称；图象关于直线 y ＝ x 对称
的两个函数互为反函数；
（2）互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致；
（3）若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数.
【跟踪训练】
1. 将曲线 y ＝log2 x 沿 x 轴正方向移动1个单位，再沿 y 轴负方向移动2
个单位，得到曲线 C ，在下列曲线中，与曲线 C 关于直线 x － y ＝0
对称的是（　　）
A. y ＝2 x＋2＋1 B. y ＝2 x＋2－1
C. y ＝2 x－2－1 D. y ＝2 x－2＋1
解析： 　将曲线 y ＝log2 x 沿 x 轴正方向移动1个单位，得到 y ＝
log2（ x －1），再沿 y 轴负方向移动2个单位，得到曲线 C ，则曲线
C 的方程为 y ＝log2（ x －1）－2，∴曲线 C 关于直线 x － y ＝0对称
的是 y ＝2 x＋2＋1.故选A.
2. 已知函数 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ＞0且 a ≠1）的图象过点（1，7），
其反函数 y ＝ f－1（ x ）的图象过点（4，0），则 a 的值为 .
解析：函数 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ＞0且 a ≠1）的图象过点（1，7）.
反函数 y ＝ f－1（ x ）的图象过点（4，0），可得原函数的图象过
（0，4），所以 所以 a 的值为4.
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题型三 指数函数与对数函数的综合应用
【例3】　已知 f （ x ）＝ （ a ∈R）， f （0）＝0.
（1）求 a 的值，并判断 f （ x ）的奇偶性；
解： 由 f （0）＝0，得 a ＝1，所以 f （ x ）＝ .
因为 f （ x ）＋ f （－ x ）＝ ＋ ＝ ＋ ＝0，
所以 f （－ x ）＝－ f （ x ），即 f （ x ）为奇函数.
（2）求 f （ x ）的反函数；
解： 因为 f （ x ）＝ y ＝ ＝1－ ，
所以2 x ＝ （－1＜ y ＜1），
所以 f－1（ x ）＝log2 （－1＜ x ＜1）.
（3）对任意的 k ∈（0，＋∞），解不等式 f－1（ x ）＞log2 .
解： 因为 f－1（ x ）＞log2 ，
即log2 ＞log2 ，
所以所以
所以当0＜ k ＜2时，原不等式的解集为{ x ｜1－ k ＜ x ＜1}；
当 k ≥2时，原不等式的解集为{ x ｜－1＜ x ＜1}.
【母题探究】
1. （变条件）若本例变为“若函数 f （ x ）为奇函数”，求 a 的值.
解：由奇函数定义可得 f （－ x ）＝－ f （ x ），即 ＝－
，
可变形为 a －2 x ＝1－ a ·2 x ，所以 a ＝1.
2. （变设问）若本例中的条件不变，如何判断 f－1（ x ）的单调性，
并给出证明.
解： f－1（ x ）＝log2 （－1＜ x ＜1）.
任取－1＜ x1＜ x2＜1，则令 t （ x ）＝ ＝ ＝－1＋
，所以 t （ x1）－ t （ x2）＝ － ＝
－ ＝ ＝ .
因为－1＜ x1＜ x2＜1，所以1－ x1＞0，1－ x2＞0， x1－ x2＜0，所以
t （ x1）－ t （ x2）＜0， t （ x1）＜ t （ x2），
所以log2 t （ x1）＜log2 t （ x2），
即 f－1（ x1）＜ f－1（ x2），所以函数 f－1（ x ）为（－1，1）上的增
函数.
通性通法
解对数不等式的常见解法
（1）借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，
最后与定义域取交集即得原不等式的解集；
（2）底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意
与1的大小的讨论.
1. 已知函数 f （ x ）＝log3 x 与 g （ x ）的图象关于 y ＝ x 对称，则 g
（－1）＝（　　）
A. 3 B.
C. 1 D. －1
解析： 　由题知 g （ x ）是 f （ x ）＝log3 x 的反函数，所以 g
（ x ）＝3 x ，所以 g （－1）＝3－1＝ .故选B.
2. f （ x ）＝－3 x ＋4的反函数是（　　）
A. f－1（ x ）＝ B. f－1（ x ）＝
C. f－1（ x ）＝ D. f－1（ x ）＝
解析： 令 y ＝－3 x ＋4，则 x ＝ ，故 f－1（ x ）＝ .故选A.
3. 下列函数图象中，存在反函数的函数的图象只能是（　　）
解析： 根据反函数的定义，得存在反函数的函数在其定义域上
是单调函数，由图象得只有选项A中图象对应函数是单调函数，即
存在反函数的函数的图象只能是选项A. 故选A.
4. （多选）已知函数 f （ x ）在其定义域内单调递增，且 f （1）＝－
1，若 f （ x ）的反函数为 f－1（ x ），则（　　）
A. f－1（－1）＝1
B. f－1（ x ）在定义域内单调递增
C. f－1（1）＝1
D. f－1（ x ）在定义域内单调递减
解析： 　由反函数的性质可知， f－1（－1）＝1，且 f－1（ x ）在
定义域内单调递增.故选A、B.
5. 若函数 f （ x ）＝log2（ x ＋ m ）＋2的反函数的图象经过点（3，
1），则 f （3）＝ .
解析：由于函数 f （ x ）＝log2（ x ＋ m ）＋2的反函数的图象经过点
（3，1），则 f （1）＝log2（1＋ m ）＋2＝3，解得 m ＝1，∴函数 f
（ x ）＝log2（ x ＋1）＋2，∴ f （3）＝log2（3＋1）＋2＝4.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 已知 y ＝ 的反函数为 y ＝ f （ x ），若 f （ x0）＝－ ，则 x0＝
（　　）
A. －2 B. －1 C. 2 D.
解析： 　∵ y ＝ 的反函数是 f （ x ）＝lo x ，∴ f （ x0）＝lo
x0＝－ ，∴ x0＝ ＝ ＝2.
2. 设 f （ x ）＝3 x ＋9，则 f－1（ x ）的定义域是（　　）
A. （0，＋∞） B. （9，＋∞）
C. （10，＋∞） D. （－∞，＋∞）
解析： 　∵3 x ＞0，∴ f （ x ）＝3 x ＋9＞9，因此，函数 y ＝ f－1
（ x ）的定义域为（9，＋∞）.故选B.
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3. 设函数 y ＝ f （ x ）的图象与 y ＝2 x＋ a 的图象关于直线 y ＝ x 对称， f
（2）＋ f （4）＝1，则 a ＝（　　）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 4
解析： 　依题意函数 y ＝ f （ x ）的图象与 y ＝2 x＋ a 的图象关于直
线 y ＝ x 对称，∴ f （ x ）与 y ＝2 x＋ a 互为反函数，由 y ＝2 x＋ a x ＋
a ＝log2 y ，∴ f （ x ）＝log2 x － a ，由于 f （2）＋ f （4）＝1，所以
1－ a ＋2－ a ＝1 a ＝1.故选B.
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4. 已知函数 f （ x ）＝ x2－2 ax －3， x ∈[1，4）存在反函数，则 a 的
取值范围是（　　）
A. a ≤1或 a ≥4 B. a ＜1或 a ≥4
C. a ＞4 D. a ≤1或 a ＞4
解析： 　函数 f （ x ）＝ x2－2 ax －3， x ∈[1，4）存在反函数，
只需函数 f （ x ）＝ x2－2 ax －3在[1，4）上单调即可，因为函数 f
（ x ）＝ x2－2 ax －3的对称轴为 x ＝－ ＝ a ，故当 a ≤1或 a ≥4
时，函数 f （ x ）＝ x2－2 ax －3在[1，4）上单调，即函数 f （ x ）＝
x2－2 ax －3， x ∈[1，4）存在反函数.故选A.
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5. （多选）已知函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞1），其反函数为 y ＝ f－1
（ x ），实数 t 满足 f－1（ t ）＜1－ t ＜ f （ t ），则 t 的值可以是
（　　）
A. －1 B. C. D.
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解析： 　∵函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞1），其反函数为 y ＝ f－1
（ x ），∴ y ＝ f－1（ x ）＝log ax ，又实数 t 满足 f－1（ t ）＜1－ t ＜ f
（ t ），∴log at ＜1－ t ＜ at ， a ＞1，当 t ≤0时，显然不合题意，故
A错误；当0＜ t ＜1时，log at ＜0，0＜1－ t ＜1， at ＞1，log at ＜1－
t ＜ at ，∴0＜ t ＜1适合题意，故B、C正确；当 t ＝1时，log at ＝0，
1－ t ＝0， at ＝ a ，不合题意；当 t ＞1时，log at ＞0，1－ t ＜0， at
＞ a ，不合题意，故D错误.故选B、C.
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6. 对任意不等于1的正数 a ，函数 f （ x ）＝log a （ x ＋3）的反函数的
图象都过点 P ，则点 P 的坐标是 .
解析：当 x ＝－2时， f （ x ）＝log a （－2＋3）＝0，∴ f （ x ）恒过
点（－2，0），即反函数的图象恒过点 P （0，－2）.
（0，－2）　
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7. 若函数 f （ x ）＝log2 x ＋2的反函数为 f－1（ x ），则 f－1（4）
＝ .
解析：由 f （ x ）＝log2 x ＋2，则其反函数的解析式为 f－1（ x ）＝2 x
－2，故 f－1（4）＝24－2＝4.
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8. 若函数 y ＝ f （ x ）与 y ＝5 x 互为反函数，则 y ＝ f （ x2－2 x ）的单调
递减区间是 .
解析：因为 y ＝ f （ x ）与 y ＝5 x 互为反函数，所以 y ＝ f （ x ）
＝log5 x 在定义域（0，＋∞）上为增函数，又 y ＝ x2－2 x ＝
（ x －1）2－1，在（－∞，1）上递减，（1，＋∞）上递增，
而由 x2－2 x ＞0得 x ＜0或 x ＞2.综上， y ＝ f （ x2－2 x ）在
（－∞，0）上为减函数.
（－∞，0）　
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9. 已知函数 f （ x ）＝log a （2－ x ）（ a ＞1）.
（1）求函数 f （ x ）的定义域、值域；
解： 要使函数 f （ x ）有意义，需满足2－ x ＞0，即
x ＜2，
故原函数的定义域为（－∞，2），值域为R.
（2）求函数 f （ x ）的反函数 f－1（ x ）；
解： 由 y ＝log a （2－ x ），得2－ x ＝ ay ，
即 x ＝2－ ay .
∴ f－1（ x ）＝2－ ax （ x ∈R）.
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（3）判断 f－1（ x ）的单调性.
解： f－1（ x ）在R上是减函数.
证明如下：
任取 x1， x2∈R且 x1＜ x2.
∵ f－1（ x2）－ f－1（ x1）＝2－ －2＋ ＝ － ，
∵ a ＞1， x1＜ x2，
∴ ＜ ，即 － ＜0，
∴ f－1（ x2）＜ f－1（ x1），
∴ f－1（ x ）在R上是减函数.
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10. 若 f （ x ）＝2 x 的反函数为 f－1（ x ），且 f－1（ a ）＋ f－1（ b ）＝
4，则 ＋ 的最小值是（　　）
A. 1 B. C. D.
解析： 　由 y ＝2 x 得 x ＝log2 y ，所以 f－1（ x ）＝log2 x ，又 f－1
（ a ）＋ f－1（ b ）＝4，所以log2 a ＋log2 b ＝4，即log2 ab ＝4，所
以 ab ＝16，因此 ＋ ≥2 ＝ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即 a ＝ b
＝4时，等号成立.故选B.
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11. 若函数 f （ x ）＝ x － （ x ＞0）的反函数为 y ＝ f－1（ x ），则关
于 x 的不等式 f－1（ x ）≤3的解集为 .
解析：观察可得 f （ x ）＝ x － 在（0，＋∞）上单调递增，值域
为R. 则其反函数在R上也为单调递增函数，又 f （3）＝3－ ＝
，则3＝ f－1 ，∴ f－1（ x ）≤3，即 f－1（ x ）≤ f－1 ，∴ x ≤
，即关于 x 的不等式 f－1（ x ）≤3的解集为 .
　
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12. 已知函数 f （ x ）＝2 （ a ＞0，且 a ≠1）.
（1）求函数 y ＝ f （ x ）的反函数 y ＝ f－1（ x ）；
解： 化简得 f （ x ）＝ ，设 y ＝ ，
则 ax ＝ .∴ x ＝log a .
∴所求反函数为 y ＝ f－1（ x ）＝log a （－1＜ x ＜1）.
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（2）判定 f－1（ x ）的奇偶性；
解： 函数 f－1（ x ）的定义域关于原点对称，
∵ f－1（－ x ）＝log a ＝log a ＝－log a ＝－ f－1
（ x ），∴ f－1（ x ）是奇函数.
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（3）解不等式 f－1（ x ）＞1.
解： log a ＞1.
当 a ＞1时，原不等式 ＞ a ＜0.∴
＜ x ＜1；
当0＜ a ＜1时，原不等式 解得－1＜ x ＜ .
综上，当 a ＞1时，所求不等式的解集为 ；
当0＜ a ＜1时，所求不等式的解集为 .
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13. 设 x1， x2分别是函数 f （ x ）＝ xax －1和 g （ x ）＝ x log ax －1的零
点（其中 a ＞1），则 x1＋2 x2的取值范围是（　　）
A. [2，＋∞） B. （2，＋∞）
C. [3，＋∞） D. （3，＋∞）
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解析： 　根据函数零点的定义可知函数 y ＝ ax 与 y ＝ 的图象交
点为 ，同理可得函数 y ＝log ax 与 y ＝ 的图象交点为
.又因为函数 y ＝ ax 与 y ＝log ax 的图象关于直线 y ＝ x 对
称，函数 y ＝ 的图象也关于直线 y ＝ x 对称，所以点 与
点 关于直线 y ＝ x 对称，所以 x1＝ .由 a ＞1可知 x2＞
1，所以 x1＋2 x2＝2 x2＋ 在区间（1，＋∞）上单调递增，所以
x1＋2 x2＞3.故选D.
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14. 已知函数 f （ x ）＝3 x ＋ k （ k 为常数）， A （－2 k ，2）是函数 y
＝ f－1（ x ）图象上的点.
（1）求实数 k 的值及函数 y ＝ f－1（ x ）的解析式；
解： 由题知，反函数过 A （－2 k ，2），则原函数过
（2，－2 k ）， f （2）＝32＋ k ＝－2 k k ＝－3，则 f （ x ）
＝3 x －3，由 y ＝3 x －3 3 x ＝ y ＋3 x ＝log3（ y ＋3），即 f
－1（ x ）＝log3（ x ＋3）（ x ＞－3）.
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（2）设函数 g （ x ）＝ f－1（ x －3），若2 f－1（ x ＋ －3）－ g
（ x ）≥1恒成立，试求实数 m 的取值范围.
解： 由题意 g （ x ）＝log3 x （ x ＞0），
则2 f－1（ x ＋ －3）－ g （ x ）≥1恒成立 2log3（ x ＋
）－log3 x ≥1（ x ＞0）恒成立，所以 x ＋ ＋2 ≥3在
x ＞0时恒成立，只需 ≥3，
又 x ＋ ≥2 （当且仅当 x ＝ ，即 x ＝ 时等号成立），
所以 ＝4 ，即4 ≥3，所以 m ≥ .
所以实数 m 的取值范围为 .
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