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4.4　幂函数
1.幂函数f（x）的图象过点（2，8），则它的单调递增区间是（　　）
A.（0，＋∞）　　　　B.[0，＋∞）
C.（－∞，0） D.（－∞，＋∞）
2.已知幂函数f（x）＝（3m2－2m）满足f（2）＞f（3），则m＝（　　）
A. B.－
C.1 D.－1
3.设a＝0.，b＝0.，c＝log3，则（　　）
A.c＜b＜a B.c＜a＜b
C.a＜b＜c D.b＜a＜c
4.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　）
A.n＜m＜0 B.m＜n＜0
C.n＞m＞0 D.m＞n＞0
5.（多选）对幂函数f（x）＝有以下结论，其中正确的有（　　）
A.f（x）的定义域是{x｜x≠0，x∈R}
B.f（x）的值域是（0，＋∞）
C.f（x）的图象只在第一象限
D.f（x）是奇函数
6.已知函数y＝ax－2＋3（a＞0且a≠1）过定点P，且P点在幂函数f（x）的图象上，则f（3）的值为　　　　.
7.写出一个同时具有下列三个性质的函数：f（x）＝　　　　.
①f（x）为幂函数；②f（x）为偶函数；③f（x）在（－∞，0）上单调递减.
8.已知幂函数f（x）的图象过点（－8，－2），且f（a＋1）≤－f（a－3），则a的取值范围是　　　　.
9.已知幂函数f（x）＝（m－1）2在（0，＋∞）上单调递增，函数g（x）＝2x－k.
（1）求m的值；
（2）当x∈[1，2）时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.
10.“（a＋1＜（3－2a”是“－2＜a＜”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.幂函数y＝xα（α≠0），当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）.设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.无法确定
12.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点M（4，16）.
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）＝.
①利用定义证明函数g（x）在区间[1，＋∞）上单调递增；
②若g（x）≥t2－2t在[2，＋∞）上恒成立，求t的取值范围.
13.已知函数f（x）＝x3＋3x－3－x，若f（a2－2a）＋f（5a－4）＜0，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－∞，－4）∪（4，＋∞）
B.（－4，1）
C.（－∞，－1）∪（4，＋∞）
D.（－1，4）
14.已知幂函数f（x）＝（m∈Z）是奇函数，且f（x）在（0，＋∞）为严格增函数.
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）求y＝[log2f（x）]2＋lo[2f（x）]，x∈的最大值.
4.4　幂函数
1.D　设幂函数f（x）＝xα，α为实数，∵f（x）的图象过点（2，8），∴2α＝8，解得α＝3，∴f（x）＝x3，它的单调递增区间是（－∞，＋∞）.
2.C　由幂函数的定义可知，3m2－2m＝1，即3m2－2m－1＝0，解得m＝1或m＝－，当m＝1时，f（x）＝在（0，＋∞）上单调递减，满足f（2）＞f（3）；当m＝－时，f（x）＝在（0，＋∞）上单调递增，不满足f（2）＞f（3），综上m＝1.故选C.
3.B　因为y＝在[0，＋∞）上单调递增，0.7＜0.8，所以0＜a＝0.＜b＝0.，而c＝log3＜log31＝0，故c＜a＜b.故选B.
4.A　由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.
5.BC　对幂函数f（x）＝＝，以下结论：对于A：f（x）的定义域是{x｜x＞0，x∈R}，因此不正确；对于B：f（x）的值域是（0，＋∞），正确；对于C：f（x）的图象只在第一象限，正确；对于D：f（x）是非奇非偶函数，因此不正确.故选B、C.
6.9　解析：由y＝ax－2＋3知：函数过定点（2，4），若f（x）＝xn，则2n＝4，即n＝2，∴f（x）＝x2，故f（3）＝9.
7.x2（或x4，，答案不唯一）　解析：由幂函数y＝xa，当函数图象在一二象限时就满足题意，因此f（x）＝x2，或f（x）＝x4，f（x）＝等.
8.（－∞，1]　解析：设f（x）＝xα，则（－8）α＝－2 α＝，所以f（x）＝，f（x）在R上递增，且为奇函数，所以f（a＋1）≤－f（a－3）＝f（3－a） a＋1≤3－a a≤1.
9.解：（1）由幂函数的定义得（m－1）2＝1，解得m＝0或m＝2，
当m＝2时，f（x）＝x－2在（0，＋∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当m＝0时，f（x）＝x2在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；
综上可知m＝0.
（2）由（1）得f（x）＝x2，当x∈[1，2）时，f（x）∈[1，4），即A＝[1，4）.
当x∈[1，2）时，g（x）∈[2－k，4－k），
即B＝[2－k，4－k），
由p是q成立的必要条件，则B A，显然B≠ ，
则即
所以实数k的取值范围为[0，1].
10.A　因为y＝定义域为[0，＋∞），且为增函数，又（a＋1＜（3－2a，所以解得－1≤a＜，因为－1≤a＜ －2＜a＜，而－2＜a＜ / －1≤a＜，故“（a＋1＜（3－2a”是“－2＜a＜”的充分不必要条件.故选A.
11.A　由条件知，M，N，∴＝，＝，∴＝＝＝，∴αβ＝1.故选A.
12.解：（1）设f（x）＝xα，则4α＝16，得α＝2，所以f（x）＝x2.
（2）①证明：由（1）得g（x）＝＝x＋.
任取x1，x2∈[1，＋∞），且x1＜x2，
则g（x1）－g（x2）＝x1＋－＝x1－x2＋－＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）＝（x1－x2）.
因为1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞1，
所以g（x1）－g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2）.
所以函数g（x）在[1，＋∞）上单调递增.
②由①知g（x）在[2，＋∞）单调递增，
所以在[2，＋∞）上，g（x）min＝g（2）＝.
因为g（x）≥t2－2t在[2，＋∞）上恒成立，
所以≥t2－2t，解得－1≤t≤5.
13.B　f（x）的定义域为R，f（－x）＝－x3＋3－x－3x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，f（x）＝x3＋3x－在R上递增，由f（a2－2a）＋f（5a－4）＜0得f（a2－2a）＜－f（5a－4）＝f（4－5a），所以a2－2a＜4－5a，即a2＋3a－4＜0，解得－4＜a＜1.故选B.
14.解：（1）因为幂函数f（x）＝（m∈Z），在（0，＋∞）为严格增函数，
所以－2m2＋m＋3＞0，即（2m－3）（m＋1）＜0，
解得－1＜m＜，又m∈Z，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f（x）＝x3，满足f（－x）＝－x3＝－f（x），因此f（x）＝x3是奇函数；
当m＝1时，f（x）＝x－2＋1＋3＝x2，显然是偶函数；
所以m＝0，f（x）＝x3.
（2）因为f（x）＝x3，所以y＝（log2x3）2＋lo（2x3）＝9（log2x）2－1－3log2x，
令t＝log2x，因为x∈，所以t∈[－1，1]，
所以y＝9t2－3t－1＝9－，
所以y＝9t2－3t－1在t∈上单调递减，在上单调递增，
又当t＝－1时，y＝9＋3－1＝11；
当t＝1时，y＝9－3－1＝5，因此ymax＝11.
2 / 24.4　幂函数
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数的性质 数学抽象、直观想象、逻辑推理
　　大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积.直至17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势.
　　1636年苏格兰人休姆（Hume）引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样.一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子，此后由英国数学家渥里斯（Wallis 1616～1703）、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了.
【问题】　（1）符合怎样特征的函数是幂函数？
（2）幂函数与指数函数有什么区别？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数　　　　称为幂函数，其中α为　　　　.
【想一想】
如何判断一个函数是幂函数？
知识点二　幂函数的图象与性质
1.五种常见幂函数的图象
2.幂函数共同的性质
（1）所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点　　　　；
（2）如果α＞0，则幂函数的图象通过　　 　，并且在区间[0，＋∞）上是　　函数；
（3）如果α＜0，则幂函数在区间（0，＋∞）上是　　函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近 　　　　；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近 　　　　，幂函数的图象不过原点；
（4）从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”.
提醒　（1）定义域：在（0，＋∞）上都有定义，定义域与α的取值有关，要保证函数解析式有意义；具体如下：
α的分类 y＝xα的定义域
α∈N＋ R
α≤0，α∈Z {x｜x∈R，且x≠0}
α＝±（p，q互质，p，q∈N＋，q＞1） α＝ q是偶数 [0，＋∞）
q是奇数 R
α＝－ q是偶数 （0，＋∞）
q是奇数 {x｜x∈R，且x≠0}
（2）幂函数y＝xα（α∈R）奇偶性的判断方法：
α的分类 y＝xα的奇偶性
α∈Z α是偶数 偶函数
α是奇数 奇函数
α＝（p，q互质，p，q∈Z，q≠1） q是奇数 p是奇数 奇函数
p是偶数 偶函数
q是偶数 既不是奇函数，也不是偶函数
1.在下列四个图形中，y＝的图象大致是（　　）
2.已知幂函数f（x）＝（a2－3a＋3）xa＋1为偶函数，则实数a的值为（　　）
A.3　　　　　　　　B.2
C.1 D.1或2
3.已知幂函数f（x）＝xα的图象过点，则f（4）＝　　　　.
题型一 幂函数的概念
【例1】　（1）在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝（x＋1）2，y＝3x中，幂函数的个数为（　　）
A.0　　　　　　　B.1
C.2 D.3
（2）若f（x）＝（m2－4m－4）xm是幂函数，则m＝　　　　.
尝试解答
通性通法
判断一个函数是否为幂函数的方法
　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
【跟踪训练】
1.（多选）下列函数中是幂函数的是（　　）
A.y＝ B.y＝4x2
C.y＝2x＋1 D.y＝
2.已知函数f（x）＝（a2－a－1）为幂函数，则实数a的值为（　　）
A.－1或2 B.－2或1
C.－1 D.1
题型二 幂函数的图象及其应用
【例2】　点（，2）与点分别在幂函数f（x），g（x）的图象上，问当x为何值时，有：
（1）f（x）＞g（x）；
（2）f（x）＝g（x）；
（3）f（x）＜g（x）.
尝试解答
通性通法
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在（0，1）上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；在（1，＋∞）上，指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）；
（2）依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y＝x－1或y＝或y＝x3）来判断.
【跟踪训练】
1.已知幂函数f（x）的图象过点（9，3），则函数f（x）的图象是（　　）
2.已知幂函数f（x）＝（k－1）·xa的图象过点，则k＋a＝　　　　.
题型三 幂函数的性质
【例3】　探讨幂函数f（x）＝的单调性.
尝试解答
【母题探究】
（变条件、变设问）本例若增加条件“（a＋1＜（3－2a”，求实数a的取值范围.
通性通法
幂函数的常用性质
（1）幂函数y＝xα（α＝，p，q∈Z，p＞1，p与q互质）奇偶性的判断方法：
①若p，q同为奇数，则y＝xα为奇函数；
②若p为奇数，q为偶数，则y＝xα为偶函数；
③若p为偶数，则y＝xα为非奇非偶函数.
（2）幂函数单调性的判断：幂函数y＝xα在区间（0，＋∞）上，当α＞0时，y＝xα是增函数；当α＜0时，y＝xα是减函数.
【跟踪训练】
1.幂函数f（x）＝（m2－2m＋1）x2m－1在（0，＋∞）上为增函数，则实数m的值为（　　）
A.－2　　　　　　　B.0或2
C.0 D.2
2.已知幂函数f（x）的图象经过点，且f（a＋1）＜f（2），则a的取值范围为（　　）
A.（－∞，1）
B.（1，＋∞）
C.（－3，1）
D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）
题型四 比较幂值的大小
【例4】　比较下列各组数的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）与.
尝试解答
通性通法
比较幂值大小的2种方法
【跟踪训练】
1.设a＝，b＝，c＝，则（　　）
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.b＜c＜a D.b＜a＜c
2.已知a＝0.30.2，b＝0.20.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是　　　　.（请用“＜”连接）
“对勾”函数图象与性质探究
　　学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f（x）＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图.
【问题探究】
参考幂函数的性质，探究函数f（x）＝x＋的性质.
提示：（1）定义域：∵x≠0，
∴函数f（x）＝x＋的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）值域：函数f（x）＝x＋的值域为（－∞，－2]∪[2，＋∞）.
（3）奇偶性：∵f（－x）＝－x－＝－（x＋）＝－f（x），
∴函数f（x）＝x＋为奇函数.
（4）单调性：由函数f（x）＝x＋的图象可知，函数f（x）＝x＋在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，0），（0，1）上单调递减.
【迁移应用】
1.试探究函数f（x）＝x＋（a＞0）的性质，并画出它的简图.
2.试探究函数f（x）＝x＋（a＜0）的性质，并画出它的简图.
1.“m＝1”是“幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）xm在（0，＋∞）上单调递增”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）的定义域为（　　）
A.R　　　　　　　 B.（0，＋∞）
C.[0，＋∞） D.（－∞，0）∪（0，＋∞）
3.（多选）已知函数f（x）＝xk（k∈Q），在下列函数图象中，可能是函数y＝f（x）的图象的是（　　）
4.设α∈，则使f（x）＝xα为奇函数且在（0，＋∞）上单调递减的α的值是　　　　.
4.4　幂函数
【基础知识·重落实】
知识点一
y＝xα　常数
想一想
　提示：（1）xα的系数为1；（2）x为自变量；（3）α为常数.
知识点二
2.（1）（1，1）　（2）原点　增　（3）减　y轴　x轴
自我诊断
1.D　函数y＝的定义域为（0，＋∞），是减函数.
2.C　∵幂函数f（x）＝（a2－3a＋3）xa＋1为偶函数，∴a2－3a＋3＝1，且a＋1为偶数，则实数a＝1，故选C.
3.　解析：∵幂函数f（x）＝xα的图象过点，∴2α＝，∴α＝－.即f（x）＝，∴f（4）＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）B　（2）5或－1　解析：（1）根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，故选B.
（2）因为f（x）是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
跟踪训练
1.AD　幂函数是形如y＝xα（α为常数）的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是4，不是幂函数；易知C不是幂函数.
2.C　因为f（x）＝（a2－a－1）为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.
【例2】　解：设f（x）＝xα，g（x）＝xβ.
∵（）α＝2，（－2）β＝－，∴α＝2，β＝－1，
∴f（x）＝x2，g（x）＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示.
由图象知，
（1）当x∈（－∞，0）∪（1，＋∞）时，f（x）＞g（x）.
（2）当x＝1时，f（x）＝g（x）.
（3）当x∈（0，1）时，f（x）＜g（x）.
跟踪训练
1.C　设幂函数的解析式为f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（9，3），∴3＝9α，解得α＝，∴y＝f（x）＝，其定义域为[0，＋∞），且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方.对照选项可知C满足题意.故选C.
2.1　解析：∵f（x）＝（k－1）·xa为幂函数，∴k－1＝1，∴k＝2；∵其图象过点，∴2a＝，∴a＝－1，∴k＋a＝2－1＝1.
【例3】　解：f（x）＝的定义域为（0，＋∞）. x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）＝－＝－＝＝.
因为x2＞x1＞0，所以x1－x2＜0，且·（＋）＞0，于是f（x2）－f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
所以幂函数f（x）＝是减函数.
母题探究
　解：因为f（x）＝在区间（0，＋∞）上是减函数，
所以（a＋1＜（3－2a等价于
解得＜a＜.
所以实数a的取值范围是.
跟踪训练
1.D　因为f（x）是幂函数，所以m2－2m＋1＝1，解得m＝0或m＝2，当m＝0时，f（x）＝x－1在（0，＋∞）上为减函数，不符合题意，当m＝2时，f（x）＝x3在（0，＋∞）上为增函数，符合题意，所以m＝2.故选D.
2.D　设f（x）＝xα（α∈R），由题意得，f＝＝9，解得α＝－2，∴f（x）＝x－2＝，∴f（x）为偶函数且在（0，＋∞）上单调递减.∵f（a＋1）＜f（2），∴｜a＋1｜＞2，解得a＜－3或a＞1.故选D.
【例4】　解：（1）∵幂函数y＝x0.5在（0，＋∞）上是单调递增的，
又＞，∴＞.
（2）∵幂函数y＝x－1在（－∞，0）上是单调递减的，
又－＜－，∴＞.
（3）∵函数y1＝为（0，＋∞）上的增函数，又＞1，
∴＞＝1.
又∵函数y2＝在（0，＋∞）上是增函数，且＜1，
∴＜＝1，∴＞.
跟踪训练
1.D　构造幂函数y＝（x∈（0，＋∞）），由该函数在定义域内单调递增，知a＞b；构造指数函数y＝，由该函数在定义域内单调递减，知a＜c，故c＞a＞b.
2.b＜a＜c　解析：0＜a＝0.30.2＜0.30＝1，0＜b＝0.20.3＜0.20＝1，a＝0.30.2＞0.30.3＞0.20.3＝b，c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c.
拓视野　“对勾”函数图象与性质探究
迁移应用
1.解：（1）定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）值域：（－∞，－2]∪[2，＋∞）.
（3）奇偶性：奇函数.
（4）单调性：函数f（x）＝x＋（a＞0）在（－∞，－）和（，＋∞）上为增函数，在[－，0）和（0，]上为减函数.
证明：任取x1，x2∈（0， ]，且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝（x1－x2）·.
因为0＜x1＜x2≤，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜a，
所以＞1，所以1－＜0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）.
所以f（x）在（0，]上为减函数.
任取x1，x2∈（，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）.
因为x1－x2＜0，x1x2＞a，
所以＜1，所以1－＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（，＋∞）上为增函数.
同理，f（x）在（－∞，－）上为增函数，在[－，0）上为减函数.
其图象如图所示.
2.解：（1）定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）值域：R.
（3）奇偶性：奇函数.
（4）函数f（x）在区间（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增.
证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝x1＋－
＝（x1－x2），
因为0＜x1＜x2，
所以x1－x2＜0，
又a＜0，所以1－＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增；
同理可知，函数f（x）在区间（－∞，0）上单调递增.
其简图如图所示.
随堂检测
1.A　若f（x）为幂函数，则m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，又m＝1或m＝2都满足f（x）在（0，＋∞）上单调递增.故“m＝1”是“幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）xm在（0，＋∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选A.
2.C　设f（x）＝xα，因为f（x）的图象过点（2，），所以2α＝，解得α＝，则f（x）＝，故f（x）的定义域为[0，＋∞）.故选C.
3.ABD　函数f（x）＝xk（k∈Q）为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象不是函数y＝f（x）的图象.故选A、B、D.
4.－1　解析：因为f（x）＝xα为奇函数，所以α＝－1，1，3.又因为f（x）在（0，＋∞）上为减函数，所以α＝－1.
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4.4　幂函数
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，结合 y ＝ x ， y ＝ ， y ＝ x2， y ＝
， y ＝ x3的图象，理解它们的变化规律，了解
幂函数的性质 数学抽象、直观
想象、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个
相同数的乘积.直至17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分
开来表示的趋势.
　　1636年苏格兰人休姆（Hume）引进了一种较好的记法，他用罗
马数字表示指数，写在底数的右上角，如“ A4”写作“ AⅣ”，这种
记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样.一年
以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数
字，成了今天的样子，此后由英国数学家渥里斯（Wallis 1616～
1703）、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从
而使幂的概念及符号发展得更完备了.
【问题】　（1）符合怎样特征的函数是幂函数？
（2）幂函数与指数函数有什么区别？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数 称为幂函数，其中α为 .
y ＝ xα　
常数　
【想一想】
如何判断一个函数是幂函数？
提示：（1） xα的系数为1；（2） x 为自变量；（3）α为常数.
知识点二　幂函数的图象与性质
1. 五种常见幂函数的图象
2. 幂函数共同的性质
（1）所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，因此在第一象
限内都有图象，并且图象都通过点 ；
（2）如果α＞0，则幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，
＋∞）上是 函数；
（3）如果α＜0，则幂函数在区间（0，＋∞）上是 函数，
且在第一象限内：当 x 从右边趋向于原点时，图象在 y 轴右方
且无限地逼近 ；当 x 无限增大时，图象在 x 轴上方且
无限地逼近 ，幂函数的图象不过原点；
（1，1）　
原点　
增　
减　
y 轴　
x 轴　
（4）从 x 轴起，幂函数 y ＝ xα的指数α由小到大递增，即“指大
图高”“指小图低”.
提醒　（1）定义域：在（0，＋∞）上都有定义，定义域与α的取值
有关，要保证函数解析式有意义.具体如下：
α的分类 y ＝ xα的定义域
α∈N＋ R
α≤0，α∈Z { x ｜ x ∈R，且 x ≠0}
α＝± （ p ， q
互质， p ， q
∈N＋， q ＞1） α＝ q 是偶数 [0，＋∞）
q 是奇数 R
α＝－ q 是偶数 （0，＋∞）
q 是奇数 { x ｜ x ∈R，且 x ≠0}
（2）幂函数 y ＝ xα（α∈R）奇偶性的判断方法：
α的分类 y ＝ xα的奇偶性
α∈Z α是偶数 偶函数
α是奇数 奇函数
α＝ （ p ，
q 互质， p ， q
∈Z， q ≠1） q 是奇数 p 是奇数 奇函数
p 是偶数 偶函数
q 是偶数 既不是奇函数，也不
是偶函数
1. 在下列四个图形中， y ＝ 的图象大致是（　　）
解析： 　函数 y ＝ 的定义域为（0，＋∞），是减函数.
2. 已知幂函数 f （ x ）＝（ a2－3 a ＋3） xa＋1为偶函数，则实数 a 的值
为（　　）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 1或2
解析： 　∵幂函数 f （ x ）＝（ a2－3 a ＋3） xa＋1为偶函数，∴ a2
－3 a ＋3＝1，且 a ＋1为偶数，则实数 a ＝1，故选C.
3. 已知幂函数 f （ x ）＝ xα的图象过点 ，则 f （4）
＝ .
解析：∵幂函数 f （ x ）＝ xα的图象过点 ，∴2α＝ ，
∴α＝－ .即 f （ x ）＝ ，∴ f （4）＝ ＝ .
　 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 幂函数的概念
【例1】　（1）在函数 y ＝ x－2， y ＝2 x2， y ＝（ x ＋1）2， y ＝3 x
中，幂函数的个数为（　B　）
A. 0 B. 1
解析： 根据幂函数定义可知，只有 y ＝ x－2是幂函数，故选B.
B
C. 2 D. 3
（2）若 f （ x ）＝（ m2－4 m －4） xm 是幂函数，则 m ＝ .
解析： 因为 f （ x ）是幂函数，所以 m2－4 m －4＝1，即 m2
－4 m －5＝0，解得 m ＝5或 m ＝－1.
5或－1　
通性通法
　　判断一个函数是否为幂函数的方法
　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y ＝ xα（α为
常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）
指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
【跟踪训练】
1. （多选）下列函数中是幂函数的是（　　）
A. y ＝ B. y ＝4 x2
C. y ＝2 x ＋1 D. y ＝
解析： 　幂函数是形如 y ＝ xα（α为常数）的函数，A是α＝
－1的情形，D是α＝－ 的情形，所以A和D都是幂函数；B中 x2的
系数是4，不是幂函数；易知C不是幂函数.
2. 已知函数 f （ x ）＝（ a2－ a －1） 为幂函数，则实数 a 的值为
（　　）
A. －1或2 B. －2或1
C. －1 D. 1
解析： 　因为 f （ x ）＝（ a2－ a －1） 为幂函数，所以 a2－ a
－1＝1，即 a ＝2或－1.又 a －2≠0，所以 a ＝－1.
题型二 幂函数的图象及其应用
【例2】　点（ ，2）与点 分别在幂函数 f （ x ）， g
（ x ）的图象上，问当 x 为何值时，有：
（1） f （ x ）＞ g （ x ）；
解：设 f （ x ）＝ xα， g （ x ）＝ xβ.
∵（ ）α＝2，（－2）β＝－ ，∴α＝
2，β＝－1，
∴ f （ x ）＝ x2， g （ x ）＝ x－1.分别作出它
们的图象，如图所示.
由图象知，
（1）当 x ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）时， f （ x ）＞ g （ x ）.
（2） f （ x ）＝ g （ x ）；
解：当 x ＝1时， f （ x ）＝ g （ x ）.
（3） f （ x ）＜ g （ x ）.
解：当 x ∈（0，1）时， f （ x ）＜ g （ x ）.
通性通法
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在（0，1）上，
指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴（简记为指大图低）；在
（1，＋∞）上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴（简记为指
大图高）；
（2）依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第
一象限内的图象（类似于 y ＝ x－1或 y ＝ 或 y ＝ x3）来判断.
【跟踪训练】
1. 已知幂函数 f （ x ）的图象过点（9，3），则函数 f （ x ）的图象是
（　　）
解析： 　设幂函数的解析式为 f （ x ）＝ xα，∵幂函数 y ＝ f （ x ）
的图象过点（9，3），∴3＝9α，解得α＝ ，∴ y ＝ f （ x ）＝
，其定义域为[0，＋∞），且是增函数，当0＜ x ＜1时，其图象
在直线 y ＝ x 的上方.对照选项可知C满足题意.故选C.
2. 已知幂函数 f （ x ）＝（ k －1）· xa 的图象过点 ，则 k ＋ a
＝ .
解析：∵ f （ x ）＝（ k －1）· xa 为幂函数，∴ k －1＝1，∴ k ＝2；
∵其图象过点 ，∴2 a ＝ ，∴ a ＝－1，∴ k ＋ a ＝2－1＝1.
1　
题型三 幂函数的性质
【例3】　探讨幂函数 f （ x ）＝ 的单调性.
解： f （ x ）＝ 的定义域为（0，＋∞）. x1， x2∈（0，＋∞），
且 x1＜ x2，则 f （ x2）－ f （ x1）＝ － ＝ － ＝
＝ .
因为 x2＞ x1＞0，所以 x1－ x2＜0，且 ·（ ＋ ）＞0，于是
f （ x2）－ f （ x1）＜0，即 f （ x2）＜ f （ x1），
所以幂函数 f （ x ）＝ 是减函数.
【母题探究】
（变条件、变设问）本例若增加条件“（ a ＋1 ＜（3－2 a ”，求实数 a 的取值范围.
解：因为 f （ x ）＝ 在区间（0，＋∞）上是减函数，
所以（ a ＋1 ＜（3－2 a 等价于
解得 ＜ a ＜ .
所以实数 a 的取值范围是 .
通性通法
幂函数的常用性质
（1）幂函数 y ＝ xα（α＝ ， p ， q ∈Z， p ＞1， p 与 q 互质）奇偶性
的判断方法：
①若 p ， q 同为奇数，则 y ＝ xα为奇函数；
②若 p 为奇数， q 为偶数，则 y ＝ xα为偶函数；
③若 p 为偶数，则 y ＝ xα为非奇非偶函数.
（2）幂函数单调性的判断：幂函数 y ＝ xα在区间（0，＋∞）上，当
α＞0时， y ＝ xα是增函数；当α＜0时， y ＝ xα是减函数.
【跟踪训练】
1. 幂函数 f （ x ）＝（ m2－2 m ＋1） x2 m－1在（0，＋∞）上为增函
数，则实数 m 的值为（　　）
A. －2 B. 0或2
C. 0 D. 2
解析： 　因为 f （ x ）是幂函数，所以 m2－2 m ＋1＝1，解得 m ＝
0或 m ＝2，当 m ＝0时， f （ x ）＝ x－1在（0，＋∞）上为减函数，
不符合题意，当 m ＝2时， f （ x ）＝ x3在（0，＋∞）上为增函
数，符合题意，所以 m ＝2.故选D.
2. 已知幂函数 f （ x ）的图象经过点 ，且 f （ a ＋1）＜ f
（2），则 a 的取值范围为（　　）
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－3，1） D. （－∞，－3）∪（1，＋∞）
解析： 　设 f （ x ）＝ xα（α∈R），由题意得， f ＝ ＝
9，解得α＝－2，∴ f （ x ）＝ x－2＝ ，∴ f （ x ）为偶函数且在
（0，＋∞）上单调递减.∵ f （ a ＋1）＜ f （2），∴｜ a ＋1｜＞
2，解得 a ＜－3或 a ＞1.故选D.
题型四 比较幂值的大小
【例4】　比较下列各组数的大小：
（1） 与 ；
解： ∵幂函数 y ＝ x0.5在（0，＋∞）上是单调递增的，
又 ＞ ，∴ ＞ .
（2） 与 ；
解： ∵幂函数 y ＝ x－1在（－∞，0）上是单调递减的，
又－ ＜－ ，∴ ＞ .
（3） 与 .
解： ∵函数 y1＝ 为（0，＋∞）上的增函数，又 ＞1，
∴ ＞ ＝1.
又∵函数 y2＝ 在（0，＋∞）上是增函数，且 ＜1，
∴ ＜ ＝1，∴ ＞ .
通性通法
比较幂值大小的2种方法
【跟踪训练】
1. 设 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则（　　）
A. a ＜ b ＜ c B. c ＜ a ＜ b
C. b ＜ c ＜ a D. b ＜ a ＜ c
解析： 　构造幂函数 y ＝ （ x ∈（0，＋∞）），由该函数在定
义域内单调递增，知 a ＞ b ；构造指数函数 y ＝ ，由该函数在
定义域内单调递减，知 a ＜ c ，故 c ＞ a ＞ b .
2. 已知 a ＝0.30.2， b ＝0.20.3， c ＝log0.30.2，则 a ， b ， c 的大小关
系是 .（请用“＜”连接）
解析：0＜ a ＝0.30.2＜0.30＝1，0＜ b ＝0.20.3＜0.20＝1， a ＝
0.30.2＞0.30.3＞0.20.3＝ b ， c ＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，则 a ，
b ， c 的大小关系为 b ＜ a ＜ c .
b ＜ a ＜ c 　
　“对勾”函数图象与性质探究
　　学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对
幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数 f （ x ）＝ x ＋ ，利用计
算机软件，我们绘制出它的图象，如图.
【问题探究】
参考幂函数的性质，探究函数 f （ x ）＝ x ＋ 的性质.
提示：（1）定义域：∵ x ≠0，
∴函数 f （ x ）＝ x ＋ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）值域：函数 f （ x ）＝ x ＋ 的值域为（－∞，－2]∪[2，＋
∞）.
（3）奇偶性：∵ f （－ x ）＝－ x － ＝－ ＝－ f （ x ），
∴函数 f （ x ）＝ x ＋ 为奇函数.
（4）单调性：由函数 f （ x ）＝ x ＋ 的图象可知，函数 f （ x ）＝ x ＋
在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，0），（0，
1）上单调递减.
【迁移应用】
1. 试探究函数 f （ x ）＝ x ＋ （ a ＞0）的性质，并画出它的简图.
解：（1）定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）值域：（－∞，－2 ]∪[2 ，＋∞）.
（3）奇偶性：奇函数.
（4）单调性：函数 f （ x ）＝ x ＋ （ a ＞0）在（－∞，－
）和（ ，＋∞）上为增函数，在[－ ，0）和（0，
]上为减函数.
证明：任取 x1， x2∈（0， ]，且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ x1＋ － x2－ ＝（ x1
－ x2） .
因为0＜ x1＜ x2≤ ，所以 x1－ x2＜0，0＜ x1 x2＜ a ，
所以 ＞1，所以1－ ＜0，所以 f （ x1）－ f （ x2）＞0，
即 f （ x1）＞ f （ x2）.所以 f （ x ）在（0， ]上为减函数.
任取 x1， x2∈（ ，＋∞），且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝（ x1－ x2） .
因为 x1－ x2＜0， x1 x2＞ a ，
所以 ＜1，所以1－ ＞0，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＜0，所以 f （ x1）＜ f （ x2），
所以 f （ x ）在（ ，＋∞）上为增函数.
同理， f （ x ）在（－∞，－ ）上为增函
数，在[－ ，0）上为减函数.
其图象如图所示.
2. 试探究函数 f （ x ）＝ x ＋ （ a ＜0）的性质，并画出它的简图.
解：（1）定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）值域：R.
（3）奇偶性：奇函数.
（4）函数 f （ x ）在区间（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增.
证明：任取 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ x1＋ －
＝（ x1－ x2） ，
因为0＜ x1＜ x2，
所以 x1－ x2＜0，
又 a ＜0，所以1－ ＞0，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＜0，
即 f （ x1）＜ f （ x2），
所以函数 f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递
增；
同理可知，函数 f （ x ）在区间（－∞，0）上
单调递增.
其简图如图所示.
1. “ m ＝1”是“幂函数 f （ x ）＝（ m2－3 m ＋3） xm 在（0，＋∞）
上单调递增”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 　若 f （ x ）为幂函数，则 m2－3 m ＋3＝1，解得 m ＝1或 m
＝2，又 m ＝1或 m ＝2都满足 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增.故
“ m ＝1”是“幂函数 f （ x ）＝（ m2－3 m ＋3） xm 在（0，＋∞）
上单调递增”的充分不必要条件.故选A.
2. 已知幂函数 f （ x ）的图象过点（2， ），则 f （ x ）的定义域为
（　　）
A. R B. （0，＋∞）
C. [0，＋∞） D. （－∞，0）∪（0，＋∞）
解析： 　设 f （ x ）＝ xα，因为 f （ x ）的图象过点（2， ），
所以2α＝ ，解得α＝ ，则 f （ x ）＝ ，故 f （ x ）的定义域
为[0，＋∞）.故选C.
3. （多选）已知函数 f （ x ）＝ xk （ k ∈Q），在下列函数图象中，可
能是函数 y ＝ f （ x ）的图象的是（　　）
解析： 　函数 f （ x ）＝ xk （ k ∈Q）为幂函数，图象不过
第四象限，所以C中函数图象不是函数 y ＝ f （ x ）的图象.故选
A、B、D.
4. 设α∈ ，则使 f （ x ）＝ xα为奇函数且在（0，＋
∞）上单调递减的α的值是 .
解析：因为 f （ x ）＝ xα为奇函数，所以α＝－1，1，3.又因为 f
（ x ）在（0，＋∞）上为减函数，所以α＝－1.
－1　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 幂函数 f （ x ）的图象过点（2，8），则它的单调递增区间是
（　　）
A. （0，＋∞） B. [0，＋∞）
C. （－∞，0） D. （－∞，＋∞）
解析： 　设幂函数 f （ x ）＝ xα，α为实数，∵ f （ x ）的图象过
点（2，8），∴2α＝8，解得α＝3，∴ f （ x ）＝ x3，它的单调递
增区间是（－∞，＋∞）.
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2. 已知幂函数 f （ x ）＝（3 m2－2 m ） 满足 f （2）＞ f （3），则
m ＝（　　）
A. B. －
C. 1 D. －1
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解析： 　由幂函数的定义可知，3 m2－2 m ＝1，即3 m2－2 m －1＝
0，解得 m ＝1或 m ＝－ ，当 m ＝1时， f （ x ）＝ 在（0，＋
∞）上单调递减，满足 f （2）＞ f （3）；当 m ＝－ 时， f （ x ）＝
在（0，＋∞）上单调递增，不满足 f （2）＞ f （3），综上 m ＝
1.故选C.
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3. 设 a ＝0. ， b ＝0. ， c ＝log3 ，则（　　）
A. c ＜ b ＜ a B. c ＜ a ＜ b
C. a ＜ b ＜ c D. b ＜ a ＜ c
解析： 　因为 y ＝ 在[0，＋∞）上单调递增，0.7＜0.8，所以
0＜ a ＝0. ＜ b ＝0. ，而 c ＝log3 ＜log31＝0，故 c ＜ a ＜ b .故
选B.
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4. 如图所示，曲线 C1与 C2分别是函数 y ＝ xm 和 y ＝ xn 在第一象限内的
图象，则下列结论正确的是（　　）
A. n ＜ m ＜0
B. m ＜ n ＜0
C. n ＞ m ＞0
D. m ＞ n ＞0
解析： 　由图象可知，两函数在第一象限内递减，故 m ＜0， n ＜
0.当 x ＝2时，2 m ＞2 n ，所以 n ＜ m ＜0.
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5. （多选）对幂函数 f （ x ）＝ 有以下结论，其中正确的有
（　　）
A. f （ x ）的定义域是{ x ｜ x ≠0， x ∈R}
B. f （ x ）的值域是（0，＋∞）
C. f （ x ）的图象只在第一象限
D. f （ x ）是奇函数
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解析： 对幂函数 f （ x ）＝ ＝ ，以下结论：对于A： f
（ x ）的定义域是{ x ｜ x ＞0， x ∈R}，因此不正确；对于B： f
（ x ）的值域是（0，＋∞），正确；对于C： f （ x ）的图象只在
第一象限，正确；对于D： f （ x ）是非奇非偶函数，因此不正确.
故选B、C.
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6. 已知函数 y ＝ ax－2＋3（ a ＞0且 a ≠1）过定点 P ，且 P 点在幂函数 f
（ x ）的图象上，则 f （3）的值为 .
解析：由 y ＝ ax－2＋3知：函数过定点（2，4），若 f （ x ）＝ xn ，
则2 n ＝4，即 n ＝2，∴ f （ x ）＝ x2，故 f （3）＝9.
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7. 写出一个同时具有下列三个性质的函数： f （ x ）＝
.
① f （ x ）为幂函数；② f （ x ）为偶函数；③ f （ x ）在（－∞，
0）上单调递减.
解析：由幂函数 y ＝ xa ，当函数图象在一二象限时就满足题意，因
此 f （ x ）＝ x2，或 f （ x ）＝ x4， f （ x ）＝ 等.
x2（或 x4，
，答案不唯一）　
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8. 已知幂函数 f （ x ）的图象过点（－8，－2），且 f （ a ＋1）≤－ f
（ a －3），则 a 的取值范围是 .
解析：设 f （ x ）＝ xα，则（－8）α＝－2 α＝ ，所以 f （ x ）＝
， f （ x ）在R上递增，且为奇函数，所以 f （ a ＋1）≤－ f （ a
－3）＝ f （3－ a ） a ＋1≤3－ a a ≤1.
（－∞，1]　
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解： 由幂函数的定义得（ m －1）2＝1，解得 m ＝0
或 m ＝2，
当 m ＝2时， f （ x ）＝ x－2在（0，＋∞）上单调递减，与
题设矛盾，舍去；
当 m ＝0时， f （ x ）＝ x2在（0，＋∞）上单调递增，符
合题意；
综上可知 m ＝0.
9. 已知幂函数 f （ x ）＝（ m －1）2 在（0，＋∞）上单调
递增，函数 g （ x ）＝2 x － k .
（1）求 m 的值；
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（2）当 x ∈[1，2）时，记 f （ x ）， g （ x ）的值域分别为集合
A ， B ，设 p ： x ∈ A ， q ： x ∈ B ，若 p 是 q 成立的必要条
件，求实数 k 的取值范围.
解： 由（1）得 f （ x ）＝ x2，当 x ∈[1，2）时， f （ x ）
∈[1，4），即 A ＝[1，4）.
当 x ∈[1，2）时， g （ x ）∈[2－ k ，4－ k ），
即 B ＝[2－ k ，4－ k ），
由 p 是 q 成立的必要条件，则 B A ，显然 B ≠ ，
则即
所以实数 k 的取值范围为[0，1].
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10. “（ a ＋1 ＜（3－2 a ”是“－2＜ a ＜ ”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 　因为 y ＝ 定义域为[0，＋∞），且为增函数，又（ a
＋1 ＜（3－2 a ，所以解得－1≤ a ＜ ，
因为－1≤ a ＜ －2＜ a ＜ ，而－2＜ a ＜ / －1≤ a ＜ ，故
“（ a ＋1 ＜（3－2 a ”是“－2＜ a ＜ ”的充分不必要条
件.故选A.
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11. 幂函数 y ＝ xα（α≠0），当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）.设点 A （1，0）， B （0，1），连接 AB ，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y ＝ xα， y ＝ xβ的图象三等分，即有 BM ＝ MN ＝ NA . 那么αβ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 无法确定
解析： 由条件知， M ， N ，∴ ＝ ， ＝
，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴αβ＝1.故选A.
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12. 已知幂函数 y ＝ f （ x ）的图象经过点 M （4，16）.
（1）求 f （ x ）的解析式；
解： 设 f （ x ）＝ xα，则4α＝16，得α＝2，所以 f
（ x ）＝ x2.
（2）设 g （ x ）＝ .
①利用定义证明函数 g （ x ）在区间[1，＋∞）上单调递
增；
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②若 g （ x ）≥ t2－2 t 在[2，＋∞）上恒成立，求 t 的取值
范围.
解： ①证明：由（1）得 g （ x ）＝ ＝ x ＋ .
任取 x1， x2∈[1，＋∞），且 x1＜ x2，
则 g （ x1）－ g （ x2）＝ x1＋ － ＝ x1－ x2＋ －
＝（ x1－ x2）＋ ＝（ x1－ x2）· ＝（ x1－
x2） .
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因为1≤ x1＜ x2，所以 x1－ x2＜0， x1 x2＞1，
所以 g （ x1）－ g （ x2）＜0，即 g （ x1）＜ g （ x2）.
所以函数 g （ x ）在[1，＋∞）上单调递增.
②由①知 g （ x ）在[2，＋∞）单调递增，
所以在[2，＋∞）上， g （ x ）min＝ g （2）＝ .
因为 g （ x ）≥ t2－2 t 在[2，＋∞）上恒成立，
所以 ≥ t2－2 t ，解得－1≤ t ≤5.
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13. 已知函数 f （ x ）＝ x3＋3 x －3－ x ，若 f （ a2－2 a ）＋ f （5 a －4）
＜0，则实数 a 的取值范围为（　　）
A. （－∞，－4）∪（4，＋∞）
B. （－4，1）
C. （－∞，－1）∪（4，＋∞）
D. （－1，4）
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解析： 　 f （ x ）的定义域为R， f （－ x ）＝－ x3＋3－ x －3 x ＝－
f （ x ），所以 f （ x ）为奇函数， f （ x ）＝ x3＋3 x － 在R上递
增，由 f （ a2－2 a ）＋ f （5 a －4）＜0得 f （ a2－2 a ）＜－ f （5 a
－4）＝ f （4－5 a ），所以 a2－2 a ＜4－5 a ，即 a2＋3 a －4＜0，
解得－4＜ a ＜1.故选B.
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14. 已知幂函数 f （ x ）＝ （ m ∈Z）是奇函数，且 f
（ x ）在（0，＋∞）为严格增函数.
（1）求 m 的值，并确定 f （ x ）的解析式；
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解： 因为幂函数 f （ x ）＝ （ m ∈Z），在
（0，＋∞）为严格增函数，
所以－2 m2＋ m ＋3＞0，即（2 m －3）（ m ＋1）＜0，
解得－1＜ m ＜ ，又 m ∈Z，所以 m ＝0或 m ＝1，
当 m ＝0时， f （ x ）＝ x3，满足 f （－ x ）＝－ x3＝－ f
（ x ），因此 f （ x ）＝ x3是奇函数；
当 m ＝1时， f （ x ）＝ x－2＋1＋3＝ x2，显然是偶函数；
所以 m ＝0， f （ x ）＝ x3.
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（2）求 y ＝[log2 f （ x ）]2＋lo [2 f （ x ）]， x ∈ 的
最大值.
解： 因为 f （ x ）＝ x3，所以 y ＝（log2 x3）2＋lo （2
x3）＝9（log2 x ）2－1－3log2 x ，
令 t ＝log2 x ，因为 x ∈ ，所以 t ∈[－1，1]，
所以 y ＝9 t2－3 t －1＝9 － ，
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所以 y ＝9 t2－3 t －1在 t ∈ 上单调递减，在
上单调递增，
又当 t ＝－1时， y ＝9＋3－1＝11；
当 t ＝1时， y ＝9－3－1＝5，因此 ymax＝11.
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