资源简介

4.5　增长速度的比较
1.函数f（x）＝在区间[1，4]上的平均变化率为（　　）
A.　　　 B.　　　 C.1　　　 D.3
2.一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为（　　）
A.2 B.1 C.－1 D.6
3.如图，fi（x）（i＝1，2，3，4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质“对[0，1]中任意的x1和x2，及λ∈（0，1），f（λx1＋（1－λ）x2）＜λf（x1）＋（1－λ）f（x2）恒成立”的只有（　　）
4.在函数y＝｜x｜，x∈[－1，1]的图象上有一点P（t，｜t｜），此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（　　）
5.（多选）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（　　）
A.野生水葫芦的面积每月增长率为1
B.野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2历时超过1.5个月
C.设野生水葫芦蔓延到10 m2，20 m2，30 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t3＜2t2
D.野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
6.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间（1，＋∞）上增长较快的一个是　　　　.
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是，，，则三者的大小关系为　　　　.
8.已知a＞1，函数f（x）＝ln x，则下面结论中正确的有　　　　.（填所有正确结论的序号）
①函数f（x）在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是大于1；②函数f（x）在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是小于1；③函数f（x）在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而增大；④函数f（x）在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而减小.
9.已知函数f（x）＝2x，g（x）＝log2x，分别计算这两个函数在区间[1，4]上的平均变化率，并比较它们的大小.
10.三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（　　）
A.y1，y2，y3　　　B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
11.2012年某市某地段商业用地价格为每亩48万元，由于土地价格持续上涨，到2024年已经上涨到每亩96万元.现给出两种地价增长方式，其中P1：f（t）＝at＋b（a，b∈R）是按直线上升的地价，P2：g（t）＝clog2（d＋t）（c，d∈R）是按对数增长的地价，t是2012年以来经过的年数，2012年对应的t值为0.
（1）求f（t），g（t）的解析式；
（2）2024年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2028年的地价相对于2024年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型.（参考数据：log210≈3.32）
12.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at（t≥0，a＞0且a≠1）的图象.
有以下说法：
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是　　　　.
13.已知函数f（x）的定义域为D.若对于任意x1，x2∈D，且x1≠x2，都有f（x1）＋f（x2）＜2f，则称函数f（x）为“凸函数”.
（1）判断函数①f1（x）＝2x，②f2（x）＝与③f3（x）＝lg x是“凸函数”的序号是（只需写出结论）；
（2）若函数f（x）＝a·2x＋b（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；
（3）写出一个定义在上的“凸函数”f（x），满足0＜f（x）＜x.（只需写出结论）
4.5　增长速度的比较
1.A　＝，故选A.
2.B　由已知，得＝26，即（5×32＋3m）－（5×22＋2m）＝26，解得m＝1，故选B.
3.A　因为λ∈（0，1），所以可令λ＝，则不等式变为f＜.f为自变量x1，x2的中点对应的函数值，即中点纵坐标小于[f（x1）＋f（x2）].结合函数fi（x）（i＝1，2，3，4）图象及x1，x2的任意性，可排除B、C、D三个选项.
4.B　因为S＝所以其对应图象为B，故选B.
5.ABC　由题意得，所求函数为指数函数且过点（1，2），可得函数y＝f（x）＝2x，A：设第n个月的野生水葫芦面积为f（n），则第n＋1个月的野生水葫芦面积为f（n＋1），∴野生水葫芦的面积每月增长率＝＝1，故正确；B：设野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2历时超过x个月，∴4·2x＝12，解得x＝log23＞log22＝＝1.5，故正确；C：野生水葫芦蔓延到10 m2，20 m2，30 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，∴t1＋t3＝log210＋log230＝log2300，2t2＝2log220＝log2400，∴t1＋t3＜2t2，故正确；D：野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为＝3，野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为＝6，故错误.故选A、B、C.
6.y＝x2　解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快.
7.＜＜　解析：∵＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，由题图得kOA＜kAB＜kBC，∴＜＜.
8.②④　解析：＝＝ln（a＋1）－ln a＝ln ＝ln，因为a＞1，所以ln＜ln（1＋1）＝ln 2＜1，所以①错误，②正确；又当a＞1时，1＋随着a的增大而减小，ln随着1＋的减小而减小，所以随着a的增大而减小，所以③错误，④正确.
9.解：＝＝，所以函数f（x）＝2x在区间[1，4]上的平均变化率为＝.
＝＝，所以函数g（x）＝log2x在区间[1，4]上的平均变化率为＝＝.
因为＞，所以函数f（x）＝2x在区间[1，4]上的平均变化率大于函数g（x）＝log2x在区间[1，4]上的平均变化率.
10.C　通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.
11.解：（1）由题知：f（0）＝48，f（12）＝96，代入解析式f（t），
所以解得所以f（t）＝4t＋48，t≥0；
又g（0）＝48，g（12）＝96，代入解析式g（t）可得解得
所以g（t）＝24log2（4＋t），t≥0.
（2）若按照模型P1：f（t）＝4t＋48，到2028年时，t＝16，f（16）＝112，
直线上升的增长率为≈16.7%＞10%，不符合要求；
若按照模型P2：g（t）＝24log2（4＋t），到2028年时，t＝16，
g（16）＝24log220＝24（log210＋1）≈24×（3.32＋1）＝103.68，
对数增长的增长率为＝8%＜10%，符合要求；
综上分析，应该选择模型P2.
12.①③　解析：由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝.当t＝4时，y＝＜，故①正确；
当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝lo，t2＝lo，t3＝lo，t1＋t2＝t3，故③正确.
13.解：（1）③.
（2）函数f（x）＝a·2x＋b定义域为R，对于任意的x1，x2∈R且x1≠x2，
f（x1）＋f（x2）－2f＝a·＋b＋a·＋b－2（a·＋b）＝a（＋－2·）＝a（－）2，
根据题意，a（－）2＜0，因为（－）2＞0，所以a＜0.
（3）f（x）＝.（答案不唯一）
3 / 34.5　增长速度的比较
新课程标准解读 核心素养
结合现实情境中的具体问题，利用平均变化率，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线增长”“指数爆炸”等术语的现实含义 直观想象、逻辑推理
　　杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中（这个月有31天），每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍.”杰米说：“真的？你说话算数？”
　　合同开始生效了，杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱，收入10万元.第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分.到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变.第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万.结果，杰米在一个月（31）天内得到310万元的同时，共付给韦伯2 100多万元！杰米破产了.
【问题】　你知道杰米为什么会破产吗？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　函数值增长速度的比较
1.用平均变化率比较函数值变化的快慢
（1）定义：函数y＝f（x）在区间[x1，x2]（x1＜x2时）或[x2，x1]（x1＞x2时）上的平均变化率为＝　　　　　　；
（2）实质：　　　　的改变量与　　　　的改变量之比；
（3）理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加　　　　个单位；
（4）应用：比较函数值变化的快慢.
提醒　平均变化率的几何意义：设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是曲线y＝f（x）上任意不同的两点，函数y＝f（x）的平均变化率＝＝，
为割线AB的斜率，如图所示.
注意　Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负.
2.指数增长与线性增长
（1）指数增长：①定义：类似指数函数的增长称为　　　　　　（或指数级增长、爆炸式增长）；②性质：当a＞1时，指数函数f（x）＝ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大，f（x）＝ax的函数值增长的　　　　　　；
（2）线性增长：①定义：类似　　　　　　的增长称为线性增长（或直线增长）；②性质：当k＞0时，一次函数f（x）＝kx＋b，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大，f（x）＝kx＋b的函数值　　　　　　　　.
提醒　三类常见函数的增长的差异：在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（a＞1），y＝logax（a＞1）和y＝kx（k＞0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上；随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝kx（k＞0）的增长速度，而y＝logax（a＞1）的增长速度则会越来越慢；因此，总会存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜kx＜ax（a＞1，k＞0）.
1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（　　）
A.y＝1　　　　　 B.y＝x
C.y＝3x D.y＝log3x
2.函数f（x）＝x2＋1，当自变量x由1变到1.1时，函数f（x）的平均变化率为（　　）
A.2.1 B.1.1
C.2 D.1
3.若函数f（x）在任意区间内的平均变化率均为，且函数的图象过（2，2）点，则f（x）＝　　　　.
题型一 比较函数值增加的快慢
【例1】　已知函数y＝4x，分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律.
尝试解答
通性通法
1.计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢.
2.平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响.
【跟踪训练】
　某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是y＝f（x），假设＞0（x1＞x0≥0）恒成立，且＝10，＝1，则这些数据说明后10天与前10天比较（　　）
A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C.公司在亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利在增加，增加的幅度变小
题型二 比较函数平均变化率的大小
【例2】　已知函数f（x）＝3x，g（x）＝2x，h（x）＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1]（a＞1）上的平均变化率的大小.
尝试解答
通性通法
不同函数平均变化率大小的比较方法
　　计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率，利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小.
【跟踪训练】
　对于以下四个函数：①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝.在区间[1，2]上函数的平均变化率最大的是（　　）
A.①　　　B.②　　　C.③　　　D.④
题型三 不同增长函数模型的比较
【例3】　（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x3，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1），则下列结论中正确的是（　　）
A.当x＞1时，甲走在最前面
B.当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面
C.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
尝试解答
通性通法
不同增长的函数模型的特点
一次函数模型的增长是匀速的；二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数函数模型适合描述增长速度越来越快的变化规律；对数函数模型比较适合描述增长速度逐渐平缓的变化规律；幂函数模型的增长特点与其指数有关.
【跟踪训练】
　在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是（　　）
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log2x
1.下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（　　）
A.y＝26ln x B.y＝x26
C.y＝ D.y＝26·2x
2.如图，函数y＝f（x）在A，B两点间的平均变化率等于（　　）
A.－1 B.1
C.－2 D.2
3.函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（　　）
A.k1＞k2
B.k1＜k2
C.k1＝k2
D.k1与k2的大小关系不确定
4.（多选）已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（　　）
A.随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2
B.随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1
C.当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度一直快于y3
D.当x∈（0，＋∞）时，y2增长速度有时快于y1
5.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第　　　　年增长较快.
4.5　增长速度的比较
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）　（2）函数值　自变量　（3）　2.（1）指数增长　越来越快　（2）一次函数　匀速增长
自我诊断
1.C　结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象（图略）可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
2.A　由题意，函数的平均变化率为＝＝2.1.故选A.
3.x＋1　解析：因为函数f（x）在任意区间内的平均变化率均为，则f（x）为一次函数，设f（x）＝x＋b，又函数图象过点（2，2），所以2＝×2＋b，所以b＝1，所以f（x）＝x＋1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：因为＝＝，所以y＝4x在区间[1，2]上的平均变化率为＝12，在区间[3，4]上的平均变化率为＝192，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快.
跟踪训练
　D　平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的，故选D.
【例2】　解：因为＝＝2×3a，
＝＝2，
＝＝log3，
又因为a＞1，所以2×3a＞2×31＝6，
log3＜log3＝log32＜log33＝1＜6，
因此在区间[a，a＋1]上，f（x）的平均变化率最大，h（x）的平均变化率最小.
跟踪训练
　C　①＝＝1，②＝＝3，③＝＝7，④＝＝－.故选C.
【例3】　BCD　路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x3，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，幂函数，一次函数，和对数型函数模型.对于A，当x＝2时，f1（2）＝3，f2（2）＝8，∴该结论不正确；对于B，根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体所走路程相同，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，∴该结论正确；对于C，结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴该结论正确；对于D，指数函数的变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴该结论正确.
跟踪训练
　D　将x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.故选D.
随堂检测
1.D　根据题意，由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数y＝26·2x的函数值的增长速度最快.故选D.
2.A　由题图易知f（1）＝3，f（3）＝1，因此＝－1.故选A.
3.A　由题意结合函数的解析式有：k1＝＝＝2x0＋Δx，k2＝＝＝2x0－Δx，则k1－k2＝2Δx，因为Δx＞0，所以k1＞k2.故选A.
4.BD　对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，B、D正确；y1＝x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈（0，1）时，y3大于y1，当x∈（1，＋∞）时，y1大于y3，y3再也追不上y1，y1增长速度有时快于y3，C错误.故选B、D.
5.一　解析：∵＝＝0.625，＝＝0.25，∴＞，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快.
4 / 4(共64张PPT)
4.5　增长速度的比较
新课程标准解读 核心素养
结合现实情境中的具体问题，利用平均变化率，比较
对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理
解“对数增长”“直线增长”“指数爆炸”等术语的
现实含义 直观想象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人
对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中（这个月有31
天），每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给
我的钱是前一天的两倍.”杰米说：“真的？你说话算数？”
　　合同开始生效了，杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱，收入10
万元.第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得
100万元，而总共才付出10元2角3分.到了第20天，杰米共得200万
元，而韦伯才得1万多元.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可
从21天起，情况发生了转变.第22天杰米支出2万多，收入10万，到第
28天，杰米支出134万多，收入10万.结果，杰米在一个月（31）天内
得到310万元的同时，共付给韦伯2 100多万元！杰米破产了.
【问题】　你知道杰米为什么会破产吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　函数值增长速度的比较
1. 用平均变化率比较函数值变化的快慢
（1）定义：函数 y ＝ f （ x ）在区间[ x1， x2]（ x1＜ x2时）或[ x2，
x1]（ x1＞ x2时）上的平均变化率为
＝ ；
　
（2）实质： 的改变量与 的改变量之比；
（3）理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加 个
单位；
（4）应用：比较函数值变化的快慢.
函数值　
自变量　
　
提醒　平均变化率的几何意义：
设 A （ x1， f （ x1））， B （ x2， f （ x2））是曲线 y ＝ f （ x ）上任意
不同的两点，函数 y ＝ f （ x ）的平均变化率 ＝ ＝
，为割线 AB 的斜率，如图所示.
注意　Δ x 是变量 x2在 x1处的改变量，且 x2是 x1附近的任意一点，即Δ x
＝ x2－ x1≠0，但Δ x 可以为正，也可以为负.
2. 指数增长与线性增长
（1）指数增长：①定义：类似指数函数的增长称为
（或指数级增长、爆炸式增长）；②性质：当 a ＞1时，指数
函数 f （ x ）＝ ax ，当自变量每增加1个单位时，随着自变量
的增大， f （ x ）＝ ax 的函数值增长的 ；
（2）线性增长：①定义：类似 的增长称为线性增长
（或直线增长）；②性质：当 k ＞0时，一次函数 f （ x ）＝ kx
＋ b ，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大， f
（ x ）＝ kx ＋ b 的函数值 .
指数增长　
越来越快　
一次函数　
匀速增长　
提醒　三类常见函数的增长的差异：在区间（0，＋∞）上，尽管函
数 y ＝ ax （ a ＞1）， y ＝log ax （ a ＞1）和 y ＝ kx （ k ＞0）都是增函
数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上；随着 x 的
增大， y ＝ ax （ a ＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y ＝
kx （ k ＞0）的增长速度，而 y ＝log ax （ a ＞1）的增长速度则会越来
越慢；因此，总会存在一个 x0，使得当 x ＞ x0时，有log ax ＜ kx ＜ ax
（ a ＞1， k ＞0）.
1. 下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是（　　）
A. y ＝1 B. y ＝ x
C. y ＝3 x D. y ＝log3 x
解析： 　结合函数 y ＝1， y ＝ x ， y ＝3 x 及 y ＝log3 x 的图象（图
略）可知，随着 x 的增大，增长速度最快的是 y ＝3 x .
2. 函数 f （ x ）＝ x2＋1，当自变量 x 由1变到1.1时，函数 f （ x ）的平
均变化率为（　　）
A. 2.1 B. 1.1
C. 2 D. 1
解析： 　由题意，函数的平均变化率为 ＝ ＝
2.1.故选A.
3. 若函数 f （ x ）在任意区间内的平均变化率均为 ，且函数的图象过
（2，2）点，则 f （ x ）＝ .
解析：因为函数 f （ x ）在任意区间内的平均变化率均为 ，则 f
（ x ）为一次函数，设 f （ x ）＝ x ＋ b ，又函数图象过点（2，
2），所以2＝ ×2＋ b ，所以 b ＝1，所以 f （ x ）＝ x ＋1.
x ＋1　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 比较函数值增加的快慢
【例1】　已知函数 y ＝4 x ，分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]
上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变
化的规律.
解：因为 ＝ ＝ ，所以 y ＝4 x 在区间[1，2]上
的平均变化率为 ＝12，在区间[3，4]上的平均变化率为
＝192，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点
值越大，函数值增加越快.
通性通法
1. 计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较
函数值增加的快慢.
2. 平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜
率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋
势的影响.
【跟踪训练】
　某公司的盈利 y （元）和时间 x （天）的函数关系是 y ＝ f （ x ），
假设 ＞0（ x1＞ x0≥0）恒成立，且 ＝
10， ＝1，则这些数据说明后10天与前10天比较（　　）
A. 公司已经亏损
B. 公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C. 公司在亏损且亏损幅度变小
D. 公司的盈利在增加，增加的幅度变小
解析： 平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明
增加的幅度变小了，但还是增加的，故选D.
题型二 比较函数平均变化率的大小
【例2】　已知函数 f （ x ）＝3 x ， g （ x ）＝2 x ， h （ x ）＝log3 x ，比
较这三个函数在区间[ a ， a ＋1]（ a ＞1）上的平均变化率的大小.
解：因为 ＝ ＝2×3 a ，
＝ ＝2，
＝ ＝log3 ，
又因为 a ＞1，所以2×3 a ＞2×31＝6，
log3 ＜log3 ＝log32＜log33＝1＜6，
因此在区间[ a ， a ＋1]上， f （ x ）的平均变化率最大， h （ x ）的平
均变化率最小.
通性通法
不同函数平均变化率大小的比较方法
　　计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率，利用指数、对数
函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变
化率的大小.
【跟踪训练】
　对于以下四个函数：① y ＝ x ；② y ＝ x2；③ y ＝ x3；④ y ＝ .在区
间[1，2]上函数的平均变化率最大的是（　　）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
解析： 　① ＝ ＝1，② ＝ ＝3，③ ＝ ＝7，④ ＝
＝－ .故选C.
题型三 不同增长函数模型的比较
【例3】　（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同
一个方向运动，其路程 fi （ x ）（ i ＝1，2，3，4）关于时间 x （ x
≥0）的函数关系式分别为 f1（ x ）＝2 x －1， f2（ x ）＝ x3， f3（ x ）＝
x ， f4（ x ）＝log2（ x ＋1），则下列结论中正确的是（　　）
A. 当 x ＞1时，甲走在最前面
B. 当0＜ x ＜1时，丁走在最前面，当 x ＞1时，丁走在最后面
C. 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D. 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
解析： 　路程 fi （ x ）（ i ＝1，2，3，4）关于时间 x （ x ≥0）的
函数关系式分别为 f1（ x ）＝2 x －1， f2（ x ）＝ x3， f3（ x ）＝ x ， f4
（ x ）＝log2（ x ＋1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，幂
函数，一次函数，和对数型函数模型.对于A，当 x ＝2时， f1（2）＝
3， f2（2）＝8，∴该结论不正确；对于B，根据四种函数的变化特
点，对数型函数的变化是先快后慢，当 x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个
物体所走路程相同，从而可知当0＜ x ＜1时，丁走在最前面，当 x ＞1
时，丁走在最后面，∴该结论正确；对于C，结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴该结论正确；对于D，指数函数的变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴该结论正确.
通性通法
不同增长的函数模型的特点
　　一次函数模型的增长是匀速的；二次函数模型是对称的，一侧
增，一侧减；指数函数模型适合描述增长速度越来越快的变化规律；
对数函数模型比较适合描述增长速度逐渐平缓的变化规律；幂函数模
型的增长特点与其指数有关.
【跟踪训练】
　在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对 x ， y 最适合的拟合函数是（　　）
A. y ＝2 x B. y ＝ x2－1
C. y ＝2 x －2 D. y ＝log2 x
解析： 　将 x ＝0.50， y ＝－0.99，代入计算，可以排除A；将 x ＝
2.01， y ＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数 y ＝
log2 x ，可知满足题意.故选D.
1. 下列函数中，随着 x 的增大，函数值的增长速度最快的是（　　）
A. y ＝26ln x B. y ＝ x26
C. y ＝ D. y ＝26·2 x
解析： 　根据题意，由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着
x 越来越大，函数 y ＝26·2 x 的函数值的增长速度最快.故选D.
2. 如图，函数 y ＝ f （ x ）在 A ， B 两点间的平均
变化率等于（　　）
A. －1 B. 1
C. －2 D. 2
解析： 　由题图易知 f （1）＝3， f （3）＝1，因此
＝－1.故选A.
3. 函数 y ＝ x2在区间[ x0， x0＋Δ x ]上的平均变化率为 k1，在[ x0－Δ
x ， x0]上的平均变化率为 k2，则 k1与 k2的大小关系是（　　）
A. k1＞ k2 B. k1＜ k2
C. k1＝ k2 D. k1与 k2的大小关系不确定
解析： 　由题意结合函数的解析式有： k1＝
＝ ＝2 x0＋Δ x ， k2＝ ＝
＝2 x0－Δ x ，则 k1－ k2＝2Δ x ，因为Δ x ＞0，所
以 k1＞ k2.故选A.
4. （多选）已知函数 y1＝ x2， y2＝2 x ， y3＝ x ，则下列关于这三个函
数的描述中，正确的是（　　）
A. 随着 x 的逐渐增大， y1增长速度越来越快于 y2
B. 随着 x 的逐渐增大， y2增长速度越来越快于 y1
C. 当 x ∈（0，＋∞）时， y1增长速度一直快于 y3
D. 当 x ∈（0，＋∞）时， y2增长速度有时快于 y1
解析： 　对于 y1＝ x2， y2＝2 x ，从负无穷开始， y1大于 y2，然后
y2大于 y1，再然后 y1再次大于 y2，最后 y2大于 y1， y1再也追不上
y2，故随着 x 的逐渐增大， y2增长速度越来越快于 y1，A错误，B、
D正确； y1＝ x2， y3＝ x ，由于 y3＝ x 的增长速度是不变的，当 x ∈
（0，1）时， y3大于 y1，当 x ∈（1，＋∞）时， y1大于 y3， y3再也
追不上 y1， y1增长速度有时快于 y3，C错误.故选B、D.
5. 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第 年
增长较快.
解析：∵ ＝ ＝0.625， ＝ ＝0.25，
∴ ＞ ，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长
较快.
一　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝ 在区间[1，4]上的平均变化率为（　　）
A. B.
C. 1 D. 3
解析： 　 ＝ ，故选A.
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2. 一个物体做直线运动，位移 s （单位：m）与时间 t （单位：s）之
间的函数关系为 s （ t ）＝5 t2＋ mt ，且这一物体在2≤ t ≤3这段时
间内的平均速度为26 m/s，则实数 m 的值为（　　）
A. 2 B. 1
C. －1 D. 6
解析： 　由已知，得 ＝26，即（5×32＋3 m ）－
（5×22＋2 m ）＝26，解得 m ＝1，故选B.
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3. 如图， fi （ x ）（ i ＝1，2，3，4）是定义在[0，1]上的四个函数，
其中满足性质“对[0，1]中任意的 x1和 x2，及λ∈（0，1）， f
（λ x1＋（1－λ） x2）＜λ f （ x1）＋（1－λ） f （ x2）恒成立”
的只有（　　）
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解析： 　因为λ∈（0，1），所以可令λ＝ ，则不等式变为 f
＜ . f 为自变量 x1， x2的中点
对应的函数值，即中点纵坐标小于 [ f （ x1）＋ f （ x2）].结
合函数 fi （ x ）（ i ＝1，2，3，4）图象及 x1， x2的任意性，可排除
B、C、D三个选项.
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4. 在函数 y ＝｜ x ｜， x ∈[－1，1]的图象上有一点 P （ t ，｜ t ｜），
此函数与 x 轴、直线 x ＝－1及 x ＝ t 围成图形如图阴影部分的面积
为 S ，则 S 与 t 的函数关系图可表示为（　　）
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解析： 　因为 S ＝所以其对应图象为B，
故选B.
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5. （多选）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系
的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确
的说法有（　　）
A. 野生水葫芦的面积每月增长率为1
B. 野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2历时超过1.5个
月
C. 设野生水葫芦蔓延到10 m2，20 m2，30 m2所
需的时间分别为 t1， t2， t3，则有 t1＋ t3＜2 t2
D. 野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的
平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延
的平均速度
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解析： 　由题意得，所求函数为指数函数且过点（1，2），可
得函数 y ＝ f （ x ）＝2 x ，A：设第 n 个月的野生水葫芦面积为 f
（ n ），则第 n ＋1个月的野生水葫芦面积为 f （ n ＋1），∴野生水
葫芦的面积每月增长率 ＝ ＝1，故正确；
B：设野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2历时超过 x 个月，∴4·2 x ＝
12，解得 x ＝log23＞log22 ＝ ＝1.5，故正确；
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C：野生水葫芦蔓延到10 m2，20 m2，30 m2所需的时间分别为 t1， t2，
t3，∴ t1＋ t3＝log210＋log230＝log2300，2 t2＝2log220＝log2400，∴ t1
＋ t3＜2 t2，故正确；D：野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的
平均速度为 ＝3，野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均
速度为 ＝6，故错误.故选A、B、C.
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6. 函数 y ＝ x2与函数 y ＝ x ln x 在区间（1，＋∞）上增长较快的一个
是 .
解析：当 x 变大时， x 比ln x 增长要快，∴ x2要比 x ln x 增长的要快.
y ＝ x2　
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7. 汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的变化规律如图所示，在时间段
[ t0， t1]，[ t1， t2]，[ t2， t3]内的平均速度分别是 ， ， ，
则三者的大小关系为 .
＜ ＜ 　
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解析：∵ ＝ ＝ kOA ， ＝ ＝ kAB ，
＝ ＝ kBC ，由题图得 kOA ＜ kAB ＜ kBC ，∴ ＜ ＜
.
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8. 已知 a ＞1，函数 f （ x ）＝ln x ，则下面结论中正确的有 .
（填所有正确结论的序号）
①函数 f （ x ）在区间[ a ， a ＋1]上的平均变化率总是大于1；
②函数 f （ x ）在区间[ a ， a ＋1]上的平均变化率总是小于1；
③函数 f （ x ）在区间[ a ， a ＋1]上的平均变化率随着 a 的增大
而增大；
④函数 f （ x ）在区间[ a ， a ＋1]上的平均变化率随着 a 的增大
而减小.
②④　
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解析： ＝ ＝ln（ a ＋1）－ln a ＝ln ＝ln
，因为 a ＞1，所以ln ＜ln（1＋1）＝ln 2＜1，所以①错
误，②正确；又当 a ＞1时，1＋ 随着 a 的增大而减小，ln
随着1＋ 的减小而减小，所以 随着 a 的增大而减小，所以③错
误，④正确.
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9. 已知函数 f （ x ）＝2 x ， g （ x ）＝log2 x ，分别计算这两个函数在区
间[1，4]上的平均变化率，并比较它们的大小.
解： ＝ ＝ ，所以函数 f （ x ）＝2 x
在区间[1，4]上的平均变化率为 ＝ .
＝ ＝ ，所以函数 g （ x ）＝log2 x 在
区间[1，4]上的平均变化率为 ＝ ＝ .
因为 ＞ ，所以函数 f （ x ）＝2 x 在区间[1，4]上的平均变化率大
于函数 g （ x ）＝log2 x 在区间[1，4]上的平均变化率.
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10. 三个变量 y1， y2， y3，随着变量 x 的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于 x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（　）
A. y1， y2， y3 B. y2， y1， y3
C. y3， y2， y1 D. y1， y3， y2
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解析： 　通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的
增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量 y3随 x
的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长， y2随 x 的变
化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之
间， y1随 x 的变化符合此规律，故选C.
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11. 2012年某市某地段商业用地价格为每亩48万元，由于土地价格持
续上涨，到2024年已经上涨到每亩96万元.现给出两种地价增长方
式，其中 P1： f （ t ）＝ at ＋ b （ a ， b ∈R）是按直线上升的地
价， P2： g （ t ）＝ c log2（ d ＋ t ）（ c ， d ∈R）是按对数增长的
地价， t 是2012年以来经过的年数，2012年对应的 t 值为0.
（1）求 f （ t ）， g （ t ）的解析式；
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解： 由题知： f （0）＝48， f （12）＝96，代入解析
式 f （ t ），
所以解得所以 f （ t ）＝4 t ＋48，
t ≥0；
又 g （0）＝48， g （12）＝96，代入解析式 g （ t ）可得
解得
所以 g （ t ）＝24log2（4＋ t ）， t ≥0.
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（2）2024年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，
为此，该市要求2028年的地价相对于2024年上涨幅度控制在
10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的
一种模型.（参考数据：log210≈3.32）
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解： 若按照模型 P1： f （ t ）＝4 t ＋48，到2028年时，
t ＝16， f （16）＝112，
直线上升的增长率为 ≈16.7%＞10%，不符合要求；
若按照模型 P2： g （ t ）＝24log2（4＋ t ），到2028年时， t
＝16，
g （16）＝24log220＝24（log210＋1）≈24×（3.32＋1）＝
103.68，
对数增长的增长率为 ＝8%＜10%，符合要求；
综上分析，应该选择模型 P2.
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12. 如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩
留量 y 与净化时间 t （月）的近似函数关系： y ＝ at （ t ≥0， a ＞0
且 a ≠1）的图象.
有以下说法：
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①第4个月时，剩留量就会低于 ；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为 ， ， 时，所经过的时间分别是 t1， t2， t3，则 t1
＋ t2＝ t3.
其中所有正确说法的序号是 .
①③　
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解析：由于函数的图象经过点 ，故函数的关系式为 y ＝
.当 t ＝4时， y ＝ ＜ ，故①正确；当 t ＝1时， y ＝ ，减少
，当 t ＝2时， y ＝ ，
减少 ，故每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确；分别
令 y ＝ ， ， ，解得 t1＝lo ， t2＝lo ， t3＝lo ， t1＋ t2
＝ t3，故③正确.
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13. 已知函数 f （ x ）的定义域为 D . 若对于任意 x1， x2∈ D ，且 x1≠
x2，都有 f （ x1）＋ f （ x2）＜2 f ，则称函数 f （ x ）为
“凸函数”.
（1）判断函数① f1（ x ）＝2 x ，② f2（ x ）＝ 与③ f3（ x ）＝lg
x 是“凸函数”的序号是（只需写出结论）；
解： ③.
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（2）若函数 f （ x ）＝ a ·2 x ＋ b （ a ， b 为常数）是“凸函数”，
求 a 的取值范围；
解： 函数 f （ x ）＝ a ·2 x ＋ b 定义域为R，对于任意的
x1， x2∈R且 x1≠ x2，
f （ x1）＋ f （ x2）－2 f ＝ a · ＋ b ＋ a · ＋ b －
2（ a · ＋ b ）＝ a （ ＋ －2· ）＝ a
（ － ）2，
根据题意， a （ － ）2＜0，因为（ － ）2＞0，
所以 a ＜0.
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（3）写出一个定义在 上的“凸函数” f （ x ），满足0
＜ f （ x ）＜ x .（只需写出结论）
解： f （ x ）＝ .（答案不唯一）
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