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(共64张PPT)
4.3　指数函数与对数函数的关系
4.7　数学建模活动：生长规律的描述
新课程标准解读 核心素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律
的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合
适的函数模型刻画现实问题的变化规律 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100
元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数
值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例
如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r ，设
本利和为 y ，存期为 x ，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，
就要写出本利和 y 随着存期 x 变化的函数式.假设存入的本金为1 000
元，每期的利率为2.25%.
【问题】　五期后的本利和是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点一　常见的函数模型
1. 指数函数模型： f （ x ）＝ （ a ， b ， c 为常数， a ≠0，
b ＞0， b ≠1）.
2. 对数函数模型： f （ x ）＝ （ m ， n ， a 为常数， m
≠0， a ＞0， a ≠1）.
3. 幂函数模型： f （ x ）＝ （ a ， b ， n 为常数， a ≠0， n
≠1）.
abx ＋ c 　
m log ax ＋ n 　
axn ＋ b 　
【想一想】
1. 哪些实际问题可以用指数函数模型来表示？
提示：人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题.
2. 哪些实际问题可以用对数函数模型来表示？
提示：地震震级的变化规律、溶液pH值的变化规律、航天问题等.
知识点二　利用函数模型解决实际问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进
行：（1）审题；（2）建模；（3）求模；（4）还原.这些步骤用框
图表示如图：
1. 已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的
月平均增长率是（　　）
A. －1 B.
C. －1 D.
解析： 　设月平均增长率为 x ，1月份产量为 a ，则有 a （1＋ x ）
11＝7 a ，则1＋ x ＝ ，故 x ＝ －1.
2. 若等腰三角形的周长为20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，则它的
解析式为（　　）
A. y ＝20－2 x （ x ≤10）
B. y ＝20－2 x （ x ＜10）
C. y ＝20－2 x （5≤ x ≤10）
D. y ＝20－2 x （5＜ x ＜10）
解析： 　由题意，得2 x ＋ y ＝20，∴ y ＝20－2 x .∵ y ＞0，∴20
－2 x ＞0，∴ x ＜10.又∵三角形两边之和大于第三边，
∴解得 x ＞5，∴5＜ x ＜10，故选D.
3. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数 t ＝－
144lg 中， t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，
N 表示每分钟打出的字数.则当 N ＝40时， t ＝ .（已知lg
2≈0.301，lg 3≈0.477）
解析：当 N ＝40时，则 t ＝－144lg ＝－144lg ＝－144（lg
5－2lg 3）≈36.72.
36.72　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 指数型模型的应用
【例1】　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减.
（1）求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式；
解： 最初的质量为500 g.
经过1年， w ＝500（1－10%）＝500×0.9；
经过2年， w ＝500×0.92；
……
由此推知， t 年后， w ＝500×0.9 t .
（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（结果精确
到0.1）.
解： 由题意得500×0.9 t ＝250，即
0.9 t ＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9 t ＝lg 0.5，即 t lg 0.9＝lg 0.5，
∴ t ＝ ≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
通性通法
指数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率
问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为 y ＝ N （1＋
p ） x （其中 N 为基础数， p 为增长率， x 为时间）的形式；
（2）解答数学应用题应过的三关
①理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出
关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么；
②建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数
学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转
化成数学问题；
③数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学
方法.
【跟踪训练】
1. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是
Pn ＝ P0（1＋ k ） n （ k ＞－1），其中 Pn 为预测期人口数， P0为初
期人口数， k 为预测期内人口年增长率， n 为预测期间隔年数，如
果在某一时期 k ∈（－1，0），那么在这期间人口数（　　）
A. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势
C. 摆动变化 D. 不变
解析： 　由题意， k 为预测期内年增长率，如果在某一时期有 k
∈（－1，0），即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.故
选B.
2. 据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，
设2024年的湖水量为 m ，从2024年起，经过 x 年后湖水量 y 与 x 的
函数关系式为 .
解析：设每年湖水量为上一年的 q %，则（ q %）50＝0.9，解得 q %
＝0. ，即 x 年后的湖水量为0. · m .
y ＝0. · m 　
题型二 对数型模型的应用
【例2】　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发
现鲑鱼的游速可以表示为函数 v ＝ log3 ，单位是 m/s，θ是表示鱼
的耗氧量的单位数.
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
解： 由 v ＝ log3 可知，
当θ＝900时， v ＝ log3 ＝ log39＝1（m/s）.
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
（2）某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来
的多少倍？
解： 由 v2－ v1＝1，
即 log3 － log3 ＝1，得 ＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变：
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？
解： 将θ＝8 100代入函数解析式，
得 v ＝ log381＝ ×4＝2（m/s），所以当一条鲑鱼的耗氧量是8
100个单位时，它的游速是2 m/s.
（2）求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
解： 令 v ＝0，得 log3 ＝0，即 ＝1，则θ＝100，所
以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位.
通性通法
对数函数应用题的基本类型和求解策略
（1）基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析
式，然后根据实际问题求解；
（2）求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根
据给出的具体情境，从中根据所绘出的数据，代入解析式求
值，然后根据数值回答其实际意义.
【跟踪训练】
　5G技术的数学原理之一是著名的香农公式： C ＝ W log2 ，
它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 C 取决于
信道带宽 W ，信道内所传信号的平均功率 S ，信道内部的高斯噪声功
率 N 的大小.其中 叫做信噪比，按照香农公式，在不改变 W 的情况
下，将信噪比 从1 999提升至λ，使得 C 大约增加了20%，则λ的值
约为（参考数据lg 2≈0.3，103.96≈9 120）（　　）
A. 9 121 B. 9 119
C. 9 919 D. 10 999
解析： 　由题意得 ≈20%，
∴ ≈1.2，1＋λ≈2 0001.2，又∵lg 2 0001.2＝1.2lg 2 000＝
1.2（lg 2＋3）≈1.2×（0.3＋3）＝3.96，故2 0001.2≈103.96≈9 120，
∴λ≈ 9 119.故选B.
题型三 幂函数模型的应用
【例3】　美国对中国芯片的技术封锁，却激发了中国“芯”的研究
热潮.某公司研发的 A ， B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片
已经耗费资金2千万元.现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预
测，生产 A 芯片的毛收入 y1（千万元）与投入的资金 x1（千万元）成
正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产 B 芯
片的毛收入 y2（千万元）与投入的资金 x2（千万元）的函数关系为 y2
＝ k （ x2＞0），其图象如图所示.
（1）试分别求出生产 A ， B 两种芯片的毛收入 y （千万元）与投入资
金 x （千万元）的函数关系式；
解： 投入资金为 x1千万元，则生产 A
芯片的毛收入 y1＝ （ x1＞0）千万元，
将（1，1），（4，2）代入 y2＝ k ，得
所以
所以生产 B 芯片的毛收入 y2＝ （ x2＞
0）千万元.
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？
解： 作出 y1＝ （ x1＞
0）， y2＝ （ x2＞0）的图象
如图：
所以，当投入资金大于16千万元时，生产 A 芯片的毛收入大；
当投入资金等于16千万元时，生产 A ， B 芯片的毛收入相等；
当投入资金小于16千万元时，生产 B 芯片的毛收入大.
（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产 A ， B 两种芯片，设投入 x
千万元生产 B 芯片，用 f （ x ）表示公司所获得的利润，当 x 为多
少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润＝ A 芯片毛收
入＋ B 芯片毛收入－研发耗费资金）
解： 公司投入4亿元资金同时生产
A ， B 两种芯片，投入 x 千万元生产 B 芯
片，则投入（40－ x ）千万元资金生产 A 芯
片，则公司所获利润 f （ x ）＝ ＋ －2＝－ （ －2）2＋9，故当 ＝2，即 x ＝4千万元时，公司所获利润最大，最
大利润为9千万元.
通性通法
幂函数模型的常见题型及解法
　　常见题型：一是给出含参数的函数关系式；二是根据题意直接列
出相应的关系式.幂函数的应用题大多可与指数函数的应用题相互转
化，因为在 y ＝（1＋ a ） b 中，如果 a 是已知的， b 是待求的，那么此
问题是指数函数问题；如果 b 是已知的， a 是待求的，那么此问题是
幂函数问题.
【跟踪训练】
1. 一种新型电子产品计划投产两年后使成本降低36%，那么平均每年
应降低成本（　　）
A. 18% B. 20%
C. 24% D. 36%
解析： 　设平均每年降低成本 x ，（1－ x ）2＝1－36%＝0.64，
解得 x ＝0.2＝20%或 x ＝1.8＝180%（舍去），故选B.
2. 某人2024年7月1日到银行存入 a 元，若按年利率 x 复利计算，则到
2027年7月1日可取款（　　）
A. a （1＋ x ）2元 B. a （1＋ x ）4元
C. a ＋（1＋ x ）3元 D. a （1＋ x ）3元
解析： 　由题意知，2025年7月1日可取款 a （ x ＋1）元，2026年
7月1日可取款 a （1＋ x ）·（1＋ x ）＝ a （1＋ x ）2元，2027年7月1
日可取款 a （1＋ x ）2·（1＋ x ）＝ a （1＋ x ）3元.故选D.
1. 春天来了，某池塘中的荷叶铺展开来.已知每一天荷叶覆盖水面面
积是前一天的2倍，若荷叶第20天就可以完全覆盖池塘水面，则当
荷叶覆盖水面面积的 时，荷叶已生长了（　　）
A. 5天 B. 10天
C. 18天 D. 19天
解析： 　因为每一天覆盖面积均为前一天的2倍，所以第19天覆
盖整个水面面积的一半，第18天覆盖 .
2. 某种动物繁殖数量 y （只）与时间 x （年）的关系为 y ＝ a log2（ x
＋1），设这种动物第一年有100只，则第7年它们发展到（　　）
A. 300只 B. 400只
C. 500只 D. 600只
解析： 　当 x ＝1时， y ＝100，得 a ＝100，故当 x ＝7时， y ＝
100log28＝300.
3. （多选）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的
交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经
历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下
跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况
（不考虑其他费用）为（　　）
A. 甲、乙都亏损 B. 甲盈利，乙亏损
C. 甲亏损，乙盈利 D. 甲、乙亏损的一样多
解析： 　设投资总额为 a 元，甲先经历一次涨停，再经历一次
跌停后的资金为： a （1＋10%）（1－10%）＝0.99 a 元，乙先经
历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为： a （1－10%）（1＋
10%）＝0.99 a 元，故选A、D.
4. 某市的房价（均价）经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元
/m2，则这6年间平均每年的增长率是 .
解析：设6年间平均年增长率为 x ，则有1 200（1＋ x ）6＝4 800，
解得 x ＝3 －1.
3 －1　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之
棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，
每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天
的一半.如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么 x 天后剩下的部
分 y 与 x 的函数关系式为（　　）
A. y ＝ x （ x ∈N*） B. y ＝ （ x ∈N*）
C. y ＝2 x （ x ∈N*） D. y ＝ （ x ∈N*）
解析： 　由题意可得，剩下的部分依次为 ， ， ，…，因此 x
天后剩下的部分 y 与 x 的函数关系式为 y ＝ （ x ∈N*），故选D.
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2. 在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数
y （单位：人）与某产品销售单价 x （单位：元）满足关系式： y ＝
－ x ＋40，其中20＜ x ＜100， m 为常数，当该产品销售单价为
25元时，在线购买人数为2 015人；假设该产品成本单价为20元，
且每人限购1件；下列说法错误的是（　　）
A. 实数 m 的值为10 000
B. 销售单价越低，直播在线购买人数越多
C. 当 x 的值为30时利润最大
D. 利润最大值为10 000
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解析： 因为在线购买人数 y （单位：人）与某产品销售单价 x
（单位：元）满足关系式： y ＝ － x ＋40单调递减，所以B正
确；将 x ＝25， y ＝2 015代入 y ＝ － x ＋40，解得 m ＝10 000，
所以A正确；由题意可得所得利润为： f （ x ）＝（ x －20）
（ － x ＋40）＝－ x2＋60 x ＋9 200＝－（ x －30）2＋10 100，
所以当 x ＝30，最大利润为10 100元，C正确，D错误；故选D.
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3. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假
设某种传染病的基本传染数为 R0，1个感染者在每个传染期会接触
到 N 个新人，这 N 个人中有 V 个人接种过疫苗 ，那
么1个感染者传染人数为 （ N － V ）.已知某种传染病在某地的基
本传染数 R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗
的接种率至少为（　　）
A. 45% B. 55%
C. 65% D. 75%
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解析： 　为了使得1个感染者传染人数不超过1，只需 （ N －
V ）≤1，即 R0· ≤1，因为 R0＝4，故1－ ≤ ，可得 ≥
.故选D.
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4. 试验中发现，光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的 ，要使
通过玻璃的光线强度变为原来的 以下，至少需要重叠这样的玻璃
板的块数为 .（lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
解析：设至少需要 x 块玻璃板，由题意知 ＜ ，即
＜ ，两边取对数 x （lg 9－lg 10）＜－lg 2，即 x （1－2lg 3）＞lg
2，∴ x ＞ ≈6.58，∴ x ＝7.
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5. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解
密原理如下：明文 密文 密文 明文.已知加密函数为 y ＝ ax
－2（ x 为明文、 y 为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文
为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到
密文为“14”，则原发的明文是 .
解析：依题意 y ＝ ax －2中，当 x ＝3时， y ＝6，故6＝ a3－2，解得
a ＝2，所以加密函数为 y ＝2 x －2，因此当 y ＝14时，由14＝2 x －
2，解得 x ＝4.
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6. 2021年3月20日，国家文物局公布，四川三星堆考古发掘取得重大
进展，考古人员在三星堆遗址内新发现6座祭祀坑，经碳14测年法
测定，这6座祭祀坑为商代晚期遗址，碳14测年法是根据碳14的衰
变程度测度样本年代的一种测量方法，已知样本中碳14的原子数 N
随时间 t （单位：年）的变化规律是 N ＝ N0 ，则该样本中碳
14的原子数由 N0个减少到 个时所经历的时间（单位：年）
为 .
解析：当 t ＝0时， N ＝ N0，若 N ＝ ，则 ＝2－2，所以－
＝－2， t ＝11 460.
11 460　
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7. 燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，
两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v ＝5log2 ，单位是m/s，其
中 Q 表示燕子的耗氧量.
（1）求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
解： 由题知，当燕子静止时，它的速度 v ＝0，
代入题给公式可得：0＝5log2 ，解得 Q ＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位.
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（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解： 将耗氧量 Q ＝80代入题给公式得： v ＝5log2 ＝
5log28＝15（m/s）.
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15
m/s.
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8. 2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥
十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，
顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状
态良好，发射取得圆满成功.火箭在发射时会产生巨大的噪音，若
所有声音的声强级 d （ x ）（单位：dB）与声强 x （单位：W/m2）
满足 d （ x ）＝10lg .火箭发射时的声强级约为140 dB，人交谈
时的声强级约为50 dB，那么火箭发射时的声强与人交谈时的声强
的比值约为（　　）
A. 109 B. 1010
C. 1011 D. 1012
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解析： 　由题意， d （ x ）＝10lg ，则 x ＝1 ，火
箭发射时的声强级约为140 dB，人交谈时的声强级约为50 dB，则
火箭发射时的声强约为102，人交谈时的声强约为10－7，所以火箭
发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，故选A.
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9. 某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测
得该产品的性能指标值 y 与这种新材料的含量 x （单位：克）的关
系为：当0≤ x ＜6时， y 是 x 的二次函数；当 x ≥6时， y ＝ .
测得数据如表（部分）.
x （单位：克） 0 1 2 9 …
y 0 3 …
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（1）求 y 关于 x 的函数关系式 y ＝ f （ x ）；
解： 当0≤ x ＜6时，由题意，
设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
由表格数据可得
解得所以当0≤ x ＜6时， f （ x ）＝－ x2＋2 x ，
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当 x ≥6时， f （ x ）＝ .
由表格数据可得 f （9）＝ ＝ ，解得 t ＝7.
所以当 x ≥6时， f （ x ）＝ ，
综上， f （ x ）＝
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（2）求函数 f （ x ）的最大值.
解： 当0≤ x ＜6时， f （ x ）＝－ x2＋2 x ＝－ （ x －
4）2＋4，
所以当 x ＝4时，函数 f （ x ）的最大值为4；
当 x ≥6时， f （ x ）＝ 单调递减，
所以 f （ x ）的最大值为 f （6）＝ ＝3.
因为4＞3，所以函数 f （ x ）的最大值为4.
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10. 某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，服
药后每毫升血液中的含药量 y （微克）与时间 t （时）之间近似满
足如图所示的关系.若每毫升血液中含药量不低于0.5微克时，治
疗疾病有效，则服药一次治疗疾病的有效时间为 小时.
　
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解析：当0≤ t ＜1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点
（1，4），故其解析式为 y ＝4 t ，当 t ≥1时，函数的解析式为 y ＝
，因为 M （1，4）在曲线上，所以4＝ ，解得 a ＝
3，所以函数的解析式为 y ＝ ， t ≥1，综上， y ＝ f （ t ）＝
由题意有或解得
所以 ≤ t ≤4，所以服药一次治疗疾病有效的时间为
4－ ＝ 个小时.
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11. 某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时
间 T 进行一次记录，用 x 表示经过单位时间的个数，用 y 表示此变
异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
x （ T ） 1 2 3 4 5 6 …
y （万
个） … 10 … 50 … 250 …
若该变异毒株的数量 y （单位：万个）与经过 x （ x ∈N*）个单位
时间 T 的关系有两个函数模型 y ＝ px2＋ q 与 y ＝ kax （ k ＞0， a ＞
1）可供选择.（参考数据： ≈2.236， ≈2.449，lg
2≈0.301，lg 6≈0.778）
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（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
解： 若选 y ＝ px2＋ q ，将 x ＝2， y ＝10和 x ＝4， y ＝
50代入得解得故 y ＝ x2－ .
将 x ＝6代入 y ＝ x2－ ， y ≠250，不符合题意；
若选 y ＝ kax （ k ＞0， a ＞1），将 x ＝2， y ＝10和 x ＝4，
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y ＝50代入得，解得
故 y ＝2·（ ） x .
将 x ＝6代入 y ＝2·（ ） x 得 y ＝250，符合题意，
综上可知，选择函数 y ＝ kax （ k ＞0， a ＞1）更合适，其解
析式为 y ＝2·（ ） x （ x ∈N*）.
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（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.
解： 设至少需要 x 个单位时间，则2（ ） x ≥10
000，即（ ） x ≥5 000，
两边取对数： x lg ≥lg 5＋3，
x ≥2＋ ＝2＋ ≈10.58，
因为 x ∈N*，所以 x 的最小值为11，
故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.
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谢 谢 观 看！4.6　函数的应用（二）
4.7　数学建模活动：生长规律的描述
1.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半.如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为（　　）
A.y＝x（x∈N*）　　 B.y＝（x∈N*）
C.y＝2x（x∈N*） D.y＝（x∈N*）
2.在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y（单位：人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：y＝－x＋40，其中20＜x＜100，m为常数，当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2 015人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是（　　）
A.实数m的值为10 000
B.销售单价越低，直播在线购买人数越多
C.当x的值为30时利润最大
D.利润最大值为10 000
3.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗，那么1个感染者传染人数为（N－V）.已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（　　）
A.45%　　B.55%　　C.65%　　D.75%
4.试验中发现，光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度变为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为　　　　.（lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
5.为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文.已知加密函数为y＝ax－2（x为明文、y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是　　　　.
6.2021年3月20日，国家文物局公布，四川三星堆考古发掘取得重大进展，考古人员在三星堆遗址内新发现6座祭祀坑，经碳14测年法测定，这6座祭祀坑为商代晚期遗址，碳14测年法是根据碳14的衰变程度测度样本年代的一种测量方法，已知样本中碳14的原子数N随时间t（单位：年）的变化规律是N＝N0，则该样本中碳14的原子数由N0个减少到个时所经历的时间（单位：年）为　　　　.
7.燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量.
（1）求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
8.2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.火箭在发射时会产生巨大的噪音，若所有声音的声强级d（x）（单位：dB）与声强x（单位：W/m2）满足d（x）＝10lg .火箭发射时的声强级约为140 dB，人交谈时的声强级约为50 dB，那么火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为（　　）
A.109 B.1010
C.1011 D.1012
9.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为：当0≤x＜6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表（部分）.
x（单位：克） 0 1 2 9 …
y 0 3 …
（1）求y关于x的函数关系式y＝f（x）；
（2）求函数f（x）的最大值.
10.某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（时）之间近似满足如图所示的关系.若每毫升血液中含药量不低于0.5微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病的有效时间为　　　　小时.
11.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
x（T） 1 2 3 4 5 6 …
y（万个） … 10 … 50 … 250 …
若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过x（x∈N*）个单位时间T的关系有两个函数模型y＝px2＋q与y＝kax（k＞0，a＞1）可供选择.（参考数据：≈2.236，≈2.449，lg 2≈0.301，lg 6≈0.778）
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.
4.6　函数的应用（二）4.7　数学建模活动：生长规律的描述
1.D　由题意可得，剩下的部分依次为，，，…，因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y＝（x∈N*），故选D.
2.D　因为在线购买人数y（单位：人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：y＝－x＋40单调递减，所以B正确；将x＝25，y＝2 015代入y＝－x＋40，解得m＝10 000，所以A正确；由题意可得所得利润为：f（x）＝（x－20）＝－x2＋60x＋9 200＝－（x－30）2＋10 100，所以当x＝30，最大利润为10 100元，C正确，D错误；故选D.
3.D　为了使得1个感染者传染人数不超过1，只需（N－V）≤1，即R0·≤1，因为R0＝4，故1－≤，可得≥.故选D.
4.7　解析：设至少需要x块玻璃板，由题意知＜，即＜，两边取对数x（lg 9－lg 10）＜－lg 2，即x（1－2lg 3）＞lg 2，∴x＞≈6.58，∴x＝7.
5.4　解析：依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2，所以加密函数为y＝2x－2，因此当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.
6.11 460　解析：当t＝0时，N＝N0，若N＝，则＝2－2，所以－＝－2，t＝11 460.
7.解：（1）由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，
代入题给公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位.
（2）将耗氧量Q＝80代入题给公式得：v＝5log2＝5log28＝15（m/s）.
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
8.A　由题意，d（x）＝10lg ，则x＝1，火箭发射时的声强级约为140 dB，人交谈时的声强级约为50 dB，则火箭发射时的声强约为102，人交谈时的声强约为10－7，所以火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，故选A.
9.解：（1）当0≤x＜6时，由题意，
设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
由表格数据可得解得
所以当0≤x＜6时，f（x）＝－x2＋2x，
当x≥6时，f（x）＝.
由表格数据可得f（9）＝＝，解得t＝7.
所以当x≥6时，f（x）＝，
综上，f（x）＝
（2）当0≤x＜6时，f（x）＝－x2＋2x＝－（x－4）2＋4，
所以当x＝4时，函数f（x）的最大值为4；
当x≥6时，f（x）＝单调递减，
所以f（x）的最大值为f（6）＝＝3.
因为4＞3，所以函数f（x）的最大值为4.
10.　解析：当0≤t＜1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），故其解析式为y＝4t，当t≥1时，函数的解析式为y＝，因为M（1，4）在曲线上，所以4＝，解得a＝3，所以函数的解析式为y＝，t≥1，综上，y＝f（t）＝由题意有或解得所以≤t≤4，所以服药一次治疗疾病有效的时间为4－＝个小时.
11.解：（1）若选y＝px2＋q，将x＝2，y＝10和x＝4，y＝50代入得解得
故y＝x2－.
将x＝6代入y＝x2－，y≠250，不符合题意；
若选y＝kax（k＞0，a＞1），将x＝2，y＝10和x＝4，y＝50代入得，
解得
故y＝2·（）x.
将x＝6代入y＝2·（）x得y＝250，符合题意，
综上可知，选择函数y＝kax（k＞0，a＞1）更合适，其解析式为y＝2·（）x（x∈N*）.
（2）设至少需要x个单位时间，则2（）x≥10 000，即（）x≥5 000，
两边取对数：xlg ≥lg 5＋3，
x≥2＋＝2＋≈10.58，
因为x∈N*，所以x的最小值为11，
故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.
1 / 24.6　函数的应用（二）
4.7　数学建模活动：生长规律的描述
新课程标准解读 核心素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律 数学建模、数学运算
　　爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.
【问题】　五期后的本利和是多少？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　常见的函数模型
1.指数函数模型：f（x）＝　　　　（a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）.
2.对数函数模型：f（x）＝　　　　　　　（m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）.
3.幂函数模型：f（x）＝　　　　　　（a，b，n为常数，a≠0，n≠1）.
【想一想】
1.哪些实际问题可以用指数函数模型来表示？
2.哪些实际问题可以用对数函数模型来表示？
知识点二　利用函数模型解决实际问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：（1）审题；（2）建模；（3）求模；（4）还原.这些步骤用框图表示如图：
1.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是（　　）
A.－1　　　　　　B.
C.－1 D.
2.若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（　　）
A.y＝20－2x（x≤10）
B.y＝20－2x（x＜10）
C.y＝20－2x（5≤x≤10）
D.y＝20－2x（5＜x＜10）
3.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数.则当N＝40时，t＝　　　　.（已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）
题型一 指数型模型的应用
【例1】　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减.
（1）求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（结果精确到0.1）.
尝试解答
通性通法
指数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N（1＋p）x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式；
（2）解答数学应用题应过的三关
①理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么；
②建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题；
③数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法.
【跟踪训练】
1.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0（1＋k）n（k＞－1），其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期k∈（－1，0），那么在这期间人口数（　　）
A.呈上升趋势　　　 B.呈下降趋势
C.摆动变化 D.不变
2.据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2024年的湖水量为m，从2024年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系式为　　　　.
题型二 对数型模型的应用
【例2】　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是 m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数.
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
（2）某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
尝试解答
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变：
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？
（2）求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
通性通法
对数函数应用题的基本类型和求解策略
（1）基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；
（2）求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中根据所绘出的数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.
【跟踪训练】
　5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W，信道内所传信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1 999提升至λ，使得C大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据lg 2≈0.3，103.96≈9 120）（　　）
A.9 121 B.9 119
C.9 919 D.10 999
题型三 幂函数模型的应用
【例3】　美国对中国芯片的技术封锁，却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元.现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入y1（千万元）与投入的资金x1（千万元）成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y2（千万元）与投入的资金x2（千万元）的函数关系为y2＝k（x2＞0），其图象如图所示.
（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式；
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？
（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f（x）表示公司所获得的利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金）
尝试解答
通性通法
幂函数模型的常见题型及解法
　　常见题型：一是给出含参数的函数关系式；二是根据题意直接列出相应的关系式.幂函数的应用题大多可与指数函数的应用题相互转化，因为在y＝（1＋a）b中，如果a是已知的，b是待求的，那么此问题是指数函数问题；如果b是已知的，a是待求的，那么此问题是幂函数问题.
【跟踪训练】
1.一种新型电子产品计划投产两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本（　　）
A.18% B.20%
C.24% D.36%
2.某人2024年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到2027年7月1日可取款（　　）
A.a（1＋x）2元
B.a（1＋x）4元
C.a＋（1＋x）3元
D.a（1＋x）3元
1.春天来了，某池塘中的荷叶铺展开来.已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶第20天就可以完全覆盖池塘水面，则当荷叶覆盖水面面积的时，荷叶已生长了（　　）
A.5天 B.10天
C.18天 D.19天
2.某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），设这种动物第一年有100只，则第7年它们发展到（　　）
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
3.（多选）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（　　）
A.甲、乙都亏损　 　B.甲盈利，乙亏损
C.甲亏损，乙盈利 D.甲、乙亏损的一样多
4.某市的房价（均价）经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是　　　　.
4.6　函数的应用（二）4.7　数学建模活动：生长规律的描述
【基础知识·重落实】
知识点一
1.abx＋c　2.mlogax＋n　　3.axn＋b
想一想
1.提示：人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题.
2.提示：地震震级的变化规律、溶液pH值的变化规律、航天问题等.
自我诊断
1.A　设月平均增长率为x，1月份产量为a，则有a（1＋x）11＝7a，则1＋x＝，故x＝－1.
2.D　由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.
∵y＞0，∴20－2x＞0，
∴x＜10.又∵三角形两边之和大于第三边，
∴解得x＞5，∴5＜x＜10，故选D.
3.36.72　解析：当N＝40时，则t＝－144lg＝－144lg＝－144（lg 5－2lg 3）≈36.72.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500（1－10%）＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
……
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
（2）由题意得500×0.9t＝250，即
0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
跟踪训练
1.B　由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有k∈（－1，0），即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.故选B.
2.y＝0.·m　解析：设每年湖水量为上一年的q%，则（q%）50＝0.9，解得q%＝0.，即x年后的湖水量为0.·m.
【例2】　解：（1）由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1（m/s）.
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
（2）由v2－v1＝1，
即log3－log3＝1，得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍.
母题探究
　解：（1）将θ＝8 100代入函数解析式，
得v＝log381＝×4＝2（m/s），所以当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.
（2）令v＝0，得log3＝0，即＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位.
跟踪训练
　B　由题意得≈20%，∴≈1.2，1＋λ≈2 0001.2，又∵lg 2 0001.2＝1.2lg 2 000＝1.2（lg 2＋3）≈1.2×（0.3＋3）＝3.96，故2 0001.2≈103.96≈9 120，∴λ≈ 9 119.故选B.
【例3】　解：（1）投入资金为x1千万元，则生产A芯片的毛收入y1＝（x1＞0）千万元，
将（1，1），（4，2）代入y2＝k，得所以
所以生产B芯片的毛收入y2＝（x2＞0）千万元.
（2）作出y1＝（x1＞0），y2＝（x2＞0）的图象如图：
所以，当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入大；
当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；
当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入大.
（3）公司投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，投入x千万元生产B芯片，则投入（40－x）千万元资金生产A芯片，则公司所获利润f（x）＝＋－2＝－（－2）2＋9，故当＝2，即x＝4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元.
跟踪训练
1.B　设平均每年降低成本x，（1－x）2＝1－36%＝0.64，解得x＝0.2＝20%或x＝1.8＝180%（舍去），故选B.
2.D　由题意知，2025年7月1日可取款a（x＋1）元，2026年7月1日可取款a（1＋x）·（1＋x）＝a（1＋x）2元，2027年7月1日可取款a（1＋x）2·（1＋x）＝a（1＋x）3元.故选D.
随堂检测
1.C　因为每一天覆盖面积均为前一天的2倍，所以第19天覆盖整个水面面积的一半，第18天覆盖.
2.A　当x＝1时，y＝100，得a＝100，故当x＝7时，y＝100log28＝300.
3.AD　设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：a（1＋10%）（1－10%）＝0.99a元，乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：a（1－10%）·（1＋10%）＝0.99a元，故选A、D.
4.3－1　解析：设6年间平均年增长率为x，则有1 200（1＋x）6＝4 800，解得 x＝3－1.
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